湖南省湘潭市2024屆高三年級(jí)下冊(cè)3月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題含答案

-LF刖湖南省湘潭市2024屆高三下學(xué)期3月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

2024屆高三3月質(zhì)量檢測(cè)試題

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試卷和答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)徐黑，如有改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.設(shè)集合A=｛充122k4I+3<0),B=｛Z\lg(x-'1X0｝,IjjlJAA.8—

A.{211〈］42}B.{川2V-V3}

C.{a?|D.{xl0<x<2)

2.已知隨機(jī)變量X服從.N(O.5./),若P(X4Q3)=0.3,則P(0.3&X00.7)=

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

3.已知之為復(fù)數(shù)，若zi+i為棋數(shù)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程為

A.笈一、=0B.(J；-I)2+j/2=1

C.j/+l=0D.z+l=0

4.設(shè)'等差數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和為S，若七三853=18,則Ss=

A.34B、35C.36D.38

匚(sin50°+sin70°/小盾4

5-1+cos200-的值丸

A.1B.-yC.jD.2

LJ

6.實(shí)驗(yàn)課上“卜明將一個(gè)小球放置在圓柱形燒杯口處固定(燒杯口支撐著小球)，觀察到小球恰好接

觸到燒杯底部.已知燒杯的底面半徑為2,小球的表面積為25兀,若燒杯的厚度忽略不計(jì)，則燒杯的

側(cè)面積為

A.7rB.2兀C.37tD.47r

7.已知/(工)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)工>0時(shí),f(x)=(z+a)卜一5)2，若f(無(wú))有且僅有3個(gè)零

點(diǎn)，則關(guān)于①的不等式『⑴》子信)的解集為

A.(-OO,-2)IJ(2,+^)

c.(―8,—3)U(3,+OO)D.(―8,—4)U(4,+8)

8.已知W|（）的半&為l./i.B.C為上三點(diǎn).滿足IA由=&.則戈?<AC48d的取值他圉為

A-L1.2]R[1.3]

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.潮汐現(xiàn)象是地球上的海水受月球和太陽(yáng)的萬(wàn)有引力作用而引起的周期性漲落現(xiàn)象.某觀測(cè)站通過(guò)

長(zhǎng)時(shí)間觀察，發(fā)現(xiàn)某港口的潮汐漲落規(guī)律為y=AcosKz+g）+6（其中4>0,。>0）,其中y（單位:

m）為港口水深,了（單位：h）為時(shí)間（0<1<24）,該觀測(cè)站觀察到水位最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的時(shí)間間隔

最少為6h、且中午12點(diǎn)的水深為8m,為保證安全，當(dāng)水深超過(guò)8m的，應(yīng)限制船只出入，則下列

說(shuō)法正確的是

B.最高水位為「12m

C.該港口從上午8點(diǎn)開(kāi)始首次限制船只出入

D.一天內(nèi)限制船只出人的時(shí)長(zhǎng)為4h

10.已知圓錐SO的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，AC為底面圓O耨5條直徑,AC=2,B為圓。上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)（不與A,C重合），記二面角S-AB-0為a,S-火。-。為E，則

A.圓錐30的體積為當(dāng)丁

0

B.三棱錐S-ABC的外接球的半徑為母

乙

C.若0=8,則BOJ_平面SAC

D.若tana=2tan則tana=vT5

已知F,,F2分別為雙曲線C：z2—/=an>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)乂（1,西）滿足端-AM=0,

N為雙曲線C的右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

A.雙曲線C的焦距為4

B,直線MF2與雙曲線C的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)

C.AN0M的面積的最小值為1

3.ZONM<J

U

【高三數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)（共5頁(yè)）】

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在(2+丁)3(1—n)的展開(kāi)式中。的一次項(xiàng)的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

13.已知F為拋物線C：丁=2/c(力>0)的焦點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F且斜率為1的直線交拋物線C

于兩點(diǎn)，直線AO,BO分別交拋物線C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn)，若雙5=4赤，前=幺質(zhì)，則

/+〃=.

14.已知函數(shù)，殳)=工一小!x(a>0),記函數(shù)，，=/(工)，y=f(f(z))的值域分別為M,N,若N呈M,

則a的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

2023年8月8日是我國(guó)第15個(gè)“全民健身日”，設(shè)立全民健身日(FitnessDay)是適應(yīng)人民群眾體

育的需求，促進(jìn)全民健身運(yùn)動(dòng)開(kāi)展的需要.某學(xué)校為了提高學(xué)生的身體素質(zhì)，舉行了跑步競(jìng)賽活

動(dòng)，活動(dòng)分為長(zhǎng)跑、短跑兩類項(xiàng)目，且該班級(jí)所有同學(xué)均參加活動(dòng)，每位同學(xué)選擇一項(xiàng)活動(dòng)參加.

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

長(zhǎng)跑短跑

男同學(xué)3010

女同學(xué)a10

若采用分層抽樣按性別從該班級(jí)中抽取6名同學(xué)，其中有男同學(xué)4名，女同學(xué)2名.

(1)求。的值以及該班同學(xué)選擇長(zhǎng)跑的概率；

(2)依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷選擇跑步項(xiàng)目的類別與學(xué)生性別有關(guān)?

n(ad-be)2

附：/其中n=a~\~b-\~c-\-d.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.050.010.001

3.8416.63510.828

16,（本小題滿分15分）

設(shè)各項(xiàng)都不為。的數(shù)列皿J的前”項(xiàng)積為T(mén),,二=2號(hào)"?a,，m=2.

（D求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）保持?jǐn)?shù)列中的各項(xiàng)順序不變，在每?jī)身?xiàng)g與。*+1之間插入一項(xiàng)2（帆+1—■&&）（其中k—\,

2、3、…）.組成新的數(shù)列也），記數(shù)列也］的前上項(xiàng)和為S“，若S〃>2023,求n的最小值.

17.（本小題滿分15分）

如圖，在三棱臺(tái)ABC-ABC中，△ABC為等邊三角形,AB=2AiBi=2,AAJ_平面ABC,M,

N分別為AB,AC的中點(diǎn).

（1）證明：平面BCCBi〃平面AIMN；

（2）若小瓦LAG，設(shè)。為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，求AD與平面BCGBi所成的角的正弦值的最

大值.

B

18.(本小題滿分17分)

已知橢圓常+方=">6>0)的離心率為?,°為坐標(biāo)原點(diǎn)㈤㈤分別為橢圓。的左、右焦

點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上(不包括端點(diǎn))，當(dāng)PFZJ_BF2B^,APF,F2的面積為爭(zhēng).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)A(O,1),B(O,—1),直線PA,PB分別與橢圓C交于異于點(diǎn)P的M,N兩點(diǎn)，記直線

PO,MN的斜率分別為M,k2，求的值.

19.(本小題滿分17分)

已知函數(shù)/(x)=zlnx—^-x2—1,aGR.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求/(z)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)aVO時(shí)，記戶z)的極小值點(diǎn)為々，證明：f(x)存在唯一零點(diǎn)久1,且q〉4x0.

(參考數(shù)據(jù)：e3六20.85)

【高三數(shù)學(xué)試題第5頁(yè)(共5頁(yè))】

2024屆高三3月質(zhì)量檢測(cè)-數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則

題號(hào)12345678

答案AcDBcDAB

題號(hào)91011

答案ACACDACD

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.【答案】A

【解析】由/一4才+3<0,解得1VJTV3,所以A=(H|1VHV3).因?yàn)?V才一1V1,所以B={z|1VhV2).故

AClB={*lVx<2).故選A.

2.【答案】C

【解析】由題意.P(0.3&X&0.5)=0.5-0.3=0.2.所以P(0.3&X40.7)=2P(0.3&X40.5)=0.4.故選C.

3.【答案】D

【解析】設(shè)N=工+yiQ.ySR).則？i+i=(“+?i)i+i=(H+l)i—?.因?yàn)椋縤+i為實(shí)數(shù),所以工+1=0.故選D.

4.【答案】B

【解析】53=。|+3+。3=3%=18.解得。2=6.設(shè){。11}的公差為4.0,一八=24=2.解得d=1,所以牝=9.S$=

S3+a?+as=18+8+9=35,故選B.

5.【答案】C

r做好I(sin50°十sin70°尸_[sin(600-10°)+sin(600+100)了_3cos。10°_3_燉*,

【解所】-1+cos20°1+2cos2100-]2cos210°-7，K3S

6.【答案】D

【解析】設(shè)小球的底面半徑為八則S=4k-=25k,解得r=1?，設(shè)圓柱的席為人.由勾股定理可得產(chǎn)=2'+

(/?一人/.解得人=1或人=4(舍去).所以燒杯的側(cè)面積為2Kx2X1=4K.故選D.

7.【答案】A

【解析】因?yàn)?⑺為偶函數(shù).有且僅有3個(gè)零點(diǎn),所以/(0)=0.解得a=0.此時(shí)當(dāng)60時(shí),八工)=工卜一打.

/(1r)的零點(diǎn)為一■當(dāng)工》0時(shí),/\外>/(十).即Xs—3。+-1-x—1-=(彳一十)(工一2)>0.解得工>2,

所以八口〉/(右)的解集為(一8,一2)11(2.+8).故選A.

8.【答案】B

【解析】取AB的中點(diǎn)為D,則|而=十.6"(AC+BC)=2OC-DC=2OC?(OC-OD)=2OC2-2OC-OD

=2—205.歷,因?yàn)楸?方右[一十,].所以2—2比?故選B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6

分,部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.【答案】AC(全部選對(duì)得6分.選對(duì)1個(gè)得3分，有選錯(cuò)的得0分)

【解析】依題意看=三=6,所以s=會(huì).A選項(xiàng)正確；

4(1)0

當(dāng)工=12時(shí)，kAcos傳X12+給+6=8,解得A=4,所以最高水位為10m.B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

由上可知y=4cos(去r+^)+6.令y>8.解得8-412或20/424,所以從上午8點(diǎn)開(kāi)始首次限制船只出

人.一天內(nèi)限制船只出入時(shí)長(zhǎng)為8h.C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選AC.

10.【答案】ACD(全部選對(duì)得6分.選對(duì)1個(gè)得2分.選對(duì)2個(gè)得4分,有選錯(cuò)的得0分)

【解析】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為/，已知圓錐底面圓半徑r=l，則K/=2“T?.解得/=2,所以圓錐的高h(yuǎn)=;席、

網(wǎng)錐體積為:芯，/A選項(xiàng)正確;

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球半徑為R，則（7T—R）2+12=R\解得R=^.B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

分別作OD.OE垂直BA,BC于D,E.則NSDO=a.NSEO=j9.若a=f,則OD=OE,此時(shí)

OBJ_AC,又OBJ_SO.所以BOJ_平面SAC,C選項(xiàng)正確；

若tana=2tan￡.則2OD=OE,即2BC=BA,又BC2+BA?=4.解得BC=%.OD=年

方所以tan。=5=K，D選項(xiàng)正確，故選ACD.

11.【答案】ACD（全部選對(duì)得6分.選對(duì)1個(gè)得2分，選對(duì)2個(gè)得4分,有選錯(cuò)的得0分）

【解析】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，依題意|乂0|=|061=|0尸21=2,所以‘=2.雙曲線。每一*=1的焦距2c=4.A

選項(xiàng)正確；

由A知#2（2.0）,雙曲線漸近線方程為y=±工,則直線MF2的斜率為空抖=一有〈一1.所以直線MF2與

X乙

雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

設(shè)直線l：y=^x+m與雙曲線右支相切,聯(lián)立可得2三+2"〃吹+2+川=（），△=（2萬(wàn)切）2—8（2+。）=0,解得

m=-2或者m=2（舍）.直線OM與/之間的距離為d='=Z￡l=1,所以△NOM的面積最小值為J|OM|d=

A/3+T2

1.C選項(xiàng)正確；

由C可知，直線lc=底工一?與雙曲線右支的切點(diǎn)為（瘋.1）.直線OM與/兩平行線之間的距離為1,且|OM|

=2.N到OM中點(diǎn)的距離大于1.所以NONMV手,D選項(xiàng)正確,故選ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.【答案】4

【解析】Q2?十（-1）023=12—8=4.

13.【答案】6

【解析】設(shè)4（4，“），3（三.”），則尸9=孕.同理//=華.設(shè)直線AB：H=、+等.

2PpL

2

將直線AB與拋物線方程聯(lián)立可得于一2力、一/=0,則V+”=26V“=—",

2（垣十里）.,,

2

Cem_2（xj_\2p2pI_y]+_（y!+j2）—21ylyc

14.【答案】（0.D

【解析】，（-=1-3=二?2,當(dāng)HS（O.a）時(shí).，（Z）V0，/（H）單調(diào)遞減，當(dāng)HS（a,+8）時(shí)，，（工）>0,/（工）單

調(diào)遞增，當(dāng)x—a時(shí),/（1）取得極小值/（a）=。-alna?所以M={y\y^a-a\na},當(dāng)a-alna<0時(shí)，M=N,

不符合題意?當(dāng)a-aIna》0.即OVaVe時(shí)?設(shè)=—alna,若N&M.則a—aIna>a,解得OVaVl.

所以a的取值范圍是3,1）.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.

15.【答案】（Ha410.該班同學(xué)選擇長(zhǎng)跑的概率為（2）選擇跑步項(xiàng)目的類別與學(xué)生性別無(wú)關(guān)

【解析】（1）依題意男女同學(xué)的比例為2：1.

所以=...................................................................................3分

a十10

故a=10,...................................................................................................................................................................4分

該班同學(xué)選擇長(zhǎng)跑的概率為亦骷%而了梟...................................................6分

JUT1UI1U:八J

（2）零假設(shè)H。：選擇跑步項(xiàng)目的類別與學(xué)生性別無(wú)關(guān)，

（30+10+10+10）X（30X^0-10X10）2_15_.

Z-（3O+lO）X（lO+lO）X（；?On-J0->X（lO+lO）-_4"川’...........................................11

根據(jù)小概率值a=〃01的獨(dú)立性檢驗(yàn).沒(méi)有充分證據(jù)推斷出H,Q成立,因此可以認(rèn)為Ho成立,即認(rèn)為選擇跑

步項(xiàng)目的類別與學(xué)生性別無(wú)關(guān)....................................................................13分

16.【答案】（l）a.=2"（2）17

【解析】（1）當(dāng)時(shí).。T=2T~^?a.T.因?yàn)樨?2一??..................................3分

兩式相除可得小=空泛...........................................................................5分

a?一】

因?yàn)?W0,所以。。-1=2?7?又訊=2?所以a.=21.................................................................................7分

（2）依題意，

S?,=m+2（4一。1）十。.十2（如-a2）+-+aM+2（a.4,I-as）

=a[+牝+…十。。十2沁…+%一田+田一）

=。1+。2+???十?！?2（。0十】一a】）=?！?a2+???+??+a?+2—02

="--H2“+'-4=3?2"|-6?.......................................................................................................11分

1—2

(S3遞增?當(dāng)n=8時(shí).$6=153(X2023.

當(dāng)”=9時(shí).Si8=3O66>2O23.

S17=SI6=Sg+a>=153O+512=2O42>2O23.，

綜上.”的最小值為17..............................................................................................................................15分

17.【答案】（1）略（2）穹

14

【解析】（1）證明：因?yàn)锳iG=CN.且AG〃CN.所以四邊形4GCN為平行四邊形..................2分

因?yàn)镃G〃AiN.ANU平面ANM.CGQ：平面A,NM.

所以GC〃平面AiNM.又BC〃MN.MNU平面AiNM.BCO平面AiNM.所以BC〃平面AiNM.

因?yàn)锽CU平面BCGB-CCU平面BCGB-CBnCG=C.所以平面BCGBi〃平面AiMN；..............5分

（2）連接BN,因?yàn)锳A】_L平面ABC.且AA】U平面AACC.所以平面ABCJ_平面AA,C,C.

又平面ABCn平面AAiaC=AC.BNJ_AC.BNU平面ABC.

所以BNJ_平面AAGC,所以BNJ_AG.................................................................................................7分

又AiBj_AG.BAiDBN=B.BAi.BNU平面BNAi所以AG_L平面BNAi.AGJ_A】N.

故四邊形AiANG為正方形.AAi=l........................................................................................................8分

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則A1(O.O.1).C1(1.O.1).C(2.O.O).B(1.V3.O).

不妨設(shè)比=2就ae[0.門(mén)).

D(2-A,</3A,0),ATD=(2-A.V3A.-1)............................................10分

設(shè)平面BCGBi的一個(gè)法向fit為"=(z.y.z).

由我?=(-1.0.1).荏=(一1.四.0).

in?CCi=0.(—x+z=0.「「

令《一得V令y=l.可得再).........12分

1n?CB=O.x+v3j=0<

則Icos<n.A?D>|=J>(2T)+屈一'I=_瘋g穹(當(dāng)且僅當(dāng)；I=J時(shí)取"=”)?

s/7Xy(2-A);+3A-+l#X，⑵一D；+414'2'

所以AD與平面BCGB所成角的正弦值的最大值為穹.........................................15分

14

18.【答案】⑴毛+乎=1⑵一十

【解析】（1）當(dāng)PBLBF?時(shí).將H=C代入橢網(wǎng)方程可得J+g=l.解得|y|=￡.................................2分

aoa

由題IT意?得一解得a=2四.6=點(diǎn).

192「心蜉.

所以C的方程為得+4=1;......................................................................................................................5分

JLJ

（2）設(shè)M（工i3N（q?y；）?P（工。,“）?由于P在橢圓C上.所以京+4工=12?....................................6分

直線PA：y=&二L+1,與桶網(wǎng)C的方程聯(lián)立.消去》整理可得(2—％++才。(y。一1)才一焉=0.

Xo

/。

由韋達(dá)定理可得?故xi9分

2一%jo—2*Ji

直線PB：y=泡土L—1.與橢網(wǎng)C的方程聯(lián)立,消去y整理可得(仙+2)三一才。(仙+1)才一焉=o.

To

右,▼一一元右■-一才?！?gt;。+1XZ才。1一2》。+3z/1。2%+3\

有不花一RTT有八一K5一%X斤較1-戈鉉,N(左加量力.......13分

2y￡>-3T2%+3

故4=21^=SFL一/.................................................16分

X1-x2Xo.JoZyoJToZyu

Jo-2jo+2

又及=弛?所以及燈=--1-?..........................................................................................................17分

JToJT0\乙》0'乙

19?【答案】(1)詳解見(jiàn)解析(2)略

【解析】(1)當(dāng)a=l時(shí)■/(工)=jrln1一號(hào)一1.f(o-)=In1一1+1.

設(shè)g(?r)=lnx-?r+l,則1(幻=+一］=1才..................................................................................................2分

當(dāng)工￡(0?1)時(shí)?/(I)>()?g(i)單調(diào)遞增;

當(dāng)/￡(1,+8)時(shí)./(/〈0喑(/單調(diào)遞減.

當(dāng)x=l時(shí).g(i)取得極大值g(1)=0.所以g(i)&0,即，(工)40,

所以/(―在(0?+8)上單調(diào)遞減,無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；...............................