廣東省仲元中學、中山一中等七校2025屆高一數(shù)學第二學期期末教學質量檢測試題含解析

廣東省仲元中學、中山一中等七校2025屆高一數(shù)學第二學期期末教學質量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖是某體育比賽現(xiàn)場上評委為某位選手打出的分數(shù)的莖葉圖，去掉一個最高分和一個最低分，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是()A．5和1.6 B．85和1.6 C．85和0.4 D．5和0.42．設集合，集合為函數(shù)的定義域，則（）A． B． C． D．3．下圖所示的幾何體是由一個圓柱中挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為質點的圓錐面得到，現(xiàn)用一個垂直于底面的平面去截該幾何體、則截面圖形可能是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）4．黃金分割比是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，約為0.618，這一比值也可以表示為a＝2cos72°，則＝（）A． B．1 C．2 D．5．關于某設備的使用年限（單位：年）和所支出的維修費用（單位：萬元）有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：使用年限維修費用根據(jù)上表可得回歸直線方程，據(jù)此估計，該設備使用年限為年時所支出的維修費用約是（）A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元6．執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的λ是()A．-2 B．-4 C．0 D．-2或07．以下有四個說法：①若、為互斥事件，則；②在中，，則；③和的最大公約數(shù)是；④周長為的扇形，其面積的最大值為；其中說法正確的個數(shù)是（）A． B．C． D．8．已知為銳角，，則（）A． B． C． D．9．已知兩個非零向量,滿足,則()A． B．C． D．10．已知四棱錐中，平面平面，其中為正方形，為等腰直角三角形，，則四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某射手的一次射擊中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.2、0.3、0.1，則此射手在一次射擊中不超過8環(huán)的概率為_________．12．若實數(shù)，滿足，則的最小值為________．13．不等式的解集為________.14．在三棱錐中，，，，作交于，則與平面所成角的正弦值是________.15．已知，，，則的最小值為______．16．一個三角形的三條邊成等比數(shù)列，那么，公比q的取值范圍是__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．的內角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）若，求的面積.18．已知，是平面內兩個不共線的非零向量，，，且，，三點共線．（1）求實數(shù)的值；（2）若，，求的坐標；（3）已知，在（2）的條件下，若，，，四點按逆時針順序構成平行四邊形，求點的坐標．19．如圖所示，在直三棱柱（側面和底面互相垂直的三棱柱叫做直三棱柱）中，平面，，設的中點為D，.（1）求證：平面；（2）求證：.20．已知，且為第二象限角．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．21．已知數(shù)列的前項和為，且滿足．（1）求的值；（2）證明是等比數(shù)列，并求；（3）若,數(shù)列的前項和為．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

去掉最低分分，最高分分，利用平均數(shù)的計算公式求得，利用方差公式求得.【詳解】去掉最低分分，最高分分，得到數(shù)據(jù)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，.【點睛】本題考查從莖葉圖中提取信息，并對數(shù)據(jù)進行加工和處理，考查基本的運算求解和讀圖的能力.2、B【解析】

解不等式化簡集合的表示，求出函數(shù)的定義域，表示成集合的形式，運用集合的并集運算法則，結合數(shù)軸求出.【詳解】因為，所以.又因為函數(shù)的定義域為，所以.因此，故本題選B.【點睛】本題考查了集合的并集運算，正確求出對數(shù)型函數(shù)的定義域，運用數(shù)軸是解題的關鍵.3、D【解析】

根據(jù)圓錐曲線的定義和圓錐的幾何特征，分截面過旋轉軸時和截面不過旋轉軸時兩種情況，分析截面圖形的形狀，最后綜合討論結果，可得答案．【詳解】根據(jù)題意，當截面過旋轉軸時，圓錐的軸截面為等腰三角形，此時（1）符合條件；當截面不過旋轉軸時，圓錐的軸截面為雙曲線的一支，此時（4）符合條件；故截面圖形可能是（1）（4）；故選：D．【點睛】本題考查的知識點是旋轉體，圓錐曲線的定義，關鍵是掌握圓柱與圓錐的幾何特征.4、A【解析】

根據(jù)已知利用同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角公式、誘導公式化簡即可求值得解．【詳解】∵a＝2cos72°，∴a2＝4cos272°，可得：4﹣a2＝4﹣4cos272°＝4sin272°，∴2sin72°，a2cos72°?2sin72°＝2sin144°＝2sin36°，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角公式、誘導公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．5、C【解析】

計算出和，將點的坐標代入回歸直線方程，求得實數(shù)的值，然后將代入回歸直線方程可求得結果.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，由于回歸直線過樣本中心點，則，解得，所以，回歸直線方程為，當時，.因此，該設備使用年限為年時所支出的維修費用約是萬元.故選：C.【點睛】本題考查利用回歸直線方程對總體數(shù)據(jù)進行估計，充分利用結論“回歸直線過樣本的中心點”的應用，考查計算能力，屬于基礎題.6、A【解析】

根據(jù)框圖有，由判斷條件即即可求出的值.【詳解】由有.根據(jù)輸出的條件是，即.所以，解得：.故選：A【點睛】本題考查程序框圖和向量的加法以及數(shù)量積以及性質，屬于中檔題.7、C【解析】

設、為對立事件可得出命題①的正誤；利用大邊對大角定理和余弦函數(shù)在上的單調性可判斷出命題②的正誤；列出和各自的約數(shù)，可找出兩個數(shù)的最大公約數(shù)，從而可判斷出命題③的正誤；設扇形的半徑為，再利用基本不等式可得出扇形面積的最大值，從而判斷出命題④的正誤.【詳解】對于命題①，若、為對立事件，則、互斥，則，命題①錯誤；對于命題②，由大邊對大角定理知，，且，函數(shù)在上單調遞減，所以，，命題②正確；對于命題③，的約數(shù)有、、、、、，的約數(shù)有、、、、、、、，則和的最大公約數(shù)是，命題③正確；對于命題④，設扇形的半徑為，則扇形的弧長為，扇形的面積為，由基本不等式得，當且僅當，即當時，等號成立，所以，扇形面積的最大值為，命題④錯誤.故選C.【點睛】本題考查命題真假的判斷，涉及互斥事件的概率、三角形邊角關系、公約數(shù)以及扇形面積的最值，判斷時要結合這些知識點的基本概念來理解，考查推理能力，屬于中等題.8、A【解析】

先將展開并化簡，再根據(jù)二倍角公式，計算可得?！驹斀狻坑深}得，，整理得，又為銳角，則，，解得.故選：A【點睛】本題考查兩角和差公式以及二倍角公式，是基礎題。9、C【解析】

根據(jù)向量的模的計算公式，由逐步轉化為，即可得到本題答案.【詳解】由題，得，即，，則，所以.故選：C.【點睛】本題主要考查平面向量垂直的等價條件以及向量的模，化簡變形是關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.10、D【解析】

因為為等腰直角三角形，,故,則點到平面的距離為,而底面正方形的中心到邊的距離也為,則頂點正方形中心的距離,正方形的外接圓的半徑為,故正方形的中心是球心,則球的半徑為,所以該幾何體外接球的表面積,應選D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、0.5【解析】

由互斥事件的概率加法求出射手在一次射擊中超過8環(huán)的概率，再利用對立事件的概率求出不超過8環(huán)的概率即可.【詳解】由題意，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.2、0.3、0.1，所以射手的一次射擊中超過8環(huán)的概率為：0.2+0.3=0.5故射手的一次射擊中不超過8環(huán)的概率為：1-0.5=0.5故答案為0.5【點睛】本題主要考查了對立事件的概率，屬于基礎題.12、【解析】

由題意可得=≥2=2，由不等式的性質變形可得．【詳解】∵正實數(shù)a，b滿足，∴=≥2=2，∴ab≥2當且僅當=即a=且b=2時取等號．故答案為2．【點睛】本題考查基本不等式求最值，涉及不等式的性質，屬基礎題．13、【解析】

將三階矩陣化為普通運算，利用指數(shù)函數(shù)的性質即可求出不等式的解集.【詳解】不等式化為，整理得，，，即，，即不等式的解集為故答案為：【點睛】此題考查了其他不等式的解法，指數(shù)函數(shù)的性質，以及三階矩陣，是一道中檔題.14、【解析】

取中點,中點,易得面,再求出到平面的距離,進而求解再得出到平面的距離.從而算得與平面所成角的正弦值即可.【詳解】如圖,取中點,中點,連接.因為,,所以.因為,,所以.在中,余弦定理可得.在中,余弦定理可得,故.在中,,且面.故到面的距離.到面的距離.又因為,所以,所以,所以,故到面的距離.故與平面所成角的正弦值是故答案為：【點睛】本題主要考查了空間中線面垂直的性質與運用,同時也考查了余弦定理在三角形中求線段與角度正余弦值的方法,需要根據(jù)題意找到點到面的距離求解,再求出線面的夾角.屬于難題.15、【解析】

將所求的式子變形為，展開后可利用基本不等式求得最小值.【詳解】解：，，，，當且僅當時取等號．故答案為1．【點睛】本題考查了“乘1法”和基本不等式，屬于基礎題．由于已知條件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用“乘1法”之后，就可以利用基本不等式來求得最小值了.16、【解析】

設三邊按遞增順序排列為，其中.則，即.解得.由q≥1知q的取值范圍是1≤q<.設三邊按遞減順序排列為，其中.則，即.解得.綜上所述，.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解析】

（1）首先利用正弦定理的邊角互化，可將等式化簡為，再利用，可知，最后化簡求值；（2）利用余弦定理可求得，代入求面積.【詳解】（1）由已知以及余弦定理得：所以,（2）由題知，【點睛】本題第一問考查了正弦定理，第二問考查了余弦定理和面積公式，當一個式子有邊也有角時，一般可通過正弦定理邊角互化轉化為三角函數(shù)恒等變形問題，而對于余弦定理與三角形面積的關系時，需重視的變形使用.18、（1）；（2）；（3）．【解析】

（1）根據(jù)，，三點共線，列出向量與共線的表達式，然后根據(jù)坐標求解即可；（2）根據(jù)，列坐標即可求解；（3）根據(jù)平行四邊形可以推出對邊的向量相等，根據(jù)向量相等代入坐標求解即可求出點的坐標.【詳解】（1），∵，，三點共線，∴存在實數(shù)，使得，即，得，∵，是平面內兩個不共線的非零向量，∴，解得，；（2）；（3）∵，，，四點按逆時針順序構成平行四邊形，∴，設，則，∵，∴，解得，即點的坐標為．【點睛】本題主要考查了平面向量共線，平面向量的線性運算，平面向量的相等，屬于一般題.19、（1）見解析；（2）見解析.【解析】

（1）由可證平面；（2）先證，再證，即可證明平面，即可得出.【詳解】（1）∵三棱柱為直三棱柱，∴四邊形為矩形，∴E為中點，又D點為中點，∴DE為的中位線，∴，又平面，平面，∴平面；（2）∵三棱柱為直三棱柱，∴平面ABC，∴，又∵，∴四邊形為正方形，所以，∵平面，∴，和相交于C，∴平面，∴.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的判定及性質，考查空間想象能力，屬于?？碱}.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求，利用誘導公式，二倍角公式即可計算得解；（Ⅱ）由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式可求cos2α的值，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系式可求tan2α的值，根據(jù)兩角和的正切函數(shù)公式即可計算得解．【詳解】（Ⅰ）由已知，得，∴．（Ⅱ）∵，得，∴．【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，誘導公式，二倍角公式，兩角和的正切函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的綜合應用，考查了計算能力和轉