人教版高中數(shù)學(xué)必修二《第八章 立體幾何初步》單元同步練習(xí)及答案

人教版高中數(shù)學(xué)必修二《第八章立體幾何初步》單元同步練習(xí)《8.1基本立體圖形》同步練習(xí)第1課時棱柱、棱錐、棱臺A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．在下列四個平面圖形中，每個小四邊形皆為正方形，其中可以沿相鄰正方形的公共邊折疊圍成一個正方體的圖形是()2.如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是()A．棱柱 B．棱臺C．棱柱與棱錐的組合體 D．不能確定3．用一個平面去截一個三棱錐，截面形狀是()A．四邊形 B．三角形C．三角形或四邊形 D．不可能為四邊形4．(多選題)觀察如下所示的四個幾何體，其中判斷正確的是()A．①是棱柱 B．②不是棱錐C．③不是棱錐 D．④是棱臺5．(多選題)下列說法錯誤的是()A．有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺B．多面體至少有3個面C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．九棱柱有9條側(cè)棱，9個側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形二、填空題6．一棱柱有10個頂點，其所有的側(cè)棱長的和為60cm，則每條側(cè)棱長為________cm.7．如圖所示，在所有棱長均為1的三棱柱上，有一只螞蟻從點A出發(fā)，圍著三棱柱的側(cè)面爬行一周到達點A1，則爬行的最短路程為________．8．以三棱臺的頂點為三棱錐的頂點，這樣可以把一個三棱臺分成________個三棱錐．三、解答題9．如圖所示的幾何體中，所有棱長都相等，分析此幾何體的構(gòu)成？有幾個面、幾個頂點、幾條棱？10．試從正方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點中任取若干，連接后構(gòu)成以下空間幾何體，并且用適當(dāng)?shù)姆柋硎境鰜恚?1)只有一個面是等邊三角形的三棱錐；(2)四個面都是等邊三角形的三棱錐；(3)三棱柱．B組能力提升一、選擇題1．由五個面圍成的多面體，其中上、下兩個面是相似三角形，其余三個面都是梯形，并且這些梯形的腰延長后能相交于一點，則該多面體是()A．三棱柱B．三棱臺C．三棱錐D．四棱錐2．如圖所示都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩個完全一樣的是()①②③④A．①② B．②③C．③④ D．①④二、填空題3．五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個五棱柱的對角線共有________條．三、解答題4.如圖，在邊長為2a的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點A、B、C重合，重合后記為點P.問：(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？(2)這個幾何體共有幾個面，每個面的三角形有何特點？(3)每個面的三角形面積為多少？5.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，現(xiàn)有一只甲殼蟲從點A出發(fā)沿長方體表面爬行到點C1來獲取食物，試畫出它的最短爬行路線，并求其路程的最小值．《8.1基本立體圖形》同步練習(xí)答案解析第1課時棱柱、棱錐、棱臺A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．在下列四個平面圖形中，每個小四邊形皆為正方形，其中可以沿相鄰正方形的公共邊折疊圍成一個正方體的圖形是()【答案】C[動手將四個選項中的平面圖形折疊，看哪一個可以折疊圍成正方體即可．]2.如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是()A．棱柱 B．棱臺C．棱柱與棱錐的組合體 D．不能確定【答案】A[如圖．因為有水的部分始終有兩個平面平行，而其余各面都易證是平行四邊形，因此是棱柱．]3．用一個平面去截一個三棱錐，截面形狀是()A．四邊形 B．三角形C．三角形或四邊形 D．不可能為四邊形【答案】C[按如圖①所示用一個平面去截三棱錐，截面是三角形；按如圖②所示用一個平面去截三棱錐，截面是四邊形．①②]4．(多選題)觀察如下所示的四個幾何體，其中判斷正確的是()A．①是棱柱 B．②不是棱錐C．③不是棱錐 D．④是棱臺【答案】ACD[結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺的定義可知①是棱柱，②是棱錐，④是棱臺，③不是棱錐．]5．(多選題)下列說法錯誤的是()A．有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺B．多面體至少有3個面C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．九棱柱有9條側(cè)棱，9個側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形【答案】ABC[選項A錯誤，反例如圖①；一個多面體至少有4個面，如三棱錐有4個面，不存在有3個面的多面體，所以選項B錯誤；選項C錯誤，反例如圖②，上、下底面是全等的菱形，各側(cè)面是全等的正方形，它不是正方體；根據(jù)棱柱的定義，知選項D正確．①②]二、填空題6．一棱柱有10個頂點，其所有的側(cè)棱長的和為60cm，則每條側(cè)棱長為________cm.【答案】12[該棱柱為五棱柱，共有5條側(cè)棱，每條側(cè)棱長都相等，所以每條側(cè)棱長為12cm.]7．如圖所示，在所有棱長均為1的三棱柱上，有一只螞蟻從點A出發(fā)，圍著三棱柱的側(cè)面爬行一周到達點A1，則爬行的最短路程為________．【答案】eq\r(10)[將三棱柱沿AA1展開如圖所示，則線段AD1即為最短路線，即AD1＝eq\r(AD2＋DD\o\al(2,1))＝eq\r(10).]8．以三棱臺的頂點為三棱錐的頂點，這樣可以把一個三棱臺分成________個三棱錐．【答案】3[如圖，三棱臺可分成三棱錐C1-ABC，三棱錐C1-ABB1，三棱錐A-A1B1C1，共3個．]三、解答題9．如圖所示的幾何體中，所有棱長都相等，分析此幾何體的構(gòu)成？有幾個面、幾個頂點、幾條棱？[解]這個幾何體是由兩個同底面的四棱錐組合而成的八面體，有8個面，都是全等的正三角形；有6個頂點；有12條棱．10．試從正方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點中任取若干，連接后構(gòu)成以下空間幾何體，并且用適當(dāng)?shù)姆柋硎境鰜恚?1)只有一個面是等邊三角形的三棱錐；(2)四個面都是等邊三角形的三棱錐；(3)三棱柱．[解](1)如圖①所示，三棱錐A1-AB1D1(【答案】不唯一)．(2)如圖②所示，三棱錐B1-ACD1(【答案】不唯一)．(3)如圖③所示，三棱柱A1B1D1-ABD(【答案】不唯一)．①②③B組能力提升一、選擇題1．由五個面圍成的多面體，其中上、下兩個面是相似三角形，其余三個面都是梯形，并且這些梯形的腰延長后能相交于一點，則該多面體是()A．三棱柱B．三棱臺C．三棱錐D．四棱錐【答案】B[該多面體有三個面是梯形，而棱錐最多有一個面是梯形(底面)，棱柱最多有兩個面是梯形(底面)，所以該多面體不是棱柱、棱錐，而是棱臺．三個梯形是棱臺的側(cè)面，另兩個三角形是底面，所以這個棱臺是三棱臺．]2．如圖所示都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩個完全一樣的是()①②③④A．①② B．②③C．③④ D．①④【答案】B[在圖②③中，⑤不動，把圖形折起，則②⑤為對面，①④為對面，③⑥為對面，故圖②③完全一樣，而圖①④則不同．]二、填空題3．五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個五棱柱的對角線共有________條．【答案】10[在上底面選一個頂點，同時在下底面選一個頂點，且這兩個頂點不在同一側(cè)面上，這樣上底面每個頂點對應(yīng)兩條對角線，所以共有10條．]三、解答題4.如圖，在邊長為2a的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點A、B、C重合，重合后記為點P.問：(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？(2)這個幾何體共有幾個面，每個面的三角形有何特點？(3)每個面的三角形面積為多少？[解](1)如圖，折起后的幾何體是三棱錐．(2)這個幾何體共有4個面，其中△DEF為等腰三角形，△PEF為等腰直角三角形，△DPE和△DPF均為直角三角形．(3)S△PEF＝eq\f(1,2)a2，S△DPF＝S△DPE＝eq\f(1,2)×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－eq\f(1,2)a2－a2－a2＝eq\f(3,2)a2.5.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，現(xiàn)有一只甲殼蟲從點A出發(fā)沿長方體表面爬行到點C1來獲取食物，試畫出它的最短爬行路線，并求其路程的最小值．[解]把長方體的部分面展開，如圖，有三種情況．對甲、乙、丙三種展開圖利用勾股定理可得AC1的長分別為eq\r(90)，eq\r(74)，eq\r(80)，由此可見乙是最短線路，所以甲殼蟲可以先在長方形ABB1A1內(nèi)由A到E，再在長方形BCC1B1內(nèi)由E到C1，也可以先在長方形AA1D1D內(nèi)由A到F，再在長方形DCC1D1內(nèi)由F到C1，其最短路程為eq\r(74).《8.1基本立體圖形》同步練習(xí)第2課時圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．下列幾何體中是旋轉(zhuǎn)體的是()①圓柱；②六棱錐；③正方體；④球體；⑤四面體．A．①和⑤ B．①和②C．③和④ D．①和④2．圖①②中的圖形折疊后的圖形分別是()①②A．圓錐、棱柱 B．圓錐、棱錐C．球、棱錐 D．圓錐、圓柱3．圓錐的側(cè)面展開圖是直徑為a的半圓面，那么此圓錐的軸截面是()A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．頂角為30°等腰三角形 D．其他等腰三角形4．如圖，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一個組合體，其結(jié)構(gòu)特征是()A．一個棱柱中挖去一個棱柱B．一個棱柱中挖去一個圓柱C．一個圓柱中挖去一個棱錐D．一個棱臺中挖去一個圓柱5．用長為8，寬為4的矩形做側(cè)面圍成一個圓柱，則圓柱的軸截面的面積為()A．32B．eq\f(32,π)C．eq\f(16,π)D．eq\f(8,π)二、填空題6．如圖是一個幾何體的表面展開圖形，則這個幾何體是________．7．下列命題中錯誤的是________．①過球心的截面所截得的圓面的半徑等于球的半徑；②母線長相等的不同圓錐的軸截面的面積相等；③圓臺所有平行于底面的截面都是圓面；④圓錐所有的軸截面都是全等的等腰三角形．8．一個半徑為5cm的球，被一平面所截，球心到截面圓心的距離為4cm，則截面圓面積為________cm2.三、解答題9．如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，當(dāng)梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周時，其他各邊旋轉(zhuǎn)圍成了一個幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征．10．一個圓臺的母線長為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2.求：(1)圓臺的高；(2)截得此圓臺的圓錐的母線長．B組能力提升一、選擇題1.在正方體ABCD-A′B′C′D′中，P為棱AA′上一動點，Q為底面ABCD上一動點，M是PQ的中點，若點P，Q都運動時，點M構(gòu)成的點集是一個空間幾何體，則這個幾何體是()A．棱柱 B．棱臺C．棱錐 D．球的一部分2.(多選題)對如圖中的組合體的結(jié)構(gòu)特征有以下幾種說法，其中說法正確的是()A．由一個長方體割去一個四棱柱所構(gòu)成的B．由一個長方體與兩個四棱柱組合而成的C．由一個長方體挖去一個四棱臺所構(gòu)成的D．由一個長方體與兩個四棱臺組合而成的二、填空題3．如圖所示，已知圓錐SO中，底面半徑r＝1，母線長l＝4，M為母線SA上的一個點，且SM＝x，從點M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點A．則繩子的最短長度的平方f(x)＝________.三、解答題4．球的兩個平行截面的面積分別是5π，8π，兩截面間的距離為1，求球的半徑．5．圓臺上底面面積為π，下底面面積為16π，用一個平行于底面的平面去截圓臺，該平面自上而下分圓臺的高的比為2∶1，求這個截面的面積．《8.1基本立體圖形》同步練習(xí)答案解析第2課時圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．下列幾何體中是旋轉(zhuǎn)體的是()①圓柱；②六棱錐；③正方體；④球體；⑤四面體．A．①和⑤ B．①和②C．③和④ D．①和④【答案】D[根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的概念可知，①和④是旋轉(zhuǎn)體．]2．圖①②中的圖形折疊后的圖形分別是()①②A．圓錐、棱柱 B．圓錐、棱錐C．球、棱錐 D．圓錐、圓柱【答案】B[根據(jù)圖①的底面為圓，側(cè)面為扇形，得圖①折疊后的圖形是圓錐；根據(jù)圖②的底面為三角形，側(cè)面均為三角形，得圖②折疊后的圖形是棱錐．]3．圓錐的側(cè)面展開圖是直徑為a的半圓面，那么此圓錐的軸截面是()A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．頂角為30°等腰三角形 D．其他等腰三角形【答案】A[設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，依題意可知2πr＝π·eq\f(a,2)，則r＝eq\f(a,4)，故軸截面是邊長為eq\f(a,2)的等邊三角形．]4．如圖，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一個組合體，其結(jié)構(gòu)特征是()A．一個棱柱中挖去一個棱柱B．一個棱柱中挖去一個圓柱C．一個圓柱中挖去一個棱錐D．一個棱臺中挖去一個圓柱【答案】B[一個六棱柱挖去一個等高的圓柱，選B．]5．用長為8，寬為4的矩形做側(cè)面圍成一個圓柱，則圓柱的軸截面的面積為()A．32B．eq\f(32,π)C．eq\f(16,π)D．eq\f(8,π)【答案】B[若8為底面周長，則圓柱的高為4，此時圓柱的底面直徑為eq\f(8,π)，其軸截面的面積為eq\f(32,π)；若4為底面周長，則圓柱的高為8，此時圓柱的底面直徑為eq\f(4,π)，其軸截面的面積為eq\f(32,π).]二、填空題6．如圖是一個幾何體的表面展開圖形，則這個幾何體是________．【答案】圓柱[一個長方形和兩個圓折疊后，能圍成的幾何體是圓柱．]7．下列命題中錯誤的是________．①過球心的截面所截得的圓面的半徑等于球的半徑；②母線長相等的不同圓錐的軸截面的面積相等；③圓臺所有平行于底面的截面都是圓面；④圓錐所有的軸截面都是全等的等腰三角形．【答案】②[因為圓錐的母線長一定，根據(jù)三角形面積公式，當(dāng)兩條母線的夾角為90°時，圓錐的軸截面面積最大．]8．一個半徑為5cm的球，被一平面所截，球心到截面圓心的距離為4cm，則截面圓面積為________cm2.【答案】9π[設(shè)截面圓半徑為rcm，則r2＋42＝52，所以r＝3.所以截面圓面積為9πcm2.]三、解答題9．如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，當(dāng)梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周時，其他各邊旋轉(zhuǎn)圍成了一個幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征．[解]如圖所示，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是一個圓柱挖去兩個圓錐后剩余部分構(gòu)成的組合體．10．一個圓臺的母線長為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2.求：(1)圓臺的高；(2)截得此圓臺的圓錐的母線長．[解](1)圓臺的軸截面是等腰梯形ABCD(如圖所示)．由已知可得上底面半徑O1A＝2(cm)，下底面半徑OB＝5(cm)，又因為腰長為12cm，所以高AM＝eq\r(122－5－22)＝3eq\r(15)(cm)．(2)如圖所示，延長BA，OO1，CD交于點S，設(shè)截得此圓臺的圓錐的母線長為l，則由△SAO1∽△SBO可得eq\f(l－12,l)＝eq\f(2,5)，解得l＝20(cm)，即截得此圓臺的圓錐的母線長為20cm.B組能力提升一、選擇題1.在正方體ABCD-A′B′C′D′中，P為棱AA′上一動點，Q為底面ABCD上一動點，M是PQ的中點，若點P，Q都運動時，點M構(gòu)成的點集是一個空間幾何體，則這個幾何體是()A．棱柱 B．棱臺C．棱錐 D．球的一部分【答案】A[由題意知，當(dāng)P在A′處，Q在AB上運動時，M的軌跡為過AA′的中點，在平面AA′B′B內(nèi)平行于AB的線段(靠近AA′)，當(dāng)P在A′處，Q在AD上運動時，M的軌跡為過AA′的中點，在平面AA′D′D內(nèi)平行于AD的線段(靠近AA′),當(dāng)Q在B處，P在AA′上運動時，M的軌跡為過AB的中點，在平面AA′B′B內(nèi)平行于AA′的線段(靠近AB),當(dāng)Q在D處，P在AA′上運動時，M的軌跡為過AD的中點，在平面AA′D′D內(nèi)平行于AA′的線段(靠近AB),當(dāng)P在A處，Q在BC上運動時，M的軌跡為過AB的中點，在平面ABCD內(nèi)平行于AD的線段(靠近AB),當(dāng)P在A處，Q在CD上運動時，M的軌跡為過AD的中點，在平面ABCD內(nèi)平行于AB的線段(靠近AD),同理得到：P在A′處，Q在BC上運動；P在A′處，Q在CD上運動；Q在C處，P在AA′上運動；P，Q都在AB，AD，AA′上運動的軌跡．進一步分析其他情形即可得到M的軌跡為棱柱體．故選A．]2.(多選題)對如圖中的組合體的結(jié)構(gòu)特征有以下幾種說法，其中說法正確的是()A．由一個長方體割去一個四棱柱所構(gòu)成的B．由一個長方體與兩個四棱柱組合而成的C．由一個長方體挖去一個四棱臺所構(gòu)成的D．由一個長方體與兩個四棱臺組合而成的【答案】AB[如圖，該組合體可由一個長方體割去一個四棱柱所構(gòu)成，也可以由一個長方體與兩個四棱柱組合而成．故選項AB正確．]二、填空題3．如圖所示，已知圓錐SO中，底面半徑r＝1，母線長l＝4，M為母線SA上的一個點，且SM＝x，從點M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點A．則繩子的最短長度的平方f(x)＝________.【答案】x2＋16(0≤x≤4)[將圓錐的側(cè)面沿SA展開在平面上，如圖所示，則該圖為扇形，且弧AA′的長度L就是圓O的周長，所以L＝2πr＝2π，所以∠ASM＝eq\f(L,l)＝eq\f(π,2).由題意知繩子長度的最小值為展開圖中的AM，其值為AM＝eq\r(x2＋16)(0≤x≤4)．所以f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．]三、解答題4．球的兩個平行截面的面積分別是5π，8π，兩截面間的距離為1，求球的半徑．[解]設(shè)兩個平行截面圓的半徑分別為r1，r2，球半徑為R.由πreq\o\al(2,1)＝5π，得r1＝eq\r(5).由πreq\o\al(2,2)＝8π，得r2＝2eq\r(2).(1)如圖，當(dāng)兩個截面位于球心O的同側(cè)時，有eq\r(R2－r\o\al(2,1))－eq\r(R2－r\o\al(2,2))＝1，即eq\r(R2－5)＝1＋eq\r(R2－8)，解得R＝3.(2)當(dāng)兩個截面位于球心O的異側(cè)時，有eq\r(R2－5)＋eq\r(R2－8)＝1.此方程無解．由(1)(2)知球的半徑為3.5．圓臺上底面面積為π，下底面面積為16π，用一個平行于底面的平面去截圓臺，該平面自上而下分圓臺的高的比為2∶1，求這個截面的面積．[解]圓臺的軸截面如圖，O1，O2，O3分別為上底面、下底面、截面圓心．過點D作DF⊥AB于點F，交GH于點E.由題意知DO1＝1，AO2＝4，∴AF＝3.∵DE＝2EF，∴DF＝3EF，∴eq\f(GE,AF)＝eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,3)，∴GE＝2.∴⊙O3的半徑為3.∴這個截面面積為9π.《8.2立體圖形的直觀圖》同步練習(xí)A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．把△ABC按斜二測畫法得到△A′B′C′(如圖所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么△ABC是一個()A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．三邊互不相等的三角形2．一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣，已知長方體的長、寬、高分別為20m、5m、10m，四棱錐的高為8m，若按1∶500的比例畫出它的直觀圖，那么直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高應(yīng)分別為()A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm3．如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()A．2＋eq\r(2) B．eq\f(1＋\r(2),2)C．eq\f(2＋\r(2),2) D．1＋eq\r(2)4．(多選題)如圖，已知等腰三角形ABC，則如下所示的四個圖中，可能是△ABC的直觀圖的是()ABCD5．(多選題)對于用斜二測畫法畫水平放置的圖形的直觀圖來說，下列描述正確的是()A．三角形的直觀圖仍然是一個三角形B．90°的角的直觀圖會變?yōu)?5°的角C．與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话隓．由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同二、填空題6．斜二測畫法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點M(4,4)在直觀圖中的對應(yīng)點是M′，則點M′的坐標(biāo)為________．7．水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的實際長度為________．8．水平放置的△ABC在直角坐標(biāo)系中的直觀圖如圖所示，其中D′是A′C′的中點，且∠ACB≠30°，則原圖形中與線段BD的長相等的線段有________條．三、解答題9．畫出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖．10．如圖，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的直觀圖，試畫出原平面圖形△ABC．B組能力提升一、選擇題1.如圖所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直觀圖，B′在x′軸上，A′O′和x′軸垂直，且A′O′＝2，則△AOB的邊OB上的高為()A．2 B．4C．2eq\r(2) D．4eq\r(2)2．已知兩個圓錐，底面重合在一起，其中一個圓錐頂點到底面的距離為2cm，另一個圓錐頂點到底面的距離為3cm，則其直觀圖中這兩個頂點之間的距離為()A．2cm B．3cmC．2.5cm D．5cm二、填空題3．已知用斜二測畫法，畫得的正方形的直觀圖面積為18eq\r(2)，則原正方形的面積為________．三、解答題4.如圖是一個邊長為1的正方形A′B′C′D′，已知該正方形是某個水平放置的四邊形用斜二測畫法畫出的直觀圖，試畫出該四邊形的真實圖形并求出其面積．5．畫出底面是正方形，側(cè)棱均相等的四棱錐的直觀圖．《8.2立體圖形的直觀圖》同步練習(xí)答案解析A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．把△ABC按斜二測畫法得到△A′B′C′(如圖所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么△ABC是一個()A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．三邊互不相等的三角形【答案】A[根據(jù)斜二測畫法還原三角形在直角坐標(biāo)系中的圖形，如圖所示：由圖易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC為等邊三角形，故選A．]2．一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣，已知長方體的長、寬、高分別為20m、5m、10m，四棱錐的高為8m，若按1∶500的比例畫出它的直觀圖，那么直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高應(yīng)分別為()A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm【答案】C[由比例尺可知長方體的長、寬、高和四棱錐的高分別為4cm,1cm,2cm和1.6cm，再結(jié)合斜二測畫法，可知直觀圖的相應(yīng)尺寸應(yīng)分別為4cm,0.5cm，2cm，1.6cm.]3．如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()A．2＋eq\r(2) B．eq\f(1＋\r(2),2)C．eq\f(2＋\r(2),2) D．1＋eq\r(2)【答案】A[畫出其相應(yīng)平面圖易求，故選A．]4．(多選題)如圖，已知等腰三角形ABC，則如下所示的四個圖中，可能是△ABC的直觀圖的是()ABCD【答案】CD[原等腰三角形畫成直觀圖后，原來的腰長不相等，CD兩圖分別為在∠x′O′y′成135°和45°的坐標(biāo)系中的直觀圖．]5．(多選題)對于用斜二測畫法畫水平放置的圖形的直觀圖來說，下列描述正確的是()A．三角形的直觀圖仍然是一個三角形B．90°的角的直觀圖會變?yōu)?5°的角C．與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话隓．由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同【答案】ACD[對于A，根據(jù)斜二測畫法特點知，相交直線的直觀圖仍是相交直線，因此三角形的直觀圖仍是一個三角形，故A正確；對于B,90°的角的直觀圖會變?yōu)?5°或135°的角，故B錯誤；C，D顯然正確．]二、填空題6．斜二測畫法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點M(4,4)在直觀圖中的對應(yīng)點是M′，則點M′的坐標(biāo)為________．【答案】(4,2)[在x′軸的正方向上取點M1，使O′M1＝4，在y′軸上取點M2，使O′M2＝2，過M1和M2分別作平行于y′軸和x′軸的直線，則交點就是M′.]7．水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的實際長度為________．【答案】2.5[由直觀圖知，由原平面圖形為直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，計算得AB＝5，所求中線長為2.5.]8．水平放置的△ABC在直角坐標(biāo)系中的直觀圖如圖所示，其中D′是A′C′的中點，且∠ACB≠30°，則原圖形中與線段BD的長相等的線段有________條．【答案】2[△ABC為直角三角形，因為D為AC中點，所以BD＝AD＝CD．所以與BD的長相等的線段有2條．]三、解答題9．畫出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖．[解](1)過點C作CE⊥x軸，垂足為點E，如圖①所示，畫出對應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖②所示．①②③(2)如圖②所示，在x′軸上取點B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′軸上取一點D′，使得O′D′＝eq\f(1,2)OD；過點E′作E′C′∥y′軸，使E′C′＝eq\f(1,2)EC．(3)連接B′C′，C′D′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線，如圖③所示，四邊形O′B′C′D′就是所求的直觀圖．10．如圖，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的直觀圖，試畫出原平面圖形△ABC．[解](1)畫法：過C′，B′分別作y′軸的平行線交x′軸于D′，E′.(2)在直角坐標(biāo)系xOy中．在x軸上取兩點E，D使OE＝O′E′，OD＝O′D′，再分別過E，D作y軸平行線，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′.連接OB，OC，BC即求出原△ABC．B組能力提升一、選擇題1.如圖所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直觀圖，B′在x′軸上，A′O′和x′軸垂直，且A′O′＝2，則△AOB的邊OB上的高為()A．2 B．4C．2eq\r(2) D．4eq\r(2)【答案】D[設(shè)△AOB的邊OB上的高為h，由題意，得S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖，所以eq\f(1,2)OB·h＝2eq\r(2)×eq\f(1,2)×2×O′B′.因為OB＝O′B′，所以h＝4eq\r(2).故選D．]2．已知兩個圓錐，底面重合在一起，其中一個圓錐頂點到底面的距離為2cm，另一個圓錐頂點到底面的距離為3cm，則其直觀圖中這兩個頂點之間的距離為()A．2cm B．3cmC．2.5cm D．5cm【答案】D[由題意可知其直觀圖如圖，由圖可知兩個頂點之間的距離為5cm.故選D．]二、填空題3．已知用斜二測畫法，畫得的正方形的直觀圖面積為18eq\r(2)，則原正方形的面積為________．【答案】72[如圖所示，作出正方形OABC的直觀圖O′A′B′C′，作C′D′⊥x′軸于點D′.S直觀圖＝O′A′×C′D′.又S正方形＝OC×OA．所以eq\f(S正方形,S直觀圖)＝eq\f(OC×OA,O′A′×C′D′)，又在Rt△O′D′C′中，O′C′＝eq\r(2)C′D′，即C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′，結(jié)合平面圖與直觀圖的關(guān)系可知OA＝O′A′，OC＝2O′C′，所以eq\f(S正方形,S直觀圖)＝eq\f(OC×OA,OA×\f(\r(2),2)O′C′)＝eq\f(2O′C′,\f(\r(2),2)O′C′)＝2eq\r(2).又S直觀圖＝18eq\r(2)，所以S正方形＝2eq\r(2)×18eq\r(2)＝72.]三、解答題4.如圖是一個邊長為1的正方形A′B′C′D′，已知該正方形是某個水平放置的四邊形用斜二測畫法畫出的直觀圖，試畫出該四邊形的真實圖形并求出其面積．[解]四邊形ABCD的真實圖形如圖所示，因為A′C′在水平位置，A′B′C′D′為正方形，所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，所以在原四邊形ABCD中，AD⊥AC，AC⊥BC，因為AD＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝eq\r(2)，所以S四邊形ABCD＝AC·AD＝2eq\r(2).5．畫出底面是正方形，側(cè)棱均相等的四棱錐的直觀圖．[解](1)畫軸．畫x軸、y軸、z軸，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如圖①.(2)畫底面．以O(shè)為中心在xOy平面內(nèi)畫出正方形水平放置的直觀圖ABCD．(3)畫頂點．在Oz軸上截取OP，使OP的長度是原四棱錐的高．(4)成圖．連接PA、PB、PC、PD，并擦去輔助線，得四棱錐的直觀圖如圖②.①②《8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積》同步練習(xí)A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．如圖，ABC-A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C-AA′B′B的體積是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)2．正方體的表面積為96，則正方體的體積為()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．963．棱錐的一個平行于底面的截面把棱錐的高分成1∶2(從頂點到截面與從截面到底面)兩部分，那么這個截面把棱錐的側(cè)面分成兩部分的面積之比等于()A．1∶9 B．1∶8C．1∶4 D．1∶34．若正方體八個頂點中有四個恰好是正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比是()A．eq\r(3)B．eq\r(2)C．eq\f(2,\r(3))D．eq\f(\r(3),2)5．四棱臺的兩底面分別是邊長為x和y的正方形，各側(cè)棱長都相等，高為z，且側(cè)面積等于兩底面積之和，則下列關(guān)系式中正確的是()A．eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)＋eq\f(1,z) B．eq\f(1,y)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)C．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y) D．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x＋y)二、填空題6．已知一個長方體的三個面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則這個長方體的體積為________．7．已知棱長為1，各面均為等邊三角形的四面體，則它的表面積是________，體積是________．8.如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，則點A到平面A1BD的距離d＝________.三、解答題9．已知四面體ABCD中，AB＝CD＝eq\r(13)，BC＝AD＝2eq\r(5)，BD＝AC＝5，求四面體ABCD的體積．10．如圖，已知正三棱錐S-ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的表面積．11．建造一個容積為16m3，深為2m，寬為2m的長方體無蓋水池，如果池底的造價為120元/m2，池壁的造價為80元/m2，求水池的總造價．B組能力提升一、選擇題1．正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為()A．3πB．eq\f(4,3)C．eq\f(3,2)π D．12．正三棱錐的底面周長為6，側(cè)面都是直角三角形，則此棱錐的體積為()A．eq\f(4\r(2),3)B．eq\r(2)C．eq\f(2\r(2),3)D．eq\f(\r(2),3)二、填空題3．已知某幾何體是由兩個全等的長方體和一個三棱柱組合而成，如圖所示，其中長方體的長、寬、高分別為4,3,3，三棱柱底面是直角邊分別為4,3的直角三角形，側(cè)棱長為3，則此幾何體的體積是________，表面積是________．三、解答題4．如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積．5．一個正三棱錐P-ABC的底面邊長為a，高為h.一個正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的頂點A1，B1，C1分別在三條棱上，A0，B0，C0分別在底面△ABC上，何時此三棱柱的側(cè)面積取到最大值？《8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積》同步練習(xí)答案解析A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．如圖，ABC-A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C-AA′B′B的體積是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)【答案】C[∵VC-A′B′C′＝eq\f(1,3)VABC-A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴VC-AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]2．正方體的表面積為96，則正方體的體積為()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．96【答案】B3．棱錐的一個平行于底面的截面把棱錐的高分成1∶2(從頂點到截面與從截面到底面)兩部分，那么這個截面把棱錐的側(cè)面分成兩部分的面積之比等于()A．1∶9 B．1∶8C．1∶4 D．1∶3【答案】B[兩個錐體的側(cè)面積之比為1∶9，小錐體與臺體的側(cè)面積之比為1∶8，故選B．]4．若正方體八個頂點中有四個恰好是正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比是()A．eq\r(3)B．eq\r(2)C．eq\f(2,\r(3))D．eq\f(\r(3),2)【答案】A[如圖所示，正方體的A′、C′、D、B的四個頂點可構(gòu)成一個正四面體，設(shè)正方體邊長為a，則正四面體邊長為eq\r(2)a.∴正方體表面積S1＝6a2，正四面體表面積為S2＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，∴eq\f(S1,S2)＝eq\f(6a2,2\r(3)a2)＝eq\r(3).]5．四棱臺的兩底面分別是邊長為x和y的正方形，各側(cè)棱長都相等，高為z，且側(cè)面積等于兩底面積之和，則下列關(guān)系式中正確的是()A．eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)＋eq\f(1,z) B．eq\f(1,y)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)C．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y) D．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x＋y)【答案】C[由條件知，各側(cè)面是全等的等腰梯形，設(shè)其高為h′，則根據(jù)條件得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4·\f(x＋y,2)·h′＝x2＋y2，,z2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y－x,2)))eq\s\up12(2)＝h′2，))消去h′得，4z2(x＋y)2＋(y－x)2(y＋x)2＝(x2＋y2)2.∴4z2(x＋y)2＝4x2y2，∴z(x＋y)＝xy，∴eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y).]二、填空題6．已知一個長方體的三個面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則這個長方體的體積為________．【答案】eq\r(6)[設(shè)長方體從一點出發(fā)的三條棱長分別為a，b，c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘得(abc)2＝6，故長方體的體積V＝abc＝eq\r(6).]7．已知棱長為1，各面均為等邊三角形的四面體，則它的表面積是________，體積是________．【答案】eq\r(3)eq\f(\r(2),12)[S表＝4×eq\f(\r(3),4)×12＝eq\r(3)，V體＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×12×eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),12).]8.如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，則點A到平面A1BD的距離d＝________.【答案】eq\f(\r(3),3)a[在三棱錐A1-ABD中，AA1是三棱錐A1-ABD的高，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝eq\r(2)a，∵V三棱錐A1-ABD＝V三棱錐A-A1BD，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a×d，∴d＝eq\f(\r(3),3)a.∴點A到平面A1BD的距離為eq\f(\r(3),3)a.]三、解答題9．已知四面體ABCD中，AB＝CD＝eq\r(13)，BC＝AD＝2eq\r(5)，BD＝AC＝5，求四面體ABCD的體積．[解]以四面體的各棱為對角線還原為長方體，如圖．設(shè)長方體的長、寬、高分別為x，y，z，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝13，,y2＋z2＝20，,x2＋z2＝25，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，,z＝4.))∵VD-ABE＝eq\f(1,3)DE·S△ABE＝eq\f(1,6)V長方體，同理，VC-ABF＝VD-ACG＝VD-BCH＝eq\f(1,6)V長方體，∴V四面體ABCD＝V長方體－4×eq\f(1,6)V長方體＝eq\f(1,3)V長方體．而V長方體＝2×3×4＝24，∴V四面體ABCD＝8.10．如圖，已知正三棱錐S-ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的表面積．[解]如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長為a，斜高為h′，過點O作OE⊥AB，與AB交于點E，連接SE，則SE⊥AB，SE＝h′.∵S側(cè)＝2S底，∴eq\f(1,2)·3a·h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2.∴a＝eq\r(3)h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.∴32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))eq\s\up12(2)＝h′2.∴h′＝2eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)h′＝6.∴S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，S側(cè)＝2S底＝18eq\r(3).∴S表＝S側(cè)＋S底＝18eq\r(3)＋9eq\r(3)＝27eq\r(3).11．建造一個容積為16m3，深為2m，寬為2m的長方體無蓋水池，如果池底的造價為120元/m2，池壁的造價為80元/m2，求水池的總造價．解：設(shè)長方體的長、寬、高分別為am，bm，hm，水池的總造價為y元．∵V＝abh＝16，h＝2，b＝2，∴a＝4.則有S底＝4×2＝8(m2)，S壁＝2×(2＋4)×2＝24(m2)，y＝S底×120＋S壁×80＝120×8＋80×24＝2880(元)．B組能力提升一、選擇題1．正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為()A．3πB．eq\f(4,3)C．eq\f(3,2)π D．1【答案】B[如圖所示，由圖可知，該幾何體由兩個四棱錐構(gòu)成，并且這兩個四棱錐體積相等．四棱錐的底面為正方形，且邊長為eq\r(2)，故底面積為(eq\r(2))2＝2；四棱錐的高為1，故四棱錐的體積為eq\f(1,3)×2×1＝eq\f(2,3).則幾何體的體積為2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3).]2．正三棱錐的底面周長為6，側(cè)面都是直角三角形，則此棱錐的體積為()A．eq\f(4\r(2),3)B．eq\r(2)C．eq\f(2\r(2),3)D．eq\f(\r(2),3)【答案】D[由題意，正三棱錐的底面周長為6，所以正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)面均為直角三角形，可知側(cè)棱長均為eq\r(2)，三條側(cè)棱兩兩垂直，所以此三棱錐的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),3).]二、填空題3．已知某幾何體是由兩個全等的長方體和一個三棱柱組合而成，如圖所示，其中長方體的長、寬、高分別為4,3,3，三棱柱底面是直角邊分別為4,3的直角三角形，側(cè)棱長為3，則此幾何體的體積是________，表面積是________．【答案】90138[該幾何體的體積V＝4×6×3＋eq\f(1,2)×4×3×3＝90，表面積S＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋eq\f(1,2)×4×3×2＋eq\r(32＋42)×3＋3×4＝138.]三、解答題4．如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積．[解]如圖，連接EB，EC．四棱錐E-ABCD的體積V四棱錐E-ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱錐F-EBC＝V三棱錐C-EFB＝eq\f(1,2)V三棱錐C-ABE＝eq\f(1,2)V三棱錐E-ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱錐E-ABCD＝4.∴多面體的體積V＝V四棱錐E-ABCD＋V三棱錐F-EBC＝16＋4＝20.5．一個正三棱錐P-ABC的底面邊長為a，高為h.一個正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的頂點A1，B1，C1分別在三條棱上，A0，B0，C0分別在底面△ABC上，何時此三棱柱的側(cè)面積取到最大值？[解]設(shè)三棱錐的底面中心為O，連接PO(圖略)，則PO為三棱錐的高，設(shè)A1，B1，C1所在的底面與PO交于O1點，則eq\f(A1B1,AB)＝eq\f(PO1,PO)，令A(yù)1B1＝x，而PO＝h，則PO1＝eq\f(h,a)x，于是OO1＝h－PO1＝h－eq\f(h,a)x＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,a))).所以所求三棱柱的側(cè)面積為S＝3x·heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,a)))＝eq\f(3h,a)(a－x)x＝eq\f(3h,a)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))eq\s\up12(2))).當(dāng)x＝eq\f(a,2)時，S有最大值為eq\f(3,4)ah，此時O1為PO的中點．《8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積》同步練習(xí)A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．面積為Q的正方形，繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的側(cè)面積為()A．πQ B．2πQ C．3πQ D．4πQ2．一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是32π，則母線長為()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．83．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為()A．7 B．6C．5 D．34．如果三個球的半徑之比是1∶2∶3，那么最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和的()A．eq\f(5,9)倍B．eq\f(9,5)倍C．2倍D．3倍5．把半徑分別為6cm,8cm,10cm的三個鐵球熔成一個大鐵球，這個大鐵球的半徑為()A．3cm B．6cmC．8cm D．12cm6．將直徑為2的半圓繞直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)半周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()A．2π B．3πC．4π D．6π7．將棱長為2的正方體削成一個體積最大的球，則這個球的體積為()A．eq\f(16π,3)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(32π,3) D．4π8．已知某圓柱的底面周長為12，高為2，矩形ABCD是該圓柱的軸截面，則在此圓柱側(cè)面上，從A到C的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(10) B．2eq\r(5)C．3 D．29．用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積與底面面積的比是1∶3，這截面把圓錐母線分為兩段的比是()A．1∶3 B．1∶(eq\r(3)－1)C．1∶9 D．eq\r(3)∶210．已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()A．πB．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,2)D．eq\f(π,4)二、填空題11．若一個球的表面積與其體積在數(shù)值上相等，則此球的半徑為________．12．如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．13．表面積為3π的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為________．14．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸)15．圓臺的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角是180°(如圖)，那么圓臺的體積是________．三、解答題16．若圓錐的表面積是15π，側(cè)面展開圖的圓心角是60°，求圓錐的體積．17．如圖是一個底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6cm，高為20cm的圓錐形鉛錘，且水面高于圓錐頂部，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降多少？18．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．19．已知過球面上A，B，C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面積和體積．B組能力提升一、選擇題1.如圖所示，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與圓柱的側(cè)面積之差為()A．24π B．28πC．32π D．36π2．如果一個球的外切圓錐的高是這個球的半徑的3倍，則圓錐的側(cè)面積和球的表面積之比為()A．4∶3 B．3∶1C．3∶2 D．9∶43．已知圓柱的側(cè)面展開圖矩形面積為S，底面周長為C，它的體積是()A．eq\f(C3,4πS) B．eq\f(4πS,C3)C．eq\f(CS,2π) D．eq\f(SC,4π)二、填空題4．如圖，已知底面半徑為r的圓柱被一個平面所截，剩下部分母線長的最大值為a，最小值為b.那么圓柱被截后剩下部分的體積是________．5．圓柱內(nèi)有一個內(nèi)接長方體ABCD-A1B1C1D1，長方體的體對角線長是10eq\r(2)cm，圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，此矩形的面積是100πcm2，則圓柱的底面半徑為________cm，高為________cm.6．如圖在底面半徑為2，母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為eq\r(3)的圓柱，求圓柱的表面積．7．在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是________.8．將一個底面圓的直徑為2，高為1的圓柱截成橫截面為長方形的棱柱(如圖)，設(shè)這個長方形截面的一條邊長為x，對角線長為2，截面的面積為A．(1)求面積A以x為自變量的函數(shù)關(guān)系式；(2)求出截得棱柱的體積的最大值．三、解答題9．某養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪用)．已建的倉庫的底面直徑為12m，高為4m．養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽．現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4m(高不變)；二是高度增加4m(底面直徑不變)．(1)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；(2)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；(3)哪種方案更經(jīng)濟些？10．軸截面為正三角形的圓錐內(nèi)有一個內(nèi)切球，若圓錐的底面半徑為2，求球的體積．《8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積》同步練習(xí)答案解析A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．面積為Q的正方形，繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的側(cè)面積為()A．πQ B．2πQC．3πQ D．4πQ【答案】B[正方形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，得到的是圓柱，其側(cè)面積為S＝2πrl＝2π·eq\r(Q)·eq\r(Q)＝2πQ.故選B．]2．一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是32π，則母線長為()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．8【答案】C[圓臺的軸截面如圖，由題意知，l＝eq\f(1,2)(r＋R)，S圓臺側(cè)＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l(xiāng)＝4.]3．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為()A．7 B．6C．5 D．3【答案】A[設(shè)圓臺較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.]4．如果三個球的半徑之比是1∶2∶3，那么最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和的()A．eq\f(5,9)倍B．eq\f(9,5)倍C．2倍D．3倍【答案】B[設(shè)小球半徑為1，則大球的表面積S大＝36π，S小＋S中＝20π，eq\f(36π,20π)＝eq\f(9,5).]5．把半徑分別為6cm,8cm,10cm的三個鐵球熔成一個大鐵球，這個大鐵球的半徑為()A．3cm B．6cmC．8cm D．12cm【答案】D[由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·63＋eq\f(4,3)π·83＋eq\f(4,3)π·103，得R3＝1728，檢驗知R＝12.]6．將直徑為2的半圓繞直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)半周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()A．2π B．3πC．4π D．6π【答案】B[由題意知，該幾何體為半球，表面積為大圓面積加上半個球面積，S＝π×12＋eq\f(1,2)×4×π×12＝3π.]7．將棱長為2的正方體削成一個體積最大的球，則這個球的體積為()A．eq\f(16π,3)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(32π,3) D．4π【答案】B[根據(jù)題意知，此球為正方體的內(nèi)切球，所以球的直徑等于正方體的棱長，故r＝1，所以V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4π,3).]8．已知某圓柱的底面周長為12，高為2，矩形ABCD是該圓柱的軸截面，則在此圓柱側(cè)面上，從A到C的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(10) B．2eq\r(5)C．3 D．2【答案】A[圓柱的側(cè)面展開圖如圖，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，且矩形的長為12，寬為2，則在此圓柱側(cè)面上從A到C的最短路徑為線段AC，AC＝eq\r(22＋62)＝2eq\r(10).故選A．]9．用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積與底面面積的比是1∶3，這截面把圓錐母線分為兩段的比是()A．1∶3 B．1∶(eq\r(3)－1)C．1∶9 D．eq\r(3)∶2【答案】B[由面積比為1∶3，知小圓錐母線與原圓錐母線長之比為1∶eq\r(3)，故截面把圓錐母線分為1∶(eq\r(3)－1)兩部分，故選B．]10．已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()A．πB．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,2)D．eq\f(π,4)【答案】B[設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1，由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形．∴r＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2).∴圓柱的體積為V＝πr2h＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4).故選B．]二、填空題11．若一個球的表面積與其體積在數(shù)值上相等，則此球的半徑為________．【答案】3[設(shè)此球的半徑為R，則4πR2＝eq\f(4,3)πR3，R＝3.]12．如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．【答案】eq\f(3,2)[設(shè)球O的半徑為R，∵球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，∴圓柱O1O2的高為2R，底面半徑為R.∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).]13．表面積為3π的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為________．【答案】2[設(shè)圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，由題意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl(wèi)＝2πr.解得r＝1，即直徑為2.]14．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸)【答案】3[圓臺的軸截面是下底長為12寸，上底長為28寸，高為18寸的等腰梯形，雨水線恰為中位線，故雨水線直徑是20寸，所以降水量為eq\f(\f(π,3)102＋10×6＋62×9,π×142)＝3(寸)．]15．圓臺的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角是180°(如圖)，那么圓臺的體積是________．【答案】eq\f(7000π,3)eq\r(3)cm3[180°＝eq\f(20－10,l)×360°，∴l(xiāng)＝20，h＝10eq\r(3)，V＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)·h＝eq\f(7000\r(3)π,3)(cm3)．]三、解答題16．若圓錐的表面積是15π，側(cè)面展開圖的圓心角是60°，求圓錐的體積．[解]設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，則2πr＝eq\f(1,3)πl(wèi)，得l＝6r.又S圓錐＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝eq\r(\f(15,7))，圓錐的高h＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6\r(\f(15,7))))eq\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(15,7))))eq\s\up12(2))＝5eq\r(3)，V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\f(15,7)×5eq\r(3)＝eq\f(25\r(3),7)π.17．如圖是一個底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6cm，高為20cm的圓錐形鉛錘，且水面高于圓錐頂部，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降多少？[解]因為圓錐形鉛錘的體積為eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))eq\s\up12(2)×20＝60π(cm3)，設(shè)水面下降的高度為xcm，則小圓柱的體積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))eq\s\up12(2)x＝100πx.所以有60π＝100πx，解此方程得x＝0.6.故杯里的水將下降0.6cm.18．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．[解]該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.該組合體的體積V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).19．已知過球面上A，B，C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面積和體積．[解]因為AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°.又球心O到截面△ABC的投影O′為截面圓的圓心，也是Rt△ABC的外接圓的圓心，所以斜邊AC為截面圓O′的直徑(如圖所示)，設(shè)O′C＝r，OC＝R，則球半徑為R，截面圓半徑為r，在Rt△O′CO中，由題設(shè)知sin∠O′CO＝eq\f(OO′,OC)＝eq\f(1,2)，所以∠O′CO＝30°，所以eq\f(r,R)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，即R＝eq\f(2,\r(3))r，(*)又2r＝AC＝30?r＝15，代入(*)得R＝10eq\r(3).所以球的表面積為S＝4πR2＝4π×(10eq\r(3))2＝1200π.球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(10eq\r(3))3＝4000eq\r(3)π.B組能力提升一、選擇題1.如圖所示，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與圓柱的側(cè)面積之差為()A．24π B．28πC．32π D．36π【答案】C[由題意知球的半徑R＝4，所以球的表面積為4πR2＝64π.設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則r2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq\s\up12(2)＝42，得4r2＋h2＝64，即h2＝64－4r2，所以圓柱的側(cè)面積S＝2πrh＝2πeq\r(r2h2)＝2πeq\r(r264－4r2)＝4πeq\r(r216－r2)＝4πeq\r(－r2－82＋64)(0＜r＜4)，所以當(dāng)r2＝8，即r＝2eq\r(2)時，圓柱的側(cè)面積最大，最大值為32π.此時球的表面積與圓柱的側(cè)面積之差是64π－32π＝32π.]2．如果一個球的外切圓錐的高是這個球的半徑的3倍，則圓錐的側(cè)面積和球的表面積之比為()A．4∶3 B．3∶1C．3∶2 D．9∶4【答案】C[作圓錐的軸截面，如圖，設(shè)球半徑為R，則圓錐的高h＝3R，圓錐底面半徑r＝eq\r(3)R，則l＝eq\r(h2＋r2)＝2eq\r(3)R，所以eq\f(S圓錐側(cè),S球)＝eq\f(πrl,4πR2)＝eq\f(π×\r(3)R·2\r(3)R,4πR2)＝eq\f(3,2).]3．已知圓柱的側(cè)面展開圖矩形面積為S，底面周長為C，它的體積是()A．eq\f(C3,4πS) B．eq\f(4πS,C3)C．eq\f(CS,2π) D．eq\f(SC,4π)【答案】D[設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ch＝S，,C＝2πr，))∴r＝eq\f(C,2π)，h＝eq\f(S,C).∴V＝πr2·h＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2π)))eq\s\up12(2)·eq\f(S,C)＝eq\f(SC,4π).]二、填空題4．如圖，已知底面半徑為r的圓柱被一個平面所截，剩下部分母線長的最大值為a，最小值為b.那么圓柱被截后剩下部分的體積是________．【答案】eq\f(πr2a＋b,2)[采取補體方法，相當(dāng)于一個母線長為a＋b的圓柱截成了兩個體積相等的部分，所以剩下部分的體積V＝eq\f(πr2a＋b,2).]圓柱內(nèi)有一個內(nèi)接長方體ABCD-A1B1C1D1，長方體的體對角線長是10eq\r(2)cm，圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，此矩形的面積是100πcm2，則圓柱的底面半徑為________cm，高為________cm.【答案】510[設(shè)圓柱底面半徑為rcm，高為hcm，如圖所示，則圓柱軸截面長方形的對角線長等于它的內(nèi)接長方體的體對角線長，則：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r2＋h2＝10\r(2)2，,2πrh＝100π，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝5，,h＝10.))即圓柱的底面半徑為5cm，高為10cm.]6．如圖在底面半徑為2，母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為eq\r(3)的圓柱，求圓柱的表面積．[解]設(shè)圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r，表面積為S.則R＝OC＝2，AC＝4，AO＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).如圖所示，易知△AEB∽△AOC，所以eq\f(AE,AO)＝eq\f(EB,OC)，即eq\f(\r(3),2\r(3))＝eq\f(r,2)，所以r＝1，S底＝2πr2＝2π，S側(cè)＝2πr·h＝2eq\r(3)π.所以S＝S底＋S側(cè)＝2π＋2eq\r(3)π＝(2＋2eq\r(3))π.7．在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是________.【答案】eq\f(9π,2)[當(dāng)球的半徑最大時，球的體積最大．在直三棱柱內(nèi)，當(dāng)球和三個側(cè)面都相切時，因為AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，底面的內(nèi)切圓的半徑即為此時球的半徑r＝eq\f(6＋8－10,2)＝2，直徑為4>側(cè)棱.所以球的最大直徑為3，半徑為eq\f(3,2)，此時體積V＝eq\f(9π,2).]8．將一個底面圓的直徑為2，高為1的圓柱截成橫截面為長方形的棱柱(如圖)，設(shè)這個長方形截面的一條邊長為x，對角線長為2，截面的面積為A．(1)求面積A以x為自變量的函數(shù)關(guān)系式；(2)求出截得棱柱的體積的最大值．[解](1)橫截面如圖長方形所示，由題意得A＝x·eq\r(4－x2)(0<x<2)．(2)V＝1·xeq\r(4－x2)＝eq\r(－x2－22＋4)，由上述知0<x<2，所以當(dāng)x＝eq\r(2)時，Vmax＝2.即截得棱柱的體積的最大值為2.三、解答題9．某養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪用)．已建的倉庫的底面直徑為12m，高為4m．養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽．現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4m(高不變)；二是高度增加4m(底面直徑不變)．(1)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；(2)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；(3)哪種方案更經(jīng)濟些？[解](1)設(shè)兩種方案所建的倉庫的體積分別為V1，V2.方案一：倉庫的底面直徑變成16m，則其體積V1＝eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,2)))eq\s\up12(2)×4＝eq\f(256,3)π(m3)；方案二：倉庫的高變成8m，則其體積V2＝eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(