2024年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)干貨：30條秒殺型公式與方法

2024年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)干貨：30條秒殺型公式與方法

1,適用條件：

［直線過焦點］,必有ecosA=(x-l)/(x+l),其中A為直線與焦點

所在軸夾角，是銳角。x為分離比，必須大于1。注上述公式

適合一切圓錐曲線。如果焦點內(nèi)分(指的是焦點在所截線段

上)，用該公式;如果外分(焦點在所截線段延長線上)，右邊為

(x+1)/(x-l),其他不變。

2,函數(shù)的周期性問題(記憶三個)：

(1)若f(x)=-f(x+k),則T=2k;

(2)若f(x)=m/(x+k)(m不為0),貝UT=2k;

(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k),則T=6k。注意點：a.周期函數(shù),

周期必?zé)o限b.周期函數(shù)未必存在最小周期，如：常數(shù)函數(shù)。c.

周期函數(shù)加周期函數(shù)未必是周期函數(shù)，如：y=sinxy=sin派x

相加不是周期函數(shù)。

3,關(guān)于對稱問題(無數(shù)人搞不懂的問題)總結(jié)如下：

(1)若在R上(下同)滿足:f(a+x)=f(b-x)恒成立，對稱軸為

x=(a+b)/2;

(2)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于x=(b-a)/2對稱;

(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b,則f(x)圖像關(guān)于(a,b)中心對稱。

4,函數(shù)奇偶性：

(1)對于屬于R上的奇函數(shù)有f(0)=0;

(2)對于含參函數(shù)，奇函數(shù)沒有偶次方項，偶函數(shù)沒有奇次

方項；

(3)奇偶性作用不大，一般用于選擇填空。

5,數(shù)列爆強定律：

(1)等差數(shù)列中:S奇=na中,例如S13=13a7(13和7為下角

標(biāo))；

(2)等差數(shù)列中:S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差

(3)等比數(shù)列中，上述2中各項在公比不為負一時成等比，

在q=-l時，未必成立

(4)等比數(shù)列爆強公式：S(n+m)=S(m)+q2ms(n)可以迅速求q

6,數(shù)列的終極利器，特征根方程：_

對于an+l=pan+q(n+l為下角標(biāo)，n為下角標(biāo))，al已知，那么

特征根x=q/(l-p),則數(shù)列通項公式為an=(al-x)p2(n-l)+x,這

是一階特征根方程的運用。二階有點麻煩，且不常用。所以不

贅述。希望同學(xué)們牢記上述公式。當(dāng)然這種類型的數(shù)列可以構(gòu)

造(兩邊同時加數(shù))

7,函數(shù)詳解補充：

(1)復(fù)合函數(shù)奇偶性：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外；

(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減；

(3)重點知識關(guān)于三次函數(shù)：恐怕沒有多少人知道三次函數(shù)

曲線其實是中心對稱圖形。它有一個對稱中心，求法為二階導(dǎo)

后導(dǎo)數(shù)為0,根x即為中心橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)可以用x帶入原函

數(shù)界定。另外，必有唯一一條過該中心的直線與兩旁相切。

8,常用數(shù)列bn=nx(22n)求和Sn=(n-l)x(22(n+l))+2記憶方

法：

前面減去一個1,后面加一個，再整體加一個2

9,適用于標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點在x軸)爆強公式：

女橢=-{032詼。}/{(a2)yo)女雙={(62、0}/{(a2)yo)kite=p/yo

注：(xo,yo)均為直線過圓錐曲線所截段的中點。

10,強烈推薦一個兩直線垂直或平行的必殺技：

已知直線LI：alx+bly+cl=0直線L2：a2x+b2y+c2=0若它們

垂直：(充要條件)ala2+blb2=0;若它們平行：(充要條

件)alb2=a2bl且alc2，a2cl［這個條件為了防止兩直線重合)

注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩，直接必殺！

11,經(jīng)典中的經(jīng)典:

相信鄰項相消大家都知道。下面看隔項相消：對于

Sn=l/(lx3)+l/(2x4)+l/(3x5)+...+l/[n(n+2)]=l/2[l+l/2-

l/(n+l)-l/(n+2)]注：隔項相加保留四項，即首兩項，尾兩項。

自己把式子寫在草稿紙上，那樣看起來會很清爽以及整潔！

12,面積公式：

S=l/2|mq-np|其中向量AB=(m,n),向量BC=(p,q)注:這個

公式可以解決已知三角形三點坐標(biāo)求面積的問題！

13,空間立體幾何中，以下命題均錯：

(1)空間中不同三點確定一個平面；

(2)垂直同一直線的兩直線平行；

(3)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

(4)如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則直線垂直平

面；

(5)有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體

是棱柱；

(6)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體都是

棱錐注。

14,一個小知識點：

所有棱長均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。

15,求f(x)=|x-l|+|x-2|+|x-3|+...+|x-n|(n為正整數(shù))的最小

值。

當(dāng)n為奇數(shù)，最小值為(n2-l)/4,在x=(n+l)/2時取到;當(dāng)n為

偶數(shù)時，最小值為n2/4,在x=n/2或n/2+l時取到。

16,橢圓中焦點三角形面積公式：

S=b2tan(A/2)在雙曲線中：S=b2/tan(A/2)說明：適用于焦點在x

軸，且標(biāo)準(zhǔn)的圓錐曲線。A為兩焦半徑夾角。

17,爆強定理：

空間向量三公式解決所有題目：cosA=|{向量a.向量b}/[向量

a的模x向量b的模]|一：A為線線夾角，二：A為線面夾角(但

是公式中cos換成sin)三：A為面面夾角注：以上角范圍均為

［0,派/2］。

18,爆強公式：

22222

12+22+32++n2=1/6(n)(n+l)(2n+1);13+23+33+n3=1/4(n)(n

+1)2

19,切線方程記憶方法：

寫成對稱形式，換一個x,換一個y。舉例說明：對于y2=2px

可以寫成yxy=px+px再把(xo,yo)帶入其中一個得：

yxyo=pxo+px

20,爆強定理：

(a+b+c)2n的展開式［合并之后］的項數(shù)為：Cn+22,n+2在下，

2在上

21,爆強簡潔公式：

向量a在向量b上的射影是：(向量ax向量b的數(shù)量積)/［向

量b的模］。記憶方法：在哪投影除以哪個的模

22,說明一個易錯點：

若f(x+a)［a任意］為奇函數(shù)，那么得到的結(jié)論是f(x+a)=-f(-x+a)

(等式右邊不是-f(-x-a)〕，同理如果f(x+a)為偶函數(shù)，可得

f(x+a)=f(-x+a)牢記!

23,離心率爆強公式：

e=sinA/(sinM+sinN)注：P為橢圓上一點，其中A為角

F1PF2,兩腰角為M,N

24,爆強定理：

直觀圖的面積是原圖的心/4倍。

25,三角形垂心爆強定理：

(1)向量0H=向量0A+向量0B+向量0C(0為三角形外

心，H為垂心)

(2)若三角形的三個頂點都在函數(shù)y=l/x的圖象上，則它的

垂心也在這個函數(shù)圖象上。

26,爆強思路：

如果出現(xiàn)兩根之積xlx2=m,兩根之和xl+x2=n,我們應(yīng)當(dāng)形

成一種思路，那就是返回去構(gòu)造一個二次函數(shù)，再利用△大于

等于0,可以得到m、n范圍。

27,常用結(jié)論：

過(2p,0)的直線交拋物線y2=2px于A、B兩點。O為原點，

連接AO.BOo必有角AOB=90度

28,爆強公式：

ln(x+l)Sx(x>-l)該式能有效解決不等式的證明問題。舉例說

明：ln(1/(22)+1)+ln(1/(32)+1)+...+ln(1/(n2)+l)<l(n>2)證明如

下：令x=l/(n2),根據(jù)ln(x+l)Sx有左右累和右邊再放縮得：

左和證畢！

29,幾個數(shù)學(xué)易錯點：

(1)r(x)<o是函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件；

(2)在研究函數(shù)奇偶性時，忽略最開始的也是最重要的一

步：考慮定義域是否關(guān)于原點對稱；

(3)不等式的運用過程中，千萬要考慮"=