高中數(shù)學(xué)人教A版必修5課時(shí)跟蹤檢測(cè)（三）解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例

課時(shí)跟蹤檢測(cè)（三）解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1.學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖，測(cè)得AC的長(zhǎng)度為4m，∠A＝30°，則其跨度AB的長(zhǎng)為()A．12m B．8mC．3eq\r(3)m D．4eq\r(3)m解析：選D由題意知，∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，即AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(4·sin120°,sin30°)＝4eq\r(3).2．一艘船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68nmile的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為()A.eq\f(17\r(6),2)nmile/h B．34eq\r(6)nmile/hC.eq\f(17\r(2),2)nmile/h D．34eq\r(2)nmile/h解析：選A如圖所示，在△PMN中，eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝eq\f(68×\r(3),\r(2))＝34eq\r(6)，∴v＝eq\f(MN,4)＝eq\f(17\r(6),2)nmile/h.3.如圖，D，C，B三點(diǎn)在地面同一直線上，DC＝a，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)仰角分別是β，α(α<β)，則A點(diǎn)離地面的高度AB等于()A.eq\f(asinα·sinβ,sinβ－α)B.eq\f(asinα·sinβ,cosα－β)C.eq\f(asinα·cosβ,sinβ－α)D.eq\f(acosα·sinβ,cosα－β)解析：選A設(shè)AB＝x，則在Rt△ABC中，CB＝eq\f(x,tanβ)，所以BD＝a＋eq\f(x,tanβ)，又因?yàn)樵赗t△ABD中，BD＝eq\f(x,tanα)，所以BD＝a＋eq\f(x,tanβ)＝eq\f(x,tanα)，從中求得x＝eq\f(a,\f(1,tanα)－\f(1,tanβ))＝eq\f(atanαtanβ,tanβ－tanα)＝eq\f(asinαsinβ,sinβcosα－sinαcosβ)＝eq\f(asinαsinβ,sinβ－α)，故選A.4．設(shè)甲、乙兩幢樓相距20m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩幢樓的高分別是()A．20eq\r(3)m，eq\f(40\r(3),3)m B．10eq\r(3)m,20eq\r(3)mC．10(eq\r(3)－eq\r(2))m,20eq\r(3)m D.eq\f(15\r(3),2)m，eq\f(20\r(3),3)m解析：選A由題意，知h甲＝20tan60°＝20eq\r(3)(m)，h乙＝20tan60°－20tan30°＝eq\f(40\r(3),3)(m)．5．甲船在島B的正南A處，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同時(shí)乙船自島B出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們的航行時(shí)間是()A.eq\f(150,7)min B.eq\f(15,7)hC．21.5min D．2.15h解析：選A由題意可作出如圖所示的示意圖，設(shè)兩船航行t小時(shí)后，甲船位于C點(diǎn)，乙船位于D點(diǎn)，如圖．則BC＝10－4t，BD＝6t，∠CBD＝120°，此時(shí)兩船間的距離最近，根據(jù)余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos∠CBD＝(10－4t)2＋36t2＋6t(10－4t)＝28t2－20t＋100，所以當(dāng)t＝eq\f(5,14)時(shí)，CD2取得最小值，即兩船間的距離最近，所以它們的航行時(shí)間是eq\f(150,7)min，故選A.6．某人從A處出發(fā)，沿北偏東60°行走3eq\r(3)km到B處，再沿正東方向行走2km到C處，則A，C兩地的距離為________km.解析：如圖所示，由題意可知AB＝3eq\r(3)，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×3eq\r(3)×2×cos150°＝49，AC＝7.則A，C兩地的距離為7km.答案：77．坡度為45°的斜坡長(zhǎng)為100m，現(xiàn)在要把坡度改為30°，則坡底要伸長(zhǎng)________m.解析：如圖，BD＝100，∠BDA＝45°，∠BCA＝30°，設(shè)CD＝x，所以(x＋DA)·tan30°＝DA·tan45°，又DA＝BD·cos45°＝100×eq\f(\r(2),2)＝50eq\r(2)，所以x＝eq\f(DA·tan45°,tan30°)－DA＝eq\f(50\r(2)×1,\f(\r(3),3))－50eq\r(2)＝50(eq\r(6)－eq\r(2))m.答案：50(eq\r(6)－eq\r(2))8．一蜘蛛沿東北方向爬行xcm捕捉到一只小蟲，然后向右轉(zhuǎn)105°，爬行10cm捕捉到另一只小蟲，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135°爬行回它的出發(fā)點(diǎn)，那么x＝________cm.解析：如圖所示，設(shè)蜘蛛原來在O點(diǎn)，先爬行到A點(diǎn)，再爬行到B點(diǎn)，易知在△AOB中，AB＝10cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，則∠AOB＝60°，由正弦定理知：x＝eq\f(AB·sin∠ABO,sin∠AOB)＝eq\f(10×sin45°,sin60°)＝eq\f(10\r(6),3)(cm)．答案：eq\f(10\r(6),3)9.如圖，甲船以每小時(shí)30eq\r(2)海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10eq\r(2)海里，求乙船航行的速度．解：如圖，連接A1B2，在△A1A2B2中，易知∠A1A2B2＝60°，又易求得A1A2＝30eq\r(2)×eq\f(1,3)＝10eq\r(2)＝A2B2，∴△A1A2B2為正三角形，∴A1B2＝10eq\r(2).在△A1B1B2中，易知∠B1A1B2＝45°，∴(B1B2)2＝400＋200－2×20×10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝200，∴B1B2＝10eq\r(2)，∴乙船每小時(shí)航行30eq\r(2)海里．10．如圖所示，某旅游景點(diǎn)有一座風(fēng)景秀麗的山峰，山上有一條筆直的山路BC和一條索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2個(gè)小時(shí)的時(shí)間進(jìn)行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1千米，AC＝3千米．假設(shè)小王和小李徒步攀登的速度為每小時(shí)1.2千米，請(qǐng)問：兩位登山愛好者能否在2個(gè)小時(shí)內(nèi)徒步登上山峰(即從B點(diǎn)出發(fā)到達(dá)C點(diǎn))．解：由∠ADC＝150°知∠ADB＝30°，由正弦定理得eq\f(1,sin30°)＝eq\f(AD,sin120°)，所以AD＝eq\r(3).在△ADC中，由余弦定理得：AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos150°，即32＝(eq\r(3))2＋DC2－2·eq\r(3)·DCcos150°，即DC2＋3·DC－6＝0，解得DC＝eq\f(－3＋\r(33),2)≈1.372(千米)，∴BC≈2.372(千米)，由于2.372<2.4，所以兩位登山愛好者能夠在2個(gè)小時(shí)內(nèi)徒步登上山峰.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1.如圖，從氣球A上測(cè)得其正前下方的河流兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高度AD是60m，則河流的寬度BC是()A．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m解析：選C由題意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60m，∴AC＝120m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝eq\f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)＝eq\f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝120(eq\r(3)－1)(m)．2.如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖．支桿BC＝10m，吊桿AC＝15m，吊索AB＝5eq\r(19)m，起吊的貨物與岸的距離AD為()A．30m B.eq\f(15\r(3),2)mC．15eq\r(3)m D．45m解析：選B在△ABC中，AC＝15m，AB＝5eq\r(19)m，BC＝10m，由余弦定理得cos∠ACB＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2×AC×BC)＝eq\f(152＋102－5\r(19)2,2×15×10)＝－eq\f(1,2)，∴sin∠ACB＝eq\f(\r(3),2).又∠ACB＋∠ACD＝180°，∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝eq\f(\r(3),2).在Rt△ADC中，AD＝AC·sin∠ACD＝15×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),2)m.3.如圖所示，要測(cè)量底部不能到達(dá)的某電視塔AB的高度，在塔的同一側(cè)選擇C，D兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，且在C，D兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測(cè)得∠BCD＝120°，C，D兩地相距500m，則電視塔AB的高度是()A．100eq\r(2)m B．400mC．200eq\r(3)m D．500m解析：選D設(shè)AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝eq\r(3)x.在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500m，由余弦定理得(eq\r(3)x)2＝x2＋5002－2×500xcos120°，解得x＝500m.4.如圖所示，位于東海某島的雷達(dá)觀測(cè)站A，發(fā)現(xiàn)其北偏東45°，與觀測(cè)站A距離20eq\r(2)海里的B處有一貨船正勻速直線行駛，半小時(shí)后，又測(cè)得該貨船位于觀測(cè)站A東偏北θ(0°<θ<45°)的C處，且cosθ＝eq\f(4,5).已知A，C兩處的距離為10海里，則該貨船的船速為()A．4eq\r(85)海里/小時(shí) B．3eq\r(85)海里/小時(shí)C．2eq\r(7)海里/小時(shí) D．4eq\r(6)海里/小時(shí)解析：選A因?yàn)閏osθ＝eq\f(4,5)，0°<θ<45°，所以sinθ＝eq\f(3,5)，cos(45°－θ)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,5)＝eq\f(7\r(2),10)，在△ABC中，BC2＝(20eq\r(2))2＋102－2×20eq\r(2)×10×eq\f(7\r(2),10)＝340，所以BC＝2eq\r(85)，該貨船的船速為eq\f(2\r(85),\f(1,2))＝4eq\r(85)海里/小時(shí)．5.如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練．已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大?。鬉B＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，則tanθ的最大值是________．(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角)解析：如圖，過點(diǎn)P作PO⊥BC于點(diǎn)O，連接AO，則∠PAO＝θ.設(shè)CO＝x，則OP＝eq\f(\r(3),3)x.在Rt△ABC中，AB＝15，AC＝25，所以BC＝20.所以cos∠BCA＝eq\f(4,5).所以AO＝eq\r(625＋x2－2×25x×\f(4,5))＝eq\r(x2－40x＋625).故tanθ＝eq\f(\f(\r(3),3)x,\r(x2－40x＋625))＝eq\f(\f(\r(3),3),\r(1－\f(40,x)＋\f(625,x2)))＝eq\f(\f(\r(3),3),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,x)－\f(4,5)))2＋\f(9,25))).當(dāng)eq\f(25,x)＝eq\f(4,5)，即x＝eq\f(125,4)時(shí)，tanθ取得最大值為eq\f(\f(\r(3),3),\f(3,5))＝eq\f(5\r(3),9).答案：eq\f(5\r(3),9)6．甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°方向的B處，兩船相距anmile，乙船正向北行駛，若甲船的速度是乙船的eq\r(3)倍，則甲船應(yīng)沿________方向行駛才能追上乙船；追上時(shí)甲船行駛了________nmile.解析：如圖所示，設(shè)在C處甲船追上乙船，乙船到C處用的時(shí)間為t，乙船的速度為v，則BC＝tv，AC＝eq\r(3)tv，又B＝120°，則由正弦定理eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，得eq\f(1,sin∠CAB)＝eq\f(\r(3),sin120°)，∴sin∠CAB＝eq\f(1,2)，∴∠CAB＝30°，∴甲船應(yīng)沿北偏東30°方向行駛．又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴BC＝AB＝anmile，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BCcos120°)＝eq\r(a2＋a2－2a2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(3)a(nmile)答案：北偏東30°eq\r(3)a7.如圖所示，在社會(huì)實(shí)踐中，小明觀察一棵桃樹．他在點(diǎn)A處發(fā)現(xiàn)桃樹頂端點(diǎn)C的仰角大小為45°，往正前方走4m后，在點(diǎn)B處發(fā)現(xiàn)桃樹頂端點(diǎn)C的仰角大小為75°.(1)求BC的長(zhǎng)；(2)若小明身高為1.70m，求這棵桃樹頂端點(diǎn)C離地面的高度(精確到0.01m，其中eq\r(3)≈1.732)．解：(1)在△ABC中，∠CAB＝45°，∠DBC＝75°，則∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4，由正弦定理得eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(4,sin30°)，解得BC＝4eq\r(2)(m)．即BC的長(zhǎng)為4eq\r(2)m.(2)在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝4eq\r(2)，所以DC＝4eq\r(2)sin75°.因?yàn)閟in75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝eq\f(