2024年江蘇省蘇州市高新區(qū)中考數(shù)學一模試卷(含答案)

2024年江蘇省蘇州市高新區(qū)中考數(shù)學一模試卷

一、選擇題（本題滿分24分，共8小題，每小題3分）

1.（3分）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）

A.2.5B.410C.1D.0

6

2.（3分）據(jù)統(tǒng)計，2022年我市城鄉(xiāng)居民人均生活消費支出為41500元，將41500用科學記數(shù)法表示為（）

A.4.15X104B.0.415X104C.0.415X105D.4.15X105

3.（3分）下列計算正確的是（）

A.a+2a2=3/B.a^-r-cT'—a5C.a4*a2—a8D.（a3）2—a6

4.（3分）某小組在一次“在線測試”中做對的題數(shù)分別是10,8,6,9,8,7,8,對于這組數(shù)據(jù)，下列判斷

中錯誤的是（）

A.眾數(shù)是8B.中位數(shù)是8C.平均數(shù)是8D.方差是8

5.（3分）在RtZXABC中，ZC=90°,AC=3,以AC所在直線為軸，把△ABC旋轉1周，則該圓錐的側面

積為（）

A.12nB.15TTC.20nD.24TT

6.（3分）我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（jia）生其中，出水一尺.引

葭赴岸（丈、尺是長度單位，I丈=10尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，它

高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面.水的深度是多少？

則水深為（）

A.10尺B.12尺C.13尺D.15尺

7.（3分）王同學用長方形紙片折紙飛機，前三步分別如圖①、②、③.第一步：將長方形紙片沿對稱軸對折

后展開，折出折痕跖，即翻折，AE-,第三步：將△GEM和△8EN分別沿EM,EN翻折，瓦/重合于折

痕上.已知4B=20c加，AD=則的長是（）

1

AD

E

BC

圖①

圖③

A.10cmB.5&c〃zC.20-10'\[2cmD.10V2-lQcm

8.（3分）如圖，已知矩形ABC。的一邊AB長為12,點尸為邊AO上一動點，且滿足NBPC=30°,則

的值可能是（）

A.6B.6.8C.573D.

二、填空題（本題滿分24分，共8小題，每小題3分）

9.（3分）-64的立方根是.

10.（3分）使代數(shù)式有意義的無取值范圍是.

11.（3分）若一組數(shù)據(jù)1、3、X、5、8的眾數(shù)為8,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.

12.（3分）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，現(xiàn)隨機向正方形內(nèi)擲一枚小

針.

13.（3分）已知正六邊形的內(nèi)切圓半徑為則它的周長為.

14.（3分）已知點P是半徑為4的。。上一點，平面上一點。到點P的距離為2,則線段。。的長度。的范

圍為?

15.（3分）如圖，0、B兩點是線段AC的三等分點，以為直徑作O。，連接CE,交。。于點。，若點。

恰為線段CE中點，則tanZABD為.

2

E

16.（3分）如圖，已知Rt^ABC的兩條直角邊AC=4,BC=3,得到△￡）跖,若△￡>￡尸的銳角頂點。恰好落

在△ABC的斜邊AB上，則CH=.

17.計算：（&-1）。+晝）之-唬.

18.解方程組，3x-2v=8.

[2x+y=3

19.先化簡，再求值：心2」ZL）+（a-4>其中。滿足2工=-2?

aa+2a

20.如圖，某校食堂實行統(tǒng)一配餐，為方便學生取餐，分別記為①、②、③、④，學生可以從這4個窗口中任

意選取一個窗口取餐.

（1）若小明去食堂用餐時4個窗口都沒有人，則小明選擇在②號窗口取餐的概率

是;

（2）若小紅和小麗一起去食堂用餐時4個窗口都沒有人，求小紅和小麗在相鄰窗口取餐的概率.（請用畫

樹狀圖或列表等方法說明理由）

3

21.2023年蘇州文博會于4月17日至4月28日在蘇州國際博覽中心舉行，我校氣象興趣小組的同學們想估

計一下蘇州今年4月份日平均氣溫情況.他們收集了蘇州市近五年來4月份每天的日平均氣溫，從中隨機

抽取了60天的日平均氣溫

（2）若日平均氣溫在18℃至21℃的范圍內(nèi)（包括18℃和2FC）為“舒適溫度”，請估計蘇州今年4月份

日平均氣溫為“舒適溫度”的天數(shù).

22.如圖，點A、B、C、。在一條直線上，EA//FB,AB=CD.求證：EF//AD.

23.如圖，從燈塔C處觀測輪船A、8的位置，測得輪船A在燈塔C北偏西a的方向，且AC=2&海里百5

海里，已知cosa="23標，求A、2兩艘輪船之間的距離.（結果保留根號）

24.如圖，以尤軸上長為1的線段為寬作矩形A8CD,矩形長AO、8C交直線y=-x+3于點尺（*>0）

的圖象正好經(jīng)過點只E.

（1）線段EF長為_________________

4

(2)求左值.

25.如圖，在△ABC中，點。為8c邊上的一個動點，過點C作CE〃AB,交。。于點R連接CE、EF

(1)求證：ZBAC=ZCEF；

(2)若AB=10,AC=6,CE=EF

26.如圖1,拋物線L：y=-7+bx+c經(jīng)過點A(0,1),對稱軸為直線x=1與x軸的交于點8.

(2)點C在拋物線上，若△ABC的內(nèi)心恰好在x軸上，求點C的坐標；

(3)如圖2,將拋物線L向上平移左(左＞0)個單位長度得到拋物線力，拋物線h與y軸交于點M,過點

M作y軸的垂線交拋物線％于另一點N.尸為線段OM上一點.若△PMN與APOB相似，并且符合條件

的點P恰有2個，求左的值.

27.已知矩形ABCD中，E是BC的中點，。尸_LAE于點?

5

（1）如圖1,若BE=H，求的值；

（2）如圖2,連接AC交。/于點G,若旭=2,求cos/PCE的值；

CG3

（3）如圖3,延長DF交A8于點G,若G點恰好為AB的中點，過A作AK//FC交FD于K,設△AOK

S,

的面積為Si,△CQF的面積為S2,則—L的值為____________________.

s2

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題滿分24分，共8小題，每小題3分）

1.（3分）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）

A.2.5B.V7oC.」D.0

6

【解答】解：2.5,-A,。是有理數(shù)；

6

是無理數(shù).

故選：B.

2.（3分）據(jù)統(tǒng)計，2022年我市城鄉(xiāng)居民人均生活消費支出為41500元，將41500用科學記數(shù)法表示為（）

A.4.15X104B.0.415X104C.0.415X105D.4.15X105

【解答】解：41500=4.15X104.

故選：A.

3.（3分）下列計算正確的是（）

A.〃+2〃2=3〃2B.〃1°+〃2=Q5Q〃4.Q2=Q8D.（4Z3）2=a6

【解答】解：A、原式=。+3〃2,不符合題意；

B、原式=〃，不符合題意;

原式=5，不符合題意;

D、原式=小,符合題意；

6

故選：D.

4.(3分)某小組在一次“在線測試”中做對的題數(shù)分別是10,8,6,9,8,7,8,對于這組數(shù)據(jù)，下列判斷

中錯誤的是()

A.眾數(shù)是8B.中位數(shù)是8C.平均數(shù)是8D.方差是8

【解答】解：平均數(shù)=(10+8+6+2+8+7+2)+7=8,

按從小到大排列為：3,7,8,8,8,9,10,

中位數(shù)是8；

???8出現(xiàn)了3次，次數(shù)最多，

；.眾數(shù)是2；

方差(10-8)2+(7-8)2+(5-8)2+(5-8)2+(7-8)2+(4-8)2+(3-8)2]=5.25.

4

所以。錯誤.

故選：D.

5.(3分)在中，ZC=90°,AC=3,以AC所在直線為軸，把△ABC旋轉1周，則該圓錐的側面

積為()

A.12nB.15nC.207rD.24TT

【解答】解：在RtZiABC中，NC=90°,BC=4,

A3=VAC2+BC2=V32+42=5，

由已知得，母線長/=2,

/.圓錐的側面積是S=Tt/r=5X4Xn=20Tt.

故選：C.

6.(3分)我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭(jia)生其中，出水一尺.引

葭赴岸(丈、尺是長度單位，1丈=10尺)其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，它

高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面.水的深度是多少？

則水深為()

7

A.10尺B.12尺C.13尺D.15尺

【解答】解：設水深為/?尺，則蘆葦長為(A+1)尺,

根據(jù)勾股定理，得"+1)3-必=(10+2)4,

解得h=l2,

水深為12尺，

故選：B.

7.(3分)王同學用長方形紙片折紙飛機，前三步分別如圖①、②、③.第一步：將長方形紙片沿對稱軸對折

后展開，折出折痕EF,EH翻折，AE；第三步：將△GEM和分別沿EM,EN翻折，EH重合于折

痕E尸上.己知AB=20aw,20&，則的長是(

AD

E

B

圖①

圖③

A.10cmB.5^2cmC.20-10V2cmD.10^2-10cm

【解答】解：：四邊形ABC。為矩形，AB^20cm20V2cm,

：.ZA=90°,

由第一步折疊可得，AD//EF,

由第一步折疊可得，AE=ArE=10cm,

：.AE//AG,

???四邊形AE4'G為平行四邊形,

VAE=AZE,ZA=90°,

???平行四邊形AEVG為正方形,

.\AG=AE=10cm,

8

：.GD=AD-AG^（20V2-10）cm.

在RtAAEG中，EG=VAG6+AE2=V142+122=1°加〈cm）,

根據(jù)第三步折疊可得，ZGEM=ZG'EM,

?：GD〃EF,

：.ZGME=ZG'EM,

；./GEM=NGME,

：.GE=GM=10如cm,

：.MD=GD-GM=20V2-10-10V2=（I0V3-10"

故選：D.

8.（3分）如圖，已知矩形ABC。的一邊AB長為12,點P為邊上一動點，且滿足NBPC=3O°,則BC

的值可能是（）

A.6B.6.8C.5^3D.

【解答】解：①如圖1,當點尸與點A重合時，

圖1

?..四邊形ABC。是矩形，

.\ZB=90o,

\"AB=n,ZBPC=3O°,

：.BC=J^=^=4^3,

V3V2

此時BC是滿足題意的最大值;

9

②如圖3,當點尸是的中點時，此時BC最小,

圖2

過點8作BE_LC尸于E,

設BE—a,AP=尤，

VZBPC=30°,

:.BP=2BE=2a,PE=y[^a,

T1

-z-*6x,12="z-*6a?a

.'?<NN,

227

tx+12=4a

解得：X=24+12A/3（舍）或2472日，

；.BC=2x=48-24\后，

綜上，48-24a￡即6.432W8CW6.928.

故選:B.

二、填空題（本題滿分24分，共8小題，每小題3分）

9.（3分）-64的立方根是-4.

【解答】解：：（-4）3=-64,

-64的立方根是-2.

故選-4.

10.（3分）使代數(shù)式有意義的x取值范圍是無為.

【解答】解：???代數(shù)式后I有意義，

?\x-128,

解得：

故答案為：

n.（3分）若一組數(shù)據(jù)1、3、X、5、8的眾數(shù)為8,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為

【解答】解：??,數(shù)據(jù)1、3、％、5、8的眾數(shù)為8,

10

??X=5，

則數(shù)據(jù)重新排列為1、3、5、8、8,

所以中位數(shù)為8,

故答案為：5.

12.（3分）如圖，正方形A8C。內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，現(xiàn)隨機向正方形內(nèi)擲一枚小針—三

【解答】解：設正方形的邊長為2a,則正方形的內(nèi)切圓的半徑為a,

1IT2

T'K'a.Tr

所以針尖落在黑色區(qū)域內(nèi)的概率--------=—.

4a78

故答案為三.

8

13.（3分）已知正六邊形的內(nèi)切圓半徑為我，則它的周長為12.

【解答】解：如圖，連接。4,0G-,

?.?六邊形ABCDE尸是邊長等于正六邊形的半徑，設正六邊形的半徑為a,

:.AOAB是等邊三角形，

.\OA=AB=a,

OG=OA9sin60°=,解得a=2,

2

???它的周長=6a=12.

14.（3分）已知點尸是半徑為4的。。上一點，平面上一點。到點尸的距離為2,則線段0。的長度〃的范

圍為24W6.

【解答】解：如圖，當點。在圓外且。Q,線段。。的長度的最大；

當點。在圓內(nèi)且0,Q,尸三點共線時，最小值為4-2=6,

所以，線段0。的長度〃的范圍為2W〃W6.

11

故答案為：3WaW6.

15.（3分）如圖，0、3兩點是線段AC的三等分點，以48為直徑作。。，連接CE,交。。于點。，若點D

恰為線段CE中點，則為_、八石_.

【解答】解：連接OE、AD,設。。的半徑為，，

；0、B兩點是線段AC的三等分點，

：.OB=CB,

:點D恰為線段CE中點，

.?.3。為△OCE的中位線，

.?.B￡）=_10E=3r,

22

'：AB為直徑，

AZADB=90°,

在。中，））

RtAABAD=VAB2_BD2=J（2r2.（32=V1^r,

VZb

V15

~9~r

tanZABD=包_=—1----=.

BDl

6r

故答案為：V15.

12

16.（3分）如圖，已知Rt^ABC的兩條直角邊AC=4,BC=3,得到若AOE尸的銳角頂點。恰好落

由勾股定理得，AC=2f

???點G為AC的中點，

：.AG=CG,

??,ADEF的銳角頂點。恰好落在△ABC的斜邊AB上,

：.AG=DG,

：.ZA=ZADG,NGCD=NGDC,

13

ZADC=l.x180°=90°,

*/COsA=-^5-=AiL,

ACAB

???-A-D=-4-,

75

：.AD=^-,

7

NAHD=ZDHG,/HDG=ZHAD,

.?.△HOGs△HA。，

.DG_PHHG_2__4

??布KHF近而，

設G?=5x,則DH=5x,

???--8-x--=-5-,

5x+28

解得X=型，

39

經(jīng)檢驗，尤=獨，

39

.?.A8=7x+2=-123,

39

CH=AC-AH=4-

3939

故答案為：28.

39

三、解答題(本題滿分0分)

17.計算：(&-1)°+4)-V27-

【解答】?：(V2-l)8+4)3-^27

o

=1+4-3

=7.

is.解方程組儼-2片斗

12x+y=3

【解答】解：儼-2了誓，

12x+y=3②

②X3+①得：7尤=14,

解得：x=2,

將x=3代入②得：＞=-1,

14

則原方程組的解為(x=2.

ly=-6

19.先化簡，再求值：(①2上L)+(a-4＞其中。滿足a上=-2-

aa+2a

【解答】解：原式=[(a-2)(a+2)_a(a-l)].上

a(a+2)a(a+2)a_4

=/?7

a(a+2)a-4

=a-4.1

a(a+3)a-4

二7

a2+2a'

??ci-5=-2〃,

.,.cr+Ta—2,

原式=L

3

20.如圖，某校食堂實行統(tǒng)一配餐，為方便學生取餐，分別記為①、②、③、④，學生可以從這4個窗口中任

意選取一個窗口取餐.

(1)若小明去食堂用餐時4個窗口都沒有人，則小明選擇在②號窗口取餐的概率是1；

一4一

(2)若小紅和小麗一起去食堂用餐時4個窗口都沒有人，求小紅和小麗在相鄰窗口取餐的概率.(請用畫

樹狀圖或列表等方法說明理由)

【解答】解：(1)若小明去食堂用餐時4個窗口都沒有人，則小明選擇在②號窗口取餐的概率是2,

7

故答案為：1；

4

(2)畫樹狀圖如下：

開始

①②③④①②③④①②③④①②③④

共有16種等可能的結果，其中小紅和小麗在相鄰窗口取餐的結果有6種、②①、③②、④③,

15

???小紅和小麗在相鄰窗口取餐的概率為且=旦.

167

21.2023年蘇州文博會于4月17日至4月28日在蘇州國際博覽中心舉行，我校氣象興趣小組的同學們想估

計一下蘇州今年4月份日平均氣溫情況.他們收集了蘇州市近五年來4月份每天的日平均氣溫，從中隨機

抽取了60天的日平均氣溫

(2)若日平均氣溫在18℃至21℃的范圍內(nèi)(包括18℃和21℃)為“舒適溫度”，請估計蘇州今年4月份

日平均氣溫為“舒適溫度”的天數(shù).

【解答】解：⑴這60天的日平均氣溫的中位數(shù)為史段=19.5,

2

眾數(shù)為19,

故答案為：19.2,19；

(2)12+13+9+6x30=20(天)，

60

二估計蘇州今年7月份日平均氣溫為“舒適溫度”的天數(shù)大約為20天.

22.如圖，點A、B、C、。在一條直線上，EA//FB,AB=CD.求證：EF//AD.

:./A=NFBD,/ACE=/D,

16

\'AB=CD,

：.AB+BC=CD+BC,

即AC=BD,

在△AEC和△BfD中，

,ZA=ZFBD

<AC=BD，

ZACE=ZD

/.AAEC^ABFD（ASA）,

：.EC=FD,

,JEC//FD,

，四邊形EFDC為平行四邊形，

J.EF//CD,

：.EF//AD.

23.如圖，從燈塔C處觀測輪船A、8的位置，測得輪船A在燈塔C北偏西a的方向，且AC=2&海里百5

海里，已知cosa=&3幾,求A、8兩艘輪船之間的距離.（結果保留根號）

【解答】解：過點A、8分別作東西方向的垂線于點E、D,

：.AE//CH//BD,

：.ZCAE=ZACH=a./CBD=/BCH=B，

則四邊形尸成歸為矩形，

:.EF=BD,FB=ED,

在RtZkAEC中，ZCAE=a,

*.*cosa=^^-,

2

.?.a=45°,

：AC=5我海里，

:.AE=CE=1J^AC=2（海里），

6

在RtZXBCZ）中，/。8。=伊百3海里,

17

CD=sinP*BC=（海里），

10

由勾股定理得，BC2^BD2+CD3,即（V10）2=B￡>2+52,

解得，BD=\,

J.AF^AE-EF^3（海里），BF=EC+CD=2+3=4（海里）,

則AB=JAM+BF2=422+5。=V26（海里），

答：A,8兩艘輪船之間的距離為亞.

24.如圖，以x軸上長為1的線段42為寬作矩形428,矩形長AZXBC交直線y=-x+3于點足Ey支（乂>0）

的圖象正好經(jīng)過點RE.

（1）線段EE長為_/2_；

【解答】解：(1):點RE在直線y=-x+3圖象上，

?二設尸(m,-m+3),-(m+6)+3),-m+2)

e=

?EF=y1(m+3-m)+(-m+2+m-4y^?

故答案為：Vs；

(2),?,反比例函數(shù)y上(x>0)的圖象正好經(jīng)過點小E,

:?k=m(-m+3)=(m+2)(-m+2),

解得m=1,

18

:?k=m(-m+8)=1X2=4.

25.如圖，在△ABC中，點。為3C邊上的一個動點，過點。作。b〃A8,交。。于點?連接CE、EF

(1)求證：ZBAC=ZCEF；

(2)若A8=10,AC=6,CE=EF

【解答】(1)證明：:。/〃AB,

：.ZB=ZFCBf

?:/FCB=NDEF,

:?/B=NDEF,

又NA4C+N5=90°,

,「CD是圓。的直徑，

：.ZCED=90°,

：.ZDEF+ZCEF=90°,

：.ZBAC=ZCEF；

(2)連接陽，并延長和A3相交于G,

?.?CE=EF,

??,四邊形。皮＞尸為圓內(nèi)接四邊形,

NADG=NECF,

又,；/CDE=/CFE,

：./ADG=NCDE,

?「CD為。。的直徑，

AZDFC=90°,

19

■:FC//AB,

：.ZFGA=90°,

：.ZFGA=ZACDf

*：AD=AD,

：.AAGD^AACD(AAS),

：.DG=CD,AC=AG=6f

VZACB=90°,AB=10,

*',BC=VAB2-AC5=8，

在RtZXBOG中，設CD=x,

貝！］BD=BC-0)=8-尤，BG=AB-AG=10-4=4,

"：BG2+DG3^BD2,

45+X2=(8-x)二

.*.x=3,

即CD=3.

26.如圖1,拋物線L：y=-r+bx+c經(jīng)過點A(0,1),對稱軸為直線x=1與x軸的交于點B.

(2)點C在拋物線上，若△ABC的內(nèi)心恰好在x軸上，求點C的坐標；

(3)如圖2,將拋物線L向上平移/(左＞0)個單位長度得到拋物線"，拋物線￡1與y軸交于點過點

M作y軸的垂線交拋物線于另一點N.P為線段上一點.若與△POB相似，并且符合條件

的點P恰有2個，求上的值.

【解答】解：(1)由題意知：2X(-1)

C=1

20

解得:(晨，

，拋物線L的解析式為：y=-X2+2X+7；

(2)由題意得：x軸平分NABC,即/AB0=NC3。,

AABC的內(nèi)心恰好在x軸上，

/.AABC的三個內(nèi)角的角平分線交點在x軸上，

由此可知點C在y軸的左側，

過點C作無軸于點。，如圖所示：

圖1

由題意知：OA=\,OB=1,

：.ZABO^ZDBC^45°,

：.DC=DB,

設C(a,-a2+2a+l),則有CO=/-2a-1,BD=6-a,

.9

a~2a~5=1-a,

解得：ai=-4,及=2(不符合題意，舍去)，

J點。(-6,-2)；

(3)如圖2,

21

%

二、

rnv

圖2

設拋物線Li的解析式為y=-/+2X+3+Z,

：.M(0,1+k),8+左)，0),

設尸(0,力,

當△PMNSZXBO尸時，F(xiàn)1里L,

MN0P

?-?-6-+-k---t-=—1,

2t

:H-(1+Z)什2=8①；

當△PMNs^POB時，里32,

MN0B

?---1-+-k---t-~—t,

24

?*,t](k+8)②；

(I)當方程①有兩個相等實數(shù)根時，A=(1W2-3=0,

解得:k=W^-i(負值舍去)，

此時方程①有兩個相等實數(shù)根：tl=t6=V2'

方程②有一個實數(shù)根：且，

3

???k=2V2-l；

(II)當方程①有兩個不相等的實數(shù)根時，

把②代入①，得：

1(k+l)2q(k+l)5+2=0,

D6

解得：k=6(負值舍去)，

此時，方程①有兩個不相等的實數(shù)根：”=1、也=2,

方程②有一個實數(shù)根：t=l,

22

:?k=6,

綜上，當與△P08相似，則k=K&-8或2.

27.已知矩形ABC。中，E是BC的中點，。尸_LAE于點?

(1)如圖1,若BE=?求AE-AF的值；

(2)如圖2,連接AC交。尸于點G,若柜=2,求cos/FCE的值；

CG3

(3)如圖3,延長。尸交于點G,若G點恰好為A8的中點，過A作AK〃歹C交陽于K,設△ADK

的面積為Si,△(?￡)尸的面積為S2,則包的值為3.

s2—8一

圖1圖2圖3

【解答】解：(1)是8c的中點，

:.BC=2BE=2版,

?..四邊形A8CO是矩形，

:.AD=BC=2NB=90°,

ZAEB=ZDAF,

'：DF1AE,

：.ZAFD=90°=ZB,

：.AABEsLDFA,

.AE=BE

"ADAF"

:.AE?AF=AD?BE=6如義近=6；

(2)延長。E交C2的延長線于X,連接。E,如圖2所示:

???四邊形ABC。是矩形，

J.AD//BC,AD=BC