廣西梧州市賀州市2023-2024學(xué)年高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)卷數(shù)學(xué)試卷含解析

廣西梧州市賀州市2023-2024學(xué)年高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為1的正方形，則該幾何體中最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)

為（）.

A.V2B.73C.1D.卡

2.若復(fù)數(shù)z=f-（i為虛數(shù)單位），則三=（）

2-z

A.2+zB.2-zC.l+2zD.l-2z

3.“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢

達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28,進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)完全數(shù)”分別為496,8128,

33550336,現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6和28不在同一組的概率為（）

0,b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F[,F”點(diǎn)E（O,r）（r>0）.已知?jiǎng)狱c(diǎn)p在雙曲線C的右支

上，且點(diǎn)P,E，6不共線.若APE月的周長(zhǎng)的最小值為4〃，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是（）

22

6.已知雙曲線1-與=1（。>0,6>0）的左焦點(diǎn)為尸，直線/經(jīng)過點(diǎn)R且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線/與雙曲線

ab

的左支交于不同的兩點(diǎn)A,B,若AF=2FB，則該雙曲線的離心率為（）.

AMc

RV6DC

323.

7.如圖所示，為了測(cè)量A、5兩座島嶼間的距離，小船從初始位置C出發(fā)，已知A在C的北偏西45。的方向上，B在

C的北偏東15°的方向上，現(xiàn)在船往東開2百海里到達(dá)￡處，此時(shí)測(cè)得3在E的北偏西30°的方向上，再開回。處，

由C向西開2前百海里到達(dá)。處，測(cè)得4在。的北偏東22.5。的方向上，則4、3兩座島嶼間的距離為（）

2「

8.在AABC中，C=30°,cosA=——,AC=V15-2,則AC邊上的高為（）

3

A.也B.2C.75D.

22

9.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

俯視圖

2^/3

A.2A/3B.473

亍

x

10.已知集合人="|大《。,。€尺｝,B=｛x|2<16｝,若AB,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.0B.RC.(ro,4]D.(-00,4)

11.已知函數(shù)〃x)=ln%-@+a在xe[l,e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

X

A.-------1B.------------,1|C.--------，-1]D.[-1,e)

1-e1-e)1-eJ

12.已知三棱錐D-ABC的外接球半徑為2,且球心為線段8C的中點(diǎn)，則三棱錐D-ABC的體積的最大值為()

24816

A.—B.—C.—D.—

3333

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知點(diǎn)4(0,-1)是拋物線/=2刀的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，尸為拋物線的焦點(diǎn)，尸為拋物線上的點(diǎn)，且|尸耳=7T創(chuàng)，若

雙曲線C中心在原點(diǎn)，戶是它的一個(gè)焦點(diǎn)，且過尸點(diǎn)，當(dāng)m取最小值時(shí)，雙曲線C的離心率為.

14.在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，BD=xBA,CE=yCA,x>0,y>0,x+2y=l,則的取值范圍為.

15.設(shè)P(x,y)為橢圓工+反=1在第一象限上的點(diǎn)，則+4的最小值為______.

16124-x6-y

16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A-3,0),B(-l,-2),若圓(x—2了+/=/&〉0)上有且僅有一對(duì)點(diǎn)服刀,

使得AM45的面積是A2WLB的面積的2倍，則廠的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S,,且%=2,'=54.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

18.(12分)已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列｛4｝的前4項(xiàng)和為$4=14,且%例,%成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列」一］的前“項(xiàng)和北.

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，直線丁=履+1(左wO)與拋物線C：/=40；(。>0)交于4,B兩點(diǎn),且

當(dāng)左=1時(shí)，|AB|=8.

(1)求。的值；

(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為"，拋物線C在點(diǎn)4處的切線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N,證明：腦V//y軸.

20.(12分)語音交互是人工智能的方向之一，現(xiàn)在市場(chǎng)上流行多種可實(shí)現(xiàn)語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司

的“小愛同學(xué)，，智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈，，智能音箱，它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了

了解不同智能音箱與其購(gòu)買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度，從某地區(qū)隨機(jī)抽取了100名購(gòu)買“小愛同學(xué)”和100名購(gòu)買“天貓精

靈”的人，具體數(shù)據(jù)如下：

“小愛同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計(jì)

男4560105

女554095

合計(jì)100100200

(1)若該地區(qū)共有13000人購(gòu)買了“小愛同學(xué)”，有12000人購(gòu)買了“天貓精靈”，試估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性

比購(gòu)買“天貓精靈”的女性多多少人？

(2)根據(jù)列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)？

附：片:_______<ad-bcf______

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P[K2>k]0.100.050.0250.010.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

%=1+——t

21.(12分)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為。=4cos6>,直線/的參數(shù)方程為2(7為參數(shù)).

y=-t

I2

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線/的普通方程；

(2)已知點(diǎn)直線/與曲線。交于4、B兩點(diǎn),求n〃A|-|M?].

22.(10分)已知函數(shù)十)=j-:必有兩個(gè)極值點(diǎn)再，x2.

(1)求實(shí)數(shù)上的取值范圍；

(2)證明：+

x1x2

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1,B

【解析】

首先由三視圖還原幾何體，進(jìn)一步求出幾何體的棱長(zhǎng).

【詳解】

解：根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示，

所以，該四棱錐體的最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為/=JF+F+F=&.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查由三視圖還原幾何體，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算z,由共朝復(fù)數(shù)的概念寫出丁

【詳解】

55(2+010+5/..

z=-----=----------------=---------=2+z.

2-i(2-0(2+05，

■-z=2-i,

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法計(jì)算，共朝復(fù)數(shù)的概念，屬于容易題.

3、C

【解析】

先求出五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)的基本事件總數(shù)為C；=10,再求出6和28恰好在同一組

包含的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.

【詳解】

解：根據(jù)題意，將五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，

則基本事件總數(shù)為C；=10,

則6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)=4,

10-43

6和28不在同一組的概率P=飛一=-.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型的概率的求法，涉及實(shí)際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.

4、C

【解析】

判斷函數(shù)的性質(zhì)，和特殊值的正負(fù)，以及值域，逐一排除選項(xiàng).

【詳解】

/(—￡)=—/(￡)，，函數(shù)是奇函數(shù)，排除。，

時(shí)，/(x)>0,xe仁/J時(shí)，/(x)<0,排除3,

/\1([[乃、

當(dāng)時(shí)，sin2xe(0,l),—e—,—u(0,l)

.”"。弓|時(shí)，/(X)G(O,1),排除A,

。符合條件，故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，屬于基礎(chǔ)題型，一般根據(jù)選項(xiàng)判斷函數(shù)的奇偶性，零點(diǎn)，特殊值的正負(fù),

以及單調(diào)性，極值點(diǎn)等排除選項(xiàng).

5、A

【解析】

依題意可得C"EF2=PE+PF2+EF2=PE+PF2+EF[>2PFX-2a=4b

即可得到2a+4Z?>2(a+c),從而求出雙曲線的離心率的取值范圍；

【詳解】

解：依題意可得如下圖象，CAPEF2=PE+PF2+EF2=PE+PF7+EF1

=PE+PFI+EF「2a

N2PFr2a=4b

:.2PF[=2a+4b>2(。+c)

所以2Z?>c

貝！14c2-4a2>c2

所以3c2>4/

r24

所以e?=—

a23

所以e>手，即eej￥，+co

故選：A

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

6,A

【解析】

b

直線/的方程為戈=—y-c,令4=1和雙曲線方程聯(lián)立，再由A尸=2EB得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行求解即可.

a

【詳解】

b

由題意可知直線I的方程為x=2y-c,不妨設(shè)a=l.

a

則且）2/-I

2

將％=力—c代入雙曲線方程必_方=1中，得到僅4_1）/_2b3cy+M=0

設(shè)A（x,,yJ,3（孫為）

4

則i263c=匕A

0—10—1

2b3c

一%==

由A尸=2/8，可得力=-2%，故｛4

屋工

貝!18必。2=1一解得/=1

3

所以雙曲線離心率e=§=典

a3

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題考查雙曲線和直線相交問題，聯(lián)立直線和雙曲線方程得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系和已知條件即可求解，屬于一般性題目.

7、B

【解析】

先根據(jù)角度分析出NCBE,ZACB,NDAC的大小，然后根據(jù)角度關(guān)系得到AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)正弦定理計(jì)算出的

長(zhǎng)度，最后利用余弦定理求解出AB的長(zhǎng)度即可.

【詳解】

由題意可知：ZACB=60°,ZADC=67.5°,ZACD=45°,ZBCE=75°,ZBEC=60°,

所以ZCBE=180?！?5。—60。=45。，ZDAC=180°—67.5。—45°=67.5°,

所以=所以C4=CD=2C，

又因?yàn)?B[Cf所以BC=2。2=網(wǎng),

sinZBECsinZCBE2

所以A5=VAC2+BC2-2AC-BC-cosZACB=124+6—2x2&x&x；=3右.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查解三角形中的角度問題，難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問題的關(guān)鍵.

8、C

【解析】

結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，求得邊長(zhǎng)，由此求得AC邊上的高.

【詳解】

過3作交C4的延長(zhǎng)線于。.由于cosA=—所以A為鈍角，且sinF=Jl—cos?A=岑,所以

sinZCBA=sin(—ZCBA)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=—x—=~-.在三角形

,BCV15-2

ABC中，由正弦定理得——=——，即行一而_2,所以3c=2班.在處ABCD中有

sinAsmB-------

36

BD=BCsinC=20^=#，即AC邊上的高為火.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，屬于中檔題.

9、A

【解析】

根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.

【詳解】

由三視圖可知幾何體為直三棱柱，直觀圖如圖所示：

FE

廠"1

冰..B

L_______I

DC

其中，底面為直角三角形，AD=2,AE=0，高為AB=2.

,該幾何體的體積為V=Lx2x百x2=2石

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖及棱柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】

先化簡(jiǎn)3=卜|2,<16}={x|尤<4},再根據(jù)人={%|》40,。€尺},且A3求解.

【詳解】

因?yàn)?={x［2*<16}={x|尤<4},

又因?yàn)锳={x|xWa,awR},且AB,

所以。<4.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

11、C

【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)a分類討論，分別求得函數(shù)/(力的單調(diào)性及極值，結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.

【詳解】

???/(力=：+1=簽，%e［l,e］.

當(dāng)1時(shí)，f(x)>0,在［l,e］上單調(diào)遞增，不合題意.

當(dāng)aK—e時(shí)，/(%)<0,/(力在［l,e］上單調(diào)遞減，也不合題意.

當(dāng)—e<a<—1時(shí)，貝！a)時(shí)，/'(九)<0,/(尤)在［1,—。)上單調(diào)遞減，xe(—a,e］時(shí)，f(x)>0,/(%)在

(―a,e］上單調(diào)遞增，又/⑴=0,所以〃尤)在xe［l,e］上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需/,)=1一2+/0即可，解得

e

-----Va<-1?

1-e

綜上，。的取值范圍是IF，-

Ll-e)

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題，屬于中檔題.

12、C

【解析】

由題可推斷出ABC和-8CD都是直角三角形，設(shè)球心為。，要使三棱錐D-ABC的體積最大，則需滿足/i=O￡),

結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解

【詳解】

先畫出圖形，由球心到各點(diǎn)距離相等可得，OA^OB^OC,故ABC是直角三角形，設(shè)AB=x,AC=y,則有

x2+y2^42>2xy,又5小點(diǎn)=。孫，所以=g孫《4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2?時(shí)，S^BC取最大值%要使三

11Q

棱錐體積最大，則需使高/?=8=2,此時(shí)匕4一0=35.°/=§X4*2=3，

【點(diǎn)睛】

本題考查由三棱錐外接球半徑，半徑與球心位置求解錐體體積最值問題，屬于基礎(chǔ)題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、5/2+1

【解析】

由點(diǎn)A坐標(biāo)可確定拋物線方程，由此得到歹坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,根據(jù)拋物線定義可得

黑=根，可知當(dāng)直線E4與拋物線相切時(shí)，機(jī)取得最小值；利用拋物線切線的求解方法可求得尸點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙

\PA\

曲線定義得到實(shí)軸長(zhǎng)，結(jié)合焦距可求得所求的離心率.

【詳解】

4(0,1)是拋物線爐=2夕>準(zhǔn)線上的一點(diǎn)：.p=2

二拋物線方程為V=4y.-.F(0,l),準(zhǔn)線方程為y=-l

過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,則|PN|=|P司

設(shè)直線PA的傾斜角為a,貝！jsincr=m

當(dāng)機(jī)取得最小值時(shí)，sina最小，此時(shí)直線K4與拋物線相切

設(shè)直線9的方程為y=Ax-l,代入必=4〉得：/一4履+4=。

.?.△=16工-16=0,解得：k=+\或（一2,1）

二雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為|PAHPH=2（、歷一1），焦距為H耳=2

???雙曲線的離心率e=2（g_]）=3+1

故答案為：V2+1

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線離心率的求解問題，涉及到拋物線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用、雙曲線定義的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠確定當(dāng)機(jī)

取得最小值時(shí)，直線E4與拋物線相切，進(jìn)而根據(jù)拋物線切線方程的求解方法求得P點(diǎn)坐標(biāo).

/c3，

14、（-2,-—]

【解析】

建立直角坐標(biāo)系，依題意可求得孫+2x+2y—4,而x>0,y>0,x+y=l,故可得y=l-x,且

xe（0,l）,由此構(gòu)造函數(shù)/（x）=—2必+2%—2,0<x<l,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得取值范圍.

【詳解】

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A(—1,O),3(1,0),C(0,我,設(shè)。(%,0),E(X2,%),

根據(jù)3D=xR4，即&T,0)=x(-2,0),貝！|為=1一2%,

CE=yCA)即(9，%—"s/3)=y(—1，—A/3)>貝。x?=—V，%=—+A/3,

所以CD?BE=(菁,—百)?(w—1,%)，

=jq(x2-l)-V3y2=(l-2x)(-y-l)-3(-y+l)=2xy+2x+2^-4,

x>0,J>0,x+y=l,

：.y=1-x,且xe(0,l),

故CD-BE-2x(1—x)+2,x+2(1-x)-4=-2r+2.x—2)

設(shè)/(x)=—2/+2x—2,0<%<1,易知二次函數(shù)/(尤)的對(duì)稱軸為x=,，

13

故函數(shù)〃X)在[。，1]上的最大值為/(5)=—5,最小值為/(0)=/⑴=—2,

3

故CDBE的取值范圍為(—2,--].

3

故答案為：(-2,--].

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，

求解時(shí)注意通過設(shè)元、消元，將問題轉(zhuǎn)化為元二次函數(shù)的值域問題.

15、4

【解析】

利用橢圓的參數(shù)方程，將所求代數(shù)式的最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題，利用兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的性

質(zhì)，以及求導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性和極值，即可得到所求最小值.

【詳解】

式

解：設(shè)點(diǎn)尸(4cosa,2百sina),其中。<1<一,

2

工一)

x3y二一(一4+4?3(-6)+18

-----+)

4-x6-yx-4y—6

418

=-4-(------+.)7+人+旦

x-4y—64—x6—y

y=2石sina

由x=4cosa990<6Z<―9

2

418418

可設(shè)z=--------1--------=----------------1---------L-------

4-x6-y4-4cosa6-2j3sina

1I3A

1-cosa73-since'

sincr3A/3COS6Z

導(dǎo)數(shù)為z'=

(1-cosa)?(A/3-sina)2'

由z'=。，PTW3A/3COS6Z-6^COS26Z+3^COS3or—3sincr-sin36z+2^sin2a

=(6cosa-sina)(3-6cosa-2\psina+3cos2<z+sin26z+2近sinacosa)=0,

可得百cosa-sina=0或3—6cosa—26sina+3cos2a+sin2a+24sinorcosa=0，

由3—4A/3sin(a-\—)+2+cos2a+\/3sin2a=5—4\/3sin(aH—)+2sin(2aH—)

336

=3-4石sin(a+—)+4sin2(cr+—)=(2sin(a+—)-道了>0,(0<a<—),

3332

,,兒

可得6cosa-sina=0，即tana=，3,可得

,ll')I')!

由0<a(一可得函數(shù)z遞減；由—<1<—,可得函數(shù)z遞增,

332

13「

可得a=一時(shí)，函數(shù)z取得最小值，且為「T+超,

32"為

x3y

則三十17的最小值為L(zhǎng)

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的恒等變換和導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的方法，考查化簡(jiǎn)變形能力和運(yùn)算能力,

屬于難題.

5V2

16、

~6~

【解析】

寫出AB所在直線方程，求出圓心到直線的距離，結(jié)合題意可得關(guān)于廠的等式，求解得答案.

【詳解】

解：直線A5的方程為43=二三，即x+y+3=0.

—2—U—1+3

圓（x—2）2+/=/&>0）的圓心（2,0）

|lx2+3|50

到直線A6的距離』=

由AWLB的面積是AM4B的面積的2倍的點(diǎn)"，N有且僅有一對(duì),

可得點(diǎn)M到的距離是點(diǎn)N到直線AB的距離的2倍,

可得過圓的圓心，如圖：

由述+-2(述八解得一述.

226

故答案為：逆.

6

【點(diǎn)睛】

本題考查直線和圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)=2/7-4(2)見解析

【解析】

(1)設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,由$9=9%=54,得到%=6,再結(jié)合題干所給數(shù)據(jù)得到公差d,即可求得數(shù)列的通

項(xiàng)公式;

(2)由(1)可得,再利用放縮法證明不等式即可;

【詳解】

解：⑴設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,?.?品=9/=54,??.%=6,

/.d=?~~=2，二。"=%+("-3)d=2n-4.

(2)、/-----=-/>-/---/=.2"+1—y/2n-1,

\an+3y/2n-lJ2I+42”+1

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算，放縮法證明數(shù)列不等式，屬于中檔題.

n

18、(1)a=n+l.(2)T,=

n2(/7+2),

【解析】

試題分析：(1)設(shè)公差為d,列出關(guān)于的方程組，求解的值，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)由(1)可得

111

-------=—r——即可利用裂項(xiàng)相消求解數(shù)列的和.

anan+in+1n+2

4〃]+6d=14

試題解析：(1)設(shè)公差為d.由已知得｛/「/,，一解得d=l或4=0(舍去)，所以％=2,故氏=〃+L

⑼+2d)=/(a1+6d)

，)、--1-----1-----1---1

,

anan+1(〃+1)(〃+2)/7+1n+2

丁111111n

“2334…n+1n+22(〃+2)

考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和.

19、(1)1；(2)見解析

【解析】

(1)設(shè)A(WM),5(%,%)，聯(lián)立直線和拋物線方程，得-4。=。，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，即可求

出"=1;

（2）由丁=：必，得y'=gx,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出拋物線在點(diǎn)A點(diǎn)處切線方程，進(jìn)而求出.％=與，即可證

出腦V//y軸.

【詳解】

解:⑴設(shè)B（x2,y2）,

將直線/代入。中整理得：犬-4力-4P=0,

占+%=4p,x,x2=-4p,

\AB\=A/2-J（X]+%）~--116p2+16p=8,

解得：P=L

）

（2同⑴假設(shè)B（x2,y2）,

由y=yx2,得y'=!x,

從而拋物線在點(diǎn)A點(diǎn)處的切線方程為y-=；玉（x-xj,

11

即Bny=~xix~~xi2*

.x?-4

令A(yù)y=-1,得/=~z，

2國(guó)

2

1,、八/I—Xi+%iXX+x

由（1）知—4=?從而XN=-9-=-―?―=x,

2石2M

這表明MN//y軸.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及聯(lián)立方程組、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式以及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查轉(zhuǎn)化思想

和計(jì)算能力.

20、（1）多2350人；（2）有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).

【解析】

（1）根據(jù)題意，知100人中購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性有55人，購(gòu)買“天貓精靈”的女性有40人，即可估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小

愛同學(xué)”的女性人數(shù)和購(gòu)買“天貓精靈”的女性的人數(shù)，即可求得答案；

（2）根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式，求出R2,與臨界值比較，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：（1）由題可知，100人中購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性有55人，購(gòu)買“天貓精靈”的女性有40人，

由于地區(qū)共有13000人購(gòu)買了“小愛同學(xué)”，有12000人購(gòu)買了“天貓精靈”,

13000

估計(jì)購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性有x55=7150人.

100

12000

估計(jì)購(gòu)買“天貓精靈”的女性有x40=4800人.

100

貝(17150-4800=2350,

...估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性比購(gòu)買“天貓精靈”的女性多2350人.

⑵由題可知，400x(45x4?！?0x55)15n-I，

105x95x100x100

.?.有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).

【點(diǎn)睛】

本題考查隨機(jī)抽樣估計(jì)總體以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

21、(1)(%—2『+丁=4.y=gx—g⑵73

【解析】

(1)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，以及消去參數(shù)，即可求解；

(2)設(shè)A,3兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為4,t2,將直線/的參數(shù)方程代入曲線方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解.

【詳解】

(1)對(duì)于曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=4cos，，可得p2=%cose,

x=pcosdoz

又由1.c，可得Y+y2=4x,Bp(x-2)-+/=4,

所以曲線C的普通方程為(x—2p+y2=4.

x=l+^tr-

由直線/的參數(shù)方程為2。為參數(shù))，消去參數(shù)可得上=.，即

1x-13

直線/的方程為＞=￥(%-1),即yWT

X—1H-------1

(2)設(shè)A,3兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為％―2,將直線/的參數(shù)方程2a為參數(shù))代入曲線。：必+產(chǎn)-4x=0

口

.V3Y127.6八

中，可得1H------1H—t—4IT------1、—0.

I2J4I2J

化簡(jiǎn)得：產(chǎn)—后一3=0，則4+/2=6.

所以11AMl-1H%ITJ11=R+寸=

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，著重考查了

推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

22、(1)(e,+8)(2)證明見解析

【解析】

⑴先