2024屆重慶市字水中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題含解析

2024屆重慶市字水中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A． B． C． D．2．已知中，，，，則BC邊上的中線AM的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．3．等比數(shù)列{an}中，a3=12A．3×10-5C．128 D．3×2-54．定義在上的函數(shù)若關(guān)于的方程(其中)有個(gè)不同的實(shí)根,,…,,則（）A． B． C． D．5．設(shè)是公比為的無(wú)窮等比數(shù)列，若的前四項(xiàng)之和等于第五項(xiàng)起以后所有項(xiàng)之和，則數(shù)列是（）A．公比為的等比數(shù)列B．公比為的等比數(shù)列C．公比為或的等比數(shù)列D．公比為或的等比數(shù)列6．在中，，，則（）A． B． C． D．7．如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形里有一個(gè)月牙形的圖案，為了估算這個(gè)月牙形圖案的面積，向這個(gè)正方形里隨機(jī)投入了粒芝麻，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，落在月牙形圖案內(nèi)的芝麻有粒，則這個(gè)月牙圖案的面積約為（）A． B． C． D．8．已知一個(gè)三角形的三邊是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)，且最大角是最小角的2倍，則該三角形的最小角的余弦值是（）A． B．C． D．9．將兩個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為5，4，3的長(zhǎng)方體壘在一起，使其中兩個(gè)面完全重合，組成一個(gè)大長(zhǎng)方體，則大長(zhǎng)方體的外接球表面積的最大值為（）A． B． C． D．10．中國(guó)古代的“禮”“樂(lè)”“射”“御”“書(shū)”“數(shù)”合稱“六藝”.某校國(guó)學(xué)社團(tuán)準(zhǔn)備于周六上午9點(diǎn)分別在6個(gè)教室開(kāi)展這六門課程講座，每位同學(xué)只能選擇一門課程，則甲乙兩人至少有人選擇“禮”的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)集合，它共有個(gè)二元子集，如、、等等．記這個(gè)二元子集為、、、、，設(shè)，定義，則_____．（結(jié)果用數(shù)字作答）12．已知直線是函數(shù)（其中）圖象的一條對(duì)稱軸，則的值為_(kāi)_______.13．已知，則的值是______.14．給出以下四個(gè)結(jié)論：①過(guò)點(diǎn)，在兩軸上的截距相等的直線方程是；②若是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則；③在中，若，則是等腰三角形；④已知，，且，則的最大值是2.其中正確的結(jié)論是________（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的番號(hào)）.15．已知，，則______，______.16．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若，則_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．設(shè)向量．（Ⅰ）若與垂直，求的值；（Ⅱ）求的最小值.18．在中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角的大??；（2）若，求的面積19．已知.（1）化簡(jiǎn);（2）若,且為第一象限角,求的值.20．單調(diào)遞增的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．已知拋物線C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)（2,0）的直線l交C于A,B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；（2）設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)，求直線l與圓M的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)向量線性運(yùn)算可得，由坐標(biāo)可得結(jié)果.【詳解】故選：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

利用平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和，求的長(zhǎng)．【詳解】延長(zhǎng)至，使，連接、，如圖所示；由題意知四邊形是平行四邊形，且滿足，即，解得，所以邊上的中線的長(zhǎng)度為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和應(yīng)用問(wèn)題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力．3、D【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到公比，進(jìn)而得到通項(xiàng).【詳解】設(shè)公比為q，則12q+12q=30，∴∴q=2或q=12，∴a10即3×29或故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.4、C【解析】畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，解方程方程，得或,時(shí)有三個(gè)根，，時(shí)有兩個(gè)根，所以關(guān)于的方程共有五個(gè)根，，,故選C.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來(lái)，圖象的應(yīng)用常見(jiàn)的命題探究角度有：1、確定方程根的個(gè)數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)．5、B【解析】

根據(jù)題意可得，帶入等比數(shù)列前和即可解決?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，若的前四項(xiàng)之和等于第五項(xiàng)起以后所有項(xiàng)之和，則，又由是公比為的無(wú)窮等比數(shù)列，則，變形可得，則，數(shù)列為的奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，則數(shù)列為公比為的等比數(shù)列；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用等比數(shù)列前項(xiàng)和計(jì)算公比，屬于基礎(chǔ)題。6、A【解析】

本題首先可根據(jù)計(jì)算出的值，然后根據(jù)正弦定理以及即可計(jì)算出的值，最后得出結(jié)果?！驹斀狻恳?yàn)?，所?由正弦定理可知，即，解得，故選A?！军c(diǎn)睛】本題考查根據(jù)解三角形的相關(guān)公式計(jì)算的值，考查同角三角函數(shù)的相關(guān)公式，考查正弦定理的使用，是簡(jiǎn)單題。7、A【解析】

根據(jù)幾何概型直接進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】月牙形圖案的面積約為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

設(shè)的最大角為，最小角為，可得出，，由題意得出，由二倍角公式，利用正弦定理邊角互化思想以及余弦定理可得出關(guān)于的方程，求出的值，可得出的值.【詳解】設(shè)的最大角為，最小角為，可得出，，由題意得出，，所以，，即，即，將，代入得，解得，，，則，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解題時(shí)根據(jù)對(duì)稱思想設(shè)邊長(zhǎng)可簡(jiǎn)化計(jì)算，另外就是充分利用二倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng).9、B【解析】

要計(jì)算長(zhǎng)方體的外接球表面積就是要求出外接球的半徑，根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)角線是外接球的直徑這一性質(zhì)，就可以求出外接球的表面積，分類討論：（1）長(zhǎng)寬的兩個(gè)面重合；（2）長(zhǎng)高的兩個(gè)面重合；（3）高寬兩個(gè)面重合，分別計(jì)算出新長(zhǎng)方體的對(duì)角線，然后分別計(jì)算出外接球的表面積，最后通過(guò)比較即可求出最大值.【詳解】（1）當(dāng)長(zhǎng)寬的兩個(gè)面重合，新的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為5，寬為4，高為6，對(duì)角線長(zhǎng)為：，所以大長(zhǎng)方體的外接球表面積為；（2）當(dāng)長(zhǎng)高兩個(gè)面重合，新的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)5，寬為8，高為3，對(duì)角線長(zhǎng)為：，所以大長(zhǎng)方體的外接球表面積為；（3）當(dāng)寬高兩個(gè)面重合，新的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為10，寬為4，高為3，對(duì)角線長(zhǎng)為：，所以大長(zhǎng)方體的外接球表面積為，顯然大長(zhǎng)方體的外接球表面積的最大值為，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體外接球的半徑的求法，考查了分類討論思想，考查了球的表面積計(jì)算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.10、D【解析】

甲乙兩人至少有人選擇“禮”的對(duì)立事件是甲乙兩人都不選擇“禮”，求出后者的概率即可【詳解】由題意，甲和乙不選擇“禮”的概率是，且相互獨(dú)立所以甲乙兩人都不選擇“禮”的概率是所以甲乙兩人至少有人選擇“禮”的概率是故選：D【點(diǎn)睛】當(dāng)遇到“至多”“至少”型題目時(shí)，一般用間接法求會(huì)比較簡(jiǎn)單，即先求出此事件的對(duì)立事件的概率，然后即可得出原事件的概率.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1835028【解析】

分別分析中二元子集中較大元素分別為、、、時(shí)，對(duì)應(yīng)的二元子集中較小的元素，再利用題中的定義結(jié)合數(shù)列求和思想求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)二元子集較大的數(shù)為，則較小的數(shù)為；當(dāng)二元子集較大的數(shù)為，則較小的數(shù)為、；當(dāng)二元子集較大的數(shù)為，則較小的數(shù)為、、；當(dāng)二元子集較大的數(shù)為，則較小的數(shù)為、、、、.由題意可得，令，得，上式下式得，化簡(jiǎn)得，因此，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查新定義，同時(shí)也考查了數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵就是找出相應(yīng)的規(guī)律，列出代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.12、【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，由此可得答案.【詳解】依題意得，所以，即，因?yàn)椋曰?，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

根據(jù)兩角差的正切公式即可求解【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正切公式的用法，屬于基礎(chǔ)題14、②④【解析】

①中滿足題意的直線還有，②中根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn)，得到，③中根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，從而進(jìn)行判斷，④中根據(jù)基本不等式進(jìn)行判斷.【詳解】①中過(guò)點(diǎn)，在兩軸上的截距相等的直線還可以過(guò)原點(diǎn)，即兩軸上的截距都為，即直線，所以錯(cuò)誤；②中是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn)，，是一個(gè)不含常數(shù)項(xiàng)的二次式，從而得到，即，所以正確；③中在中，若，則可得，所以可得或，所以可得或，從而得到為直角三角形或等腰三角形，所以錯(cuò)誤；④中因?yàn)?，，且，由基本不等式，得到，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以，即的最大值是，所以正確.故答案為：②④【點(diǎn)睛】本題考查截距相等的直線的特點(diǎn)，等差數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn)，判斷三角形形狀，基本不等式求積的最大值，屬于中檔題.15、【解析】

由的值，可求出的值，再判斷角的范圍，可判斷出，進(jìn)而將平方，可求出答案.【詳解】由題意，，因?yàn)?，所以，即；又因?yàn)?，所以，即，而，由于，可知，所以，則，即.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，考查二倍角公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.16、【解析】

先利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可得，再結(jié)合正弦定理及余弦定理化簡(jiǎn)可得，然后求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，則，所以，即，所以，則，即，即即，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，重點(diǎn)考查了正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)2；(Ⅱ).【解析】試題分析：(Ⅰ)先由條件得到的坐標(biāo)，根據(jù)與垂直可得，整理得，從而得到．(Ⅱ)由得到，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為．試題解析：（Ⅰ）由條件可得，因?yàn)榕c垂直，所以，即，所以，所以.（Ⅱ）由得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最小值為.18、（1）；（2）.【解析】

(1)根據(jù)正弦定理把題設(shè)等式中的邊換成相應(yīng)角的正弦,化簡(jiǎn)整理可求得,進(jìn)而求得;(2)根據(jù)余弦定理得,結(jié)合求得的值,進(jìn)而由三角形的面積公式求得面積.【詳解】（1）根據(jù)正弦定理,又,．（2）由余弦定理得:,代入得,故面積為【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.19、（1）（2）【解析】

（1）由條件利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)所給的式子,即可求得答案;（2）由題意應(yīng)用誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值,可得的值,即可求得答案.【詳解】（1）（2）①又②解得:為第一象限角【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問(wèn)題,解題關(guān)鍵是熟練使用誘導(dǎo)公式和同名三角函數(shù)求值的解法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得公差，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；（2）求得，再用裂項(xiàng)相消法即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，可得，，由，，成等比數(shù)列，，解得或舍去），則；（2），∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)，考查數(shù)列的裂項(xiàng)相消法求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．21、(1)證明見(jiàn)解析；(2)，或，.【解析】

（1）設(shè)，.