32.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

32.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系代碼中考題及解析3202（2020臨沂）我們知道，兩點(diǎn)之間線段最短，因此，連接兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)間的距離；同理，連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，因此，直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離．類似地，連接曲線外一點(diǎn)與曲線上各點(diǎn)的所有線段中，最短線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到曲線的距離．依此定義，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，1）到以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓的距離為﹣1．【解析】連接AO交⊙O于B，則線段AB的長(zhǎng)度即為點(diǎn)A（2，1）到以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓的距離，∵點(diǎn)A（2，1），∴OA＝＝，∵OB＝1，∴AB＝﹣1，即點(diǎn)A（2，1）到以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓的距離為﹣1，3202（2020廣東）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，∠ABC＝90°，點(diǎn)M，N分別在射線BA，BC上，MN長(zhǎng)度始終保持不變，MN＝4，E為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)D到BA，BC的距離分別為4和2．在此滑動(dòng)過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為2﹣2．【解析】如圖，連接BE，BD．由題意BD＝＝2，∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，∴BE＝MN＝2，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓，∴當(dāng)點(diǎn)E落在線段BD上時(shí)，DE的值最小，∴DE的最小值為2﹣2．3203（2020樂山）如圖1，AB是半圓O的直徑，AC是一條弦，D是上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連結(jié)BD交AC于點(diǎn)G，且AF＝FG．（1）求證：點(diǎn)D平分；（2）如圖2所示，長(zhǎng)BA至點(diǎn)H，使AH＝AO，連結(jié)DH．若點(diǎn)E是線段AO的中點(diǎn)．求證：DH是⊙O的切線．【解析】證明：（1）如圖1，連接AD、BC，∵AB是半圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ABD，又∵AF＝FG，即點(diǎn)F是Rt△AGD的斜邊AG的中點(diǎn)，∴DF＝AF，∴∠DAF＝∠ADF＝∠ABD，又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC，∴＝，∴即點(diǎn)D平分；（2）如圖2所示，連接OD、AD，∵點(diǎn)E是線段OA的中點(diǎn)，∴，∴∠AOD＝60°，∴△OAD