押遼寧卷第20-21題（銳角三角函數(shù)、圓的綜合題）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)臨考題號(hào)押題（解析版）

押遼寧卷第20-21題押題方向一：銳角三角函數(shù)解直角三角形3年遼寧真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年丹東中考第23題方位角從今年的遼寧省中考來看，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用是中考中的必考題型，一般以解答題的形式出現(xiàn)，而且最近出現(xiàn)了一些和實(shí)際操作相關(guān)綜合題；預(yù)計(jì)2024年遼寧卷還將考察，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，避免失分。2023年盤錦中考第21題仰、俯角2021年遼寧中考第21題坡度坡角1．（2023·遼寧丹東·中考真題）一艘輪船由西向東航行，行駛到A島時(shí)，測(cè)得燈塔B在它北偏東31°方向上，繼續(xù)向東航行10nmile到達(dá)C港，此時(shí)測(cè)得燈塔B在它北偏西61°方向上，求輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離．（結(jié)果精確到0.1nmile）（參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin

【答案】輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離為4.2【分析】過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，則∠ABD=31°,∠CBD=61°，進(jìn)而得出AD≈0.6BD，CD≈1.8BD，根據(jù)AC=10nmile，得出AD+CD=0.6BD+1.8BD=10【詳解】解：過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，∵AE⊥AC,CF⊥AC，∴BD∥∴∠ABD=31°,∠CBD=61°，∴AD=BD?tan∠ABD=BD?tan∵AC=10nmile∴AD+CD=0.6BD+1.8BD=10，解得：BD=25∴BD≈4.2nmile答：輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離為4.2nmile

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．2．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，一人在道路上騎行，BD段是坡路，其余為平路．當(dāng)他路過A，B兩點(diǎn)時(shí)，一架無人機(jī)從空中的C點(diǎn)處測(cè)得A，B兩點(diǎn)的俯角分別為30°和45°，AB=40m，BD=20m，∠BDF=159°，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，CE是無人機(jī)到平路DF的距離，求CE的長．（結(jié)果精確到整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin21°≈0.36，

【答案】CE的長約為62m【分析】延長AB交CE于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BG⊥DF，垂足為G，可得BG=HE，CM∥AH，從而∠CAH=∠MCA=30°，∠CBH=∠MCB=45°，設(shè)BH=xcm，則AH=x+40m，分別在直角△ACH和直角△CBH中求出CH的長，最后利用平角定義可得∠BDG=21°，從而在Rt△BDG中，求出【詳解】解：如圖，延長AB交CE于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BG⊥DF，垂足為G，

由題意得：BG=HE，CM∥AH，∴∠CAH=∠MCA=30°，∠CBH=∠MCB=45°，設(shè)BH=xcm，∵AB=40m，則AH=x+40在Rt△ACH中，CH=AH?tan30°=3在Rt△CBH中，CH=BH?tan45°=xm，∴x=3解得：x=203∴CH=20∵∠BDF=159°，∴∠BDG=180°?∠BDF=21°，在Rt△BDG中，BD=20m，∴BG=BD?sin21°≈20×0.36=7.2m∴BG=EH=7.2m∴CE=CH+HE=203∴CE的長約為62m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，根據(jù)已知條件結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022·遼寧·中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組欲測(cè)量山坡上一棵大樹CD的高度，如圖，DC⊥AM于點(diǎn)E，在A處測(cè)得大樹底端C的仰角為15°，沿水平地面前進(jìn)30米到達(dá)B處，測(cè)得大樹頂端D的仰角為53°，測(cè)得山坡坡角∠CBM=30°（圖中各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)）．(1)求斜坡BC的長；(2)求這棵大樹CD的高度（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43【答案】(1)斜坡BC的長為30米(2)這棵大樹CD的高度約為20米【分析】（1）根據(jù)題意可得：∠CAE=15°，AB=30米，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可求出∠ACB=15°，從而得出AB=BC=30米，即可得出答案．（2）在Rt△CBE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CE，BE的長，然后在Rt△DEB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE的長，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：由題意得∠CAE=15°，AB＝30米，∵∠CBE是△ABC的一個(gè)外角，∴∠ACB=∠CBE?∠CAE=15°，∴∠ACB=∠CAE=15°，∴AB＝BC＝30米，∴斜坡BC的長為30米；（2）解：在Rt△CBE中，∠CBE=30°，BC＝30米，∴CE=1∴BE=3在Rt△DEB中，∠DBE=53°，∴DE=BEtan53°≈153∴DC＝DE﹣CE＝203∴這棵大樹CD的高度約為20米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中仰角俯角問題，坡度坡角問題，解題關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義并正確運(yùn)用．理解題目背景：首先，仔細(xì)閱讀題目，理解題目所描述的實(shí)際背景和問題要求。識(shí)別出題目中的關(guān)鍵信息，如角度、邊長、高度等。建立數(shù)學(xué)模型：根據(jù)題目描述，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。構(gòu)造直角三角形，并確定已知和未知的邊和角。利用銳角三角函數(shù)的定義和性質(zhì)，建立方程或不等式。應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)：根據(jù)題目中的條件，選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)（正弦、余弦、正切）進(jìn)行計(jì)算。如果需要，可以使用三角函數(shù)的特殊值或基本公式進(jìn)行簡化。解方程或不等式：解出建立的方程或不等式，得到未知量（如邊長、角度）的解。注意檢查解的合理性，確保符合題目中的實(shí)際條件。驗(yàn)證答案：將求得的解代入原題目中，檢查是否符合題目要求。如果有條件，可以使用其他方法或工具進(jìn)行驗(yàn)證。注意單位換算：在實(shí)際應(yīng)用中，單位可能不同（如米、厘米、度、弧度等）。在計(jì)算過程中，要注意單位換算，確保計(jì)算結(jié)果的單位與題目要求一致。多練習(xí)：通過大量的練習(xí)，熟悉各種類型的應(yīng)用題目和解題方法1．一酒精消毒瓶如圖1，AB為噴嘴，△BCD為按壓柄，BE和EF為導(dǎo)管，其示意圖如圖2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm．當(dāng)按壓柄△BCD按壓到底時(shí)，此時(shí)(1)求BD旋轉(zhuǎn)到BD(2)求點(diǎn)D到直線EF的距離（結(jié)果精確到0.1cm）（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95【答案】(1)18π(2)7.3cm【分析】本題考查了求扇形面積，解直角三角形的應(yīng)用；（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)角為36°，進(jìn)而根據(jù)扇形面積公式，即可求解．（2）過D作DG⊥BD′于G，過E作EH⊥BD′于H．解Rt△BDG，【詳解】（1）解：∵BD′∥EF∴∠∵∠DBE=108°，∴∠DBD∵BD=6，∴BD旋轉(zhuǎn)到BD′掃過的面積為（2）過D作DG⊥BD′于G，過E作EH⊥BDRt△BDG中，DG=BD?sin36°≈6×0.59=3.54cm，Rt△BEH中，HE=BE?sin72°≈4×0.95=3.80cm，∴DG+HE=3.54cm+3.80cm=7.34cm≈7.3cm，∵BD∴點(diǎn)D到直線EF的距離約為7.3cm2．2012年廣東陸豐漁政大隊(duì)指揮中心（A）接到海上呼救：一艘韓國貨輪在陸豐碣石灣發(fā)生船體漏水，進(jìn)水速度非常迅猛，情況十分危急，18名船員需要援救．經(jīng)測(cè)量貨輪B到海岸最近的點(diǎn)C的距離BC=20km，∠BAC=22°37′（如圖1）：①派一艘沖鋒舟直接從A開往B；②先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到點(diǎn)C，然后再派沖鋒舟前往B；③先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到距指揮中心33km的點(diǎn)D，然后再派沖鋒舟前往B．已知沖鋒舟在海上航行的速度為60km/h，汽車在海岸線上行駛的速度為90km/h．(sin(1)通過計(jì)算比較，這三種方案中，哪種方案較好（汽車裝卸沖鋒舟的時(shí)間忽略不計(jì)）？(2)事后，細(xì)心的小明發(fā)現(xiàn)，上面的三種方案都不是最佳方案，最佳方案應(yīng)是：先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到點(diǎn)P處，點(diǎn)P滿足cos∠BPC=23①利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)，根據(jù)cos∠BPC=23，計(jì)算出汽車行AP加上沖鋒舟行②在線段AC上任取一點(diǎn)M；然后用轉(zhuǎn)化的思想，從幾何的角度說明汽車行AM加上沖鋒舟行BM的時(shí)間比車行AP加上沖鋒舟行BP的時(shí)間要長．【答案】(1)方案③較好(2)①55【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，及優(yōu)化方案的選擇，難點(diǎn)在最后一問，注意判斷出汽車行MP的時(shí)間=沖鋒舟行PH的時(shí)間是突破口，難度較大．（1）解直角三角形ABC，可得出AB、AC的長度，然后分別求出三種方案需要的時(shí)間即可作出比較；（2）①在Rt△BPC中求出BP、PC的長度，繼而得出AP的長度，這樣即可求出汽車行AP加上沖鋒舟行BP的總時(shí)間；②分兩種情況討論，1)當(dāng)點(diǎn)M在AP上時(shí)，2)當(dāng)點(diǎn)M在PC上時(shí)，過點(diǎn)M作MH⊥BP于點(diǎn)H，表示出tM、tP，根據(jù)cos∠BPC=23，可得PH=23MP【詳解】（1）解：（1）在Rt△ABC中，∵BC=20km，∠BAC=22°37′，∴AB=BCsin∠BAC=∵DC=48?33=15km∴BD=方案①需要用時(shí)：AB60km/h=52方案②需要用時(shí)：AC90+BC方案③需要用時(shí)：3390+25∴方案③較好；（2）解：①∵cos∠BPC=PC設(shè)PC=2x，BP=3x，則BC=5解得：x=45即可得PC=85km，∴AP=AC?PC=(48?85故可得所用時(shí)間為：48?85②延長BP過M作MH⊥BP于H，點(diǎn)M為AP上任意一點(diǎn)，汽車開到M點(diǎn)放沖鋒舟下水，用時(shí)tM汽車開到P放沖鋒舟下水，用時(shí)tP∵∠BPC=∠MPH∴cos∠BPC=cos∠MPH=PH∴PM90∴t=====BM?BH∵BM>BH，∴t∴t∴當(dāng)點(diǎn)M在PC上任意一點(diǎn)時(shí)，過M作MH⊥BP于H，同理可證：tM綜上可得汽車行AM加上沖鋒舟行BM的時(shí)間比車行AP加上沖鋒舟行BP的時(shí)間要長．3．天柱塔，又名天中塔，駐馬店市標(biāo)志性建筑，是一個(gè)地方的文化象征．如圖，某校興趣小組想測(cè)量天中塔AB的高度，塔前有一段斜坡BC，已知BC的長為12米，它的坡度i=1:3．在離C點(diǎn)60米的D處，用測(cè)角儀測(cè)得塔頂端A的仰角為42°，測(cè)角儀DE的高為1.5米，求塔AB的高度約為多少米？（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan【答案】58.8米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，坡度坡角問題，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)．根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．延長AB交DC于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG⊥AF，垂足為G，根據(jù)題意可得AF⊥DC，ED=FG=1.5米，EG=DF，再根據(jù)已知可得在Rt△BCF中，tan∠BCF=33，從而可得∠BCF=30°，然后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得BF=6米，CF=63米，從而可得EG=DF=DC+CF=60+63【詳解】解：延長AB交DC于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG⊥AF，垂足為G，由題意得，AF⊥DC，ED=FG=1.5米，EG=DF，∵斜坡BC的坡度i=1:3∴BFCF在Rt△BCF中，tan∠BCF=BF∴∠BCF=30°，∵BC=12米，∴BF=12BC=6∵CD=60米，∴EG=DF=DC+CF=60+6在Rt△AEG中，∠AEG=42°，∴AG=EG?tan42°≈60+6∴AB=AG+FG?BF=54+5.43答：塔AB的高度約為58.8米．4．如圖1是某地公園里的一座紀(jì)念碑，將其抽象為圖2，已知∠A=120°，∠B=106°，∠C=128°，∠D=126°，AE=600cm，DE=400

(1)求證：AB∥(2)求紀(jì)念碑的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin6°≈0.105，cos6°≈0.995，tan6°≈0.105，sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376．）【答案】(1)見解析(2)386.6厘米【分析】題目主要考查平行線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)及解三角形的應(yīng)用，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)C作CF∥AB，然后利用平行線的判定和性質(zhì)即可證明；（2）過點(diǎn)A作AL⊥DC的延長線于點(diǎn)L，過點(diǎn)E作EP⊥CD的延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)E作EO⊥AL于點(diǎn)O，得出四邊形LPEO為矩形，再由各角之間的關(guān)系確定∠OED=∠EDP=54°，∠AEO=6°，然后利用解三角形求解即可．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)C作CF∥AB，如圖所示：

∵∠B=106°，∴∠BCF=180°?106°=74°，∵∠BCD=128°，∴∠DCF=128°?74°=54°，∵∠D=126°，∴∠DCF+∠D=180°，∴DE∥CF，∴AB∥DE；（2）過點(diǎn)A作AL⊥DC的延長線于點(diǎn)L，過點(diǎn)E作EP⊥CD的延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)E作EO⊥AL于點(diǎn)O，如圖所示：

∴四邊形LPEO為矩形，∴EP=OL，∵AB∥DE，∠A=120°，∴∠AED=60°，∵∠CDE=126°，∴∠OED=∠EDP=54°，∴∠AEO=60°?54°=6°，∴EP=DE?sin54°=400×0.809≈323.6厘米，OA=AE?sin6°=600×0.105=63.0厘米，∴EP=OL=323.6厘米，∴AL=AO+OL=386.6厘米．5．某學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)大樹BC的高度，他們第一次在點(diǎn)A測(cè)得大樹頂端B的仰角為45°，然后從距A點(diǎn)水平距離為9米高3米的平臺(tái)上的D點(diǎn)處測(cè)得樹頂端點(diǎn)B的仰角為22°．依據(jù)他們測(cè)量的數(shù)據(jù)求出大樹BC的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈

【答案】11米【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，理解題意，構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵．過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，設(shè)BC=x米，先求得AC=BC=x米，則DG=CH=AC+AH=x+9米，在Rt△BDG【詳解】解：如圖所示：過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，設(shè)BC=x米，

在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∴AC=BC=x米，又AH=9米，∴在矩形DGCH中，DH=CG=3米，DG=CH=AC+AH=x+9在Rt△BDG中，由tan∠BAG=解得：x=11經(jīng)檢驗(yàn)，x=11是方程的解．答：大樹的高度約為11米．6．“風(fēng)電”是未來全球最重要的清潔能源之一，在我們的身邊也經(jīng)常能見到“風(fēng)電”的身影，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一架風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿高度的活動(dòng)報(bào)告如下：活動(dòng)目的測(cè)量風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度測(cè)量工具無人機(jī)、皮尺等測(cè)量示意圖說明：塔桿PD安裝在斜坡CD上且垂直于地面，用皮尺測(cè)量出CD的長度，利用無人機(jī)分別在A點(diǎn)、B點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)的正上方）測(cè)量出塔桿頂端P的仰角和俯角測(cè)量數(shù)據(jù)斜坡CD的坡角30°CD的長度18米AB的長度53米點(diǎn)A處測(cè)量的仰角45°點(diǎn)B處測(cè)量的俯角18°請(qǐng)利用表中提供的信息，求風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度PD．（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，【答案】該通信塔的塔桿PD的高度為31米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線；延長PD交AC于點(diǎn)F，延長DP交BE于G，設(shè)AF=BG=x米，由含30°的直角三角形的性質(zhì)可得DF=12CD=9米，由三角函數(shù)分別求出PF=x米，【詳解】解：延長PD交AC于點(diǎn)F，延長DP交BE于G，由題意得：PF⊥AF,DG⊥BE，AB=FG=53米，AF=BG，設(shè)AF=BG=x米，在Rt△CDF中，∠DCF=30°，CD=18米，∴DF=1在Rt△PAF中，∠PAF=45°，∴PF=AF?tan45°=x米，在Rt△BPG中，∠GBP=18°，∴GP=BG?tan18°≈0.325x米，∴FG=PF+PG=x+0.325x=1.325x米，∴1.325x=53，解得：x=40，∴PF=40米，∴PD=PF?DF=40?9=31米，答：風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿PD的高度約為31米．7．從2024年1月1日起，國務(wù)院、中央軍事委員會(huì)頒布的《無人駕駛航空器飛行管理暫行條例》正式實(shí)施，非經(jīng)營性活動(dòng)的微型無人機(jī)適飛空域高度不超過50米．如圖，在水平地面上選擇觀測(cè)點(diǎn)A和B，無人機(jī)懸停在C處，此時(shí)在A處測(cè)得C的仰角為37°；無人機(jī)垂直上升10m懸停在D處，此時(shí)在B處測(cè)得D的仰角為63°．AB=20m，點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，A，B兩點(diǎn)在CD的同側(cè)．請(qǐng)你判斷此次無人機(jī)起飛是否在允許的范圍內(nèi)．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈0.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan63°≈2.0【答案】在允許的范圍內(nèi)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．延長DC交AB的延長線于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得：DE⊥AB，然后設(shè)CE=xm，則DE=10+xm，在Rt△ACE和Rt△BDE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出【詳解】解：延長DC交AB的延長線于點(diǎn)E，由題意得，DE⊥AB，

設(shè)CE=xm，∴DE=DC+CE=10+x在Rt△ACE中，∠CAE=37°，tan37°=AE=4BE=4在Rt△BDE中，∠DBE=63°，tan63°=10+x解得x=30

，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是原方程的解∵30+10=40<50，∴此次無人機(jī)起飛在允許的范圍內(nèi)．8．位于衛(wèi)輝市東南隅的鎮(zhèn)國塔，是河南省重點(diǎn)保護(hù)文物．鎮(zhèn)國塔為七層六角樓閣式磚塔，塔每層的六個(gè)角上都懸掛著一個(gè)風(fēng)鈴，風(fēng)吹起的時(shí)候叮當(dāng)作響，悅耳動(dòng)聽．某數(shù)學(xué)小組在老師的指導(dǎo)下，測(cè)算鎮(zhèn)國塔的高度．如圖，已知AD=2m，在點(diǎn)D處測(cè)得鎮(zhèn)國塔的頂端E的仰角為33°，自A向鎮(zhèn)國塔走30m到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得鎮(zhèn)國塔的頂端E的仰角為60°（點(diǎn)A，B，C在一條直線上）．則數(shù)學(xué)小組測(cè)算的鎮(zhèn)國塔的高度CE是多少？（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin【答案】數(shù)學(xué)小組測(cè)算的鎮(zhèn)國塔的高度CE約為34.3m．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)D作DF⊥CE，垂足為F，根據(jù)題意可得：AD=CF=2m，AC=DF，設(shè)BC=xm，則AC=DF=(x+30)m，然后分別在Rt△BCE和Rt△DEF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CE和EF的長，從而列出關(guān)于x的方程進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)D作DF⊥CE，垂足為F，

由題意得：AD=CF=2m，AC=DF，設(shè)BC=xm，∵AB=30m，∴AC=DF=AB+BC=(x+30)m，在Rt△BCE中，∠EBC=60°，∴EC=BC?tan60°=3在Rt△DEF中，∠EDF=33°，∴EF=DF?tan33°≈0.649(x+30)m，∵EF+CF=CE，∴0.649(x+30)+2=30.649x+19.47+2=33x?0.649x=19.47+2解得：x≈19.82，∴CE=3∴數(shù)學(xué)小組測(cè)算的鎮(zhèn)國塔的高度CE約為34.3m．9．綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測(cè)角儀測(cè)量建筑物的高度．如圖，建筑物DE前有個(gè)斜坡AB，已知∠BAH=30°,AB=12m某學(xué)習(xí)小組在A處測(cè)得廣告牌底部D的仰角為45°，沿坡面AB向上走到B處測(cè)得廣告牌頂部C的仰角為27°，廣告牌CD=3m(1)求點(diǎn)B到地面距離BH的長；(2)設(shè)建筑物DE的高度為?（單位：m）；①用含有?的式子表示線段EH的長（結(jié)果保留根號(hào)）；②求建筑物DE的高度（tan27°取0.5,【答案】(1)BH的長為6m(2)①HE的長為(?+63)m；②建筑物DE【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意得基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．（1）在Rt△ABH中，利用30度角的性質(zhì)求解即可；（2）①在Rt△ABH中，求出AH=63，在Rt△ADE中，求出AE=?，進(jìn)而可表示線段EH②過點(diǎn)B作BF⊥DE，垂足為F，可得BF=HE=?+63,BH=EF=6，從而CF=??3，在【詳解】（1）由題意得BH⊥AH在Rt△ABH中，∠BAH=30°,AB=12，∴BH=12AB=6．即BH（2）①在Rt△ABH中，cos∠BAH=AH∴AH=AB?cos∠BAH=12×cos在Rt△ADE中，由tan∠DAE=DEAE,DE=?,∠DAE=∴HE=AH+AE=?+63．即HE的長為②如圖，過點(diǎn)B作BF⊥DE，垂足為F．根據(jù)題意，∠BFE=∠FEH=∠H=90°，∴四邊形BFEH是矩形．∴BF=HE=?+63∴CF=CD+DE?FE=3+??6=??3．在Rt△BFC中，tan∠CBF=CF∴CF=BF?tan∠CBF．即??3=(?+63∴?=6答：建筑物DE的高度約為16m．10．閱讀下列材料，回答問題．任務(wù)：利用浮球測(cè)量一個(gè)玻璃棧道的高AB，玻璃棧道橋面為透明玻璃，可觀測(cè)到玻璃棧道下方的物體．如圖1，棧道建設(shè)在兩山體之間，棧道下方為河面，玻璃棧道與河面平行，浮球A在玻璃棧道正下方的河面上．工具：如圖2，工具有一把皮尺（測(cè)量長度小于AB）、一臺(tái)測(cè)角儀及一架無人機(jī)．皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，測(cè)角儀的功能是測(cè)量俯角的大?。纾喝鐖D3，測(cè)角儀可測(cè)得∠POQ的度數(shù)，測(cè)角儀的高度忽略不計(jì)．小明利用無人機(jī)測(cè)量玻璃棧道的高AB，其測(cè)量和求解過程如下．測(cè)量過程：如圖4，任選玻璃棧道上的一點(diǎn)M，從橋邊（與橋高度相同）釋放無人機(jī)，無人機(jī)豎直勻速下降至水面N處停止下降，無人機(jī)的下降速度為vm/s求解過程：由題意，知∠MNA=∠BMN=∠NAB=90°，∴四邊形ABMN為①，∴AB=MN=②m．

(1)補(bǔ)全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容．(2)小明求得AB用到的幾何知識(shí)是．(3)請(qǐng)你同時(shí)利用皮尺和測(cè)角儀，通過在棧道上行走并測(cè)量長度、角度等幾何量的方式，結(jié)合解直角三角形的知識(shí)，求玻璃棧道的高AB．寫出你的測(cè)量及求解過程．（注：無法確定點(diǎn)B的具體位置，點(diǎn)B不能直接使用）要求：請(qǐng)?jiān)趫D5中畫出相應(yīng)圖形，測(cè)量得到的長度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示，測(cè)量次數(shù)不超過4次（測(cè)量的幾何量能求出AB，且測(cè)量的次數(shù)最少，才能得滿分）．【答案】(1)①矩形②vt(2)矩形的對(duì)邊相等(3)AB=tanαtanβ【分析】本題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，結(jié)合物理知識(shí)，熟練運(yùn)用矩形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義是本題解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)以及物理知識(shí)解答即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)解答即可；（3）根據(jù)正切銳角的三角函數(shù)值的定義來解答即可．【詳解】（1）解：由題意，知∠MNA=∠BMN=∠NAB=90°，∴四邊形ABMN為矩形，∴AB=MN=vtm．故答案為：矩形，vt；（2）小明根據(jù)矩形的對(duì)邊相等來設(shè)計(jì)方案；故答案為：矩形的對(duì)邊相等；（3）在B的一側(cè)取一點(diǎn)E，用測(cè)角儀測(cè)量∠BEA=α，再取一點(diǎn)F，測(cè)量EF的長a，以及∠BFA=β，如圖：

∵AB⊥FB，∴tanα=ABBE，∴BE=ABtanα，又∵BF?BE=a，∴AB=tanαtanβ11．無人機(jī)在實(shí)際生活中已被廣泛應(yīng)用．如圖所示，某人利用無人機(jī)測(cè)大樓BC的高度，無人機(jī)在空中點(diǎn)A處，測(cè)得樓底B點(diǎn)的俯角為53°，測(cè)得樓頂C點(diǎn)的俯角為14°，控制無人機(jī)水平移動(dòng)35米至點(diǎn)D處，測(cè)得樓頂C點(diǎn)的俯角為31°，（點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，且A，D在BC的同側(cè)），求大樓BC的高度．(tan14°≈14【答案】大樓BC的高度約為65米．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題．延長BC交AD于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得：BG⊥AG，AD=35米，然后設(shè)DG=x米，則AG=(35+x)米，分別在Rt△ACG和Rt△CDG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CG的長，從而列出關(guān)于x的方程進(jìn)行計(jì)算可求出AG和CG的長，最后在Rt△ABG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BG的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：延長BC交AD于點(diǎn)G，由題意得：BG⊥AG，AD=35米，設(shè)DG=x米，∴AG=AD+DG=(35+x)米，在Rt△ACG中，∠CAG=14°，∴CG=AG?tan14°≈1在Rt△CDG中，∠CDG=31°，∴CG=DG?tan31°≈3∴14解得：x=25，∴CG=35x=15（米)在Rt△ABG中，∠BAG=53°，∴BG=AG?tan53°≈60×4∴BC=BG?CG=80?15=65（米），∴大樓BC的高度約為65米．12．某?！熬C合與實(shí)踐”小組的同學(xué)把“民心河護(hù)坡的調(diào)研與計(jì)算”作為一項(xiàng)課題活動(dòng)，利用課余時(shí)間完成了實(shí)踐調(diào)查，并形成了如下活動(dòng)報(bào)告．請(qǐng)根據(jù)活動(dòng)報(bào)告計(jì)算BC和AB的長度（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，2課題民心河護(hù)坡的調(diào)研與計(jì)算調(diào)查方式資料查閱、實(shí)地查看了解調(diào)查內(nèi)容功能護(hù)坡是用來保護(hù)河岸，阻止河岸崩塌或沖刷的構(gòu)筑物材料所需材料為石料、混凝土等護(hù)坡時(shí)剖面圖

相關(guān)數(shù)據(jù)及說明：圖中，點(diǎn)A，B，C，D，E在同一豎直平面內(nèi)，AB和CD均與地面平行，岸墻AB⊥AE于點(diǎn)A，∠BCD=135°，∠EDC=60°，ED=6m，計(jì)算結(jié)果………【答案】BC的長度約為1.4m，AB的長度約為4.2m【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線便于在直角三角形中求得相關(guān)線段．過點(diǎn)E作EF⊥CD，在Rt△EFD中求出EF和DF的長，在Rt△BCG中求出BG和BC的長，再求AB即可．【詳解】解：過點(diǎn)E作EF⊥CD，垂足為F，由題意得：AE=FG=1.5m，AG=EF，在Rt△EFD中，ED=6m，∴EF=ED·sin60°=6×3DF=ED·cos60°=6×1∴AG=EF=33∵CD=3.5m，∴CG=FG+DF?CD=1.5+3?3.5=1m∵∠BCD=135°，∴∠BCG=180°?∠BCD=45°，在Rt△BCG中，BG=CG·tan45°=1mBC=CG∴AB=AG?BG=33∴BC的長度約為1.4m，AB的長度約為4.2m．13．某學(xué)校無人機(jī)社團(tuán)為了提升該小組成員使用無人機(jī)的能力，特意組織成員到戶外進(jìn)行實(shí)地測(cè)量小山的高度．測(cè)量時(shí)，先將無人機(jī)上升到距地面800m高度的B處，此時(shí)測(cè)得山頂A點(diǎn)的俯角是14°；再控制無人機(jī)水平移動(dòng)至點(diǎn)C，測(cè)得BC=462m，此時(shí)測(cè)得山頂A點(diǎn)的俯角為31°，求山頂A點(diǎn)距地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan14°≈0.25，【答案】602m【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．作AD⊥BC于點(diǎn)D，并反向延長交水平面于H點(diǎn)，則AD=CD?tan∠ACD=CD?tan31°，AD=BD?tan∠ABD=BD?tan14°，可求BD，再求CD，后求AD=CD?tan31°，則可求AH．【詳解】解；如圖，作AD⊥BC于點(diǎn)D，并反向延長交水平面于H點(diǎn)，∴∠ADB=90°．在Rt△ADC中，∠ACD=31°，∴AD=CD?tan∠ACD=CD?tan31°，在Rt△ABD中，∠ABD=14°，∴AD=BD?tan∠ABD=BD?tan14°∵BD=BC+CD，BC=462m，∴CD?tan31°=∴0.6CD=0.25462+CD∴CD=330m．∴AD=CD?tan31°=330×0.6=198m∴AH=800?198=602m答：山頂A點(diǎn)距地面的高度為602ｍ．14．暴雨過后，校園的兩棵風(fēng)景柏樹同時(shí)側(cè)傾在一起，如圖，較低的樹CD正好抵著高樹AB的中點(diǎn)D．救援的小明通過測(cè)量得到了以下數(shù)據(jù)：BC=9.1米，∠B≈53°，∠C≈45°，（取(1)求兩樹的支撐點(diǎn)D離地面高多少米？(2)求高樹比低樹高多少米（結(jié)果保留一位小數(shù)）．【答案】(1)DE為5.2米(2)高樹比低樹高5.7米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵；（1）過D點(diǎn)作DE⊥BC于E點(diǎn)，由tan53°=DEBE≈43，設(shè)BE=3x米，DE=4x米；由∠C≈45°（2）由（1）得，BE、CE、DE的長度，由勾股定理得BD、CD，由D是中點(diǎn)即可求得AB，從而求得AB?CD，即高樹比低樹高多少．【詳解】（1）解：過D點(diǎn)作DE⊥BC于E點(diǎn)，如圖，∵tan53°=DE∴設(shè)BE=3x米，DE=4x米．又∵∠C≈45°，∴∠CDE=45°，即CE=DE=4x米，∵BC=BE+CE=9.1，即3x+4x=9.1，解得：x=1.3，∴4x=5.2米；答：DE為5.2米；（2）解：由（1）得，BE=3x=3×1.3=3.9（米），CE=4x=4×1.3=5.2（米），DE=4x=4×1.3=5.2（米），由勾股定理得，BD=DCD=D∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AB=2BD=13（米），∴AB?CD=13?7.28≈5.7（米），答：高樹比低樹高5.7米．15．雙流區(qū)某學(xué)校無人機(jī)興趣小組在飛行物限高50米的某區(qū)域內(nèi)舉行無人機(jī)試飛比賽，該興趣小組利用所學(xué)知識(shí)對(duì)某同學(xué)的無人機(jī)高度進(jìn)行了測(cè)量．如圖，他們先在點(diǎn)E處用高1.5m的測(cè)角儀EF測(cè)得無人機(jī)A的仰角為45°，然后沿水平方向EB前行20m到點(diǎn)C處，在點(diǎn)C處測(cè)得無人機(jī)A的仰角為65°．請(qǐng)你根據(jù)該小組的測(cè)量方法和數(shù)據(jù)，通過計(jì)算判斷此同學(xué)的無人機(jī)是否超過限高要求？（參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.9，【答案】此同學(xué)的無人機(jī)飛行高度小于50米，未超過限高要求，理由見解析【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．連接FD并延長交AB于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得：FE=CD=BG=1.5m，F(xiàn)D=CE=20m，F(xiàn)G⊥AB，然后設(shè)DG=xm，則FG=(x+20)m，分別在Rt△ADG和Rt△AFG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AG的長，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：此同學(xué)的無人機(jī)沒有超過限高要求，理由：連接FD并延長交AB于點(diǎn)G，由題意得：FE=CD=BG=1.5m，F(xiàn)D=CE=20m，F(xiàn)G⊥AB，設(shè)DG=xm，∴FG=DF+DG=(x+20)m，在Rt△ADG中，∠ADG=65°，∴AG=DG?tan65°≈2.1x(m)，在Rt△AFG中，∠AFG=45°，∴AG=FG?tan45°=(x+20)m，∴2.1x=x+20，解得：x≈18.18，∴AG=x+20=38.18(m)，∴AB=AG+BG=38.18+1.5=39.68(m)，∵39.68m<50m，∴此同學(xué)的無人機(jī)沒有超過限高要求．16．北斗衛(wèi)星是我國自主研發(fā)的地球同步軌道衛(wèi)星，位于赤道正上方，為全球用戶提供全天候、全天時(shí)、高精度的定位導(dǎo)航等服務(wù)．如圖，⊙O是地球的平面示意圖，點(diǎn)P是一顆北斗衛(wèi)星，在北緯60°的點(diǎn)A（即∠POA=60°）觀測(cè)，BC是點(diǎn)A處的地平線（即BC與⊙O相切于點(diǎn)A），測(cè)得∠PAC=16°，已知地球半徑約為6400km，圖中各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，請(qǐng)計(jì)算PO的長．（結(jié)果精確到1km，參考數(shù)據(jù)：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，【答案】PO的長約為25399km．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用和切線的性質(zhì)，過點(diǎn)A作AD⊥OP，垂足為點(diǎn)D，由三角函數(shù)cos60°=ODOA，sin60°=ADOA，∠OAD=30°得OD=3200km，AD≈5536km，再根據(jù)切線的性質(zhì)得【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥OP，垂足為點(diǎn)D，在Rt△AOD中，∠AOD=60°，∠ADO=90°，OA=6400km，∴cos60°=ODOA，sin60°=AD解得OD=3200km，AD≈5536∵BC與⊙O相切于點(diǎn)A，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵∠PAC=16°，∠PAD=∠PAC+∠OAC?∠OAD=76°，在Rt△ADP中，∠ADP=90°，∠PAD=76°，tan76°=PD∴PD≈4.01×5536=22199.36，∴PO=PD+OD=22199.36+3200≈25399km答：PO的長約為25399km．17．項(xiàng)目化學(xué)習(xí)項(xiàng)目主題：為學(xué)校圖書館設(shè)計(jì)無障礙通道．項(xiàng)目背景：2023年6月28日，我國頒布《中華人民共和國無障礙環(huán)境建設(shè)法》．某?！熬C合與實(shí)踐”小組以“為學(xué)校圖書館設(shè)計(jì)無障礙通道”為主題展開項(xiàng)目學(xué)習(xí)．研究步驟：（1）查閱資料得知，無障礙通道有三種類型：直線形、直角形、折返形；（2）實(shí)地測(cè)量圖書館門口場(chǎng)地的大??；（3）為了方便師生出入圖書館，并盡量減少通道對(duì)師生其它通行的影響，研討認(rèn)為設(shè)計(jì)折返形無障礙通道比較合適．設(shè)計(jì)方案：“綜合與實(shí)踐”小組為該校圖書館設(shè)計(jì)的無障礙通道如圖2所示，其中MN為地面所在水平線，CD和DF是無障礙通道，并且∠CDF=2∠DFE，立柱CG，DE均垂直于地面，GE=6米，F(xiàn)E=4米．解決問題：若原臺(tái)階坡道的長度（線段AB的長度）為5米，坡角α的度數(shù)為23°，BC∥MN，求出無障礙通道的總長（線段CD和DF的和）為多少米？（結(jié)果保留根號(hào)．參考數(shù)據(jù)：sin23°≈0.40，cos【答案】226【分析】延長MN，CD，交于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BK⊥MN于點(diǎn)K，證明四邊形BCGK為矩形，得出BK=CG，解直角三角形求出BK=AB×sinα=5×sin23°≈2（米），得出DF=DH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出EH=EF=4米，根據(jù)勾股定理求出CH=C【詳解】解：延長MN，CD，交于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BK⊥MN于點(diǎn)K，如圖所示：則∠BKG=∠BKA=90°，∵BC∥MN，∴∠KBC=180°?∠BKG=90°，∵CG⊥MN，∴∠CGK=∠CGH=90°，∴∠BKG=∠CGK=∠CBK=90°，∴四邊形BCGK為矩形，∴BK=CG，∵AB=5米，α=23°，∴BK=AB×sinα=5×sin23°≈2（米），∴CG=2米，∵∠CDF=2∠DFE，∠CDF=∠DFE+∠DHE，∴∠DFE=∠DHE，∴DF=DH，∵DE⊥FH，∴EH=EF=4米，∴GH=GE+EH=6+4=10（米），在Rt△CGH中，根據(jù)勾股定理得：CH=C∴CD+DF=CD+DH=CH=226【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．18．如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量古樹DE的高度，采用了如下的方法：先從與古樹底端D在同一水平線上的點(diǎn)A出發(fā)，沿斜面坡度為i=2:3的斜坡AB前進(jìn)107米到達(dá)點(diǎn)B，再沿水平方向繼續(xù)前進(jìn)一段距離后到達(dá)點(diǎn)C．在點(diǎn)C處測(cè)得古樹DE的頂端E的俯角為37°，底部D的俯角為60°，求古樹DE的高度（計(jì)算結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：【答案】古樹DE的高度約為11米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)B作BF⊥AD，垂足為F．延長DE交BC的延長線于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得：BF=DG，DG⊥BG，再根據(jù)已知可設(shè)BF=2x米，則AF=3x米，然后在Rt△ABF中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算可求出BF的長，再在Rt△DCG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CG的長，最后在Rt△CGE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出【詳解】解：過點(diǎn)B作BF⊥AD，垂足為F．延長DE交BC的延長線于點(diǎn)G，由題意得：BF=DG，DG⊥BG，∵斜坡AB的坡度為i=2:3∴BFAF∴設(shè)BF=2x米，則AF=3在Rt△ABF中，AB=A∵AB=107∴7x=10解得：x=10，∴BF=DG=20米，在Rt△DCG中，∠DCG=60°，∴CG=DGtan60°=在Rt△CGE中，∠ECG=37°，∴EG=CG?tan37°≈20∴DE=DG?EG=20?53∴古樹DE的高度約為11米．19．如圖是一輛自卸式貨車的示意圖，矩形貨廂ABCD的長AB=4m，卸貨時(shí)，貨廂繞A點(diǎn)處的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)．A點(diǎn)處的轉(zhuǎn)軸與后車輪轉(zhuǎn)軸（點(diǎn)M處）的水平距離叫做安全軸距，測(cè)得該車的安全軸距為0.7m，貨廂對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)G可視為貨廂的重心，測(cè)得(1)若tan∠BAN=33，求點(diǎn)B(2)卸貨時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A，G兩點(diǎn)的水平距離小于安全軸距時(shí)，會(huì)發(fā)生車輛傾覆事故，若tan∠BAN=1，該貨車會(huì)發(fā)生上述事故嗎？試說明你的理由．（參考數(shù)據(jù)：sin23.6°≈0.40，cos23.6°≈0.92，cos【答案】(1)A，B兩點(diǎn)在垂直方向上的距離BH為2m(2)不會(huì)發(fā)生事故，理由見解析【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）作BH⊥AN，垂足為H，解直角三角形即可求得；（2）作GE⊥AN，CF⊥AN，垂足分別為E，F(xiàn)，解直角三角形求得AC、AG，然后進(jìn)而求得AE≈0.78>0.7，即可求得結(jié)論．【詳解】（1）解：過點(diǎn)B作BH⊥AN，垂足為H，∴∠AHB=90°，∵在Rt△ABH中，tan∠BAN=3∴∠BAH=30°，∴BH=1答：A，B兩點(diǎn)在垂直方向上的距離BH為2m．（2）不會(huì)發(fā)生事故，理由如下：分別過點(diǎn)G，C作GE⊥AN，CF⊥AN，垂足分別為E，F(xiàn)，∴∠AEG=∠AFC=90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AG=GC=12AC∵在Rt△ABC中，cos∠CAB=AB∴AC=AB∴AG=50∵在Rt△ABH中，tan∠BAH=1，∴∠BAH=45°，∴∠GAE=∠CAB+∠BAH=23.6°+45°=68.6°，∵在Rt△GAE中，cos∠GAE=AE∴AE=AG?cos∠GAE≈50∵0.78>0.7，∴貨車不會(huì)發(fā)生事故．20．達(dá)坂城風(fēng)力發(fā)電站位于烏魯木齊市區(qū)與達(dá)坂城區(qū)之間的公路旁，風(fēng)區(qū)風(fēng)能資源十分豐富，光熱條件優(yōu)異，由上百座巨大的發(fā)電風(fēng)車組成，是中國最大的風(fēng)能基地，有中國“風(fēng)谷”之稱．如圖，某校學(xué)生測(cè)量其中一座風(fēng)車的輪載高度（風(fēng)輪旋轉(zhuǎn)中心到基地平面的垂直距離）AB，先在點(diǎn)C處用測(cè)角儀測(cè)得其風(fēng)車頂端A的仰角為32°，再由點(diǎn)C走50米到點(diǎn)E處，測(cè)得風(fēng)車頂端A的仰角為45°．已知B、E、C三點(diǎn)在一條直線上，測(cè)角儀的高度CD=EF=1.5米，求該座風(fēng)車的輪載高度AB．（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85．【答案】87米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握解直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，則四邊形CDFE、BEFG、BCDG均為矩形，DF=CE=50米，BG=EF=CD=1.5米，GF=AGtan45°=AG，tan∠ADG=AGDG，即tan32°=AGGF+50【詳解】解：過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，則四邊形CDFE、BEFG、BCDG均為矩形，∴DF=CE=50米，BG=EF=CD=1.5米，在Rt△AGF中，∵∠AGF=90°，∠AFG=45°，∴GF=AG在Rt△ADG中，∵DG=GF+FD=GF+50（米），∴tan∠ADG=AGDG，即∴0.63≈AG解得，AG≈85.1（米），∴AB=AG+BG=85.1+1.5≈87米，答：該座風(fēng)車的輪載高度AB約為87米．押題方向二：圓的綜合應(yīng)用3年遼寧真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年丹東卷第22題切線的證明從近年遼寧中考來看，圓的解答題考查的綜合性較強(qiáng)，一般會(huì)和三角形、四邊形綜合，解題時(shí)除了會(huì)用到圓本身的公式外，還經(jīng)常綜合三角形的全等和相似，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)；預(yù)計(jì)2024年遼寧卷還將繼續(xù)重視對(duì)圓的考查。2023年阜新卷第19題陰影面積的計(jì)算2023年錦州卷第22題圓與三角形綜合1．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，點(diǎn)P是⊙O外的一點(diǎn)，PC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，PC與BD相交于點(diǎn)E，連接PD，且PD=PE，延長PD交BA的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：PD是⊙O的切線；(2)若DF=4，PE=72，cos∠PFC=【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）根據(jù)PD=PE，得出∠PED=∠PDE，進(jìn)而得出∠PDE=∠BEC，易得∠B=∠ODB，根據(jù)PC⊥AB，得出∠B+∠BEC=90°，則∠ODB+∠PDE=90°，即可求證PD是⊙O的切線；（2）易得PD=PE=72，則PF=PD+DF=152，根據(jù)cos∠PFC=45，求出CF=PF?cos∠PFC=6，OF=DFcos∠PFC=5【詳解】（1）證明：∵PD=PE，∴∠PED=∠PDE，∵∠PED=∠BEC，∴∠PDE=∠BEC，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵PC⊥AB，∴∠BCP=90°，則∠B+∠BEC=90°，∴∠ODB+∠PDE=90°，即∠ODP=90°，∴PD是⊙O的切線；（2）解：∵PD=PE，PE=7∴PD=7∵DF=4，∴PF=PD+DF=15∵cos∠PFC=4∴CF=PF?cos∠PFC=15∵PD是⊙O的切線，∴OD⊥PD，則∠ODF=90°，∴OF=DF∴OC=CF?OF=6?5=1，根據(jù)勾股定理可得：OD=OF2∴OB=OD=3，∴BC=OB?OC=3?1=2,CE=PC?PE=9∴根據(jù)勾股定理可得：BE=C【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，解題直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，以及解直角三角形的方法和步驟．2．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D是⊙O上AB異側(cè)的兩點(diǎn)，DE⊥CB，交CB的延長線于點(diǎn)E，且BD平分∠ABE．

(1)求證：DE是⊙O的切線．(2)若∠ABC=60°，AB=4，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）連接OD，根據(jù)OB=OD，得出∠OBD=∠ODB．根據(jù)BD平分∠ABE，得出∠OBD=∠EBD，則∠EBD=∠ODB．根據(jù)DE⊥CB得出∠EBD+∠EDB=90°，進(jìn)而得出∠ODB+∠EDB=90°，即可求證；（3）連接OC，過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，通過證明△OBC為等邊三角形，得出∠BOC=60°，OB=OC=BC=2．求出OF=OB?sin60°．最后根據(jù)S陰影【詳解】（1）解：連接OD，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∵BD平分∠ABE，∴∠OBD=∠EBD，∴∠EBD=∠ODB．∵DE⊥CB，∴∠EBD+∠EDB=90°，∴∠ODB+∠EDB=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線．（2）解：連接OC，過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，∵AB=4，∴OB=1∵OB=OC，∠ABC=60°，∴△OBC為等邊三角形，∴∠BOC=60°，OB=OC=BC=2．∵∠ABC=60°，OF⊥BC，OB=2，∴OF=OB?sin60°=2×3∴S陰影

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，求扇形面積，解題的關(guān)鍵是掌握經(jīng)過半徑外端切垂直于半徑的直線是圓的切線；扇形面積公式S=nπ3．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，AE為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AB與⊙O相切于點(diǎn)A，與OC延長線交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BD⊥OB，交AC的延長線于點(diǎn)D．

(1)求證：AB=BD；(2)點(diǎn)F為⊙O上一點(diǎn)，連接EF，BF，BF與AE交于點(diǎn)G．若∠E=45°，AB=5，tan∠ABG=37，求⊙O【答案】(1)見解析(2)⊙O的半徑為154；【分析】（1）根據(jù)AB與⊙O相切于點(diǎn)A得到∠OAC+∠BAD=90°，再根據(jù)BD⊥OB得到∠BCD+∠D=90°，再根據(jù)OA=OC得到∠OAC=∠OCA即可根據(jù)角的關(guān)系解答；（2）連接OF，過點(diǎn)D作DM⊥AB，交AB延長線于點(diǎn)M，在Rt△ABG等多個(gè)直角三角形中運(yùn)用三角函數(shù)的定義求出⊙O半徑r=154，再根據(jù)勾股定理求出BM=3，【詳解】（1）證明：如圖，

∵AE為⊙O的直徑，AB與⊙O相切于點(diǎn)A，∴OA⊥AB，∴∠OAB=90°，∴∠OAC+∠BAD=90°，∵BD⊥OB，∴∠OBD=90°，∴∠BCD+∠D=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠BCD=∠OCA，∴∠OAC=∠BCD，∴∠BAD=∠D，∴AB=AD．（2）連接OF，過點(diǎn)D作DM⊥AB，交AB延長線于點(diǎn)M，如圖，

在Rt△ABG中，∠GAB=90°，∴tan∠ABG=AG∴AG=AB?tan∠ABG=15∵∠E=45°，∴∠AOF=2∠E=90°，∴∠AOF=∠OAB，∴OF∥AB，∴∠OFG=∠ABG，∴tan∠OFG=tan∠ABG=3設(shè)⊙O的半徑為r，∴r?15∴r=15∴tan∠OBA=OA∵DM⊥AB，∴∠M=90°，∴∠BDM+∠DBM=90°，∵BD⊥OB，∴∠OBD=90°，∴∠OBA+∠DBM=90°，∴∠BDM=∠OBA，即tan∠BDM=tan∠OBA=3∴設(shè)BM=3x，DM=4x，在Rt△DBM中，∠M=90°，∵BM2+D∴3x2+4x∴BM=3，DM=4，∴AM=AB+BM=8，∴AD=A【點(diǎn)睛】本題考查了圓與三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A、三角形的線段、角度關(guān)系并運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合思想．掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)和定理：圓的定義：到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。切線定理：過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線。圓的面積和周長公式：S=πr2和C=2πr。利用直徑和半徑：當(dāng)題目中涉及直徑時(shí)，注意直徑上有個(gè)隱藏的中點(diǎn)（圓心），并利用直徑所對(duì)圓周角為直角來構(gòu)造直角三角形。當(dāng)需要添加輔助線時(shí)，考慮連接圓心和切點(diǎn)，或者連接圓心和圓外的一點(diǎn)，或者連接兩切點(diǎn)。理解三角形與圓的關(guān)系：三角形內(nèi)切圓：過圓心作三角形各邊的垂線段，構(gòu)造特殊的邊角關(guān)系和三角形。三角形外接圓：利用三角形外接圓的性質(zhì)，如三角形的外心是外接圓的圓心，外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。利用角度和弧度的關(guān)系：圓的與角度密不可分，掌握?qǐng)A心角、圓周角、同弦角和相交弦角等概念和公式。對(duì)于已知的角度信息，需要將其轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)中的弧度制，弧度值=度數(shù)×π/180。畫圖輔助：根據(jù)題目所給信息，畫出相應(yīng)的圓、直線和角度圖形，以便更好地理解和解題。注意圖形的準(zhǔn)確性和完整性，避免因?yàn)閳D形不準(zhǔn)確而導(dǎo)致理解偏差。1．已知，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作射線CP交AB的延長線于點(diǎn)P，且∠BCP=1(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)若AC=25，tan∠BCP=1【答案】(1)證明見解析(2)6【分析】（1）連接AD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90度可得∠ADC=90°，根據(jù)等腰三角形三線合一可得∠CAD=12∠BAC，結(jié)合已知條件可得∠BCP=∠CAD，進(jìn)而推出∠ACD+∠BCP=90°，即可證明PC（2）解：連接CM，先證△MBC∽△DBA，推出BDBM=BABC，再解Rt△ADC求出CD=2，AD=4，進(jìn)而求出【詳解】（1）證明：如圖，連接AD，∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC，∠ACD+∠CAD=90°，又∵AB=AC，∴∠CAD=1又∵∠BCP=1∴∠BCP=∠CAD，∴∠ACD+∠BCP=90°，即∠ACP=90°，又∵AC為⊙O的直徑，∴PC是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接CM，則∠AMC=90°，∴∠BMC=∠BDA=90°，又∵∠MBC=∠DBA，∴△MBC∽△DBA，∴BDBM又∵tan∠BCP=tan∠DAC=CD∴AD=2CD，∵在Rt△ADC中，AD∴2CD2∴CD=2，AD=4，∴BC=2CD=4，BD=DC=2，又∵BDBM∴BM=BD?BC∴AM=AB?BM=AC?BM=25【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的三線合一性質(zhì)，圓的切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，熟練運(yùn)用圓周角定理是解決本題的關(guān)鍵．2．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，直徑AE交線段BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BC延長線上一點(diǎn)，連接PA，滿足∠PAC=∠ABC．(1)求證：直線PA是⊙O的切線；(2)若AB=1，AC=5?12，點(diǎn)C為PD【答案】(1)證明見解析(2)5【分析】本題主要考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理等等：（1）連接CE，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到∠ACE=90°，則∠AEC+∠CAE=90°，再由同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠PAC+∠CAE=90°，進(jìn)而得到∠PAE=90°，據(jù)此可證明結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=CP=5?12，PD=2AC=5?1，證明△PAC∽△PBA【詳解】（1）證明：如圖所示，連接CE，∵AE是直徑，∴∠ACE=90°，∴∠AEC+∠CAE=90°，∵∠AEC=∠ABC，∠PAC=∠ABC，∴∠PAC+∠CAE=90°，∴∠PAE=90°，即AE⊥AP，∵AE是直徑，∴直線PA是⊙O的切線；（2）解：∵∠PAD=90°，點(diǎn)C為PD的中點(diǎn)，∴AC=CP=5?12∵∠PAC=∠ABC，∠P=∠P，∴△PAC∽△PBA，∴PCPA=AC∴PA=1，∴cos∠P=AP3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E，連接DB，AC，過點(diǎn)C作DB的垂線，交DB的延長線于點(diǎn)F，且∠ABD=2∠BDC．(1)求證：CF是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為5，tan∠BDC=12【答案】(1)見解析(2)OE=5【分析】（1）連接OC，由∠BOC=2∠BDC，∠ABD=2∠BDC，得∠BOC=∠ABD，則OC∥DB，所以∠OCF=180°?∠F=90°，即可證明CF是⊙O的切線；（2）先求得AB=25，AB=5BC=25，BC=2，由BFCF=tan∠FCB=tan∠BDC=CFDF=12，得CF=2BF，則BC=【詳解】（1）證明：連接OC，則∠BOC=2∠BDC，∵∠ABD=2∠BDC，∴∠BOC=∠ABD，∴OC∥DB，∵CF⊥DB，∴∠F=90°，∴∠OCF=180°?∠F=90°，∵OC是⊙O的半徑，且CF⊥OC，∴CF是⊙O的切線；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，⊙O的半徑為5，∴∠ACB=90°，OC=OB=5，AB=2∵∠A=∠BDC，∴BCAC∴AC=2BC，∴AB=A∴BC=2，∴∠FCB+∠OCB=90°，∠A+∠ABC=90°，且∠OCB=∠ABC，∴∠FCB=∠A=∠BDC，∴BFCF∴CF=2BF，∴BC=C∴BF=2∴DF=2CF=4BF=4×2∴BD=DF?BF=8∵OC∥DB，∴△OCE∽△BDE，∴OEBE∴OE=5∴線段OE的長是55【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．如圖，AB為⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)C在BA的延長線上，且∠CDA=∠B．(1)求證：CD為⊙O的切線；(2)若DE=2，【答案】(1)見解析(2)2【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、扇形的面積公式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．（1）連接OD，先根據(jù)圓周角定理得出∠ADB=90°，再證明∠ODB=∠CDA，從而得出∠ODC=90°，即可得證；（2）連接OE，先利用圓心角、弧、弦的關(guān)系，得出∠BOE=∠DOE，由圓周角定理得出∠BOE=2∠BDE=60°，證明△ODE為等邊三角形，再根據(jù)圖中陰影部分的面積=S【詳解】（1）證明：如圖，連接OD，，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即∠OAD+∠ODB=90°，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵∠B=∠CDA，∴∠ODB=∠CDA，∴∠ODA+∠CDA=90°，即∠ODC=90°，∴OD⊥CD，∵OD為⊙O的半徑，∴CD為⊙O的切線；（2）解：如圖，連接OE，，∵E為BD的中點(diǎn)，∴∠BOE=∠DOE，∵∠BOE=2∠BDE=60°，∴∠DOE=60°，∵OD=OE，∴△ODE為等邊三角形，∴OD=DE=2，∵∠COD=180°?∠BOE?∠DOE=60°，∴CD=3∴圖中陰影部分的面積=S5．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與線段BC交于點(diǎn)D，作DE⊥AC，垂足為E，ED的延長線與AB的延長線交于點(diǎn)F．(1)求證：直線FE是⊙O的切線：(2)若AC=13，BC=10，求DE長．【答案】(1)見解析(2)DE=【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定，難度適中，熟練掌握切線的判定是解答的關(guān)鍵．（1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證得∠ABC=∠C，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可證得FE⊥OD，然后根據(jù)切線的判定即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理得出∠ADB=90°，再由等腰三角形的性質(zhì)得出BD=CD=5，利用勾股定理確定AD=AC【詳解】（1）證明：如圖，連接OD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴直線FE是⊙O的切線；（2）∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，BC=10，∴BD=CD=5，∵AC=13，∴AD=AC∴12AD?CD=1解得：DE=606．如圖AB為⊙O的直徑，C為圓上的一點(diǎn)，D為劣弧BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線與AC的延長線交于點(diǎn)P，與AB的延長線交于點(diǎn)F，AD與BC交于點(diǎn)E，(1)①求證：∠DCB=∠CAD；②求證：CD(2)若DE=2，AE=4，求【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析(2)PC【分析】本題考查與圓有關(guān)的性質(zhì)和概念，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．（1）①由圓周角定理即可得證；②證明△CED∽△DCA即可得證；（2）連接OD，DB，OD交BC于點(diǎn)G，由②得出而得出∠P=90°，△PCD∽△ADB，利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．【詳解】（1）證明：①∵D為劣弧BC的中點(diǎn)，∴BD∴∠DCB=∠CAD，②∵∠DCB=∠CAD，∠CDE=∠CDA，∴△CED∽∵DE∴CD（2）如圖，連接OD，DB，OD交∵DE=2，AE=4∴AD=DE+AE=6，∵CD∴CD=23∵BD∴OD⊥CB，∴∠OGC=90°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴OD∥∴∠P=90°，∵四邊形ACDB是⊙O內(nèi)接四邊形，∴∠PCD=∠ADB，∴△PCD∽∴PC7．如圖，⊙O為等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長AO交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作AB的垂線，交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，交過點(diǎn)A且與BC平行的直線于點(diǎn)H，連結(jié)AG．

(1)判斷AH與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若∠BAC=56°，求∠H和∠BAG的大??；(3)若GF=1，tan∠ABC=2，求OD【答案】(1)AH與⊙O相切，詳見解析(2)∠H=28°，∠BAG=28°，詳見解析(3)OD=5【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得AD⊥BC，BD=CD，再根據(jù)AH∥BC得AH⊥AD，據(jù)此可得AH與⊙O的位置關(guān)系；（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得∠BAD=∠CAD=28°，則∠ABC=62°，再根據(jù)CF⊥AB得∠BCF=28°，然后根據(jù)平行線性質(zhì)及圓周角定理可得∠H和∠BAG的度數(shù)；（3）設(shè)BD=a，則BD=CD=a，BC=2BD=2a，根據(jù)tan∠ABC=2得AD=2a，再根據(jù)∠AGC=∠ABC，GF=1得AF=2GF=2，進(jìn)而得AC=AB=5a，BF=AB?AF=5a?2，在Rt△BCF中由勾股定理得CF2=BC2?BF2=?a2+45【詳解】（1）AH與⊙O相切，理由如下：∵⊙O為等腰△ABC的外接圓，AB=AC，延長AO交BC于點(diǎn)D，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AH∥BC，∴AH⊥AD，∵AO為⊙O的半徑，∴AH是⊙O的切線，即AH與⊙O相切；（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=56°，∴∠BAD=∠CAD=1∴∠ABC=90°?∠BAD=90°?28°=62°，∵CF⊥AB，∴∠BCF=90°?∠ABC=90°?62°=28°，∵AH∥BC，∴∠H=∠BCF=28°，∴∠BAG=∠BCF=28°；（3）設(shè)BD=a，則BD=CD=a，BC=2BD=2a，在Rt△ABD中，tan∠ABC=AD∴AD=2a，∵∠AGC=∠ABC，∴tan∠AGC=tan∠ABC=2，在Rt△AGF中，GF=1，tan∠AGC=AF∴AF=2GF=2，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=A∴AC=AB=5a，在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF在Rt△ACF中，由勾股定理得：CF∴?a整理得：6a解得：a1=2∴AD=2a=4設(shè)OD為x，連接OB，如下圖所示：

則OA=OB=AD?OD=4在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB即45解得：x=5故OD的長為52【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A周角定理，切線的判定，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．8．如圖，PB是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)A在⊙O上，且PA=PB．連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)C，交直線PB于點(diǎn)D，連接OP．(1)證明：PA是⊙O的切線；(2)證明：DB(3)若BD=4，sin∠ADP=35【答案】(1)見解析(2)見解析(3)3【分析】（1）連接OB，證△APO≌△BPO，求出∠OAP=∠OBP=90°即可；（2）連接AB，BC，證明∠DBC=∠BAD，可得△DBC∽△DAB，然后相似三角形的性質(zhì)即可得證；（3）先解Rt△BOD求出OB=3，OD=5，則CD=2，證明BC∥OP，利用平行線分線段成比例求出BP，最后在Rt△BOP利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：連接OB，∵PB是⊙O的切線，∴OB⊥PB，即∠OBP=90°，∵OA=OB，PA=PB，OP=OP，∴△APO≌△BPO，∴∠OAP=∠OBP=90°，即OA⊥AP，又OA是⊙O的半徑，∴PA是⊙O的切線；（2）證明：連接AB，BC，∵AC是直徑，∴∠ABC=90°，∴∠DBC+∠ABP=90°，∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，又∠PAB+∠BAD=90°，∴∠DBC=∠BAD，又∠D=∠D，∴△DBC∽△DAB，∴DBDA∴DB（3）解：在Rt△BOD，sin∠ADP=3∴設(shè)OB=3x，則OD=5x，∴BD=O又BD=4，∴4x=4，∴x=1，∴OB=OC=3，OD=5，∴CD=2，∵PA、PB是⊙O的切線，∴OP平分∠APB，又PA=PB，∴AB⊥OP，又AB⊥BC，∴BC∥OP，∴BDBP=CD∴BP=6，∴OP=B【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，切線長定理，圓周角定理的推論，相似三角形的判定，平行線分線段成比例，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分線交CB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作OD⊥CB交AB于點(diǎn)O．(1)求證：直線CD是以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的⊙O的切線；(2)如果：sin∠CAB=35，BC=3【答案】(1)見詳解(2)20【分析】（1）根據(jù)“平行線＋角平分線”得等腰三角形即可證明；（2）先由銳角三角函數(shù)求出AB=5，由sin∠CAB=sin∠BOD=BDOB=35，設(shè)BD=3x，OB=5x【詳解】（1）證明：∵OD⊥BC，∴∠ODB=90°，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD∥AC，∴∠CAD=∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∴∠DAO=∠ADO，∴OA=OD，∵點(diǎn)O到直線CD的距離為d=OD，半徑為R=OA，∴直線CD是以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的⊙O的切線；（2）解：∵OD∥AC，∴∠BOD=∠CAB，∵∠C=90°，sin∠CAB=BC∵BC=3，∴AB=5，∴sin∠CAB=sin∠BOD=BD∴設(shè)BD=3x，OB=5x，在Rt△BDO中，DO=O∴AO=OD=4x，∴AB=9x=5，∴x=5∴AO=4x=20∴⊙O的半徑為209【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，勾股定理，等腰三角形的判定，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．10．已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AD，BD是直徑，EF切⊙O于點(diǎn)A，交CB的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥CD，垂足為D；

(1)求證：四邊形EBDF是平行四邊形；(2)若FD=52，CD=4，求【答案】(1)見解析(2)9【點(diǎn)睛】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)以及平行線的判定可得BD∥EF，再根據(jù)圓周角定理，垂直的定義以及平行線的判定可得DF∥CE即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和面積的計(jì)算方法求出半徑OA，再根據(jù)勾股定理求出BC即可．本題考查切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，圓周角定理以及平行四邊形、三角形面積的計(jì)算，掌握切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，圓周角定理以及平行四邊形、三角形面積的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：如圖，連接OA，

∵AB=AD，OB=OD，∴OA⊥BD，∵EF是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，∴OA⊥EF，∴BD∥EF，∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD=90°，即BC⊥CD，∵DF⊥CD，∴DF∥CE，∴四邊形BDFE是平行四邊形．（2）解：∵四邊形BDFE是平行四邊形，∴BE=DF=52，∵S∴BD?OA=10，∵BD=2OA，∴OA=5，BD=2在Rt△BCD中，BD=25，CD=4∴BC=B∴CE=2+511．已知，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是半圓AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在⊙O上，且點(diǎn)D與點(diǎn)C在AB的兩側(cè)，直線DE是⊙O的切線，點(diǎn)D是切點(diǎn)．

(1)如圖1，若DE∥AC，求(2)如圖2，若∠BDE=23∠ABC，BD=5【答案】(1)22.5°(2)5【分析】（1）先得出OD⊥DE，根據(jù)C為半圓AB的中點(diǎn)，得出∠CAB=∠CBA=45°，再結(jié)合三角形外角性質(zhì)，列式計(jì)算，即可作答．（2）先根據(jù)角的運(yùn)算，得出∠BDE=30°，有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形，得出△OBD是等邊三角形，結(jié)合AC=AB?sin∠ABC，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【詳解】（1）解：如圖1．連接DO，并延長交AC于點(diǎn)M．

∵DE是⊙O的切線，點(diǎn)D是切點(diǎn)，∴OD⊥DE．∵DE∥AC，∴OM⊥AC，∴∠AMD=90°，∵C為半圓AB的中點(diǎn)，∴AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵∠AMD=90°，∴∠AOM=∠AMD?∠CAB=90°?45°=45°，∵OA=OD．∴∠BAD=∠ADO=1（2）解：如圖2，連接OD．

∵∠BDE=23∠ABC∴∠BDE=30°，∵OD⊥DE，∴∠ODE=90°∵∠ODB=∠ODE?∠BDE，∴∠ODB=90°?30°=60°．∵OD=OB．∴△OBD是等邊三角形，∴OB=BD=5，∴AB=2OB=10．∵∠ABC=45°，∠ACB=90°，∴AC=AB?sin∠ABC=10×sin45°=10×【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．12．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，AD⊥BC于點(diǎn)E．(1)求證：∠BAD=∠CAD；(2)連接BO并延長，交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，連接GC．若⊙O的半徑為5，OE=3，求GF的長．【答案】(1)證明見解析(2)GF=【分析】本題主要考查垂徑定理、三角形中位線及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂徑定理、三角形中位線及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（1）由題意易得BD=（2）由題意可先作圖，由（1）可得點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，則有OE=12CG,OE∥CG【詳解】（1）證明：∵AD是⊙O的直徑，AD⊥BC，∴BD=CD，∴∠BAD=∠CAD；（2）解：由題意可得如圖所示：由（1）可得點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∵點(diǎn)O是BG的中點(diǎn)，∴OE=1∴△AOF∽△CGF，∴OACG∵OE=3，∴CG=6，∵⊙O的半徑為5，∴OA=OG=5，∴56∴GF=613．如圖，在銳角△ABC中，以AC為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)O作OE∥BC，交⊙O于點(diǎn)E，AD與CE交于點(diǎn)(1)求證：∠ACE=∠DCE；(2)若AC=4，△CDF的面積與△COE的面積之比為2:3，求CF的長．【答案】(1)證明見解析；(2)CF=4【分析】（1）易證∠OEC=∠OCE，∠OEC=∠ECD，從而可知∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；（2）易證S△COES△CAE=12，由于S△CDF本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理．【詳解】（1）證明：∵OC=OE，∴∠OEC=∠OCE，∵OE∥BC，∴∠OEC=∠ECD，∴∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；（2）∵O是AC中點(diǎn)，∴S△COE∵S△CDF∴S△CDF∵AC是⊙O直徑，∴∠AEC=∠FDC=90°，∵∠ACE=∠FCD，∴△CDF∽△CEA，∴CFCA∴CF=314．如圖，CD是⊙O的直徑，AE⊙O相切與點(diǎn)B，連接BC、BD，過圓心O作OE∥BC，連接EB并延長，交DC延長線于點(diǎn)(1)求證：∠D=∠E；(2)若F是OE的中點(diǎn)，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)2π【分析】本題主要考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、扇形面積公式、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)圓周角定理和平行線的性質(zhì)證得∠E=∠OBD，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證得∠D=∠