哈三中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

哈三中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則是（）A．純角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形2．長方體中，已知，，棱在平面內(nèi)，則長方體在平面內(nèi)的射影所構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是（）A． B． C． D．3．點是角終邊上一點，則的值為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)滿足下列條件：①定義域為；②當(dāng)時；③.若關(guān)于x的方程恰有3個實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是A． B． C． D．5．函數(shù)的圖象可能是（）.A． B． C． D．6．三棱錐的高，若，二面角為，為的重心，則的長為（）A． B． C． D．7．若，則下列正確的是（）A． B．C． D．8．在正方體中，與所成的角為（）A．30° B．90° C．60° D．120°9．設(shè)為所在平面內(nèi)一點，若，則下列關(guān)系中正確的是（）A． B．C． D．10．已知點，，則與向量的方向相反的單位向量是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列從第項起每項都是它前面各項的和，且，則的通項公式是__________．12．函數(shù)的定義域為____________.13．將邊長為1的正方形(及其內(nèi)部)繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,點?分別是圓和圓上的點,長為,長為,且與在平面的同側(cè),則與所成角的大小為______.14．直線與的交點坐標(biāo)為________.15．已知角的終邊經(jīng)過點，則的值為__________．16．函數(shù)的最小正周期是________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知以點（a∈R，且a≠0）為圓心的圓過坐標(biāo)原點O，且與x軸交于點A，與y軸交于點B．（1）求△OAB的面積；（2）設(shè)直線l：y＝﹣2x+4與圓C交于點P、Q，若|OP|＝|OQ|，求圓心C到直線l的距離．18．已知函數(shù)f（x）＝asin（x）（a＞0）在同一半周期內(nèi)的圖象過點O，P，Q，其中O為坐標(biāo)原點，P為函數(shù)f（x）的最高點，Q為函數(shù)f（x）的圖象與x軸的正半軸的交點，△OPQ為等腰直角三角形．（1）求a的值；（2）將△OPQ繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0＜α），得到△OP′Q′，若點P′恰好落在曲線y（x＞0）上（如圖所示），試判斷點Q′是否也落在曲線y（x＞0），并說明理由．19．已知函數(shù)．（1）求證函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)．（2）求函數(shù)在上的值域．20．如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，且.（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A?PB?C的余弦值.21．已知函數(shù)當(dāng)時,求函數(shù)的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

利用正弦定理結(jié)合條件，得到，再由，結(jié)合余弦定理，得到，從而得到答案.【詳解】在中，由正弦定理得，而，所以得到，即，為的內(nèi)角，所以，因為，所以，由余弦定理得.為的內(nèi)角，所以，所以，為等邊三角形.故選：B.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理判斷三角形形狀，屬于簡單題.2、A【解析】

本題等價于求過BC直線的平面截長方體的面積的取值范圍?！驹斀狻块L方體在平面內(nèi)的射影所構(gòu)成的圖形面積的取值范圍等價于，求過BC直線的平面截長方體的面積的取值范圍。由圖形知,，故選A.【點睛】將問題等價轉(zhuǎn)換為可視的問題。3、A【解析】

利用三角函數(shù)的定義求出的值，然后利用誘導(dǎo)公式可求出的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，由誘導(dǎo)公式可得.故選A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義，同時也考查了利用誘導(dǎo)公式求值，在利用誘導(dǎo)公式求值時，充分理解“奇變偶不變，符號看象限”這個規(guī)律，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

分析：先根據(jù)條件確定函數(shù)圖像，再根據(jù)過定點（1，0）的直線與圖像關(guān)系確定實數(shù)k的取值范圍.詳解：因為，當(dāng)時；所以可作函數(shù)在上圖像，如圖，而直線過定點A（1，0）,根據(jù)圖像可得恰有3個實數(shù)解時實數(shù)k的取值范圍為,選D.點睛：對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．5、D【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性，排除選項，再根據(jù)特殊區(qū)間時，判斷選項.【詳解】是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，故排除A,B，當(dāng)時，，，排除C.故選D.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，一般從函數(shù)的定義域確定函數(shù)的位置，從函數(shù)的值域確定圖象的上下位置，也可判斷函數(shù)的奇偶性，排除圖象，或是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，特征值，以及函數(shù)值的正負(fù)，是否有極值點等函數(shù)性質(zhì)判斷選項.6、C【解析】

根據(jù)AB=AC，取BC的中點E，連結(jié)AE，得到AE⊥BC，再由由AH⊥平面BCD，得到EH⊥BC.，所以∠GEH是二面角的平面角，然后在△GHE中，利用余弦定理求解.【詳解】:如圖所示：取BC的中點E，連結(jié)AE，∵AB=AC，∴AE⊥BC，且點G在中線AE上，連結(jié)HE.∵AH⊥平面BCD，∴EH⊥BC.∴∠GEH=60°.在Rt△AHE中，∵∠AEH=60°，AH=∴EH=AHtan30°=3，AE=6，GE=AE=2由余弦定理得HG2=9+4-2×3×2cos60°=7.∴HG=故選：C【點睛】本題主要考查了二面角問題，還考查了空間想象和推理論證的能力，屬于中檔題.7、D【解析】

由不等式的性質(zhì)對四個選項逐一判斷，即可得出正確選項，錯誤的選項可以采用特值法進(jìn)行排除．【詳解】A選項不正確，因為若，，則不成立；B選項不正確，若時就不成立；C選項不正確，同B，時就不成立；D選項正確，因為不等式的兩邊加上或者減去同一個數(shù)，不等號的方向不變，故選D．【點睛】本題主要考查不等關(guān)系和不等式的基本性質(zhì)，求解的關(guān)鍵是熟練掌握不等式的運算性質(zhì)．8、C【解析】

把異面直線與所成的角，轉(zhuǎn)化為相交直線與所成的角，利用為正三角形，即可求解．【詳解】連結(jié)，則，所以相交直線與所成的角，即為異面直線與所成的角，連結(jié)，則是正三角形，所以，即異面直線與所成的角，故選C．【點睛】本題主要考查了空間中異面直線及其所成角的求法，其中根據(jù)異面直線的定義，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

∵∴?=3(?)；∴=?.故選A.10、A【解析】

根據(jù)單位向量的定義即可求解.【詳解】,向量的方向相反的單位向量為，故選A.【點睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運算，向量的單位向量的概念，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

列舉,可找到是從第項起的等比數(shù)列,由首項和公比即可得出通項公式.【詳解】解：,即,所以是從第項起首項,公比的等比數(shù)列.通項公式為：故答案為：【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式,可根據(jù)遞推公式求出.12、【解析】

先將和分別解出來，然后求交集即可【詳解】要使，則有且由得由得因為所以原函數(shù)的定義域為故答案為：【點睛】解三角不等式的方法：1.在單位圓中利用三角函數(shù)線，2.利用三角函數(shù)的圖像13、【解析】

畫出幾何體示意圖，將平移至于直線相交，在三角形中求解角度.【詳解】根據(jù)題意，過B點作BH//交弧于點H，作圖如下：因為BH//，故即為所求異面直線的夾角，在中，，在中，因為，故該三角形為等邊三角形，即：，在中，，，且母線BH垂直于底面，故：，又異面直線夾角范圍為，故，故答案為：.【點睛】本題考查異面直線的夾角求解，一般解決方法為平移至直線相交，在三角形中求角.14、【解析】

直接聯(lián)立方程得到答案.【詳解】聯(lián)立方程解得即兩直線的交點坐標(biāo)為.故答案為【點睛】本題考查了兩直線的交點，屬于簡單題.15、【解析】按三角函數(shù)的定義，有.16、【解析】

根據(jù)周期公式即可求解.【詳解】函數(shù)的最小正周期故答案為：【點睛】本題主要考查了正弦型函數(shù)的周期，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)4(2)【解析】

（1）求得圓的半徑，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由此求得兩點坐標(biāo)，進(jìn)而求得三角形的面積.（2）根據(jù)，判斷出，由直線的斜率求得直線的斜率，以此列方程求得，根據(jù)直線和圓相交，圓心到直線的距離小于半徑，確定，同時得到圓心到直線的距離.【詳解】（1）根據(jù)題意，以點（a∈R，且a≠0）為圓心的圓過坐標(biāo)原點O，設(shè)圓C的半徑為r，則r2＝a2，圓C的方程為（x﹣a）2+（y）2＝a2，令x＝0可得：y＝0或，則B（0，），令y＝0可得：x＝0或2a，則A（2a，0），△OAB的面積S|2a|×||＝4；（2）根據(jù)題意，直線l：y＝﹣2x+4與圓C交于點P、Q，則|CP|＝|CQ|，又由|OP|＝|OQ|，則直線OC與PQ垂直，又由直線l即PQ的方程為y＝﹣2x+4，則KOC，解可得a＝±2，當(dāng)a＝2時，圓心C的坐標(biāo)為（2，1），圓心到直線l的距離d，r，r＞d，此時直線l與圓相交，符合題意；當(dāng)a＝2時，圓心C的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），圓心到直線l的距離d，r，r＜d，此時直線l與圓相離，不符合題意；故圓心C到直線l的距離d．【點睛】本小題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查兩條直線的位置關(guān)系，考查運算求解能力，屬于中檔題.18、（1）2；（2）見解析.【解析】

（1）由已知利用周期公式可求最小正周期T＝8，由題意可求Q坐標(biāo)為（1，0）．P坐標(biāo)為（2，a），結(jié)合△OPQ為等腰直角三角形，即可得解a的值．（2）由（Ⅰ）知，|OP|＝2，|OQ|＝1，可求點P′，Q′的坐標(biāo)，由點P′在曲線y（x＞0）上，利用倍角公式，誘導(dǎo)公式可求cos2，又結(jié)合0＜α，可求sin2α的值，由于1cosα?1sinα＝8sin2α＝23，即可證明點Q′不落在曲線y（x＞0）上．【詳解】（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）＝asin（x）（a＞0）的最小正周期T8，所以函數(shù)f（x）的半周期為1，所以|OQ|＝1．即有Q坐標(biāo)為（1，0）．又因為P為函數(shù)f（x）圖象的最高點，所以點P坐標(biāo)為（2，a），又因為△OPQ為等腰直角三角形，所以a2．（Ⅱ）點Q′不落在曲線y（x＞0）上．理由如下：由（Ⅰ）知，|OP|＝2，|OQ|＝1，所以點P′，Q′的坐標(biāo)分別為（2cos（），2sin（）），（1cosα，1sinα），因為點P′在曲線y（x＞0）上，所以3＝8cos（）sin（）＝1sin（2）＝1cos2α，即cos2，又0＜α，所以sin2α．又1cosα?1sinα＝8sin2α＝823．所以點Q′不落在曲線y（x＞0）上．19、（1）證明見解析（2）【解析】

(1)直接用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性.

(2)利用（1）的單調(diào)性結(jié)論可求函數(shù)在上的值域【詳解】（1）證明：任取，且則由，且，則，所以所以所以函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)．（2）由（1）可得函數(shù)在上單調(diào)減函數(shù)所以，即所以函數(shù)在上的值域為：.【點睛】本題考查利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性和結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的值域.屬于基礎(chǔ)題.20、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB//CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）在平面內(nèi)作，垂足為，由（1）可知，平面，故，可得平面.以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.設(shè)是平面的法向量，則即可取.設(shè)是平面的法向量，則即可取.則，所以二面角的余弦值為.【名師點睛】高考對空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個方面：①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的