2024屆湖南省株洲市高三年級上冊一模數(shù)學試題及答案

株洲市2024屆高三年級教學質(zhì)量統(tǒng)一檢測（一）

數(shù)學

班級：姓名：準考證號：

（本試卷共4頁，22題，考試用時120分鐘，全卷滿分150分）

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號寫在試題卷和答題卡上，并將準考證條形碼粘貼在答題

卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用28鉛筆把答題卡上相應題目的答案標號涂黑。寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙和答

題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，將答題卡上交。

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.）

1.已知集合力={0,1},8={-1,0,.+3},且則。等于（）

A.1B.0C.-1D.-2

2.已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)z=i+2i?+3i3所對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.一次歌唱比賽中，由10位評委的打分得到一組樣本數(shù)據(jù).芯,%2，%3,…,去掉一個最高分，去掉一個

最低分后，與原始數(shù)據(jù)相比，一定不變的是（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.標準差D.極差

4.已知向量2=（2,0）,5=（0,3）,若實數(shù)2滿足（篇一萬）則;1=（）

5.已知歹=/（x）是定義在/上的函數(shù)，屈為常數(shù)，則“Vxe/,”是"/（x）的最大值為AT

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知x/eR*若3，=4，且2x=ay,則。=（）

A.2log32B.log32C.2log23D.4log32

7.直線八4為圓與。2：/+/一6%一8歹=0的公切線，設小,2的夾角為仇則sin。的值

為（）

34〃1224

A.-B.-C?—D.—

552525

8.在非直角△48。中，tan%、tan5.tanC成等比數(shù)列，則N8的取值范圍是（)

7171兀5兀

A.B.

~3924512

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）

9.已知雙曲線。：/-幺=1,則下列說法中正確的是（）

2

A.雙曲線C的實軸長為2B.雙曲線C的焦點坐標為（0±JJ）

C.雙曲線C的漸近線方程為夕=±5-'D.雙曲線C的離心率為G

10.高中學生要從必選科目（物理和歷史）中選一門，再在化學、生物、政治、地理這4個科目中，依照個人興

趣、未來職業(yè)規(guī)劃等要素，任選2個科目構(gòu)成“1+2選考科目組合”參加高考.已知某班48名學生關(guān)于選考

科目的結(jié)果統(tǒng)計如下：

選考科目名稱物理化學生物歷史地理政治

選考該科人數(shù)36392412ab

下面給出關(guān)于該班學生選考科目的四個結(jié)論中，正確是（）

A.a+b=33

B.選考科目組合為“歷史+地理+政治”的學生可能超過9人

C.在選考化學的所有學生中，最多出現(xiàn)6種不同的選考科目組合

D.選考科目組合為“歷史+生物+地理”的學生人數(shù)一定是所有選考科目組合中人數(shù)最少的

11.小學實驗課中，有甲、乙兩位同學對同一四面體進行測量，各自得到了一條不全面的信息：甲同學：四面

體有兩個面是等腰直角三角形；乙同學：四面體有一個面是邊長為1的等邊三角形.那么，根據(jù)以上信息，該

四面體體積的值可能是（）

1B石c叵口6

A.-

6121224

12.設（、6+2『"[〃￡]\*）的整數(shù)部分為%,小數(shù)部分為“，則下列說法中正確的是（）

A.數(shù)列是等比數(shù)列B.數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列

C〃,（%+4）=1D.（1-4）（%+"）=1

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.若半徑為R的球。是圓柱的內(nèi)切球，則該球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差為.

14.在x（x—l）（x+l『的展開式中，含/的項的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

15.已知函數(shù)/(x)=C0S(5+e)(0>0,0<(P<7l）,若/（X）為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則

3的最大值為.

16.已知△Z8C為等腰三角形，其中=點。為邊NC上一點，cos5=-.以點8、。為焦點的橢

3

圓E經(jīng)過點/與C,則橢圓￡的離心率的值為.

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（本小題滿分10分）在△/BC中，8c=26，點。在邊上，且Z8CD為銳角，CD=2,XBCD

的面積為4.

⑴求cos/BGD的值；

（2）若2=30。,求邊4c的長.

18.（本小題滿分12分）如圖，四邊形Z8CZ）為直角梯形，其中AB1AD,AB=BC=2AD,

點E為BC的中點，以OE為折痕把△OCE折起，使點C到達點P的位置，且使尸=90。，連接/尸、

BP.

（1）求證：平面平面PDE：

（2）求平面PDA與平面PBE的夾角的余弦值.

19.（本小題滿分12分）各項都為整數(shù)的數(shù)列｛七｝滿足生=-2,%=4,前6項依次成等差數(shù)列，從第5項

起依次成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）求出所有的正整數(shù)m,使得am+a,?+l+am+2=amam+]am+2.

20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)/（x）=（x+o）e及在處的切線方程為y=e（x—l）,其中e為自然

常數(shù).

⑴求。，6的值及/（x）的最小值；

⑵設玉，X2是方程/（力=履2-2（左〉2）的兩個不相等的正實根，證明：k1—x,|>ln3.

e

21.（本小題滿分12分）在直角坐標系》/中，點尸（2,4）為拋物線。：/=2夕工（2>0）上一點，點M、N為

X軸正半軸(不含原點)上的兩個動點，滿足PM=PN,直線尸A/、PN與拋物線C的另一個交點分別為點4、

8.

(1)求直線Z8的斜率；

(2)求MAB面積的取值范圍.

22.(本小題滿分12分)品酒師需要定期接受品酒鑒別能力測試，測試方法如下：拿出〃瓶外觀相同但品質(zhì)不

同的酒讓其品嘗，要求按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，經(jīng)過一段時間，等他等記憶淡忘之后，再讓他品嘗這〃瓶酒,

并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試.

設在第一次排序時被排為1,2,3....〃的〃種酒，在第二次排序時的序號為…％，并令

乂=力一%,稱x是兩次排序的偏離度.

1=1

評委根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離度的高低為其評分.

(1)當〃=3時，若％,出,小等可能地為1，2,3的各種排列，求X的分布列；

(2)當〃=4時，

①若等可能地為L2,3,4的各種排列，計算XW2的概率：

②假設某品酒師在連續(xù)三輪測試中，都有XW2(各輪測試相互獨立)，你認為該品酒師的鑒別能力如何，請說

明理由.

機密★啟用前

株洲市2024屆高三年級教學質(zhì)量統(tǒng)一檢測（一）

數(shù)學答案及評分標準

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選於題）兩部分.

港分150分，考試時間120分鐘

一、選擇題（本遁共8小彪，每小懣5分，共40分.在每小造給出的四個選項中，只有一項走符合題目典求

的.）

題號12345678

答案DCBABDDB

二、選擇題（本題共4小麴，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合版目央求.全部選時

的得5分，有選錯的得0分，部分選對?的得2分.）

題號9101112

答案ADACBCDABC

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

題號13141516

答案0-33V3

2

四、解答題（本懣共6小颼，共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演其步.喙.）

17.（本小題滿分10分）

<7

解：（I）在MCD中，因為BC=2后，8=2,陽8的面積為4,

,2#/

所以S28=jx2x2布XsinNBCD=4，所以sinZBCD=；，......................3分

因為N8C。為銳角，所以cosNBCD=4~...............5分（沒說明N8CD為銳角，扣1分）

（2）在MCD中，由余弦定理8/）2=802+止2—280.DC.cos"8=16,則30=4,……7分

因為BD?+DC?=BC>所以"￡>C=90。，...........................................8分

數(shù)學試題卷第1頁（共5頁）

(2)由(1)可知，DELBC,DEJ.BE,DELPE,又ADLPE,ADClDE=D

PE上平面ABED,PE工BE,......................6分

以EB,ED,EP為x,y,z,軸建立空間直角坐標系H-呼n,

設40=1,則￡>(0,2,0),尸(0,0,1)，71(1,2,0)............7分

平面6"的一個法向量為而=(0,2.0).......................8分

設平面尸D4的一個法向量為n={x,y,z),

n-DP=0[-2y+z=0-

則t:_____，即《J,取y=l,則〃=r(0,L2),

n-DA=0k=0

設平面PDA與平面PBE的夾角為6,則cos。=卜05口,而）卜*..................12分

19.（本小題滿分12分）

解：（1）前6項所成等差數(shù)列的公差為d,則%=-2+3H,a6=-2+4t/,................1分

?.?4,%.生成等比數(shù)列，=即（-2+4田2=4（-2+34）,....................2分

3

化簡得：4d2—74+3=0,解得：4=1或d=2........................................................3分

4

又???4為整數(shù)，.?.4=1.............................................................................................4分

n—4.n<5?-4.?<6

,(或a.=<.............................................................6分

2n-s,n>6

(2)依題意o,=-3,a2=-2?%=—1，q=°.q=1,a=2

數(shù)學試題卷第2a（共5頁）

當加=1時，q+q+G=-6=q/q；當機=2時，+a,+=-3；a2?a,?a4=0；

當加=3時.4+%+%==0；當加=4時，%+4+%=3；。4'%'4=°；

.*.m=1或"?=3符合題意；...................................................9分

當用25時，若存在正整數(shù)陰，使得5+4e+%+2=%%“％,2，

則2m's+2m~4+2m-J=2M7.2”’.2m~3......................................10分

即1+2+2?=2""7,即2—=7

：為偶數(shù),7為奇數(shù)，所以方程無解，即加25時，不存在力符合題意

綜上所述：m=1或m=3....................................................12分

20.(木小題滿分12分)

解：(1)/'(x)=(l+6x+ab)/......................................................1分

依題意，'0)=，.1a+b+")eb=e,=T..................................3

/⑴=0(1+a)e=016=]

」?/(x)=(x-1)/，1㈤=xe'，

當xe(-oo,0)時,f(x)<Q,/(x)單調(diào)遞減;

當X€(0,y)時，/(X)>0,/"(X)單調(diào)遞增，......................................4分

?1?/W.ni?=/(0)=-l..............................................................5分

(2)方程/(》)=/2，即為(x-l)e*-收+2=0，設函數(shù)g(x)=(xl)e'-i2(x>0).

則g'(x)=xe，-2Ax=Me'.由g'(x)=()，解得x=。，或x=ln(及)....................6分

當xG(0,hi(2Aj)時，g'(x)<0?函數(shù)g(x)在(0,ln(2^))單調(diào)遞減,

當xe(ln(2A),+8)時,g'(x)>0.函數(shù)g(x)在(ln(2A),+8)上單調(diào)遞增.......................8分

由無>2,得ln(")〉ln4>l.又因為g(l)=-C+2<0,所以g(ln("))<0.

不妨設芭(其中X，巧為八刈=去2-2的兩個正實數(shù)根)，

因為函數(shù)g(x)在(0,ln(次))單調(diào)遞減,且g(0)=l>0,g⑴=-左+2<0,所以0<演<1.......10分

同理根據(jù)函數(shù)g(x)在(ln("),+8)上單調(diào)遞增，且g(1n(X))<0,

44

可得與>ln(X)>ln4,所以|再一Xz|=x,一演>ln4-l=ln—，即|內(nèi)一x,|>ln-...............12分

ee

數(shù)學試題卷第3頁(決?5頁)

21.（本小題滿分12分）

解：（1）?.?點尸（2,4）在拋物線。：、2=2〃為,>0）上，.?.42=40，p=41分

設力（4乂），3（%,%）,R4的斜率為上,?.?RW=PN,.?.尸8的斜率為一上，2分

.乂88

..---------------------T------------------------------------------------------~T~---------=0?得x+y2=-8，4分

士一2X2-2乂+48+4

=及二匕■=」一=一1,直線的斜率為-1.

,AB5分

々一大乂+%

2

v—Qr

C2)由（1）可設直線力。的方程為x=-y+b,聯(lián)立<二一’得「+8i=°

A>0.得b>-2,乂+必=-8?幾%=-8Z>6分

又：K<0,必<0,/.-2<<0,7分

|,4劇=0|必一閔=+）為『一4乂），2=8J2+6……8分

設點P到直線48的距離為d,則4=笆晟!

出的面積為S.=^4B\-d=2j2\6-^2+b

9分

設/伯)=8(6-/>)2(2+〃)(-2<8<0),則/XguBS—6)(36—2)>0

."S）在（一2,0）上單調(diào)遞減,10分

/./(-2)</(b)</(0)，即0</(b)<576,11分

.?.0<5必3<24,即位/第面積的取值范圍為（0,24）.12分

22.（本小題滿分12分,

解：（1）當〃=3時,

G112233

電231312

出323121

X022444

數(shù)學試邈卷第4fi（共5頁）

X的可能取值集合為{0,2,4}..............................................................................................1分

PCT=0)=-,A%=2)=-,Ay=4)=-................................................4分

632

???X的分布列為

X024

P11

632

........................................................................................................................................................5分

(2)①當〃=4時.

州111111222222

02223344113344

⑦342423341413

3

O144232434131

X022444244666

33