《向量的數(shù)乘運(yùn)算》教案、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算》教案課題6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算單元第六單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一教材分析本節(jié)內(nèi)容是平面向量的數(shù)乘運(yùn)算，由向量加法導(dǎo)入，學(xué)習(xí)平面向量的數(shù)乘運(yùn)算以及運(yùn)算律這些知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)根據(jù)數(shù)乘運(yùn)算探究得到平面向量共線基本定理。教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：利用有向線段將平面向量的數(shù)乘運(yùn)算具體化；2.邏輯推理：通過(guò)課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.3.數(shù)學(xué)建模：掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算，利用向量的運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題。4.直觀想象：通過(guò)有向線段直觀判斷平面向量的數(shù)乘運(yùn)算；5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確計(jì)算和判斷向量的數(shù)乘運(yùn)算；6.數(shù)據(jù)分析:通過(guò)經(jīng)歷提出問(wèn)題—推導(dǎo)過(guò)程—得出結(jié)論—例題講解—練習(xí)鞏固的過(guò)程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)密性。重點(diǎn)平面向量數(shù)乘運(yùn)算、運(yùn)算律以及平面向量共線基本定理。難點(diǎn)平面向量數(shù)乘運(yùn)算、運(yùn)算律以及平面向量共線基本定理。教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課舊知導(dǎo)入：思考1：如圖，已知向量a、b，求作向量a+b.

思考2：

思考3：

學(xué)生思考問(wèn)題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。設(shè)置問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并引出本節(jié)新課。講授新課知識(shí)探究（一）：數(shù)乘運(yùn)算的定義規(guī)定：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘運(yùn)算.記作

它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：

知識(shí)探究（二）：數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義思考4：你能說(shuō)明的幾何意義嗎？

知識(shí)探究（三）：數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律思考5：如果把非零向量的長(zhǎng)度伸長(zhǎng)到原來(lái)的3.5倍，方向不變得到向量，向量該如何表示？向量，之間的關(guān)系怎樣？

思考6：如果把思考4中的長(zhǎng)度再伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，方向不變得到向量，向量該如何表示？向量，之間的關(guān)系怎樣？

數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律

特別地：

思考7：向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算有什么共同點(diǎn)？向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是向量。

向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算。

例題講解

例2：如圖小試牛刀

1、如圖，四邊形ABCD是一個(gè)梯形，eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(CD,\s\up16(→))且|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝2|eq\o(CD,\s\up16(→))|，M，N分別是DC，AB的中點(diǎn)，已知eq\o(AB,\s\up16(→))＝e1，eq\o(AD,\s\up16(→))＝e2，試用e1，e2表示下列向量．(1)eq\o(AC,\s\up16(→))＝________；(2)eq\o(MN,\s\up16(→))＝________.(1)因?yàn)閑q\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(CD,\s\up16(→))，|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝2|eq\o(CD,\s\up16(→))|，所以eq\o(AB,\s\up16(→))＝2eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→)).eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝e2＋eq\f(1,2)e1.(2)eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\o(MD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(AN,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＝－eq\f(1,4)e1－e2＋eq\f(1,2)e1＝eq\f(1,4)e1－e2.方法總結(jié)用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法(2)方程法當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．知識(shí)探究（四）：平面向量共線基本定理

思考：通過(guò)練習(xí)，你能發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)與向量的積與原向量之間的位置關(guān)系嗎？

實(shí)數(shù)與向量的積與原向量共線

平面向量共線基本定理：

例題講解例3、如圖,已知任意兩個(gè)非零向量a,b,試作

你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎?并證明你的猜想。所以,A、B、C三點(diǎn)共線

例4：

小試牛刀判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)實(shí)數(shù)λ與向量a的積還是向量．(√)(2)3a與a的方向相同，－3a與a的方向相反．(√)(3)若ma＝mb，則a＝b.(×)(4)向量共線定理中，條件a≠0可以去掉．(×)提升訓(xùn)練

1、化簡(jiǎn)

（1）（2）（3）2、設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，求k的值．解：∵BD→＝e1－4e2，而A，B，D三點(diǎn)共線，∴向量AB與向量BD共線，故存在實(shí)數(shù)λ，使得向量AB＝λBD即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，

得2＝λ，k＝－4λ，得k＝－8為所求．

方法總結(jié)向量共線定理的應(yīng)用學(xué)生根據(jù)一連串的思考題，探究平面向量的數(shù)乘運(yùn)算。學(xué)生根據(jù)環(huán)環(huán)相扣的思考題，探究平面向量的數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算律。學(xué)生例題，鞏固向量的數(shù)乘運(yùn)算以及運(yùn)算律，并能夠靈活運(yùn)用.學(xué)生和教師共同探究完成2個(gè)練習(xí)題。利用兩個(gè)情境探究得出平面向量的數(shù)乘運(yùn)算,培養(yǎng)學(xué)生探索的精神.通過(guò)思考，培養(yǎng)學(xué)生探索新知的精神和能力.利用數(shù)形結(jié)合的思想，化抽象為具體，提高學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力。通過(guò)這2個(gè)題，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，發(fā)散學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和對(duì)數(shù)學(xué)的探索精神。課堂小結(jié)數(shù)乘運(yùn)算的定義數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律平面向量共線基本定理定理的應(yīng)用（1）向量共線（2）三點(diǎn)共線（3）兩直線平行學(xué)生回顧本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，教師補(bǔ)充。讓學(xué)生掌握本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，并能夠靈活運(yùn)用。板書(shū)§6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算一、舊知導(dǎo)入2.運(yùn)算律三、課堂小結(jié)二、探索新知3.共線基本定理四、作業(yè)布置1.定義例1、2、3、4教學(xué)反思《6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律。（重點(diǎn)）2.掌握向量共線定理，會(huì)判斷或證明兩個(gè)向量共線。（重點(diǎn)）1.數(shù)學(xué)抽象;2.直觀想象；3.邏輯推理?！咀灾鲗W(xué)習(xí)】一．向量的數(shù)乘運(yùn)算1．向量的數(shù)乘運(yùn)算的概念一般地，規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝．(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝．注意：λ是實(shí)數(shù)，a是向量，它們的積λa仍然是向量．實(shí)數(shù)與向量可以相乘，但是不能相加減，如λ＋a，λ－a均沒(méi)有意義．2．向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，那么：(1)λ(μa)＝．(2)(λ＋μ)a＝．(3)λ(a＋b)＝．3．向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的．對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝．二．共線向量定理1.向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使．注意：(1)定理中，向量a為非零向量(2)要證明向量a，b共線，只需證明存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa即可．(3)由定理知，若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線．又eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))有公共點(diǎn)A，從而A，B，C三點(diǎn)共線，這是證明三點(diǎn)共線的重要方法．2.三點(diǎn)共線的性質(zhì)定理若平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線，O為不同于A，B，C的任意一點(diǎn)，設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，則存在實(shí)數(shù)λ，μ使得λ＋μ＝1.【小試牛刀】思維辨析(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)實(shí)數(shù)λ與向量a的積還是向量．()(2)若ma＝mb，則a＝b.()(3)(m－n)a＝ma－na.()(4)若向量a和b不共線，且λa＝μb，則必有λ＝μ＝0.()(5)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則A，B，C，D四點(diǎn)共線．()【經(jīng)典例題】題型一向量的的線性運(yùn)算點(diǎn)撥：向量的線性運(yùn)算類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、提取公因式等變形手段在向量線性運(yùn)算中也可以使用，但是在這里的“同類(lèi)項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．例1計(jì)算(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c).【跟蹤訓(xùn)練】1（1）化簡(jiǎn)eq\f(2,5)(a－b)－eq\f(1,3)(2a＋4b)＋eq\f(2,15)(2a＋13b)＝________．（2）若2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)a))－eq\f(1,2)(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c為已知向量，求未知向量x.題型二用已知向量表示其他向量(1)直接法(2)方程法當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．例2如圖，平行四邊形OADB中，向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，且eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，試用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→)).【跟蹤訓(xùn)練】2如圖所示，已知在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，DE∥BC，DE交AC于點(diǎn)E，BC邊上的中線AM交DE于點(diǎn)N，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，用a，b表示向量eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→)).題型三向量共線定理及其應(yīng)用(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，又eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))有公共點(diǎn)A，從而A，B，C三點(diǎn)共線，這是證明三點(diǎn)共線的重要方法．(2)設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，若存在實(shí)數(shù)λ，μ使得λ＋μ＝1，則A、B、C三點(diǎn)共線。例3設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；【跟蹤訓(xùn)練】3(1)已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________．（2）已知A，B，P三點(diǎn)共線，O為直線外任意一點(diǎn)，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，求x＋y的值．【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.已知λ、μ∈R，下面式子正確的是()A．λa與a同向 B．0·a＝0C．(λ＋μ)a＝λa＋μa D．若b＝λa，則|b|＝λ|a|2.在□ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3b，則eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．a(chǎn)＋b B．a(chǎn)－bC．2a＋3b D．2a－3b3.在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，則eq\o(PB,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))4.已知點(diǎn)P在線段AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4|eq\o(AP,\s\up6(→))|，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ＝________．5.化簡(jiǎn)eq\f(2,5)(a－b)－eq\f(1,3)(2a＋4b)＋eq\f(2,15)(2a＋13b)＝________.6.如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．【課堂小結(jié)】1.實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，例如λ＋a，λ－a是沒(méi)有意義的．2.若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線有公共點(diǎn)，則這兩條直線重合．例如，若eq\o(AB,\s\up10(→))＝λeq\o(AC,\s\up10(→))，則eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(AC,\s\up10(→))共線，又eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(AC,\s\up10(→))有公共點(diǎn)A，從而A，B，C三點(diǎn)共線，這是證明三點(diǎn)共線的重要方法．3.設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，若存在實(shí)數(shù)λ，μ使得λ＋μ＝1，則A、B、C三點(diǎn)共線?！緟⒖即鸢浮俊咀灾鲗W(xué)習(xí)】一．1.向量λa|λ||a|相同相反02.(λμ)aλa＋μaλa＋λb3.線性運(yùn)算λμ1a±λμ2b二．b＝λa【小試牛刀】(1)√(2)√(3)√(4)√(5)×【經(jīng)典例題】例1解(1)原式＝(－3)×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b＋2a－b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.【跟蹤訓(xùn)練】1（1）0解析：原式＝eq\f(2,5)a－eq\f(2,5)b－eq\f(2,3)a－eq\f(4,3)b＋eq\f(4,15)a＋eq\f(26,15)b＝(eq\f(2,5)－eq\f(2,3)＋eq\f(4,15))a＋(－eq\f(2,5)－eq\f(4,3)＋eq\f(26,15))b＝0a＋0b＝0＋0＝0.（2）解：因?yàn)?x－eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c＋eq\f(3,2)x＋b＝0，所以eq\f(7,2)x－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c＝0，所以eq\f(7,2)x＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，所以x＝eq\f(4,21)a－eq\f(1,7)b＋eq\f(1,7)c.例2解：∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，∴eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(a－b)，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,6)(a－b)＝b＋eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.由eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，得eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b.eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(2,3)b))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)a＋\f(5,6)b))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.【跟蹤訓(xùn)練】2解∵eq\o(DE,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，∵△ADE∽△ABC，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(b－a)．∵△ADN∽△ABM，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up6(→)).又∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)(b－a)＝eq\f(a＋b,2)，∴eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)．例3證明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))共線，又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A、B、D三點(diǎn)共線．【跟蹤訓(xùn)練】3(1)－eq\f(1,3)解析：由題意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))(2)[解析]由于A，B，P三點(diǎn)共線，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))在同一直線上，由向量共線定理可知，必定存在實(shí)數(shù)λ使eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.C解析:對(duì)A，當(dāng)λ>0時(shí)正確，否則錯(cuò)誤；對(duì)B,0·a是向量而非數(shù)0；對(duì)D，若b＝λa，則|b|＝|λa|.2.C解析:eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝2a＋3b.3.C解析：由eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).4.eq\f(1,3)解析：因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4|eq\o(AP,\s\up6(→))|，則eq\o(AP,\s\up6(→))的長(zhǎng)度是eq\o(PB,\s\up6(→))的長(zhǎng)度的eq\f(1,3)，二者的方向相同，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→)).5.0解析：原式＝eq\f(2,5)a－eq\f(2,5)b－eq\f(2,3)a－eq\f(4,3)b＋eq\f(4,15)a＋eq\f(26,15)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(2,3)＋\f(4,15)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)－\f(4,3)＋\f(26,15)))b＝0a＋0b＝0＋0＝0.6.解：(1)如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，使eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，連接BG，CG，得到平行四邊形ABGC.則eq\o(AG,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a.(2)證明：由(1)，知eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))共線．又eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))有公共點(diǎn)，∴B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．《6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算》同步練習(xí)A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)與向量n＝e2－2e1共線，則()A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝eq\f(1,2)2．下列各式計(jì)算正確的有()①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)3．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則()A．P在△ABC內(nèi)部B．P在△ABC外部C．P在AB邊上或其延長(zhǎng)線上D．P在AC邊上4．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))等于()A.eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))5．已知向量a，b，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，那么下列各組中三點(diǎn)一定共線的是()A．A，B，CB．A，C，DC．A，B，DD．B，C，D6．已知m，n是實(shí)數(shù)，a，b是向量，則下列命題中正確的為()①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，則a＝b；④若ma＝na，則m＝n.A．①④B．①②C．①③D．③④7．已知△ABC和點(diǎn)M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0.若存在實(shí)數(shù)m使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，則m的值為()A．2B．3C．4D．5二、填空題8．已知?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝________，eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.(用a，b表示)9．在平行四邊形ABCD中，若|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD的形狀為_(kāi)_______．10.如圖所示，設(shè)M，N為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則△ABM的面積與△ABN的面積之比為_(kāi)_______．三、解答題11.如圖，ABCD為一個(gè)四邊形，E、F、G、H分別為BD、AB、AC和CD的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH為平行四邊形．12.已知e1，e2是兩個(gè)非零不共線的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a與b是共線向量，求實(shí)數(shù)k的值．13．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，求k的值．14.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上，且BN＝eq\f(1,3)BD.求證：M、N、C三點(diǎn)共線.B組能力提升一、選擇題1.在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up7(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))2.在四邊形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，則()A.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→)) B．eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))C.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→)) D．eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))3.如圖，在直角梯形ABCD中，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AD,\s\up6(→))，則2r＋3s＝()A．1 B．2C．3 D．44.如圖，已知eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示eq\o(OP,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))B.eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))C．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))D．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))5.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ等于()A．1 B．eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)6.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿足16eq\o(OA,\s\up6(→))－12eq\o(OB,\s\up6(→))－3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則()A.eq\o(OA,\s\up6(→))＝12eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(OA,\s\up6(→))＝12eq\o(AB,\s\up6(→))－3eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(OA,\s\up6(→))＝－12eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(OA,\s\up6(→))＝－12eq\o(AB,\s\up6(→))－3eq\o(AC,\s\up6(→)).如圖，在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(λ,μ)的值為()A．－3 B．3C．2 D．－28.已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d反向共線，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)二、填空題9．已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝teq\o(AC,\s\up6(→))，若B，O，D三點(diǎn)共線，則t的值為_(kāi)_______．10．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，若AB＝4，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．11．在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上任意一點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)λ和μ，使得eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________．12．已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝2，則△ABC的面積為_(kāi)_______．三、解答題13．在如圖所示的方格紙中，向量a，b，c的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)(小正方形頂點(diǎn))上，若c與xa＋yb(x，y為非零實(shí)數(shù))共線，求eq\f(x,y)的值．14．經(jīng)過(guò)△OAB重心G的直線與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝neq\o(OB,\s\up6(→))，m，n∈R，求eq\f(1,n)＋eq\f(1,m)的值．C組挑戰(zhàn)壓軸題一、選擇題1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，且滿足BD＝eq\f(1,2)DC，過(guò)點(diǎn)D的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N若eq\o(AM,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝neq\o(AC,\s\up6(→))，則()A．m＋n是定值，定值為2B．2m＋n是定值，定值為3C.eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)是定值，定值為2D.eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)是定值，定值為32．已知O是平面內(nèi)一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ（eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)）(λ∈[0，＋∞))，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心3．A，B，C是圓O上不同的三點(diǎn)，線段CO與線段AB交于點(diǎn)D(點(diǎn)O與點(diǎn)D不重合)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．(－1,0)4.在中，為上一點(diǎn)，，為上任一點(diǎn)，若，則的最小值是（）A．9 B．10C．11 D．12二、填空題5.在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，則x的取值范圍是________．6.已知為直線上的不同三點(diǎn)，為外一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)，使得成立，則的最小值為_(kāi)_________．《6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算》同步練習(xí)答案解析A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)與向量n＝e2－2e1共線，則()A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝eq\f(1,2)答案D解析當(dāng)k＝eq\f(1,2)時(shí)，m＝－e1＋eq\f(1,2)e2，n＝－2e1＋e2.∴n＝2m，此時(shí)，m，n共線．2．下列各式計(jì)算正確的有()①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)答案C3．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則()A．P在△ABC內(nèi)部B．P在△ABC外部C．P在AB邊上或其延長(zhǎng)線上D．P在AC邊上答案D解析eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))，∴P在AC邊上．4．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))等于()A.eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))答案C解析如圖，eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)·2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).5．已知向量a，b，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，那么下列各組中三點(diǎn)一定共線的是()A．A，B，CB．A，C，DC．A，B，DD．B，C，D答案C解析由向量的加法法則知eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a＋6b＋7a－2b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，又兩線段均過(guò)點(diǎn)B，故A，B，D三點(diǎn)一定共線6．已知m，n是實(shí)數(shù)，a，b是向量，則下列命題中正確的為()①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，則a＝b；④若ma＝na，則m＝n.A．①④B．①②C．①③D．③④答案B解析①和②屬于數(shù)乘對(duì)向量與實(shí)數(shù)的分配律，正確；③中，若m＝0，則不能推出a＝b，錯(cuò)誤；④中，若a＝0，則m，n沒(méi)有關(guān)系，7．已知△ABC和點(diǎn)M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0.若存在實(shí)數(shù)m使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，則m的值為()A．2B．3C．4D．5答案B解析∵eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，∴點(diǎn)M是△ABC的重心．∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AM,\s\up6(→))，∴m＝3.二、填空題8．已知?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝________，eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.(用a，b表示)答案b－a－a－b解析如圖，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－a－b.9．在平行四邊形ABCD中，若|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD的形狀為_(kāi)_______．答案矩形解析如圖，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|.由對(duì)角線長(zhǎng)相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形．10.如圖所示，設(shè)M，N為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則△ABM的面積與△ABN的面積之比為_(kāi)_______．答案2∶3解析如圖所示，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→)).由平行四邊形法則知，MQ∥AB，∴eq\f(S△ABM,S△ABC)＝eq\f(|\o(AQ,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,3).同理eq\f(S△ABN,S△ABC)＝eq\f(1,2).∴eq\f(S△ABM,S△ABN)＝eq\f(2,3)三、解答題11.如圖，ABCD為一個(gè)四邊形，E、F、G、H分別為BD、AB、AC和CD的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH為平行四邊形．證明∵F、G分別是AB、AC的中點(diǎn)．∴eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→)).同理，eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→)).∴eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→)).∴四邊形EFGH為平行四邊形．12.已知e1，e2是兩個(gè)非零不共線的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a與b是共線向量，求實(shí)數(shù)k的值．解∵a與b是共線向量，∴a＝λb，∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λk＝2，,λ＝－1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,λ＝－1，))∴k＝－2.13．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，求k的值．解若A，B，D三點(diǎn)共線，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))共線，所以可設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→)).又因?yàn)閑q\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，即(4λ＋k)e2＝(λ－2)e1，因?yàn)閑1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若4λ＋k≠0，則e2＝eq\f(λ－2,4λ＋k)e1，于是e1與e2是共線向量，與已知條件矛盾；若λ－2≠0，則e1＝eq\f(4λ＋k,λ－2)e2，于是e1與e2是共線向量，與已知條件矛盾，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4λ＋k＝0，,λ－2＝0，))故λ＝2，k＝－8.14.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上，且BN＝eq\f(1,3)BD.求證：M、N、C三點(diǎn)共線.證明設(shè)eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則由向量減法的三角形法則可知：eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b.又∵N在BD上且BD＝3BN，∴eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－b＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－b))，∴eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CM,\s\up6(→))，又∵eq\o(CN,\s\up6(→))與eq\o(CM,\s\up6(→))的公共點(diǎn)為C，∴C、M、N三點(diǎn)共線．B組能力提升一、選擇題1.在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up7(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))【答案】A【解析】作出示意圖如圖所示．eq\o(EB,\s\up7(→))＝eq\o(ED,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)).2.在四邊形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，則()A.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→)) B．eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))C.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→)) D．eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))【解析】在四邊形ABCD中，如圖所示，因?yàn)閑q\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，所以四邊形ABCD為平行四邊形．由已知得eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(EB,\s\up6(→))，由題意知△DEF∽△BEA，則eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)×eq\f(\o(BD,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→)),2)＝eq\f(\o(BD,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→)),3)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(\o(BD,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→)),3)＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))，故選B.【答案】B3.如圖，在直角梯形ABCD中，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AD,\s\up6(→))，則2r＋3s＝()A．1 B．2C．3 D．4【解析】法一：由題圖可得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AD,\s\up6(→))，所以r＝eq\f(1,2)，s＝eq\f(2,3)，則2r＋3s＝1＋2＝3.法二：因?yàn)閑q\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→)))，整理，得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，以下同法一．法三：如圖，延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)P，則由eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))得DC∥AB，且AB＝4DC.又eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，所以E為PB的中點(diǎn)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).于是，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(4,3)\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).以下同法一．法四：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xAy，依題意可設(shè)點(diǎn)B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0.由eq\o(AE,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AD,\s\up6(→))，得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4m＝4mr＋3ms，,2h＝3hs，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝\f(1,2)，,s＝\f(2,3)，))所以2r＋3s＝1＋2＝3.【答案】C4.如圖，已知eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示eq\o(OP,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))B.eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))C．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))D．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))【答案】C【解析】eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→)).故選C.5.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ等于()A．1 B．eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)【答案】D【解析】由題意易得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→)).故λ＋μ＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).6.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿足16eq\o(OA,\s\up6(→))－12eq\o(OB,\s\up6(→))－3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則()A.eq\o(OA,\s\up6(→))＝12eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(OA,\s\up6(→))＝12eq\o(AB,\s\up6(→))－3eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(OA,\s\up6(→))＝－12eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(OA,\s\up6(→))＝－12eq\o(AB,\s\up6(→))－3eq\o(AC,\s\up6(→))【答案】A【解析】對(duì)于A，eq\o(OA,\s\up6(→))＝12eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))＝12(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋3(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝12eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))－15eq\o(OA,\s\up6(→))，整理，可得16eq\o(OA,\s\up6(→))－12eq\o(OB,\s\up6(→))－3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，這與題干中條件相符合，故選A.7.如圖，在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(λ,μ)的值為()A．－3 B．3C．2 D．－2【答案】B【解析】因?yàn)閑q\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)\o(AC,\s\up6(→))－\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(2,3)，μ＝eq\f(2,9)，所以eq\f(λ,μ)＝eq\f(2,3)×eq\f(9,2)＝3.故選B.8.已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d反向共線，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．1 B．