新疆烏魯木齊地區(qū)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

新疆烏魯木齊地區(qū)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.函數(shù)/("=(/—2x)e，的圖像大致是()

2.如圖是一水平放置的青花瓷.它的外形為單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，且其

外形上下對(duì)稱(chēng).花瓶的最小直徑為12cm,瓶口直徑為20cm,瓶高為30cm,則該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為()

2

3.設(shè)“，"是兩條不同直線，a,￡是兩個(gè)不同平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是。

A.若根_La,L。，貝！I俏〃〃；B.若a//〃，mLa,則冽_L〃；

C.若加//a,n!la,則加〃D.若m_La,ml/J3,則。_L/?

4.直線x+y+2=0分另ij與x軸，》軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓一+/―4x+2=0上，則△ABP面積的取值范

圍是()

A.[2,6]B.[4,8]

C[72,3V2]D.[2A/2,30]

5.小方每次投籃的命中率為3,假設(shè)每次投籃相互獨(dú)立，則他連續(xù)投籃2次，恰有1次命中的概率為()

7

2010

A.—B.——

4949

2515

C.—D.—

4949

6.給出如下四個(gè)命題正確的是()

①方程■?+/—2x+l=0表示的圖形是圓；

②橢圓三+亡=1的離心率6=好；

323

③拋物線x=2y2的準(zhǔn)線方程是x=-L

8

22S

④雙曲線匕—L=—1的漸近線方程是丁=土?x

49257

A.③B.①③

C.①④D.②③④

7.已知等差數(shù)列前幾項(xiàng)和為S“，且耳3<0,S12>0,則此數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)為

A.第5項(xiàng)B.第6項(xiàng)

C.第7項(xiàng)D.第8項(xiàng)

4

8.函數(shù)/(%)=%+——(%>5)的最小值是()

x-1

A.3B.4

C.5D.6

9.過(guò)拋物線/=4x的焦點(diǎn)尸的直線/與拋物線交于尸。兩點(diǎn)，若以線段為直徑的圓與直線x=5相切，則|PQ|()

A.8B.7

C.6D.5

315

10.數(shù)列1,4，二的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是。

4216

n+1n+3

A.a=------B

〃2〃-a.=~^r

n+1n+3

C.ci-D?a-

Inn4〃

11.在空間直角坐標(biāo)系中，已知/（—1,0,2）,N（3,2,0）,則MN的中點(diǎn)尸到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為（）

B.V2

C.2D.3

12.已知兩個(gè)向量〃二（2,—1,3）,Z?=（4,m,n）,且q//b，則根+〃的值為（）

A.lB.2

C.4D.8

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.從某校隨機(jī)抽取某次數(shù)學(xué)考試100分以上（含100分，滿分150分）的學(xué)生成績(jī)，將他們的分?jǐn)?shù)數(shù)據(jù)繪制成如圖

所示頻率分布直方圖.若共抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，則分?jǐn)?shù)在［120,130）內(nèi)的人數(shù)為

14.寫(xiě)出一個(gè)公比為3,且第三項(xiàng)小于1的等比數(shù)列4=

15.正三棱柱A3C-A3IG的底面邊長(zhǎng)和高均為2,點(diǎn)。為側(cè)棱CG的中點(diǎn)，連接A。，BD,則點(diǎn)G到平面ABD的

距離為.

16.已知函數(shù)/（%）滿足：①/Xx）是奇函數(shù)；②當(dāng)x＞0時(shí)，ra）＞o.寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的函數(shù)/（x）=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

22=1（。＞人〉0）的離心率為孝，且過(guò)點(diǎn)（2夜,01

17.（12分）已知橢圓C：5+與

a2b2

（1）求橢圓C的方程；

（2）四邊形的頂點(diǎn)在橢圓。上，且對(duì)角線AC,均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。，若Kc.凝0=-g，求。4-03的取

值范圍.

18.(12分)已知a>0,b>0,a-bb—1,求證：—+—J9.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=(x?-2x)e*+2ex-e21nx

(1)求/(x)在點(diǎn)(L/(D)處的切線方程；

(2)求證:f(x)>0

20.（12分）如圖所示，在長(zhǎng)方體ABC。-431clz>i中，E,尸分別是A5,AC的中點(diǎn)，AD=AAi=2,AB=&

（1）求證：Eb〃平面AZMiAi；

（2）求平面EFO與平面OEC的夾角的余弦值；

A.M

（3）在線段4d上是否存在點(diǎn)M,使得平面E尸。？若存在，求出苦■的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

A\u\

21.（12分）如圖長(zhǎng)方體ABC?！狝4C2中，AB=AD=\,AAl=2,點(diǎn)￡為。，的中點(diǎn).

D\

11〃

B

（1）求證：5,〃平面ACE；

（2）求證：平面ACE；

（3）求二面角A—CE—C的余弦值.

22.（10分）已知｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，$5=20,且%，%，％0成等比數(shù)列

（1）求數(shù)列｛4｝通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)用=q+2",求數(shù)列｛2｝的前幾項(xiàng)和S"

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】由函數(shù)〃x）有兩個(gè)零點(diǎn)排除選項(xiàng)A,C；再借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)/（x）的單調(diào)性與極值情況即可判斷作答.

【詳解】由/（尤）=。得，尤=0或x=2,選項(xiàng)A,C不滿足；

由/（力=（%2一2%）6'求導(dǎo)得八］）=（——2）1,當(dāng)x<—0或x>上時(shí)，f'（x）>0,當(dāng)—夜<%<也時(shí)，

于是得/（x）在（-%-夜）和（、反,+oo）上都單調(diào)遞增，在（-0,拒）上單調(diào)遞減，/。）在％=—夜處取極大值，在

尤=應(yīng)處取極小值，D不滿足，B滿足.

故選:B

2、C

22

【解析】設(shè)雙曲線方程為3=1,（a>0,b>0）,由已知可得。，并求得雙曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入

a~b"

雙曲線方程，求解》，即可得到雙曲線的虛軸長(zhǎng)

【詳解】設(shè)M點(diǎn)是雙曲線與截面的一個(gè)交點(diǎn)，

V2

設(shè)雙曲線的方程為：二(a>0,b>0)

a

花瓶的最小直徑44=2a=12cm,則a=6,

由瓶口直徑為20cm,瓶高為30cm,可得M（10,15）,

22

故i詈n一I仁S=1，解得6=45=，

62b~4

..?該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為26=2x：45=?45

42

故選：C

3、C

【解析】直接由直線平面的定理得到選項(xiàng)A3正確；對(duì)于選項(xiàng)C,m可能平行、相交或異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)。，機(jī)與夕內(nèi)一直線/,所以因?yàn)?為￡內(nèi)一直線，所以所以該選項(xiàng)正確.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,若加_La,則相〃〃，所以該選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)8,若al甲,m±a,則根，力，所以該選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,若m〃a,nlla,貝Um，〃可能平行、相交或異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。，若加，a,ml1（3,則機(jī)與夕內(nèi)一直線/,所以/J_a,因?yàn)?為￡內(nèi)一直線，所以所以該選

項(xiàng)正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線平面位置關(guān)系判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

4、A

【解析】把求面積轉(zhuǎn)化為求底邊和底邊上的高，高就是圓上點(diǎn)到直線的距離.

【詳解】x+y+2=0與x,y軸的交點(diǎn)，分別為4（—2,0）,3（0,—2）,點(diǎn)P（x,y）在圓爐+/一?+2=0,

即（x-2y+y2=2上，

所以|AB|=2夜，圓心（2,0）到直線的距離為d=^^=2后，

所以八45尸面積的最小值為5mhi=gx20x（20-亞）=2,

最大值為S3=1X2V2X（2A/2+V2）=6.

故選：A

5、A

【解析】先弄清連續(xù)投籃2次，恰有1次命中的情況有兩種，它們是互斥關(guān)系，因此根據(jù)相互獨(dú)立事件以及互斥事件

的概率計(jì)算公式進(jìn)行求解.

【詳解】由題意知，他連續(xù)投籃2次，有兩種互斥的情況，

即第一次投中第二次不中和第一次不中第二次投中，

因此恰有1次命中的概率為—+-,

故選：A.

6、A

【解析】對(duì)選項(xiàng)①，根據(jù)圓一般方程求解即可判斷①錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)②，求出橢圓離心率即可判斷②錯(cuò)誤，對(duì)③，求

出拋物線漸近線即可判斷③正確，對(duì)④，求出雙曲線漸近線方程即可判斷④錯(cuò)誤。

【詳解】對(duì)于①選項(xiàng)，x2+y2-2x+l=0,。2+￡_4/=4+0_4=0,故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②選項(xiàng)，由題知4=312=2,所以c=l,a=豆，所以離心率e=18，

3

故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③選項(xiàng)，拋物線x=2y2化為標(biāo)準(zhǔn)形式得拋物線故準(zhǔn)線方程是x=-l，

故③正確；

2222

對(duì)于④選項(xiàng)，雙曲線乙-二=-1化為標(biāo)準(zhǔn)形式得二-匕=1,

49252549

7

所以4=25,〃=49,焦點(diǎn)在x軸上，故漸近線方程是丁=±（九，故④錯(cuò)誤.

故選:A

7、C

13

【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為外,公差為"，5]3=萬(wàn)（％+%3）=13%<0,則。7<0,又

12

812=5（4+。12）=6（R+%）>0,則。6〉一%>°，說(shuō)明數(shù)列為遞減數(shù)列，前6項(xiàng)為正，第7項(xiàng)及后面的項(xiàng)為負(fù)，

又則|以|>|%|，則在數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)為的，選C.

8、D

【解析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性求最小值

44r2-2r-3

【詳解】由/Xx）=x+—得八x）=l—N，

x-l（X-1）（九T）

因?yàn)榫牛?,所以

所以/（九）在[5,+8）上單調(diào)遞增，

4

所以爪X*=*5）=5+^[=6,

□—1

故選：D

9、C

【解析】依據(jù)拋物線定義可以證明：以過(guò)拋物線焦點(diǎn)尸的弦P。為直徑的圓與其準(zhǔn)線相切，則可以順利求得線段忸。|

的長(zhǎng).

【詳解】拋物線丁二射的焦點(diǎn)F(1,O)，準(zhǔn)線％=—1

取P0中點(diǎn)"，分別過(guò)P、Q、3作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為N、M、E

則四邊形NPQM為直角梯形，上店為梯形中位線，|HE|=g(|M0+|NP|)

由拋物線定義可知，|MQ|=|QE|,|四=附,則|PQ|=|MQ|+WH

故|HE|=g|p0,即點(diǎn)3到拋物線準(zhǔn)線的距離為|P0的一半，

則以線段P。為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.又以線段為直徑的圓與直線x=5相切,

則以線段PQ為直徑的圓的直徑等于直線x=5與直線x=-l間的距離.

即闿=5_(-1)=6

故選:C

10、A

【解析】根據(jù)各項(xiàng)的分子和分母特征進(jìn)行求解判斷即可.

【詳解】因?yàn)椤竱=與』2+11_43+154+1

~2r，2~8~^r，16

所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是4=今；

53

對(duì)于選項(xiàng)B：%=—豐一，所以本選項(xiàng)不符合要求;

-84

21

對(duì)于選項(xiàng)C%=-7—，所以本選項(xiàng)不符合要求;

32

53

對(duì)于選項(xiàng)D：4,=—/一,所以本選項(xiàng)不符合要求,

一84

故選:A

11、A

【解析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及空間中兩點(diǎn)之間的距離公式可得解.

【詳解】QM(-l,0,2),N(3,2,0),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

所以|OP|=J1+1+1=VL

故選：A

12、C

【解析】由al1b，可知三丸￡尺，使b=2a，利用向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量相等即可得解.

4=2A4=2

【詳解】?：al1b，：?3九eR,使b=2a，得,機(jī)二一4,解得：<m=-2,所以根+〃=4

n=3An=6

故選：C

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在解決有關(guān)平行的問(wèn)題時(shí)，通常需要引入?yún)?shù)，如本題中已知引入?yún)?shù);I,使b=

4〃

轉(zhuǎn)化為方程組求解；本題也可以利用坐標(biāo)成比例求解，即由。/"，得7=1=；，求出血，

2—13

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、30

【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中所以小矩形面積和為1,可得。值，根據(jù)總?cè)藬?shù)和［120,130)頻率，即可得答案.

【詳解】因?yàn)轭l率分布直方圖中所以小矩形面積和為1,

所以(0.005+0.035+a+0.020+0.010)x10=1,解得a=0.030,

所以分?jǐn)?shù)在［120,130)內(nèi)的人數(shù)為100x0.030x10=30.

故答案為：30

14、—.3"-1(答案不唯一)

10

【解析】由條件確定該等比數(shù)列的首項(xiàng)的可能值，由此確定該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為彘則q=3,

由已知可得。3<1，*<?9al<1,

所以用<§，故％可取證，

故滿足條件的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可能為4=4?3"-1,

故答案為：—-y1-1(答案不唯一)

10

2

【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求點(diǎn)面距離的公式可以直接求出.

【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,。為4當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)，由已知，A(-l,0,2),5(1,0,2),D(0,V3,l),

G(0,6。)，所以罰=(2,0,0)，AD=(1,73,-1),

設(shè)平面ABD的法向量為n=(%,y,z),

ADn=0x+y/3y+z=0_[

，即：\，取y=l,得〃=

ABn=02x=0

QD=(0,0,1),

ICD-HIR

則點(diǎn)G到平面ABD的距離為［一」=火.

同2

故答案為：

2

16、1(答案不唯一)

【解析】利用函數(shù)的奇偶性及其單調(diào)性寫(xiě)出函數(shù)解析式即可.

【詳解】結(jié)合塞函數(shù)的性質(zhì)可知/(》)=三是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，r(x)=3x2>。，則/(%)=彳3符合上述兩個(gè)條件,

故答案為：/(答案不唯一).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

22

17、(1)工+上=1

84

(2)[-2,0)0(0,2]

【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率為手，且過(guò)點(diǎn)（2夜,0）,由6=工=2,。=2后求解；

（2）設(shè)直線AC方程為y=Ax,則直線3。的方程為丫=-工％,分左>0時(shí)，與橢圓方程聯(lián)立求得A,3的坐標(biāo),

2k

再利用數(shù)量積求解.

【小問(wèn)1詳解】

V2y2叵

解:因?yàn)闄E圓C:j+=l（a>b〉0）的離心率為,且過(guò)點(diǎn)（2夜,0）,

a2

所以e=工=,a—2y/2,

a2

所以c=2,我=4,

22

所以橢圓的方程為土+上=1;

84

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)直線AC的方程為'=依，則直線5。的方程為丁=-'X.

2k

=kx

y殂2_8才希2“202岳

當(dāng)左>0時(shí)，聯(lián)立2,02得*=—“2'不妨設(shè)4（「丁，7彳），

尤+2y=81+2左J1+2左2g2k2

y—___1_1

聯(lián)立《2k'，得必=16k2

x2+2y2=81+2F

Ak_28?-4?4岳4后/c

當(dāng)皿而交‘后R時(shí)‘°A°B=l+2左21+2-1+2/一』+2「'

k

:.0<OAOB<2^

-8圓46k-4?-4庭〉

—4”2

當(dāng)從而R時(shí)'OAOB=1+2父+1+2/-1+242―工>一

1乙K

k

:.-2<OAOB<0>

當(dāng)左<0時(shí)，同理可得上述結(jié)論.

綜上，QAOBe[-2,0）（0,2]

18、見(jiàn)解析

【解析】將a+仁1代入式子，得到1+工=1+",1+-=1+—,進(jìn)而進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后通過(guò)基本不等式證明問(wèn)題.

aabb

【詳解】?.%>（）,b>0,a+b^l,.\1+-=1+—=2+-,1+-=1+—=2+-

ba

1H--l+b—+—>5+4.

ab

當(dāng)且僅當(dāng)2=f,即a=/?=!時(shí)取“=”

19、(1)(e2-e)x+y-e2=0；(2)證明見(jiàn)解析

【解析】（1）求導(dǎo)/'（九）=（爐—2）/+2e—J,進(jìn)而得到/⑴=e—/,=寫(xiě)出切線方程;

(2)將(/一2%)e"+2e%-/ln%>0轉(zhuǎn)化為(%一2)，+2e,設(shè)g(%)=(%—2)e*+2e,//(%)二^丁

xx

利用導(dǎo)數(shù)法證明.

【詳解】(D函數(shù)/(%)的定義域是(0,+8)

2

f\x)=(%2-2)ex+2e--,可得/⑴=e—e?

又/(D=e,

所以/(%)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程為y-e=(e-e2Xx-V)

整理得⑵―e)x+y—e?=0(或斜截式方程y=(e—e2)x+e2)

2

(2)要證(無(wú)2—2尤)>+2ex-e\nx>0

2x

只需證(%-2x)e+lex>e21nx

因?yàn)闊o(wú)>0,所以不等式等價(jià)于(x—2)e'+2e〉里吧

-Sg(x)=(%-2)ex+2e,h(x)=

g\x)=(x-V)ex,0<x<l,g'(x)<0；x>l,g'(x)>0

所以g(x)在(OH單調(diào)遞減，在［1,+8)單調(diào)遞增

故gOOmin=g(D=e

又"（x）=e（l:lnx）,。＜無(wú)卜,勿（無(wú)》0；x＞e,h\x）＜0

X

所以/z（x）在（o,e］單調(diào)遞增，在［e,+8）單調(diào)遞減

故"（x）max=/z（e）=e

因?yàn)間（X）mm=丸（?max且兩個(gè)函數(shù)的最值點(diǎn)不相等

所以有g(shù)。）〉Hx）,原不等式得證

20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）巫；（3）不存在；理由見(jiàn)解析

10

【解析】（1）連接Ad,AiD,交于點(diǎn)。，所以點(diǎn)。是AN的中點(diǎn)，連接歹O,根據(jù)判定定理證明四邊形AE尸。是平

行四邊形，進(jìn)而得到線面平行；（2）建立坐標(biāo)系，求出兩個(gè)面的法向量，求得兩個(gè)法向量的夾角的余弦值，進(jìn)而得到

二面角的夾角的余弦值；（3）假設(shè)在線段4A上存在一點(diǎn)M,使得平面E尸。，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，由第二問(wèn)得

到平面EFO的一個(gè)法向量，判斷出和該法向量不平行，故不存在滿足題意的點(diǎn)

【詳解】（1）證明：連接Ad,AiD,交于點(diǎn)。，所以點(diǎn)。是40的中點(diǎn)，連接尸。

因?yàn)榇跏茿C的中點(diǎn)，

所以。尸〃CD,OF=gcD

因AE//CD,AE=—CD,

2

所以。尸〃AE,OF=AE

所以四邊形AEFO是平行四邊形

所以E尸〃40

因?yàn)镋FC平面AOZMi,AOu平面ADZMi,

所以E歹〃平面ADDiAi

（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線A5,AD,應(yīng)和分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)辄c(diǎn)E,尸分別是A3,AC的中點(diǎn)，AD^AAi=2,AB=也,

所以仇后，0,0),0(0,2,0),片［*,0,0、

7

所以。E=EF=(0>1，1)

設(shè)平面E尸。的法向量為；;=(8y,z)，

^-x-2y=0,

n-DE=0,

則即《

n-EF=0,

y+z=0.

令y=L則z=-l,x=2&

所以z；=(2及1)，

由題知，平面OEC的一個(gè)法向量為機(jī)=(0,0,1),

TM

所以cos<〃，m>=r—=-----.

VlOxl10

所以平面EFD與平面DEC的夾角的余弦值是.

10

(3)假設(shè)在線段AiDi上存在一點(diǎn)M,使得平面EFD

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,f,2)(02),則兩二(_垃,t,2)

因?yàn)槠矫鍱FD的一個(gè)法向量為n=(272,1,-1).而引W與1不平行,

所以在線段AiDi上不存在點(diǎn)M,使得平面EFD

21、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)-Y3

3

【解析】(1)作輔助線，由中位線定理證明。E〃3D1,再由線面平行的判定定理證明即可；

(2)連接用O,AB1，由勾股定理證明E