遼寧省沈陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2021屆遼寧省沈陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】首先解不等式表示集合，然后根據(jù)集合交集的概念即可求出結(jié)果.【詳解】∵，或∴或故選：D.2．復(fù)數(shù)滿足：，則的虛部等于（）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】首先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)定義求虛部.【詳解】，所以的虛部是.故選：B3．某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從甲、乙兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)用戶，根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分，分別得到甲地區(qū)和乙地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖．若甲地區(qū)和乙地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的中位數(shù)分別為m1，m2；平均數(shù)分別為s1，s2，則下面正確的是（）A．m1＞m2，s1＞s2 B．m1＞m2，s1＜s2C．m1＜m2，s1＜s2 D．m1＜m2，s1＞s2【答案】C【分析】利用頻率分布直方圖分別求出甲地區(qū)和乙地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的中位數(shù)和平均數(shù)，由此能求出結(jié)果．【詳解】由頻率分布直方圖得：甲地區(qū)[40，60）的頻率為：（0.015+0.020）×10＝0.35，[60，70）的頻率為0.025×10＝0.25，∴甲地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的中位數(shù)m1＝6066，甲地區(qū)的平均數(shù)s1＝45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10＝67．乙地區(qū)[50，70）的頻率為：（0.005+0.020）×10＝0.25，[70，80）的頻率為：0.035×10＝0.35，∴乙地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的中位數(shù)m2＝7010≈77.1，乙地區(qū)的平均數(shù)s2＝55×0.005×10+65×0.020×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.015×10＝77.5．∴m1＜m2，s1＜s2．故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)的求法與比較，考查頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．條形分布直方圖的面積表示的是概率值，中位數(shù)是位于最中間的數(shù)，故直接找概率為0.5的即可；平均數(shù)是每個(gè)長(zhǎng)方條的中點(diǎn)乘以間距再乘以長(zhǎng)方條的高，將每一個(gè)數(shù)值相加得到.4．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別判斷與0和1的大小，即可得結(jié)果．【詳解】∵，，，

∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問(wèn)題，屬于難題.解答比較大小問(wèn)題，常見(jiàn)思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個(gè)區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問(wèn)題也可以兩種方法綜合應(yīng)用.5．已知是第二象限角，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα的值，進(jìn)而根據(jù)二倍角的正弦公式即可求解．【詳解】解：因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，sinα，所以cosα，則sin2α＝2sinαcosα＝2．故選：A．6．四個(gè)人排一個(gè)五天的值班表，每天一人值班，并且每個(gè)人至少值班一次，則有（）種不同的排班方式．A．240 B．480 C．420 D．360【答案】A【分析】首先分步：天任選天安排一個(gè)人值班，然后余下的人全排即可求解.【詳解】根據(jù)題意，分步進(jìn)行分析，①在人中選出人，天中任選天安排該人值班，有種；②將剩下人，安排到其余天值班，有種，則有種不同的排班方式.故選：A7．已知拋物線：（），過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別過(guò)點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，設(shè)與軸交于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，設(shè)與軸交于點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，，則，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)：，所以，解得.故選：B8．在底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)等于2，則（）A．在正四棱柱的棱上到異面直線和距離相等的點(diǎn)有且只有一個(gè)B．在正四棱柱的棱上到異面直線和距離相等的點(diǎn)有且只有兩個(gè)C．在正四棱柱的棱上到異面直線和距離相等的點(diǎn)有且只有三個(gè)D．在正四棱柱的棱上到異面直線和距離相等的點(diǎn)有且只有四個(gè)【答案】D【分析】分類逐個(gè)討論，計(jì)算距離及其變化趨勢(shì)，進(jìn)而判斷即可【詳解】如圖，為、的公垂線，故公垂線的中點(diǎn)到異面直線和距離相等的點(diǎn)，明顯地，點(diǎn)到異面直線和距離也相等；設(shè)為棱上某點(diǎn)到的距離，為該點(diǎn)到的距離，在，，，上，有，，無(wú)交集，排除；在上，，即，有交集，故有一個(gè)交點(diǎn)，在上，，，有交集，存在一點(diǎn)，與的交點(diǎn)，故有4個(gè)點(diǎn)，有且只有4個(gè)點(diǎn)滿足.故答案選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：設(shè)為棱上某點(diǎn)到的距離，為該點(diǎn)到的距離，對(duì)棱柱內(nèi)每條棱進(jìn)行判斷即可，屬于中檔題二、多選題9．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比，，則（）A．一定是遞增數(shù)列 B．可能是遞增數(shù)列也可能是遞減數(shù)列C．、、仍成等比 D．，【答案】BCD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，為遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)，時(shí)，為遞減數(shù)列，當(dāng)，時(shí)，為遞增數(shù)列，故B正確；對(duì)C，等比數(shù)列，則、、仍成等比，故C正確；對(duì)D，等比數(shù)列中，，則必不為0，故D正確.故選：BCD.10．定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足，且時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則（）A． B．是周期函數(shù)C．方程有唯一實(shí)數(shù)解 D．函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減【答案】AC【分析】對(duì)A，令即可得出；對(duì)B，由已知可得的圖象關(guān)于對(duì)稱，再根據(jù)單調(diào)性可判斷；對(duì)C，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得；對(duì)D，根據(jù)對(duì)稱結(jié)合當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增可得.【詳解】對(duì)A，，令，則，則，故A正確；對(duì)B，，即，的圖象關(guān)于對(duì)稱，且時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故不是周期函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，在上單調(diào)遞增，且，所以方程有唯一實(shí)數(shù)解，故C正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于對(duì)稱，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是得出的圖象關(guān)于對(duì)稱.11．為了得到的圖象只需把函數(shù)的圖象（）A．向右平移 B．向左平移C．關(guān)于直線軸對(duì)稱 D．關(guān)于直線軸對(duì)稱【答案】ABD【分析】利用三角函數(shù)的平移變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】向右平移，可得，故A正確；向左平移，可得，故B正確；設(shè)，若關(guān)于直線軸對(duì)稱，則，故C錯(cuò)誤；若關(guān)于直線軸對(duì)稱，故D正確.故選：ABD12．方程的根為，的根為，則（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】觀察兩個(gè)函數(shù)的解析式易發(fā)現(xiàn)與和函數(shù)的交點(diǎn)，即為函數(shù)和的零點(diǎn)，作出函數(shù)圖象即可判斷選項(xiàng)A；通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，再利用其單調(diào)性來(lái)構(gòu)造相關(guān)的不等式，可以判斷選項(xiàng)B；利用基本不等式的相關(guān)性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C；構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性和的取值范圍進(jìn)行分析求解，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】令，，則函數(shù)與和函數(shù)的交點(diǎn)，即為函數(shù)和的零點(diǎn)，作出函數(shù)、、、的圖象如下所示，選項(xiàng)A，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，又因?yàn)?，所以，且，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，因?yàn)?，由零點(diǎn)存在性定理可知，記，則，故當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，即，又，故，故B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，又因?yàn)?，所以，由基本不等式可得，而，所以，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，記，則，，則，由，易知在單調(diào)遞增，故，故D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，涉及了對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為、、函數(shù)的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，綜合性比較強(qiáng)，對(duì)于學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、構(gòu)造函數(shù)的能力以及計(jì)算能力都有很高的要求.三、填空題13．已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則______．【答案】10【分析】由雙曲線方程可知，，從而可得，進(jìn)而求出焦距.【詳解】由，則，，所以，所以.故答案為：1014．已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】8【分析】利用“1”的代換，將轉(zhuǎn)化為，然后化簡(jiǎn)整理，利用均值不等式即可求出結(jié)果.【詳解】∵∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：8.【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意三個(gè)必須滿足的條件：1.一正：各項(xiàng)必須均為正數(shù)；2.二定：求和的最小值時(shí)必須把構(gòu)成的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；求積的最大值時(shí)，必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化為定值；3.三相等：利用均值不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值.15．某校為了豐富學(xué)生的課余生活，組建了足球、籃球、排球、羽毛球四個(gè)興趣小組，要求每一名學(xué)生選擇其中的兩個(gè)小組參加．現(xiàn)有，，，四位同學(xué)，已知與沒(méi)有選擇相同的興趣小組，與沒(méi)有選擇相同的興趣小組，與選擇的興趣小組恰有一個(gè)相同，且選擇了足球興趣小組．給出如下四個(gè)判斷：①可能沒(méi)有選擇足球興趣小組；②、選擇的兩個(gè)興趣小組可能都相同；③可能沒(méi)有選擇籃球興趣小組；④這四人中恰有兩人選擇足球興趣小組；其中正確判斷是______．【答案】①③④【分析】利用圖示法說(shuō)明①③正確；由反證法思維說(shuō)明②錯(cuò)誤；直接推理證明④正確．【詳解】對(duì)于①，若沒(méi)有選擇足球興趣小組，則與相同的為其它三項(xiàng)中的一項(xiàng)，可以是如下選法：故①正確；對(duì)于②，、選擇的兩個(gè)興趣小組都相同，因?yàn)榕c不同，所以與不同，而與有一個(gè)相同，故必有一個(gè)與相同，與題意不符，故②錯(cuò)誤；由分析①的圖示可知，可能沒(méi)有選擇籃球興趣小組，故③正確；對(duì)于④，已選了足球，則不選足球，若選足球，則不選足球，若選足球，則不選足球，且與中必有一人選足球，故這四人中恰有兩人選擇足球興趣小組，故④正確．故答案為：①③④．16．已知，，是平面向量，，是單位向量，且，若，則最大值是______．【答案】【分析】以的正方向?yàn)閤軸的正方向，以的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，根據(jù)原等式可知的終點(diǎn)B在圓上，作出圖象，利用的幾何意義即可得解．【詳解】以的正方向?yàn)閤軸的正方向，以的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系，則由已知得，設(shè)，，則由得，即，所以的終點(diǎn)B在圓上，圓心，半徑，又單位向量與的夾角為，所以的終點(diǎn)A在射線上，所以，設(shè)，則，又，所以的最大值等于圓心C到點(diǎn)M的距離加上圓的半徑，如下圖，所以，故答案為．四、解答題17．在①②③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．問(wèn)題：是否存在，它的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，的面積是，______？【答案】答案見(jiàn)解析.【分析】利用正弦定理的邊角互化以及三角形的面積公式求出，選①：解方程組可得，，再利用余弦定理即可求解；選②：利用正弦定理的邊角互化求出，，再利用余弦定理即可求解；選③：利用正弦定理的邊角互化可得，進(jìn)而求出，再利用余弦定理即可求解；【詳解】解：由知，，則，即．由得，．選①：，又，則，，代入，則，整理得，，則或（舍），即，由知．選②：，則，則，．由余弦定理知，．所以，．選③：，由正弦定理得，，所以．由，知．由余弦定理知，．所以，．18．某公司在聯(lián)歡活動(dòng)中設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有3個(gè)紅球和4個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．游戲參與者可以選擇有放回或者不放回的方式從中依次隨機(jī)摸出3個(gè)球，規(guī)定至少摸到兩個(gè)紅球?yàn)橹歇?jiǎng)．現(xiàn)有一位員工參加此摸獎(jiǎng)游戲．（1）如果該員工選擇有放回的方式（即每摸出一球記錄后將球放回袋中再摸下一個(gè)）摸球，求他能中獎(jiǎng)的概率；（2）如果該員工選擇不放回的方式摸球，設(shè)在他摸出的3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）該員工選擇哪種方式摸球中獎(jiǎng)的可能性更大？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，；（3）在有放回的摸球方式下，該員工中獎(jiǎng)可能性更大，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）如果是有放回的摸球，則每此摸到紅球的概率都是，再按照中獎(jiǎng)規(guī)則求概率；（2）如果是不放回的摸球，則按照超幾何分布列出分布列，并求數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果，分別求中獎(jiǎng)的概率的大小.【詳解】解：（1）在有放回方式下，記“他能中獎(jiǎng)”為事件，則．（2）由題意，隨機(jī)變量的可能值為0，1，2，3；，，，；所以的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望．（3）由（2），在不放回方式下，該員工能中獎(jiǎng)的概率為；由，所以，在有放回的摸球方式下，該員工中獎(jiǎng)可能性更大．19．在四棱錐中，底面，底面是菱形，，，點(diǎn)在棱上．（1）若，在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面，并說(shuō)明理由；（2）若直線與平面所成的角的正弦值是，求二面角的余弦值．【答案】（1）存在，點(diǎn)為中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）取，中點(diǎn)，，連接，，得出可證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量關(guān)系可求.【詳解】解：（1）存在，點(diǎn)為中點(diǎn)．取，中點(diǎn)，，連接，，，，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面．（2）取中點(diǎn)，連，又，底面是菱形，則，由題，，，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，設(shè)，（），，，設(shè)平面的法向量為，，，取，又，記直線與平面所成的角是，，整理得，，即，則或（舍）．則平面的法向量為，,設(shè)平面法向量，則，即，令，則，即．，由圖可得二面角為鈍角，則二面角的余弦值是．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角、面面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.20．已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列為等差數(shù)列，，且，（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，求的前項(xiàng)和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）首先利用數(shù)列和的關(guān)系式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用等差數(shù)列基本量法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ），利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，，兩式相減得（），又因?yàn)?，?shù)列是從第二項(xiàng)起，是公比為3的等比數(shù)列，所以．又因?yàn)?，且，解得，，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，，時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，成立所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列求通項(xiàng)和數(shù)列求和，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是確定的通項(xiàng)公式是分段形式，所以求時(shí)，需分和兩種情況討論數(shù)列的和，最后再合為一個(gè)形式.21．已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在軸上，離心率，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（為橢圓的半焦距）．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）的平分線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線與直線斜率的比值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)