浙教版七年級數(shù)學下冊專題5.1分式的概念與基本性質(知識解讀)(原卷版+解析)

專題5.1分式概念與基本性質（知識解讀）【學習目標】1.以描述實際問題中的數(shù)量關系為背景，抽象出分式的概念．2.了解分式的概念，認識分式是一類應用廣泛的重要代數(shù)式．3.類比分數(shù)的基本性質，了解分式的基本性質．4.能利用分式的基本性質進行約分和通分，了解最簡分式的概念，了解最簡公分母的概念【知識點梳理】考點1：分式相關概念1.定義：一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式；分式有意義的條件：B≠0；分式值為0的條件：分子=0且分母≠0考點2：分式的基本性質分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變，這個性質叫做分式的基本性質，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.注意：基本性質中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知條件中隱含著的條件，一般在解題過程中不另強調；M≠0是在解題過程中另外附加的條件，在運用分式的基本性質時，必須重點強調M≠0這個前提條件.（2）在應用分式的基本性質進行分式變形時，雖然分式的值不變，但分式中字母的取值范圍有可能發(fā)生變化.例如：，在變形后，字母的取值范圍變大了.考點3：分式的變號法則對于分式中的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變；改變其中任何一個或三個，分式成為原分式的相反數(shù).注意：根據(jù)分式的基本性質有，.根據(jù)有理數(shù)除法的符號法則有.分式與互為相反數(shù).分式的符號法則在以后關于分式的運算中起著重要的作用.考點4：分式的約分，最簡分式與分數(shù)的約分類似，利用分式的基本性質，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.如果一個分式的分子與分母沒有相同的因式（1除外），那么這個分式叫做最簡分式.考點5：分式通分與分數(shù)的通分類似，利用分式的基本性質，使分式的分子和分母同乘適當?shù)恼?，不改變分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.【典例分析】【考點1分式的相關概念】【典例1】（2023春?梅江區(qū)校級期末）在式子；；；；；；中，分式的個數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．2【變式1-1】（2023春?東明縣期末）在，，，中，分式有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．1個【變式1-2】（2023春?大渡口區(qū)期末）下列式子中，屬于分式的是（）A． B． C． D．【典例2】（2023?豐順縣校級開學）如果分式有意義．則x的值為（）A．x≠﹣2 B．x≠2 C．x＝0 D．x＝﹣2【變式2-1】（2023?北海二模）若分式有意義，則x的取值范圍是．【變式2-2】（2023春?法庫縣期末）若分式有意義，則x滿足的條件是．【變式2-3】（2023?鼓樓區(qū)一模）若式子在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是．【典例3】（2023春?儋州校級期末）若代數(shù)式的值等于0，則x＝．【典例3-2】（2023春?潤州區(qū)校級期末）當x＝時，分式y(tǒng)＝的值為0．【變式3-1】（2023秋?威縣期末）已知分式．（1）x＝，分式無意義；（2）x＝，分式值是零．【變式3-2】（2023?信陽模擬）當分式＝0時，x的值為．【變式3-3】（2023秋?朝天區(qū)期末）若分式的值為0，則m的值為．【考點2分式的性質】【典例4】填空（1）；（2）；（3）；（4）．【變式4】（2023秋?桂林期末）根據(jù)分式的基本性質填空：（1）＝；（2）＝．（3）＝．【典例5】（秋?鳳慶縣期末）下列各式中，正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【變式5-1】（2023春?溧陽市期中）下列從左到右變形正確的是（）A． B． C． D．【變式5-2】（2023春?郫都區(qū)期中）根據(jù)分式的基本性質填空：＝，括號內應填．【典例6】（秋?來賓期末）把分式中m、n都擴大2倍，則分式的值（）A．擴大4倍 B．擴大2倍 C．縮小一半 D．不變【變式6-1】（2023春?沭陽縣期末）把分式中的x、y縮小為原來的，那么分式的值（）A．縮小2倍 B．擴大2倍 C．改變?yōu)樵瓉淼?D．不改變【變式6-2】（2023?雁塔區(qū)校級開學）把分式中的x和y都擴大2倍，分式的值（）A．不變 B．擴大2倍 C．縮小2倍 D．擴大4倍【考點3分式的約分、最簡分式】【典例7-1】（2023春?宿豫區(qū)期中）約分：＝．【典例7-2】（2023春?泉州期末）約分：＝．【典例7-3】（2023春?朝陽區(qū)校級月考）化簡分式＝．【變式7-1】（2023春?濟南期中）化簡的結果是（）A．﹣3 B．3 C．﹣a D．a(chǎn)【變式7-2】（2023春?泉港區(qū)期末）化簡分式，結果是（）A．x﹣2 B．x+2 C． D．【變式7-3】（2023春?定遠縣校級期末）若，則x等于（）A．a(chǎn)+2 B．a(chǎn)﹣2 C．a(chǎn)﹣1 D．a(chǎn)+1【典例8】（2023春?溧陽市期中）下列分式，，，中，最簡分式的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式8-1】（2023?北碚區(qū)校級開學）下列分式中屬于最簡分式的是（）A． B． C． D．【變式8-2】（2023春?英德市期末）下列分式是最簡分式的是（）A． B． C． D．【考點4分式的通分】【典例9】（2023?豐順縣校級開學）通分：，，；（2），，．【變式9-1】（2023秋?東湖區(qū)期末）把，通分，下列計算正確的是（）A．＝，＝ B．＝，＝ C．＝，＝ D．＝，＝【變式9-2】（春?江陰市校級月考）通分，（2），（3），（4），．專題5.1分式概念與基本性質（知識解讀）【學習目標】1.以描述實際問題中的數(shù)量關系為背景，抽象出分式的概念．2.了解分式的概念，認識分式是一類應用廣泛的重要代數(shù)式．3.類比分數(shù)的基本性質，了解分式的基本性質．4.能利用分式的基本性質進行約分和通分，了解最簡分式的概念，了解最簡公分母的概念【知識點梳理】考點1：分式相關概念1.定義：一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式；分式有意義的條件：B≠0；分式值為0的條件：分子=0且分母≠0考點2：分式的基本性質分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變，這個性質叫做分式的基本性質，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.注意：基本性質中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知條件中隱含著的條件，一般在解題過程中不另強調；M≠0是在解題過程中另外附加的條件，在運用分式的基本性質時，必須重點強調M≠0這個前提條件.（2）在應用分式的基本性質進行分式變形時，雖然分式的值不變，但分式中字母的取值范圍有可能發(fā)生變化.例如：，在變形后，字母的取值范圍變大了.考點3：分式的變號法則對于分式中的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變；改變其中任何一個或三個，分式成為原分式的相反數(shù).注意：根據(jù)分式的基本性質有，.根據(jù)有理數(shù)除法的符號法則有.分式與互為相反數(shù).分式的符號法則在以后關于分式的運算中起著重要的作用.考點4：分式的約分，最簡分式與分數(shù)的約分類似，利用分式的基本性質，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.如果一個分式的分子與分母沒有相同的因式（1除外），那么這個分式叫做最簡分式.考點5：分式通分與分數(shù)的通分類似，利用分式的基本性質，使分式的分子和分母同乘適當?shù)恼剑桓淖兎质降闹?，把分母不同的分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.【典例分析】【考點1分式的相關概念】【典例1】（2023春?梅江區(qū)校級期末）在式子；；；；；；中，分式的個數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．2答案:B【解答】解：在式；；；；；；中，分式的有：；；；，即分式有4個．故選：B．【變式1-1】（2023春?東明縣期末）在，，，中，分式有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．1個答案:A【解答】解：在，，，中，分式有：，共2個，其余2個是整式，故選：A．【變式1-2】（2023春?大渡口區(qū)期末）下列式子中，屬于分式的是（）A． B． C． D．答案:C【解答】解：C選項的分母中含有字母，屬于分式，故C選項符合題意；A，B，D選項的分母中不含字母，不是分式，故A，B，D選項不符合題意；故選：C．【典例2】（2023?豐順縣校級開學）如果分式有意義．則x的值為（）A．x≠﹣2 B．x≠2 C．x＝0 D．x＝﹣2答案:A【解答】解：如果分式有意義，則x+2≠0．∴x≠﹣2．故選：A．【變式2-1】（2023?北海二模）若分式有意義，則x的取值范圍是．答案:x≠﹣3【解答】解：由分式有意義的條件可知：x+3≠0，∴x≠﹣3，故答案為：x≠﹣3．【變式2-2】（2023春?法庫縣期末）若分式有意義，則x滿足的條件是．答案:x≠﹣1【解答】解：根據(jù)題意得：x+1≠0，∴x≠﹣1．故答案是：x≠﹣1．【變式2-3】（2023?鼓樓區(qū)一模）若式子在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是．答案:x≠±2【解答】解：∵|x|﹣2≠0，∴x≠±2．故答案為：x≠±2．【典例3】（2023春?儋州校級期末）若代數(shù)式的值等于0，則x＝．答案:3【解答】解：由題意得：2x﹣6＝0且x﹣2≠0，∴x＝3且x≠2，∴若代數(shù)式的值等于0，則x＝3，故答案為：3．【典例3-2】（2023春?潤州區(qū)校級期末）當x＝時，分式y(tǒng)＝的值為0．答案:﹣2【解答】解：∵分式y(tǒng)＝的值為0，∴x2﹣4＝0且x﹣2≠0，解得：x＝﹣2．故答案為：﹣2．【變式3-1】（2023秋?威縣期末）已知分式．（1）x＝，分式無意義；（2）x＝，分式值是零．答案:2，1【解答】解：（1）令2﹣x＝0，解得：x＝2，故答案為：2；（2）令x﹣1＝0且2﹣≠0，解得：x＝1，故答案為：1．【變式3-2】（2023?信陽模擬）當分式＝0時，x的值為．答案:﹣3【解答】解：當分式＝0時，，解得，∴x＝﹣3，即x的值為﹣3，故答案為：﹣3．【變式3-3】（2023秋?朝天區(qū)期末）若分式的值為0，則m的值為．答案:﹣6【解答】解：由題意可得：，解得：m＝﹣6，故答案為：﹣6．【考點2分式的性質】【典例4】填空（1）；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1）＝；（2）＝＝；（3）＝＝；（4）＝＝．故答案為：（1）a2+ab；（2）x；（3）4n；（4）x﹣y；【變式4】（2023秋?桂林期末）根據(jù)分式的基本性質填空：（1）＝；（2）＝．（3）＝．【解答】解：（1）．故答案為：a2b﹣ab2．（2）．故答案為：a﹣1．（3）根據(jù)分式的基本性質得，括號中應填m﹣5．【典例5】（秋?鳳慶縣期末）下列各式中，正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【解答】解：A、，錯誤；B、，正確；C、，錯誤；D、，錯誤；故選：B．【變式5-1】（2023春?溧陽市期中）下列從左到右變形正確的是（）A． B． C． D．答案:D【解答】解：∵中缺少c≠0的條件，∴A選項的結論不符合題意；∵分式的分子與分母同時乘或除以一個不等于0的數(shù)或整式，分式的值不變，∴B，C選項的結論不符合題意；∵，∴D選項的結論符合題意，故選：D．【變式5-2】（2023春?郫都區(qū)期中）根據(jù)分式的基本性質填空：＝，括號內應填．答案:x﹣1【解答】解：＝＝，即括號內應填x﹣1，故答案為：x﹣1．【典例6】（秋?來賓期末）把分式中m、n都擴大2倍，則分式的值（）A．擴大4倍 B．擴大2倍 C．縮小一半 D．不變答案:D【解答】解：分式中m、n都擴大2倍，則分式的值不變，故選：D【變式6-1】（2023春?沭陽縣期末）把分式中的x、y縮小為原來的，那么分式的值（）A．縮小2倍 B．擴大2倍 C．改變?yōu)樵瓉淼?D．不改變答案:D【解答】解：由題意得：＝，∴把分式中的x、y縮小為原來的，那么分式的值不改變，故選：D．【變式6-2】（2023?雁塔區(qū)校級開學）把分式中的x和y都擴大2倍，分式的值（）A．不變 B．擴大2倍 C．縮小2倍 D．擴大4倍答案:B【解答】解：分式中的x和y都擴大2倍，則原分式變形為：＝＝2?，所以把分式中的x和y都擴大2倍，分式的值擴大2倍．故選：B．【考點3分式的約分、最簡分式】【典例7-1】（2023春?宿豫區(qū)期中）約分：＝．答案:【解答】解：＝＝．故答案為：．【典例7-2】（2023春?泉州期末）約分：＝．答案:【解答】解：＝＝．故答案為：．【典例7-3】（2023春?朝陽區(qū)校級月考）化簡分式＝．答案:【解答】解：原式＝＝，故答案為：．【變式7-1】（2023春?濟南期中）化簡的結果是（）A．﹣3 B．3 C．﹣a D．a(chǎn)答案:D【解答】解：原式＝＝a．故選：D．【變式7-2】（2023春?泉港區(qū)期末）化簡分式，結果是（）A．x﹣2 B．x+2 C． D．答案:B【解答】解：＝＝x+2．故選：B．【變式7-3】（2023春?定遠縣校級期末）若，則x等于（）A．a(chǎn)+2 B．a(chǎn)﹣2 C．a(chǎn)﹣1 D．a(chǎn)+1答案:C【解答】解：等式左邊＝＝，∴x＝a﹣1，故選：C．【典例8】（2023春?溧陽市期中）下列分式，，，中，最簡分式的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個