九年級(下)數(shù)學模擬卷(附答案) (四)

九年級（下）數(shù)學模擬卷（附答案）

一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分）

1.（4分）計算|-3|的結果是（）

A.3B.C.-3D.工

33

2.（4分）如圖是由八個相同小正方體組成的幾何體，則其主視圖是（）

正面

商從業(yè)人員已達873000人，數(shù)字873000可用科學記數(shù)法表示為（）

A.8.73X103B.87.3X104C.8.73X105D.0.873X106

4.（4分）下列各式的計算結果為二的是（）

A.A7-（TB.a10-r672C.（a2）3D.（-a）2*a3

5.（4分）不等式組［xT>°的解集在數(shù)軸上表示為（）

I-3x+6》0

A.-0~1B.0i2~3^

C.-02VD,j1,

6.（4分）下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）

7.（4分）去年某市7月1日到7日的每一天最高氣溫變化如折線圖所示，則關于這組數(shù)據(jù)

A.最低溫度是32℃B.眾數(shù)是35℃

C.中位數(shù)是34℃D.平均數(shù)是33℃

8.（4分）在《九章算術》中有“盈不足術”的問題，原文如下：今有共買物，人出八，盈

三；人出七，不足四.問人數(shù)幾何？大意為：現(xiàn)有一些人共同買一個物品，每人出8元，

還盈余3元；每人出7元，則還差4元.問人數(shù)是多少？若設人數(shù)為尤，則下列關于x

的方程符合題意的是（）

A.8x-3=7x+4B.8（x-3）=7（x+4）

C.8x+4=7x-3D.—.x+4

78

9.（4分）如圖，在3X3的網(wǎng)格中，A,8均為格點，以點A為圓心，以的長為半徑作

弧，圖中的點C是該弧與格線的交點，貝Usin/BAC的值是（）

D?平

10.（4分）如圖，反比例函數(shù)>=上的圖象經(jīng)過正方形ABCD的頂點A和中心E,若點D

的坐標為（-1,0）,則/的值為（)

A.2B.-2C.2D.」

22

二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共24分）

11.（4分）已知。=（1）°,b=2~\貝Ua6（填或“=

2

12.（4分）正八邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)為度.

13.（4分）一個暗箱中放有除顏色外其他完全相同的機個紅球，6個黃球，3個白球現(xiàn)將球

攪勻后，任意摸出1個球記下顏色，再放回暗箱，通過大量重復試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球

的頻率穩(wěn)定在30%附近，由此可以估算機的值是.

14.（4分）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°,得到△ADE.這時點。、E、B恰好

在同一直線上，則/ABC的度數(shù)為.

15.（4分）已知關于x的一元二次方程（加-1）（2"-2）x-1=0有兩個相等實數(shù)根,

則m的值為

16.（4分）在平行四邊形ABC。中，AB=2,AO=3,點E為8c中點，連結AE,將△ABE

沿AE折疊到△ABE的位置，若/8AE=45°,則點斤到直線8C的距離為.

三、解答題：（本題共9小題，共86分）

17.（8分）解方程：叱-2x+l=i

23

22

18.（8分）先化簡，再求值：（-2-------9_）4.a_+3a,其中。=乂2.

a-3a-3，&32

19.（8分）如圖，在銳角△ABC中，AB=2cm,AC=3cm.

（1）尺規(guī)作圖：作BC邊的垂直平分線分別交AC,BC于點D、E（保留作圖痕跡，不

要求寫作法）；

（2）在（1）的條件下，連結2。，求△A3。的周長.

BC

20.（8分）為進一步弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校決定開展以下四項活動：A經(jīng)典古詩文

朗誦；8書畫作品鑒賞；C民族樂器表演；。圍棋賽.學校要求學生全員參與，且每人限

報一項.九年級（1）班班長根據(jù)本班報名結果，繪制出了如下兩個尚不完整的統(tǒng)計圖，

請結合圖中信息解答下列問題:

（1）直接填空：九年級（1）班的學生人數(shù)是,在扇形統(tǒng)計圖中，8項目所對應

的扇形的圓心角度

數(shù)是;

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）用列表或畫樹狀圖的方法，求該班學生小聰和小明參加相同項目活動的概率.

21.（8分）求證：矩形的對角線相等.（要求：畫出圖形，寫出已知，求證和證明過程）

22.（10分）如圖，菱形ABC。中，BC=?,ZC=135°,以點A為圓心的OA與3C相

切于點E.

（1）求證：CD是OA的切線；

（2）求圖中陰影部分的面積.

23.（10分）某公交公司決定更換節(jié)能環(huán)保的新型公交車.購買的數(shù)量和所需費用如下表所

示：

A型數(shù)量（輛）8型數(shù)量（輛）所需費用（萬元）

31450

23650

(1)求A型和8型公交車的單價；

(2)該公司計劃購買A型和B型兩種公交車共10輛，已知每輛A型公交車年均載客量

為60萬人次，每輛B型公交車年均載客量為100萬人次，若要確保這10輛公交車年均

載客量總和不少于670萬人次，則A型公交車最多可以購買多少輛？

24.(13分)如圖1,在矩形ABC。中，AB=&,AO=3,點E從點8出發(fā)，沿邊運

動到點C,連結DE,過點E作DE的垂線交AB于點F.

(1)求證：/BFE=/ADE；

(2)求的最大值；

(3)如圖2,在點E的運動過程中，以EF為邊,在所上方作等邊△EFG,求邊EG的

中點H所經(jīng)過的路徑長.

25.(13分)已知：二次函數(shù)y=o?+bx+c的圖象與x軸交于點A、2(-3,0),

頂點為C(-l,-2)

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖，過4C兩點作直線，并將線段AC沿該直線向上平移，記點A、C分別平

移到點。、E處.若點尸在這個二次函數(shù)的圖象上，且△￡)斯是以EE為斜邊的等腰直

角三角形，求點尸的坐標；

(3)試確定實數(shù)p,q的值，使得當pWxWq時，pWyWg.

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分）

L（4分）計算［-3|的結果是（）

A.3B.C.-3D.2

33

【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行計算.

【解答】解：1-31=3.

故選：A.

【點評】本題考查了絕對值的性質(zhì)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是

它的相反數(shù)；。的絕對值是0.

2.（4分）如圖是由八個相同小正方體組成的幾何體，則其主視圖是（）

正面

【分析】主視圖是從圖形的正面看所得到的圖形，根據(jù)小正方體的擺放方法，畫出圖形

即可.

【解答】解：主視圖有3歹U，從左往右分別有3,1,2個小正方形，

故選：C.

【點評】此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，關鍵是掌握主視圖是從物體的正面看得

到的視圖.

3.（4分）從泉州市電子商務中心獲悉，近年來電子商務產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展截止到3月，我市電

商從業(yè)人員已達873000人，數(shù)字873000可用科學記數(shù)法表示為（）

A.8.73X103B.87.3X104C.8.73X105D.0.873X106

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為。義10"的形式，其中l(wèi)W|a|＜lO,n為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當原數(shù)絕對值＞1時，〃是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，〃是負數(shù).

【解答】解：數(shù)字873000可用科學記數(shù)法表示為8.73X105.

故選：C.

【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其

中"為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定。的值以及”的值.

4.（4分）下列各式的計算結果為/的是（）

A.a1-a1B.C.（cz2）3D.（-a）2,a3

【分析】直接利用同底數(shù)哥的乘除運算法則以及暴的乘方運算法則計算得出答案.

【解答】解：4a7-a2,無法計算，故此選項錯誤；

a104-a2=a8,故此選項錯誤；

C、（a2）3=a6,故此選項錯誤；

D、（-a）2,a3=a5,故此選項正確.

故選：D.

【點評】此題主要考查了同底數(shù)塞的乘除運算以及嘉的乘方運算，正確掌握運算法則是

解題關鍵.

5.（4分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）

I-3x+6〉0

【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后在數(shù)軸上表示出來即

可.

【解答】解：解不等式x-l>0,得：尤>1；

解不等式-3x+6N0,得：尤W2,

所以不等式組的解集為：1<XW2,

數(shù)軸上表示為：0^2~3^,

故選：C.

【點評】本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式組的解集，能根據(jù)不等

式的解集求出不等式組的解集是解此題的關鍵.

6.（4分）下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）

A.B.

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖

形，以及軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，即可判斷出答案.

【解答】解：A、此圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項正確;

2、此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

C、此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

。、此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤.

故選：A.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱的定義，關鍵是找出圖形的對稱中心與

對稱軸.

7.（4分）去年某市7月1日到7日的每一天最高氣溫變化如折線圖所示，則關于這組數(shù)據(jù)

A.最低溫度是32℃B.眾數(shù)是35℃

C.中位數(shù)是34℃D.平均數(shù)是33℃

【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，由中位數(shù)及眾數(shù)、平均數(shù)的定義，可得出答案.

【解答】解：由折線統(tǒng)計圖知這7天的氣溫從低到高排列為：31、32、33、33、33、34、

35,

所以最低氣溫為31℃,眾數(shù)為33℃,中位數(shù)為33℃,平均數(shù)是31+32+33X3+34+35=

7

33℃,

故選：D.

【點評】本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)的知識，解答本題的關鍵是由折線統(tǒng)計圖得到最高氣

溫的7個數(shù)據(jù).

8.（4分）在《九章算術》中有“盈不足術”的問題，原文如下：今有共買物，人出八，盈

三；人出七，不足四.問人數(shù)幾何？大意為：現(xiàn)有一些人共同買一個物品，每人出8元，

還盈余3元；每人出7元，則還差4元.問人數(shù)是多少？若設人數(shù)為無，則下列關于x

的方程符合題意的是（）

A.8x-3=7x+4B.8（x-3）=7（x+4）

C.8x+4=7尤-3D.—V-Q--x+4

【分析】根據(jù)“總錢數(shù)不變”可列方程.

【解答】解：設人數(shù)為X,

則可列方程為：8x-3=7x+4

故選：A.

【點評】本題主要考查由實際問題抽象出一元一次方程，解題的關鍵是理解題意，確定

相等關系，并據(jù)此列出方程.

9.（4分）如圖，在3X3的網(wǎng)格中，A,B均為格點，以點A為圓心，以AB的長為半徑作

弧，圖中的點C是該弧與格線的交點，貝Usin/BAC的值是（）

2335

【分析】如圖作于H.在RtZ\ACH中，sin/BAC=qi=2即可解決問題;

AC3

【解答】解：如圖作CWLAB于

B

在RtZXACT/中，sin/BAC=qi=2,

AC3

故選：B.

【點評】本題考查解直角三角形、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔

助線，構造直角三角形解決問題.

10.（4分）如圖，反比例函數(shù)》=其的圖象經(jīng)過正方形ABCD的頂點A和中心E,若點D

x

的坐標為（-1,0）,則上的值為（）

【分析】根據(jù)題意可以設出點A的坐標，從而可以得到點E的坐標，進而求得女的值，

從而可以解答本題.

【解答】解：.反比例函數(shù)y=上的圖象經(jīng)過正方形A8C。的頂點A和中心E,點。的

x

坐標為（-1,0）,

...點A的坐標為（-1,-k）,

，點E的坐標為（-1+0.5匕-0.5k）,

-0.5k=---------,

-1+0.5k

解得，k=-2,

故選：B.

【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、正方形的性質(zhì)，解答本題的關鍵是

明確反比例函數(shù)的性質(zhì)，利用反比例函數(shù)的知識解答.

二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共24分）

11.（4分）已知。=（1）°,b=2l,則a>b（填或“=

2

【分析】直接利用零指數(shù)基的性質(zhì)和負指數(shù)累的性質(zhì)分別化簡得出答案.

【解答】解：,=（1）°,b=2-i,

2

b——,

2

：.a>b.

故答案為：>.

【點評】此題主要考查了零指數(shù)幕的性質(zhì)和負指數(shù)幕的性質(zhì)，正確化簡各數(shù)是解題關鍵.

12.（4分）正八邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)為135度.

【分析】利用多邊形的外角和為360度，求出正八邊形的每一個外角的度數(shù)即可解決問

題.

【解答】解：???正八邊形的每個外角為:3600+8=45°,

每個內(nèi)角為180。-45°=135°.

【點評】本題需仔細分析題意，利用多邊形的外角和即可解決問題.

13.（4分）一個暗箱中放有除顏色外其他完全相同的相個紅球，6個黃球，3個白球現(xiàn)將球

攪勻后，任意摸出1個球記下顏色，再放回暗箱，通過大量重復試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球

的頻率穩(wěn)定在30%附近，由此可以估算m的值是11.

【分析】直接利用樣本估計總體，進而得出關于優(yōu)的等式求出答案.

【解答】解：由題意可得：—§—=30%,

/6+3

解得：相=11,

故答案為：11.

【點評】此題主要考查了用樣本估計總體，正確得出關于根的等式是解題關鍵.

14.（4分）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°,得到△ADE.這時點。、E、B恰好

在同一直線上，則NABC的度數(shù)為30。.

【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知NE4c=/D48=120°,ZABC=AADE,AB=AD,再等腰△

中得NAr>E=N￡>BA=l8°°-/口研=30。,據(jù)此可得答案.

2

【解答】解：：△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△的>￡,

ZEAC^ZDAB^120°,/ABC=/ADE,AB=AD,

.?.在△ZM3中，ZADE=ZDBA=l^_~ZDAB=30°,

2

則/AOE=NA8C=30°,

故答案為：30°.

【點評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握①對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相

等.②對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

15.（4分）已知關于x的一元二次方程（機-1）（2m-2）x-1=0有兩個相等實數(shù)根，

則m的值為0.

【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式△=（）列出關于m的方程，通過解方程即可求

得m的值.

【解答】解：：關于尤的一元二次方程（機-1）（2機-2）x-1=0有兩個相等的實

數(shù)根，

（2m-2）2+4（根-1）=0,且"Z-1W0,

.,.4m-1=0,m￥=l

解得，7〃=0.

故答案是：0.

【點評】本題考查了根的判別式、一元二次方程的定義.一元二次方程根的情況與判別

式△的關系：

（1）△>00方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）△=（）=方程有兩個相等的實數(shù)根；

（3）△<0。方程沒有實數(shù)根.

16.（4分）在平行四邊形ABCD中，AB=2,AZ）=3,點E為8c中點，連結AE,將△ABE

沿AE折疊到△AB'E的位置，若/BAE=45°,則點2'到直線BC的距離為工返.

—3—

【分析】如圖連接,作3'乩LBC于X.利用,可得支」1=些二，

0EBE

由此即可解決問題；

【解答】解：如圖連接,作B'HLBC于H.

A

B'

BJ%

E

■:/BAE=/EAB'=45°,

：.ZBAB'=90°,

'：AB=AB'=2,

：.BB'=2五，

'：AE±BB',

/.OB=OB'=&,

；BE=EC=L5,

?■-0￡=VBE2-OB2=°-5,

ZEBO=ZHBB',ZBOE^ZBHB'=90°,

-B'H=BB'

0EBE

?B'H=2加

"0.5TT

：.B'H='2近.

3

故答案為述.

3

【點評】本題考查翻折變換、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識,

解題的關鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題.

三、解答題：（本題共9小題，共86分）

17.（8分）解方程：叱-2x+l=i

23

【分析】方程兩邊每一項都要乘各分母的最小公倍數(shù)6,切勿漏乘不含有分母的項，另外

分數(shù)線有兩層意義，一方面它是除號，另一方面它又代表著括號，所以在去分母時，應

該將分子用括號括上.

【解答】解：去分母得：3（尤-3）-2（2x+l）=6,

去括號得：3x-9-4x-2=6,

移項得：-x=17,

系數(shù)化為1得：x=-17.

【點評】注意：在去分母時，應該將分子用括號括上.切勿漏乘不含有分母的項.

22

18.（8分）先化簡，再求值：（X-----±3亙,其中。=乂2.

J

a-3a-3a32

【分析】根據(jù)分式的除法和減法可以化簡題目中的式子，再將“的值代入化簡后的式子

即可解答本題.

［解答］解：H__總冶.

a-3a-3，a3

23

=a-9Qa

a-3a（a+3）

二.（a+3）（a-3）.a，

a-3a（a+3）

=a2,

當時，原式=（Y2）2=L

212，2

【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是明確分是化簡求值的方法.

19.（8分）如圖，在銳角△ABC中，AB=2cm,AC=3cm.

（1）尺規(guī)作圖：作BC邊的垂直平分線分別交AC,8c于點。、E（保留作圖痕跡，不

要求寫作法）；

（2）在（1）的條件下，連結BZ）,求△A3。的周長.

【分析】（1）利用基本作圖（作已知線段的垂直平分線）作。E垂直平分2C；

（2）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到DB=DC,則利用等量代換得到△A3。的周長=

AB+AC,然后把AB=2c/",AC=3C7W代入計算計算.

【解答】解：（1）如圖，為所作；

（2）OE垂直平分BC,

：.DB=DC,

.'.△ABD的周長=AB+8O+Ar）=A3+a）+AD=A2+AC=2+3=5（cm）.

【點評】本題考查了基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個

角等于己知角；作已知線段的垂直平分線；作己知角的角平分線；過一點作已知直線的

垂線）.

20.（8分）為進一步弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校決定開展以下四項活動：A經(jīng)典古詩文

朗誦；8書畫作品鑒賞；C民族樂器表演；。圍棋賽.學校要求學生全員參與，且每人限

報一項.九年級（1）班班長根據(jù)本班報名結果，繪制出了如下兩個尚不完整的統(tǒng)計圖，

請結合圖中信息解答下列問題：

（1）直接填空：九年級（1）班的學生人數(shù)是50,在扇形統(tǒng)計圖中，B項目所對應

的扇形的圓心角度

數(shù)是144°；

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）用列表或畫樹狀圖的方法，求該班學生小聰和小明參加相同項目活動的概率.

【分析】（1）依據(jù)項目A的數(shù)據(jù)，即可得到九年級（1）班的學生人數(shù)，依據(jù)B項目所占

的百分比，即可得出8項目所對應的扇形的圓心角度數(shù)；

（2）依據(jù)D項目所對應的人數(shù)為50-15-20-10=5,即可將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）畫樹狀圖，即可得到共有16種等可能的結果，其中小聰和小明參加相同項目活動

的情況有4種，進而得到小聰和小明參加相同項目活動的概率.

【解答】解：（1）九年級（1）班的學生人數(shù)是15?30%=50（人）,

8項目所對應的扇形的圓心角度數(shù)是360。x2&=144°,

50

故答案為：50,144°；

（2）。項目所對應的人數(shù)為50-15-20-10=5,

條形統(tǒng)計圖如圖所示：

（3）畫樹狀圖如下:

ABCD

/A徐徐挑

ABCDABCDABCDABCD

共有16種等可能的結果，其中小聰和小明參加相同項目活動的情況有4種，

：.P（參加相同項目活動）=2=工.

164

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，當有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表

列舉.解答本題的關鍵是明確題意，利用概率公式求出相應的概率.

21.（8分）求證：矩形的對角線相等.（要求：畫出圖形，寫出已知，求證和證明過程）

【分析】由“四邊形48C。是矩形”得知，AB=CD,AD=BC,矩形的四個角都是直角,

再根據(jù)全等三角形的判定原理SAS判定全等三角形，由此，得出全等三角形的對應邊相

等的結論.

【解答】解：已知：四邊形ABC。是矩形，AC與8。是對角線，

求證：AC=BD,

證明：：四邊形是矩形，

J.AB^DC,/ABC=/DCB=90°,

又,：BC=CB,

.?.△ABgADCB(SAS),

J.AC=BD,

所以矩形的對角線相等

【點評】本題考查的是矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定.（1）在矩形中，對邊平行相等,

四個角都是直角；（2）全等三角形的判定原理44S；三個判定公理（ASA.SAS,SSS\

（3）全等三角形的對應邊、對應角都相等.

22.（10分）如圖，菱形ABCZ）中，BC=氓,ZC=135°,以點A為圓心的OA與8c相

切于點E

（1）求證：C。是OA的切線；

（2）求圖中陰影部分的面積.

【分析】（1）連接AE,根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)以及切線的判定證明

即可；

（2）利用菱形的性質(zhì)和扇形的面積公式解答即可.

【解答】證明：（1）連接AE,過A作AF_LC￡）,

ZAFD=90°,

???四邊形ABC。是菱形,

：.AB=AD,/B=/D,

與OA相切于點E,

：.AE±BC,

：.ZAEB=ZAFD=90°,

在△AEB與句9中，

2B=ND

<NAEB=/AFD，

AB=AD

AAEB四△AFD,

：.AF=AE,

；.C。是OA的切線；

(2)在菱形ABC。中，AB=BC=AAB//CD,

/.ZB+ZC=180°,

VZC=135°,

；./B=180°-135°=45°,

在RtZXAEB中，ZAEB^90°,

菱形ABC。的面積=BC?AE=3?,

在菱形A8CZ）中，ZBAD=ZC=135°,AE=y[j,

：.扇形MAN的面積=135兀X（低產(chǎn)=如_,

3608

.?.陰影面積=菱形ABC￡＞的面積-扇形MAN的面積=

8

【點評】此題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，扇形面積公式，熟練掌握性

質(zhì)及公式是解本題的關鍵.

23.（10分）某公交公司決定更換節(jié)能環(huán)保的新型公交車.購買的數(shù)量和所需費用如下表所

?。?/p>

A型數(shù)量（輛）8型數(shù)量（輛）所需費用（萬元）

31450

23650

（1）求A型和8型公交車的單價;

(2)該公司計劃購買A型和B型兩種公交車共10輛，已知每輛A型公交車年均載客量

為60萬人次，每輛B型公交車年均載客量為100萬人次，若要確保這10輛公交車年均

載客量總和不少于670萬人次，則A型公交車最多可以購買多少輛？

【分析】(1)根據(jù)“購買A型公交車3輛，8型公交車1輛，共需450萬元；若購買A

型公交車2輛，2型公交車3輛，共需650萬元”列方程組求解可得；

(2)設購買A型公交車x輛，則購買8型公交車(10-無)輛，根據(jù)“這10輛公交車年

均載客量總和不少于670萬人次”求得尤的范圍即可.

【解答】解：(1)設A型和8型公交車的單價分別為a萬元，6萬元，根據(jù)題意，得：

[3a+b=450,

l2a+3b=650，

解得：

lb=150

答：購買每輛A型公交車100萬元，購買每輛8型公交車150萬元；

(2)設購買A型公交車x輛，則購買8型公交車(10-x)輛，

根據(jù)題意得：60X+100(10-%)>670,

解得：

4

：尤>0,且10-尤>0,

；.0〈尤<82，

4

尤最大整數(shù)為8,

答：A型公交車最多可以購買8輛.

【點評】本題主要考查二元一次方程組、一元一次不等式的應用，解題的關鍵是根據(jù)題

意確定相等關系或不等式關系以列出方程組和不等式是解題的關鍵.

24.(13分)如圖1,在矩形ABC。中，AB=?AO=3,點E從點8出發(fā)，沿邊運

動到點C,連結。E,過點E作。E的垂線交于點?

(1)求證：/BFE=/ADE；

(2)求8尸的最大值；

(3)如圖2,在點E的運動過程中，以EF為邊,在EE上方作等邊△EFG,求邊EG的

中點打所經(jīng)過的路徑長.

DD

【分析】(1)依據(jù)/B/芭+/BEF=90°，/CED+/BEF=90°，即可得到/BFE=/CE。，

再根據(jù)/CED=/ADE,即可得出N8FE=NADE；

(2)依據(jù)ABEFsACDE,即可得到度=些，設2E=x(0WxW3),則CE=3-x,根

CECD

據(jù)巨①3,即可得到當x=2■時，BP存在最大值殳百；

CD32424

(3)連接FH,取EF的中點M,連接BW,HM,依據(jù)可得點8,

E,H,尸四點共圓，連接BH,則/"8后=/￡尸"=30°,進而得到點H在以點B為端

點，BC上方且與射線BC夾角為30°的射線上，再過C作CHLBW于點笈，根據(jù)點E

從點8出發(fā)，沿BC邊運動到點C,即可得到點X從點B沿88運動到點H1,再利用在

RtZXB/TC中，BH=BC*cos/CBH=3X?=乂握,即可得出點X所經(jīng)過的路徑長是

2戶J

孤

【解答】解：(1)證明：如圖1,在矩形A8CZ)中，ZB=90°,

：.ZBFE+ZBEF=90°,

?；DE_LEF,

：.ZCED+ZBEF=90°,

：.ZBFE=ZCED,

'：AD//BC,

：.ZCED=ZADE,

：.ZBFE=NAOE；

(2)由(1)可得，NBFE=NCED,ZB=ZC=90°,

:?△BEFsXCDE,

??.典=里

**CECD，

在矩形ABC。中，BC=A￡>=3,AB=CD=M，

設BE=x（0WxW3）,則CE=3-x,

：.BF=BE*CE_X（3-X）-^.2+A/3X=與七力）2+3?,

CDV3=3xX32，

；-叵＜0,04W3,

3

.?.當x=1■時，BF存在最大值毋y；

(3)如圖2,連接"，取EF的中點M,連接BM,HM,

在等邊三角形EEG中，EF=FG,H是EG的中點，

:.NFHE=90°,/EFH=LNEFG=3Q°,

2

又是斯的中點，

：.FM=HM=EM,

在RtZXFBE中，ZFBE=90°,M是EE的中點，

：.BM=EM=FM,

:.BM=EM=HM=FM,

:.點B,E,H,尸四點共圓,

連接8H,則NHBE=/EFH=30°,

點反在以點8為端點，BC上方且與射線BC夾角為30°的射線上,

如圖，過C作CH1，即/于點笈，

,/點E從點8出發(fā)，沿BC邊運動到點C,

：.點H從點B沿BH運動到點H,

在RtZXBHC中，NBHC=90°,

:.BH=BC,cos/CBH=3乂昱

27VJ

點X所經(jīng)過的路徑長是■|會.

【點評】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形

以及四點共圓的綜合運用，解決問題的關鍵是作輔助線構造直角三角形，利用直角三角

形斜邊上中線的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出結論.

25.(13分)已知：二次函數(shù)y=ax2+6x+c(tz#0)的圖象與x軸交于點A、8(-3,0),

頂點為C(-l,-2)

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖，過4C兩點作直線，并將線段AC沿該直線向上平移，記點A、C分別平

移到點。、E處.若點廠在這個二次函數(shù)的圖象上，且△。跖是以所為斜邊的等腰直

角三角形，求點尸的坐標；

(3)試確定實數(shù)p,q的值，使得當pWxWq時，pWyWg.

【分析】(1)由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點為C(-1,-2),可設其解析式為y=a(x+l)

2-2,再把8(-3,0)代入，利用待定系數(shù)法即可求出該二次函數(shù)的解析式；

(2)由二次函數(shù)的解析式求出A(1,0).過點C作CHLx軸于點”.解直角△ACH,

得出AH=2=CH,那么Nl=45°,AC=2?.解等腰直角△。所得出N2=45°,EF

=4,由Nl=/2=45°,得到E/〃CH〃y軸.利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式

為y=x-1.設F(m,—i-rr+m-二)(其中m>1),則點Elm,m