第四單元三角形第二十課時 相似三角形測試題

第四單元三角形第二十課時相似三角形基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1.(2018重慶A卷)若△ABC∽△DEF,相似比為3∶2,則對應(yīng)高的比為()A.3∶2B.3∶5C.9∶4D.4∶92.(2018連云港)如圖,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE＝1∶2,則下列等式一定成立的是()第2題圖eq\f(BC,DF)＝eq\f(1,2)B.eq\f(∠A的度數(shù),∠D的度數(shù))＝eq\f(1,2)C.eq\f(△ABC的面積,△DEF的面積)＝eq\f(1,2)D.eq\f(△ABC的周長,△DEF的周長)＝eq\f(1,2)3.(2018棗莊)如圖,在△ABC中,∠A＝78°,AB＝4,AC＝5,將△ABC沿圖示中的虛線剪開,剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是()4.(2018杭州)如圖,在△ABC中,點D,E分別在邊AB,AC上,DE∥BC.若BD＝2AD,則()第4題圖A.eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,2)B.eq\f(AE,EC)＝eq\f(1,2)C.eq\f(AD,EC)＝eq\f(1,2)D.eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,2)5.(2018恩施州)如圖,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE＝∠EFC,AD∶BD＝5∶3,CF＝6,則DE的長為()A.6B.8C.10D.12第5題圖第6題圖6.如圖,在等邊△ABC中,D、E、F分別是BC、AC、AB上的點,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,則△DEF與△ABC的面積之比為()A.1∶3B.2∶3C.eq\r(3)∶2D.eq\r(3)∶37.(2018眉山)“今有井徑五尺,不知其深,立五尺木于井上,從木末望水岸,入徑四寸,問井深幾何？”這是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的“井深幾何”問題,它的題意可以由圖獲得,則井深為()A.1.25尺B.57.5尺C.6.25尺D.56.5尺第7題圖第8題圖8.(2018臨沂)已知AB∥CD,AD與BC相交于點O.若eq\f(BO,OC)＝eq\f(2,3),AD＝10,則AO＝________．9.(2018益陽模擬)如圖,為估算某河的寬度,在河對岸邊選定一個目標(biāo)點A,在近岸取點B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,點E在BC上,并且點A、E、D在同一條直線上．若測得BE＝20m,EC＝10m,CD＝20m,則河的寬度AB為________．第9題圖10.(2018隨州)在△ABC中,AB＝6,AC＝5,點D在邊AB上,且AD＝2,點E在邊AC上,當(dāng)AE＝________時,以A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似．第11題圖11.(2018濰坊)如圖,在△ABC中,AB≠AC,D、E分別為AB、AC上的點,AC＝3AD,AB＝3AE,點F為BC邊上一點,添加一個條件:__________．可以使得△FDB與△ADE相似．(只需寫出一個)12.(2018甘肅省卷)如圖,一張三角形紙片ABC,∠C＝90°,AC＝8cm,BC＝6cm.現(xiàn)將紙片折疊:使點A與點B重合,那么折痕長等于________cm第12題圖第13題圖13.(2018寧夏)在△ABC中,AB＝6,點D是AB的中點,過點D作DE∥BC,交AC于點E,點M在DE上,且ME＝eq\f(1,3)DM.當(dāng)AM⊥BM時,則BC的長為________．14.(8分)(2018杭州)如圖,在銳角三角形ABC中,點D,E分別在邊AC,AB上,AG⊥BC于點G,AF⊥DE于點F,∠EAF＝∠GAC.(1)求證:△ADE∽△ABC；(2)若AD＝3,AB＝5,求eq\f(AF,AG)的值．第14題圖15.(8分)如圖,△ABC為銳角三角形,AD是BC邊上的高,正方形EFGH的一邊FG在BC上,頂點E、H分別在AB、AC上,已知BC＝40cm,AD＝30cm(1)求證:△AEH∽△ABC；(2)求這個正方形的邊長與面積．第15題圖16.(8分)(2018長沙中考模擬卷四)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB,垂足為D,點E、F分別是AC、BC邊上的點,且CE＝eq\f(1,3)AC,BF＝eq\f(1,3)BC.(1)求證:∠EDF＝90°；(2)若BC＝6,AB＝4eq\r(3),求DE的長．第16題圖能力提升訓(xùn)練1.(2018泰安)如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點,ME⊥AM,ME交AD的延長線于點E.若AB＝12,BM＝5,則DE的長為()A.18B.eq\f(109,5)C.eq\f(96,5)D.eq\f(25,3)第1題圖第2題圖2.(2018東營)如圖,在正方形ABCD中,△BPC是等邊三角形,BP、CP的延長線分別交AD于點E、F,連接BD、DP,BD與CF相交于點H.給出下列結(jié)論:①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH·PC.其中正確的是()A.①②③④B.②③C.①②④D.①③④3.(9分)(2018常德)如圖,直角△ABC中,∠BAC＝90°,D在BC上,連接AD,作BF⊥AD分別交AD于E,AC于F.(1)如圖①,若BD＝BA,求證:△ABE≌△DBE；(2)如圖②,若BD＝4DC,取AB的中點G,連接CG交AD于M,求證:①GM＝2MC；②AG2＝AF·AC.第3題圖4.(9分)(2018安徽)已知正方形ABCD,點M為邊AB的中點．(1)如圖①,點G為線段CM上的一點,且∠AGB＝90°,延長AG,BG分別與邊BC,CD交于點E,F.①求證:BE＝CF；②求證:BE2＝BC·CE.(2)如圖②,在邊BC上取一點E,滿足BE2＝BC·CE,連接AE交CM于點G,連接BG并延長交CD于點F,求tan∠CBF的值．第4題圖答案1.A2.D3.C4.B5.C【解析】:∵DE∥BC,∴∠ADE＝∠B,∵∠ADE＝∠EFC,∴∠B＝∠EFC,∴EF∥AB,∴四邊形DEFB為平行四邊形,∴DB＝EF,DE＝BF,又∵eq\f(AD,DB)＝eq\f(5,3),∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(3,8),又∵EF∥AB,∴eq\f(CF,BC)＝eq\f(EF,AB),即eq\f(6,6＋BF)＝eq\f(3,8),∴BF＝10,∴DE＝BF＝10.6.A【解析】:∵△ABC是等邊三角形,∴∠B＝∠C＝∠A＝60°,∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,∴∠AFE＝∠CED＝∠BDF＝90°,∴∠BFD＝∠CDE＝∠AEF＝30°,∴∠DFE＝∠FED＝∠EDF＝60°,eq\f(BD,BF)＝eq\f(1,2),∴△DEF是等邊三角形,∴BD∶DF＝1∶eq\r(3)①,BD∶AB＝1∶3②,△DEF∽△ABC,①÷②＝eq\f(AB,DF)＝eq\r(3),∴DF∶AB＝1∶eq\r(3),∴△DEF的面積與△ABC的面積之比等于1∶3.7.B【解析】:設(shè)井深x尺,則AD＝(x＋5)尺,∵BC∥DE,∴eq\f(0.4,5)＝eq\f(5,x＋5),解得x＝57.5,經(jīng)檢驗x＝57.5是原分式方程的根,∴井深為57.5尺．8.4【解析】:∵AB∥CD,∴eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC)＝eq\f(2,3),∴OA＝eq\f(2,5)AD,∵AD＝10,∴OA＝eq\f(2,5)×10＝4.9.40m【解析】:∵AB⊥BC,DC⊥BC,∴AB∥CD,∴∠BAE＝∠D,又∵∠AEB＝∠DEC,∴△ABE∽△DCE,∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(BE,CE),解得AB＝eq\f(CD·BE,CE)＝eq\f(20×20,10)＝40m.10.eq\f(5,3)或eq\f(12,5)【解析】:根據(jù)題意,分兩種情況:如解圖①,∵∠A＝∠A,∴當(dāng)eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)時,△ADE∽△ABC,∴eq\f(2,6)＝eq\f(AE,5),解得AE＝eq\f(5,3)；如解圖②,∵∠A＝∠A,∴當(dāng)eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)時,△ADE∽△ACB,∴eq\f(2,5)＝eq\f(AE,6),解得AE＝eq\f(12,5).11.DF∥AC【解析】:∵AC＝3AD,AB＝3AE,∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB),∵∠A為公共角,∴△ADE與△ACB相似,原問題轉(zhuǎn)化為,使△DFB相似△ACB,則DF∥AC即可．12.eq\f(15,4)【解析】:如解圖,折痕為MN,在Rt△ABC中,AB＝eq\r(62＋82)＝10,由折疊性質(zhì)得:AM＝BM＝5,∵∠A＝∠A,∠AMN＝∠C＝90°,∴△AMN∽△ACB,∴eq\f(AM,AC)＝eq\f(MN,CB),∴MN＝eq\f(AM·CB,AC)＝eq\f(5×6,8)＝eq\f(15,4).第12題解圖13.8【解析】:∵AM⊥BM,∴∠AMB＝90°,在Rt△ABM中,∵D是AB的中點,∴DM＝eq\f(1,2)AB＝3,∵M(jìn)E＝eq\f(1,3)DM,∴ME＝1,DE＝4,又∵DE∥BC,∴DE是三角形的中位線,∴BC＝8.14.(1)證明:∵在△ABC中,AG⊥BC于點G,AF⊥DE于點F,∴∠AFE＝∠AGC＝90°,在△AEF和△ACG中,∵∠AFE＝∠AGC,∠EAF＝∠GAC,∴△AEF∽△ACG,∴∠AEF＝∠C,在△ADE和△ABC中,∵∠AED＝∠C,∠EAD＝∠CAB,∴△ADE∽△ABC；(2)解:由(1)知△ADE∽△ABC,∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(3,5),又∵△AEF∽△ACG,∴eq\f(AF,AG)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(3,5).15.(1)證明:∵四邊形EHGF為正方形,∴EH∥BC,∴∠AHE＝∠ACB,在△AEH和△ABC中,∠AHE＝∠ACB,∠EAH＝∠BAC,∴△AEH∽△ABC；(2)解:設(shè)正方形邊長為xcm,如解圖,設(shè)AD與EH交于P點,則AP＝AD－PD＝(30－x)cm,由(1)得△AEH∽△ABC,第15題解圖∴eq\f(AP,AD)＝eq\f(EH,BC),即eq\f(30－x,30)＝eq\f(x,40),解得x＝eq\f(120,7),∴正方形面積為(eq\f(120,7))2＝eq\f(14400,49)cm2,故正方形的邊長為eq\f(120,7)cm,面積為eq\f(14400,49)cm2.16.(1)證明:∵∠ACB＝∠CDB＝90°,∠B＝∠B,∴△ACB∽△CDB,∴eq\f(AC,CD)＝eq\f(BC,BD),即eq\f(AC,BC)＝eq\f(CD,BD),∴eq\f(EC,BF)＝eq\f(CD,BD),又∵∠ACD＝∠CBD,∴△EDC∽△FDB,∴∠EDC＝∠FDB,∵∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝∠FDB＋∠CDF＝∠CDB＝90°,∴∠EDF＝90°；(2)解:∵BC＝6,AB＝4eq\r(3),∴AC＝2eq\r(3),CE＝eq\f(2\r(3),3),CF＝4,CD＝3,BD＝3eq\r(3),由(1)得,△EDC∽△FDB,∴eq\f(ED,DF)＝eq\f(CD,BD)＝eq\f(\r(3),3),又∵∠EDF＝90°,EF＝eq\r(CE2＋CF2)＝eq\f(2\r(39),3),∴DE＝eq\f(\r(39),3).能力提升訓(xùn)練1.B【解析】:∵四邊形ABCD是正方形,∴∠B＝90°,AD＝AB＝12,AD∥BC,∵AB＝12,BM＝5,由勾股定理得AM＝13,∵AD∥BC,∴∠EAM＝∠AMB,∵∠AME＝∠B＝90°,∴△EAM∽△AMB,∴eq\f(AE,AM)＝eq\f(AM,BM),即eq\f(DE＋12,13)＝eq\f(13,5),解得DE＝eq\f(109,5).2.C【解析】:∵△BPC是等邊三角形,∴∠CBP＝60°,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠CBA＝∠A＝90°,∴∠ABE＝30°,在Rt△ABE中可得BE＝2AE,①正確；∵△BPC是等邊三角形,∴∠CBP＝∠BPC＝∠PCB＝60°,BC＝CP,∵四邊形ABCD是正方形,∴BD平分∠ABC,∴∠CBD＝45°,∴∠HBP＝∠CBP－∠CBD＝15°,∵AD∥BC,∴∠DFP＝∠BCP＝60°＝∠BPH.∵CD＝BC,∴CD＝CP,∵∠PCD＝∠BCD－∠BCP＝30°,∴∠CDP＝eq\f(1,2)(180°－∠DCP)＝75°,∴∠FDP＝15°＝∠PBH,∴△FDP∽△PBH,故②正確；∵∠PDB＝∠BDF－∠FDP＝45°－15°＝30°≠∠DFP,∴△PDF與△PDB不相似,故③錯誤；∵∠PDH＝30°＝∠DCP,∠CPD＝∠DPH,∴△CPD∽△DPH,∴eq\f(CP,DP)＝eq\f(DP,PH),即DP2＝CP·PH,故④正確．3.(1)證明:∵BF⊥AD,∴∠BEA＝∠BED＝90°,在Rt△ABE和Rt△DBE中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BA＝BD,BE＝BE)),∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL)；(2)證明:①如解圖,取BD的中點H,連接GH,第3題解圖∵G是BA的中點,∴AD∥GH,即MD∥GH,∴eq\f(GM,MC)＝eq\f(HD,DC),∵BD＝2HD,BD＝4DC,∴HD＝2DC,∴GM＝2MC；②如解圖,過點C作CK⊥AC交AD的延長線于點K,∴∠ACK＝90°,又∵∠BAC＝90°,∴∠ACK＋∠BAC＝180°,∴AB∥CK,∴△AGM∽△KCM,∴eq\f(AG,KC)＝eq\f(GM,CM)＝2,∴CK＝eq\f(1,2)AG,又∵AB＝2AG,∴AB·CK＝2AG·eq\f(1,2)AG＝AG2,∵AB∥CK,∴∠KAB＝∠AKC,∵∠ABF＋∠KAB＝90°,∠AKC＋∠CAK＝90°,∴∠ABF＝∠CAK,∴△ABF∽△CAK,∴eq\f(AF,CK)＝eq\f(AB,AC