浙江省五校聯(lián)盟2024屆高三年級(jí)下冊(cè)3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

浙江省五校聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.若全集U,集合48及其關(guān)系用韋恩圖表示如圖，則圖中陰影表示為()

U

A.,(/cB)B.C.D./口⑥為

【答案】C

【分析】

圖中陰影表示的集合的元素屬于集合8,但是不屬于集合4即可得出.

【詳解】圖中陰影表示的集合的元素屬于集合3,但是不屬于集合力,即為(dZ)cB.

故選：C

2.已知向量3=(1,2),向量B滿(mǎn)足由=2,^alb，則向量％_力與"的夾角的余弦值為

()

【答案】C

【分析】

由數(shù)量積運(yùn)算律、模的坐標(biāo)公式得(5-^)-5=5,|5|=V5,進(jìn)一步求得|/|=而K

的值，結(jié)合向量夾角公式即可求解.

【詳解】由題意，得向=盯,S.(a-b)-a=a2-a-b=5-0=5,

\a-b\=yj(a-Z?)2=yla-2a-b+b=<5-0+4=3>

設(shè)向量a—6與Q的夾角為。，則cose=y4--=-5=*.

\a-b\-\a\3x<53

故選：C.

3.設(shè)b,c表示兩條直線，表示兩個(gè)平面，則下列說(shuō)法中正確的是()

A.若bIla,cua,則Z?//cB.若b〃c,bua,則c//a

C.若a工B,cI/a,則c_L/?D.若c//a,c_L夕，則。_1￡

試卷第1頁(yè)，共20頁(yè)

【答案】D

【分析】

利用平行，垂直的相關(guān)性質(zhì)定理逐?判斷即可.

【詳解】對(duì)于A：若b〃a,cua,除非說(shuō)明反c共面，否則不能推出b//c,A錯(cuò)誤，

對(duì)于B：若bUc,bua,沒(méi)有說(shuō)明不能推出c//tz,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若C￡,c//a,則cuQ,clip,c,6都有可能，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：如圖，過(guò)直線c作一個(gè)平面與&交于直線6,由線面平行的性質(zhì)定理可得c//6,

又c，。，所以又6ua,得a，/7,D正確.

4.已知角a的終邊過(guò)點(diǎn)尸(T2cosa),貝ijcosa=()

A.—B.--C.+近D.--

22-22

【答案】B

【分析】

由已知可得出cosa＜0,利用三角函數(shù)的定義可得出關(guān)于cosa的方程，解之即可.

【詳解】

由三角函數(shù)的定義可得cosc=/_3＜。

V9+4cosa

整理可得(4cos，a+9卜os~a=9,BP4cos4a+9cos2a-9=0,

即(4(：0$%-3乂＜:(?%+3)=0,可得cos%],故cose=-等.

故選：B.

5.設(shè)等比數(shù)列｛叫的公比為/前"項(xiàng)和為A,,貝!|“q=2”是“阻+%｝為等比數(shù)歹廣的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】

應(yīng)用等比中項(xiàng)的性質(zhì)，由｛邑+%｝為等比數(shù)列，解出鄉(xiāng)值，即可判斷.

試卷第2頁(yè)，共20頁(yè)

【詳解】依題，“｛，+%｝為等比數(shù)列”，所以(邑+%『=9+%).(邑+%),

2

得(2%+a2)=2a「(2%+02+%)，化簡(jiǎn)得(2+?)2=2(2+q+q2),

解得q=2,則“q=2”是“｛S“+4｝為等比數(shù)列”的充要條件.

故選：C

6.已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x>3,且孫+2尤-3了=12,則工+了的最小值為()

A.1+2A/6B.8C.672D.1+28

【答案】A

【分析】

4口力*，,12-2%6,一十一…/八6,，+人行-日

由就思得了=---丁=-2d-------,進(jìn)一■步表示出x+y=(x-3)H------+1,結(jié)合基本不等

x-3x-3x-5

式即可求解.

【詳解】因?yàn)閤>3,且v+2x-3y=12,所以了==-2+工，

x-3x—3

從而x+y=x—2H------=(x-3)H----------\-1>2^/6+1,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)

x-3x-3

x=V6+3j=V6—2,

所以x+>的最小值為1+276.

故選：A.

22

7.已知雙曲線C：?！?1(?！?,6>0)的左右焦點(diǎn)分別為耳、鳥(niǎo)、4為雙曲線

ab

萬(wàn)

的左頂點(diǎn)，以公耳為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P、0兩點(diǎn)，且乙以0=年2，

【答案】C

【分析】先由題意，得到以月耳為直徑的圓的方程為1+r=’2,不妨設(shè)雙曲線的漸近

試卷第3頁(yè)，共20頁(yè)

線為>=，x,設(shè)9伍,九)，則。求出點(diǎn)P,0的坐標(biāo)，得出|“尸|,|40|,

根據(jù)=告27r，再利用余弦定理求出“，。之間的關(guān)系，即可得出雙曲線的離心率.

【詳解】由題意，以《心為直徑的圓的方程為，+j?=c2,不妨設(shè)雙曲線的漸近線為

b

y=-x.

a

設(shè)尸(演，九)，則。(—/，—%)，

b「(

y=—x\x=a\x=-a

由.。，解得人或「

f2=c2〔k。3二-6

P(a,b),Q[-a,-b).

又A為雙曲線的左頂點(diǎn)，則

\AP\=^a+ay+b2,J[一a-(-a)T+/=6,|尸°|=+。)?+僅+6)2=2c，

在△P/。中，ZPAQ=^~,由余弦定理得忸0「=|/呼+|/。2-2|/用/或05：萬(wàn)，

222

BP4c=(Q+Q)2+b+b+&+a)2+〃乃,

BP4c2=4/+2〃+J4〃2+〃山,

則26="/+〃，所以4/=(4/+〃)，貝IJ3〃=4“2，

即3卜2_Q2)=4Q2,所以

,cV21

??e=-二---?

a3

故選：c.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離

心率有以下幾種情況：①直接求出a,c,從而求出e；②構(gòu)造a,C的齊次式，求出e；③

采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來(lái)求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解.

8.在等邊三角形/8C的三邊上各取一點(diǎn)。，E,F,滿(mǎn)足OE=3,DF=2應(yīng),

ZDEF=90°,則三角形/8C的面積的最大值是()

A.7>/3B.13乖)C.y7V3D.—13V3

【答案】A

【分析】

首先求出E7"設(shè)NBED=9,在△8DE、4CE尸分別利用正弦定理表示出

試卷第4頁(yè)，共20頁(yè)

BE、CE,從而得到8c=3￡+C￡,利用三角恒等變換公式及輔助角公式求出BC的最

大值，即可求出三角形面積最大值.

【詳解】因?yàn)镈E=3,DF=2也,ZDEF=90°,所以EF7DF?-DE?，

設(shè)NBED=9,江。仁，

NC1710="

BE2=2百

BEDE

在△友）￡中由正弦定理'即sin

sinZBDEsin8

32

所以8E=2百sin-2兀-e\,

3

CE且-2

CEEF

在ACEF中由正弦定理,即sm伍兀+e

sinZCFEsinC

62

所以CE=2sin巳+6,

所以8c=BE+CE=2氐in~，~~夕］+2sine

竺

cos<9-cosin<9|+2|sin—兀coscZJ/+cos-兀si.n8A

3JI66

=2A/3sin9+4cos6=2"sin（9+cp）（其中tan/=）

所以8.x=2將，

則S:=3BC2sin：=^-BC2<與（2后\=76

即三角形/3C的面積的最大值是7AA.

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是用含。的式子表示出BE、CE,再利用三角恒等變換

公式及輔助角公式求出8cB1ax.

二、多選題

9.在學(xué)校組織的《青春如火，初心如炬》主題演講比賽中，有8位評(píng)委對(duì)每位選手進(jìn)

行評(píng)分（評(píng)分互不相同），將選手的得分去掉一個(gè)最低評(píng)分和一個(gè)最高評(píng)分，則下列說(shuō)

試卷第5頁(yè)，共20頁(yè)

法中正確的是()

A.剩下評(píng)分的平均值變大B.剩下評(píng)分的極差變小

C.剩下評(píng)分的方差變小D.剩下評(píng)分的中位數(shù)變大

【答案】BC

【分析】去掉一個(gè)最低評(píng)分和一個(gè)最高評(píng)分平均分變換未知，根據(jù)極差概念知極差變小,

根據(jù)方差意義知方差也變小，根據(jù)中位數(shù)概念知中位數(shù)未變.

【詳解】去掉一個(gè)最低評(píng)分和一個(gè)最高分后剩下評(píng)分的平均值有可能變小、不變或變大,

A錯(cuò)誤；

剩下評(píng)分的極差一定會(huì)變小，B正確；

剩下評(píng)分的波動(dòng)性變小，則方差變小，C正確；

剩下評(píng)分的中位數(shù)不變，D錯(cuò)誤.

故選：BC

10.在三棱錐/-BCD中，已知4B=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點(diǎn)、M,N分別是

AD,3C的中點(diǎn)，則()

A.MN1AD

7

B.異面直線NN,CM所成的角的余弦值是g

O

C.三棱錐力-BCD的體積為生自

3

D.三棱錐/-BCD的外接球的表面積為1E

【答案】ABD

【分析】

將三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，向量法求直線的夾角判斷A,B；利用體積公式求三棱錐的體

積判斷C；確定三棱錐的外接球的半徑，求表面積判斷D.

【詳解】三棱錐/-BCD中，已知AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,

三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體/HOG-bCEB,如圖所示，

試卷第6頁(yè)，共20頁(yè)

BF2+BG2=AB2=9

則有，BF2+BE2=BC2=4,解得BF=BE=4^,BG=4i,

BG~+BE2=BD2=9

以5為原點(diǎn)，而，礪，數(shù)的方向?yàn)閤軸，》軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系,

點(diǎn)、M,N分別是3C的中點(diǎn)，

則有5(0,0,0),C(V2,V2,0),^(^2,0,^7)，從0―2月,

MT亍五,N三亍。，

\7\7

TW=(O,O,-近)，/。=卜亞,后,0),疝.25=0,

所以MN上AD,A選項(xiàng)正確；

而=,變變近]堿=[_叵叵捫、

2222

y/2（亞）sjl字+卜療卜近

ANCM2I2）2-J_

cosAN,CM=

司.］可fl-8~

7

所以異面直線ZN,CM所成的角的余弦值是三，B選項(xiàng)正確；

O

三棱錐三棱錐G-4BD,三棱錐尸-N3C,三棱錐〃-/CD,體積都為

—X—xV2xV2x近=，

323

三棱錐力-5C。的體積等于長(zhǎng)方體體積減去這四個(gè)三棱錐體積，為

V2x^2x>/7—4x^^-=———,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

33

長(zhǎng)方體的外接球的半徑為1(亞)+(逝)+(0).而,這個(gè)外接球也是三棱錐

22

/-BCD的外接球，

其表面積為4無(wú)義[^^]=1171,D選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

11.已知函數(shù)/(%)=e“?(sinx+cosx),則()

試卷第7頁(yè)，共20頁(yè)

jr

A./W的零點(diǎn)為x=E7,左￡Z

4

jr

B.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2fai+—,2A；7i+—，左EZ

C.當(dāng)xjo,』時(shí)，若區(qū)恒成立，貝!

D.當(dāng)xe-12|②，”等時(shí)，過(guò)點(diǎn)]一,01作/(x)的圖象的所有切線，則所有切

點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為502兀

【答案】ACD

【分析】

由輔助角公式變換后求正弦函數(shù)的零點(diǎn)可得A選項(xiàng)；由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出正弦函

數(shù)的遞增區(qū)間可得B選項(xiàng)；分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，求最小值可得C選項(xiàng)；設(shè)出切

點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程，再代入(qLoj可

得tanx。=，得至1J如%都關(guān)于點(diǎn)g。＞寸稱(chēng)，再利用對(duì)稱(chēng)性求出給定區(qū)間內(nèi)的

切點(diǎn)之和可得D選項(xiàng).

【詳解】A：/(x)=ev-(sinx+cosx)=/e*sin\x+乙],所以》+巴=勸1=＞尤=航-巴，后eZ,

[4J44

故A正確；

TTTTTT

B：由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)-一+2?Wx+—W2E+—,左cZ,函數(shù)為遞增函數(shù),

242

3兀

解得一二兀+左EZ,故B錯(cuò)誤；

44

C：若履恒成立，所以應(yīng)e*sin[x+：bfoc,

因?yàn)楣ぁ辍?9，當(dāng)x=0時(shí)，J^sin；20,此時(shí)左取任意值，

L2」4

當(dāng)xwO時(shí)，設(shè)(、鳳SiV+4-則

g(x)=------

畫(huà)出中括號(hào)內(nèi)的函數(shù)圖像

試卷第8頁(yè)，共20頁(yè)

所以g（x）mm=g仁〕=2-，故左v2小，故C正確；（老師，請(qǐng)聯(lián)系我一下，謝謝）

J兀兀

D：因?yàn)?'（x）=2e*cosx,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x（）,e而（sinx。+cosx。）），

則切線的斜率為/（%）=2寸cos%,則切線方程為

xx

y-e°(sinx0+cosx0)=2e°cosx0x(x-x0),

Tx

代入點(diǎn)（°j可得°-e°（sinx0+cosx0）=2e°cosx0xx0j,

兩邊同時(shí)除以cos/可得tanx。

令乂=tanx,%=2（x-]],所以”?都關(guān)于點(diǎn)g。卜寸稱(chēng)，

則所有的切點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，

1O357t

當(dāng)xe_|ZE5122時(shí)共有502對(duì)切點(diǎn)，每對(duì)和為兀，故所有切點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為

502K,故D正確；

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

（1）復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)即為使函數(shù)等于零時(shí)方程的根；

（2）帶參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題求參數(shù)范圍時(shí)，可分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，求

出函數(shù)的最值與參數(shù)比較即可；

（3）對(duì)于求曲線的切線方程時(shí)可求導(dǎo)后代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)求其斜率，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直

線方程，再根據(jù)點(diǎn)在切線上代入切線方程得出具體的切線方程.

試卷第9頁(yè)，共20頁(yè)

三、填空題

12.直線3無(wú)-4y+3=0的一個(gè)方向向量是.

【答案】(答案不唯一)

【分析】

由直線方向向量的定義求解.

3

【詳解】因?yàn)橹本€%-4》+3=0的斜率為所以直線3x-4y+3=0的一個(gè)方向向量

故答案為：(1。(答案不唯一)

13.甲、乙兩人爭(zhēng)奪一場(chǎng)羽毛球比賽的冠軍，比賽為“三局兩勝”制.如果每局比賽中甲獲

21

勝的概率為乙獲勝的概率為則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率

為.

2

【答案】1/0.4

【分析】

利用獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲獲得冠軍的概率、甲獲得冠軍且比賽

進(jìn)行了3局的概率，再由條件概率公式求甲獲得冠軍的情況下比賽進(jìn)行了三局的概率.

【詳解】設(shè)甲獲得冠軍為事件4比賽共進(jìn)行了3局為事件2,

則AB表示在甲獲得冠軍的條件下，比賽共進(jìn)行了3局,

2221212220

//)=—X—+—X—X—+—X—X—

3333333327

2121228

P(AB)=—x—x—+—X—X—

33333327

8

所以外為')=黑?=2

205

27

2

故答案為：—.

14.已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的定義域均為R,記g(x)=/'(x),若

3

/(2x-l),g(x-2)均為偶函數(shù),且當(dāng)一口,2］時(shí),f(x)=mx-2x,則

g(2024)=.

【答案】-6

【分析】

試卷第10頁(yè)，共20頁(yè)

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性以及對(duì)稱(chēng)性可分別推出函數(shù)“X)與g(x)的周期性，再由條

件可得用的值，結(jié)合函數(shù)的周期性即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榻?#T),g(x-2)均為偶函數(shù),

所以/(2'-1)=/(一2x-l),g(x-2)=g(-x-2),

所以函數(shù)/(尤)關(guān)于x=-l對(duì)稱(chēng)，函數(shù)g(x)關(guān)于》=-2對(duì)稱(chēng)，

由g(x_2)=g32)可得小-2)=八*2),

即J(x-2)=-J(?2)+C,C為常數(shù)，

所以/'(x-2)+/㈠-2)=C,即/(x)關(guān)于點(diǎn)［-2,對(duì)稱(chēng)，

且函數(shù)f(x)關(guān)于尤=-1對(duì)稱(chēng)，

所以/'(r-2)=/(x),/(x-2)+/(x)=CJ(x-4)+/(x-2)=C,故/'(x-4)=/(x),

即4是函數(shù)無(wú))的一個(gè)周期，

由/(2x-1)=/(-2x-1)可得2/(2x-1)=-2/(-2x-1),

所以((21)+((-21)=0,即g(2x-l)+g(-21)=0,

所以g卜)關(guān)于點(diǎn)(T0)對(duì)稱(chēng)，且函數(shù)g(x)關(guān)于x=-2對(duì)稱(chēng)，

則g(-x-2)=-g(x),g(-x-2)=g(x-2),g(x)=-g(x-2}g(x-2)=-g(x-4),

故g(x)=g(x-4),所以4是函數(shù)g(x)的一個(gè)周期,

又當(dāng)xe［l,2］時(shí),f(x)=mx2-2x,所以g(x)=f'(x)=3加/一2,

所以g(l)=3加一2,g(2)=12及一2,

由g(x—2)=g(-x_2),令x=-3,則g(l)=g(-5)=g(3),

而g(-l)=g(3)=g⑴=0,

所以機(jī)=：,則g⑵=6,所以g⑵+g(-4)=0,

則g(2024)=g(-4)=-6.

故答案為：-6

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱(chēng)性以及周期性的綜合，難度

較大，解答本題的關(guān)鍵在于由函數(shù)奇偶性的定義推導(dǎo)得到函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，從而確定周期.

試卷第11頁(yè)，共20頁(yè)

四、解答題

15.如圖，斜三棱柱NBC-44cl的底面是直角三角形，N/C8=90°,點(diǎn)片在底面4BC

內(nèi)的射影恰好是3c的中點(diǎn)，且3C=C4=2.

⑴求證:平面/CG4，平面4GC2；

⑵若斜棱柱的高為百，求平面ABB,與平面4BG夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

【分析】（1）3C中點(diǎn)為“，連接片/，由瓦M(jìn)，NC且/C/8C,證得ZC，平面BGCB,

可證平面/CG4，平面片GC2.

（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，向量法求兩個(gè)平面夾角的余弦值.

【詳解】（1）取3C中點(diǎn)為連接片

耳在底面內(nèi)的射影恰好是8c中點(diǎn)，，B[M1平面ABC,

又?.,/（?<=平面ABC,:.B{MLAC,

又：N4CB=90°,：.ACIBC,

又?.?ACu平面ACCXAX,平面ACCXAX，平面BgCB.

（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4cB分別為x軸，y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

BC=CA=2,斜棱柱的高為月,

試卷第12頁(yè)，共20頁(yè)

A(2,0,0),B(0,2,0),A/(0,1,0),5,(0,1,V3),Q(0,-1,73),

函=(-2,1，我，在=(一2,2,0),元=(0-2,0),

設(shè)平面/Bq的一個(gè)法向量為萬(wàn)=(xj,z),

n-AB,—-2x+y+\/3z-0-,廣

則有《—.，z=-^3<則x=y=3,n=(3,3,V3)>

萬(wàn)?/8=-2x+2y=0

設(shè)平面/31G的法向量為而=3,4c),

m-ABl--2a+b+gc=0

則有，令.=百，則6=0了=2,.1而=(6,0,2),

麗?跖=一力=0

I-TM同5百5

同|同,9+9+3x-3+0+47

所以平面4BB］與平面/B￡夾角的余弦值為.

16.己知函數(shù)/(x)=lnx-ax,其中aeR.

⑴若曲線V=〃x)在》=1處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值；

⑵是否存在實(shí)數(shù)。，使得/(x)在xe(O,e］上的最大值是一3?若存在，求出。的值;若不存

在，說(shuō)明理由.

【答案】(1)。=2；

(2)存在，a=e2

【分析】

(1)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即可求出參數(shù)值.

(2)含參分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到最大值，分別求解即可得到

參數(shù)值.

【詳解】(1)則/'(1)=1一。,/(1)=一。，

X

故曲線歹=/(、)在X=1處的切線為y+〃=(—〃)(。一1),

即歹=(1-a)x-1,

當(dāng)。=1時(shí)，此時(shí)切線為》=-1,不符合要求

當(dāng)awl時(shí)，令x=0,有y=T,

令V=。，有X=------，故----=-1,即4=2,故4=2

1-a1—a

(2)v/(x)=lnx-ax,：.f(x)=--a=-——,

XX

①當(dāng)a40時(shí)，在(o,e］上單調(diào)遞增，

試卷第13頁(yè)，共20頁(yè)

4

??./(%)的最大值是八。)=1—前二—3,解得。=2>0,舍去；

e

②當(dāng)Q〉0時(shí)，由/(%)=4一4=^—―=0,得'=’,

xxa

當(dāng)0<』<e,即4>工時(shí)，.時(shí)，/(x)>0;x￡(，,e］時(shí)，/(x)<0,

ae<a)\a)

???/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(o,：),單調(diào)遞減區(qū)間是1%j,

2

又/(x)在(0,e］上的最大值為-3,/./?ax=f^=-\-\na=-3,/.^=e；

當(dāng)eV!，即0<。《工時(shí)，/⑴在。e］上單調(diào)遞增，.?./(工濡*=/(e)=l—〃e=—3,

ae

41

解得。=—>_L,舍去.

ee

綜上所述，存在。符合題意，此時(shí)〃=e2

17.記復(fù)數(shù)的一個(gè)構(gòu)造:從數(shù)集｛0,1,6｝中隨機(jī)取出2個(gè)不同的數(shù)作為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.

重復(fù)〃次這樣的構(gòu)造，可得到〃個(gè)復(fù)數(shù)，將它們的乘積記為z”.已知復(fù)數(shù)具有運(yùn)算性

質(zhì):|(a+Z?i).(c+di)|=|(Q+6i)H(c+di)|,其中q也c,d￡R.

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，記㈤的取值為X,求X的分布列；

⑵當(dāng)〃=3時(shí)，求滿(mǎn)足㈤42的概率；

⑶求匕“|<5的概率夕.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；

⑵二；

''27

⑶網(wǎng))<5)=宇?

【分析】

(1)依題意可得構(gòu)成的復(fù)數(shù)共有6個(gè)，再根據(jù)模長(zhǎng)不同求得取值X,再求出對(duì)應(yīng)概率

即可；

(2)由模長(zhǎng)求出1231V2的所有可能組合，即可求出對(duì)應(yīng)概率；

(3)列舉出所有滿(mǎn)足"|<5的組合，分別求出對(duì)應(yīng)的概率即可得尸(上|<5)=臂t

【詳解】(1)由題意可知，可構(gòu)成的復(fù)數(shù)為｛4,抬'，6,1+匈,6+”共6個(gè)復(fù)數(shù)，

模長(zhǎng)為|1|=|i|=L網(wǎng)=悔卜泡|+&卜+i|=2.

試卷第14頁(yè)，共20頁(yè)

X的可能取值為1,75,2,3,275,4,

C1C11C1C12

尸（X=1）=士尸（X=8r-事+Q（X=2）=CC=2_

CC9CC9C〉C79—

尸（X=3）=fC1^C1J1，尸（釬2a/-=叫C1-C1<2，尸〃=4）=旌C1C1

9*

（2）共有C[C/C；=216種,

滿(mǎn)足㈤V2的情況有:

①3個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)均為1,共有C；.C；.C；=8種;

②3個(gè)復(fù)數(shù)中，2個(gè)模長(zhǎng)均為1,1個(gè)模長(zhǎng)為名或者2,共有C>C；.C；.C；=48種;

所以呻口)=黑$

(3)當(dāng)〃=1或2時(shí)，顯然都滿(mǎn)足，止匕時(shí)[=1;

當(dāng)心3時(shí)，滿(mǎn)足上|<5共有三種情況:

①〃個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)均為1，則共有(C；)"=2";

②n-l個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為1,剩余1個(gè)模長(zhǎng)為省或者2,則共有CL(C；rC=".2M;

③〃-2個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為1,剩余2個(gè)模長(zhǎng)為百或者2,則共有

C；［2.??=”（"1）.2加.

2"+〃2+i+"（〃一1）2+12"（1+2叫1+2/

故尸(㈤<5)=此時(shí)當(dāng)〃=1,2均成立.

6"3"

所以網(wǎng)z[<5)="匚

18.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，我們把點(diǎn)(x,y),x/eN*稱(chēng)為自然點(diǎn).按如圖所示的規(guī)則,

將每個(gè)自然點(diǎn)(")進(jìn)行賦值記為尸(x,y),例如P(2,3)=8,尸(4,2)=14,尸(2,5)=17.

試卷第15頁(yè)，共20頁(yè)

y/k

7

6ii：.

@-?-@,,?,,

4(7)-@-@-@??1?

3

⑥-⑥⑥&eg+

A

01234567X

(1)求尸am；

(2)求證:2P(x,y)=P(xTj)+尸(xj+1);

(3)如果尸(%/)滿(mǎn)足方程P(x+1/T)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+1/+1)=2024,求

尸(xj)的值.

【答案】⑴尸(x,i)=笥D

(2)證明見(jiàn)解析

(3)474.

【分析】

(1)根據(jù)圖形即可得到結(jié)果;

(2)根據(jù)題意，由圖形分別計(jì)算尸(羽月與尸(羽3；+1)+次》-1,?),然后代入計(jì)算，即可

證明;

(3)根據(jù)題意，將方程轉(zhuǎn)化為尸(尤/+1)+3尸(x+1/)=2023,然后化簡(jiǎn)，分別計(jì)算

x+y=31與x+y=33的值，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)根據(jù)圖形可知尸(x,l)=l+2+3+…+x=*D.

(2)固定x,則P(xj)為一個(gè)高階等差數(shù)列，且滿(mǎn)足

?(％,J+1)—/(％,j)=x+J—1,P(x+1,y)-P(x,y)=x+y,

所以P(x,y+1)-P(x,l)=1+2H—+y+y(x-1)=D+y(x-1)

n/1、V(V+1)/八x(x+l)

P(x,y+V)=---------+y(x-l)+---,

所以尸(x,y)=+(x-l)(y-I),

其言+必尸+*-2)(了一1),所以

P(x-l,y)=

尸(x,y+l)+尸(X-1))=^^+^^+(X-2)3-1)+^^Q+MX-1)+^^

=%2+)2+2xy_3j;-%+2=2P(x,y).

試卷第16頁(yè)，共20頁(yè)

(3).+Ly-1)+P(%,y+1)+Ax+1,力+R.+Ly+)=2024

等價(jià)于P(x,>)+P(O+1)+尸(x+1,>)+P(x+1)+1)=2023,

等價(jià)于P(x,y+1)+3P(x+1j)=2023,

13

即-[x(x+l)+y(^+2x-l)]+-[(x+l)(x+2)+(>—1)(>+2x)]=2023,

化簡(jiǎn)得/+2xy+x2-y+x=1010?(x+y-l)(x+y)+2x=1010,

由于x+y增大，(x+y—l)(x+y)也增大，

當(dāng)x+y=31時(shí)，(x+y-1)(1+y)+2x<992<1010,

當(dāng)x+y=33時(shí)，(x+y-l)(x+))+2x〉1056>1010,

故當(dāng)x+y=32時(shí)，(x+y—l)(x+y)+2x=1010=x=9,y=23,即

尸(9,23)=+8x22=474

22

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)列的新定義問(wèn)題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在

于理解圖形的意思，然后轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行解答.

19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)尸(1,0)的直線/與拋物線C:j?=4x交于M,N兩

點(diǎn)(“在第一象限).

⑴當(dāng)|"F|=3|而|時(shí)，求直線/的方程；

⑵若三角形。的外接圓與曲線。交于點(diǎn)。(異于點(diǎn)O,M,N),

(i)證明:△ACVD的重心的縱坐標(biāo)為定值，并求出此定值；

(ii)求凸四邊形。的面積的取值范圍.

【答案】⑴尸氐

(2)(i)證明見(jiàn)解析；縱坐標(biāo)為0；(ii)

I2J

【分析】

(1)設(shè)直線九W的方程為x=%+l,聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理和已知關(guān)系即可求解.

(2)(i)由O,M,D,N四點(diǎn)共圓，設(shè)該圓的方程為/+/+公+”=0,

聯(lián)立尸J：+dx+ey=0消去》，得/+(澳+⑹/+3=0,由方程根的思想即可

[y=4x

求解.或。，M,C,N四點(diǎn)共圓，由NMON+NMDN=兀，tanAMON+tanZMDN=0,

也可求解.

(2)(ii)記AaWAACVD的面積分別為H.S2,分別聯(lián)立方程先求出用,S2,所以

試卷第17頁(yè)，共20頁(yè)

22

S=岳+星=2加+1+2dm2+1.|8m-i|=2，？+1(1+|8m-i|),結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系

進(jìn)一步化簡(jiǎn)為S=2q+1(1+|8W2-1|)=16m2^m2+l,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)而求解.

【詳解】(1)解:設(shè)直線MV:x=my+l,M(X],必),"(和％)

[x=my+\c

聯(lián)立《2A，消去x,得4叼-4=0,

[＞一=4x

所以必+%=4九乂⑴=-4,

|MF|=3|NF|,則乂=-3%

乂+%=-2%=4〃11/O

則〃/=一,又由題意機(jī)＞0,；.7H=——)

yi-y2=_3%2=-433

直線的方程是了=瓜-省;

(2)(1)方法1：設(shè)M(X1,必),、卜2，%),。(七,%)

因