安徽省安慶市示范高中2024屆高三聯考（三模）數學試題含答案

安慶示范高中2024屆高三聯考

數學試題

命題單位:安慶一中審稿單位:太湖中學、野寨中學、石化一中

考生注意：

1.滿分150分，考試時間120分鐘。

2.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案

標號涂黑;非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域

書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。

一、單選題:本題共8小題,每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知線段是圓。的一條長為4的弦，則荷?屈=

A.4B.6C.8D.16

2.復數z滿足(4+3i+z)i=2-i,則口=

A.7ToB.廢C.734D.5^2

3.已知圓錐P0的軸截面是等邊三角形，則其外接球與內切球的表面積之比為

A.4：lB.3：lC.2：lD.8：1

4.已知一組數據的聲2,…盧皿的平均數為"另一組數據力,的平均數為歹(金關7).若數據町聲2,3，

的平均數為己=。土+(1-。)7,其中貝!]m,n的大小關系為

A.Tn<7iB.m>n

C.771=71D.m.n的大小關系不確定

5.已知拋物線C：—=2方(p>0)的焦點歹到其準線的距離為2,點火狗’)仆(％2，%)是拋物線。上兩個

不同點，且(的("1-4%2)=8，則1M尸I=

A.yB.亨C.耳D.3

6.已知函數八%)=貽1/1的圖象經過點(2,8),則關于X的不等式物光)+人4-/)<。的解集為

A.(-8,-4)U(1,+8)B.(-4,1)

C.(-oo,-l)u(4,+00)D.(-1,4)

7.在正方體ABCD-4g加，中，點心歹分別為棱旗,4。的中點，過點E,F,G三點作該正方體的截面,則

A.該截面多邊形是四邊形

B.該截面多邊形與棱區(qū)81的交點是棱881的一個三等分點

C.41C_L平面C]EF

D.平面鉆】，〃平面C.EF

8.若項數均為為的兩個數列列」，｛6[滿足0-6*=乂￥=1,2產?，兀)，且集合|由山2「-4,

4也,…也｝=[1,2,3,…,2研，則稱數列|4｝,16」是一對—項緊密數列”.設數列｛q」，｛4｝是一對

“4項緊密數列”，則這樣的“4項緊密數列”有()對.

A.5B.6C.7D.8

數學試題第1頁(共4頁)

二、多選題:本題共3小題,每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對

的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知集合A=-28<0}，集合B={R9*>3皿,加eR,#eR},若ACB有且僅有3個不同元素，

則實數m的值可以為

A.0B.1C.2D.3

10.已知函數/(與)=IsinxI+cos12xI，則

A,函數/(4)的最小正周期為or

B.函數/(*)在［0號］上單調遞增

C.函數f(x)的最大值為春

O

Q

D.若方程f(x)=a(aeR)在［-上有且僅有8個不同的實根，則1<。<三

1L直線，與雙曲線E：/一0=1的左、右兩支分別交于A、8兩點，與E的兩條漸近線分別交于C、D兩點,

A、C、D、B從左到右依次排列，則

A.線段4B與線段CD的中點必重合

B.IACI=\BD\

C.線段AC,CO,的長度不可能成等差數列

D.線段AC,CO,05的長度可能成等比數列

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分。

12.在(3町2+點)的展開式中，不含字母y的項為.

13.一個不透明的袋子裝有5個完全相同的小球，球上分別標有數字1,2,3,4,4.現甲從中隨機摸出一田

記下所標數字后放回，乙再從中隨機摸出一個球記下所標數字，若摸出的球上所標數字大即獲勝(若所

標數字相同則為平局)，則在甲獲勝的條件下,乙摸到2號球的概率為-

14.由函數f(%)=ln”圖象上一點尸向圓C：d+(y-2)2=4引兩條切線,切點分別為點月、5,連接血，當直線

AB的橫截距最大時，直線AB的方程為，此時cos乙4PB=.(第1空2分，第2空3分)

四、解答題:本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本題滿分13分)

隨著生活水平的不斷提高，老百姓對身體健康越來越重視,特別認識到“肥辟是禍不是?！?某校生物學

社團在對人體的脂肪含量和年齡之間的相關關系研究中，利用簡單隨機抽樣的方法得到40組樣本數據

(須,％)(i=1,2,3,…,40,20w%w60),其中陽表示年齡.表示脂肪含量,并計算得到x=48j=27,

作出散點圖，發(fā)現脂肪含量與年齡具有線性相關關系，并得到其線性回歸方程為y=0.59k+L

(1)請求出右的值,并估計35歲的小趙的脂肪含量約為多少？

(2)小趙將自己實際的脂肪含量與(1)中脂肪含量的估計值進行比較，發(fā)現自己的脂肪含量嚴重超標,

于是他打算進行科學健身來降低自己的脂肪含量,來到健身器材銷售商場，看中了甲、乙兩款健身

器材，并通過售貨員得到這兩款健身器材的使用年限(整年)，如下表所示：

數學試題第2頁(共4頁)

甲款使用年限統(tǒng)計表

使用年限5年6年7年8年合計

臺數10403020100

乙款使用年限統(tǒng)計表

使用年限5年6年7年8年合計

臺數30402010100

如果小趙以使用年限的頻率估計概率,請根據以上數據估計，小趙應選擇購買哪一款健身器材，才能

使用更長久？

16.（本題滿分15分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,AB1AD,APLDP,CD-3AB=3,AD=2AP=4,PB=萬,

血=4屈，連接BE,CE,PE.

(1)求證:平面PBE，平面PCE；

(2)求直線CE與平面PCD所成角正弦值的大小.

17.(本題滿分15分)

已知函數/(%)=%ln-g(aeR)在點(e"(e))處的切線平行于直線>=0.

(1)若/(x)2儂-e?對任意的％w(0,+8)恒成立，求實數m的取值范圍；

(2)若“°是函數"％)=/(%)+，的極值點，求證：/(%°)+33>0.

數學試題第3頁(共4頁)

18.(本題滿分17分)

已知數列1的首項等于3，從第二項起是一個公差為2的等差數列，且a2,a4，曲成等比數列.

(1)求數列的前幾項的和S”；

(2)設數列也｝滿足tan%且%e(0,青，若數列也｝的前九項的和為T“，求tanTn.

19.(本題滿分17分)

2

已知橢圓Ga+/=1，圓:”2+/=1.

(1)點§是橢圓3的下頂點，點尸在橢圓G上，點Q在圓G上(點尸，。異于點5),連BP，BQ，直線BP

與直線BQ的斜率分別記作h，卷，若卷=%,試判斷直線PQ是否過定點？若過定點，請求出定點

坐標;若不過定點，請說明理由.

(2)橢圓g的左、右頂點分別為點4,4,點石(異于頂點)在橢圓g上且位于工軸上方，連4盤"2七

分別交7軸于點M,N,點尸在圓C2上，求證:就?同=0的充要條件為即〃，軸.

數學試題第4頁(共4賈沖

安慶示范高中2024屆高三聯考

數學試題參考答案

題號1234567891011

選項CDABACBBABACDABD

一、單選題:本題共8小題,每小題5分，共40分。

1.C【解析】由條件知而?屈■南2=；'42=8,故選，.

2.D【解析】由條件知z=--4-3i=^￡-4-3i=-5-5i,所以Izl=5々,故選D.

3.A【解析】根據條件可知其外接球與內切球的半徑之比為2：1,所以其表面積之比為4：1，故選A.

4.B［解析］由題意可知加+x2+???+xm=mx,yi+y2+???+yn=幾7聲］+x2+―+xm+%+y2+…+”=

（加+4）3,于是mx+ny=（m+々）5,乂z=ax+（1-0）歹,所以加5+九5二（血+〃?=（6+〃）［。2+

（1-a）y］，所以m=（m+n）a,n=（m+n）（l-a），兩式相減得m-n=（m+n）（2a-1）>0,所以

故選B.

5.A【解析】由已知得￡=4y,所以宕=4%超二4%,根據（的+昌?）（!-庫2）=8得姆-3宕=8即

4%-12%=8,于是力+1=3（力+1）,即1服1=31酒1,所以需=：,故選A.

IlYlrIJ

6.C【解析】由題意知/（2）=4a=8,解得。=2,所以/（工）=2,卜I,其在R上單調遞增，且函數八"）為

奇函數，軟，）=/（3工），所以不等式卬（，）+/（4--）<0可化為/（3力）<-/（4--）=/（，-4）,于是

3x<x-4,即d-3x-4>0,解彳導工>4或x<-1,故選C.

7.B【解析】將線段EF向兩邊延長，分別與棱CB的延長線，棱CD的延長線交于C,兄連C】C,GH分別與

棱叫，皿交于P,Q,則可得到截面多邊形C,PEFQ是五邊形,A錯誤;因BC=ySC=聶G,所以

需=善_=；，于是截面與棱84的交點。是棱88,的一個三等分點,B正確，因&C與G。不垂

直,CiPU平面C］E尸，所以4c與平面gEF不垂直，選項C錯誤;因4c，平面，所以平面C.EF

與平面弱心】不平行，選項D錯誤，故選B.

8.B【解析】由條件知％-6］=1=2,%一%=3,。4-4=4,

于是（由+。2+。3+。4）-（bl+卜2+%+2=10,

又（a+02+a+a）+（4+%+%+/）=，*+〉）=36,

l34乙

所以+%+。3+為=23,4+b2+b3+b4=13,

于是“4項緊密數列”有{an}：8,5,4,6,B/：7,3,l,2；{a」：8,4,6,5,B/：7,2,3,l；

|aj：7,3,5,8j6j：6,l,2,4;|aj：3,8,7,5,|ij：2,6,4,l；|aj：2,7,6,8jfcj：1,5,3,4;|aj：2,6,

8,7,16“}：1,4,5,3共有6對，故選B.

二、多選題:本題共3小題,每小題6分，共18分。

9.AB【解析】由條件知A=UeZlx2-2x-8<0|={-1,0,1,2,3},3={T9">3",meR盧eR}=

卜反〉號}，要使ACS有且僅有3個不同元素，則0矣宙<1,解得06<2,結合備選答案,AB符合，

故選AB.

數學試題參考答案第1頁（共6頁）

10.ACD【解析】由條件可知/{4)=Isinx\+cos12x1=Isinxl+cos2x,因/'(4+TT)=lsin(^+許)I+cos2(%+TT)=

1sin4I+cos2x=f(x)，又函數y=Isin“I與y=cos2%的最小正周期均為IT,所以函數/(夕)的最小

正周期為叫A正確;乂f(-?)=lsin(_%)|+cos(-2*)=/(”)，所以函數/(*)為偶函數,考慮當

xE［。號］時,/(々)=sinx+cos2x=-2sin2?+sin%+1=-2sin”-J+/,所以B錯誤,

C正確，又/(0)=1,/(劫=0,作出函數f⑷的大致圖象，即可判斷D正確，故選ACD.

.y=fcx+m

11.ABD【解析】設直線，：,=辰+加,4(的,％),8(町,力)，以*3,%)，0(%,為)，聯立，2y，得(9-必)

?-9=1

2=kx+m

2

%2-2kmx-w?-9=0,于是的+/2?，與力2=聯立，2/rt^(9-V)x-2kmx-

9-ky-Kx=0

m2=0,于是%+%=群/3包=-昌，所以0+出=的+物，因此線段AB與線段CD的中點

必重合,A正確;設中點為P,則IP4I=\PB\,\PC\=IPDI,所以MCI=1801,B正確;假設線段

4C,CD,DB的長度成等差數列，則IACI+1081=21CZ)I,所以IABI=3ICZJI,于是-電?=

3%?,兩邊同時平方并整理得(4-4%&=9［(叼+&)2-4%與］，于是(占/-4x

j片2=9［(匿/-4x需］，展開整理得8/+肥=9,該方程有解，所以存在宜線/,使得線

段AC,CD,DB的長度成等差數列,C錯誤；同上推理，當線段AC,CD,DB的長度相等時，線段AC,

CD,DB的長度成等比數列,D正確，故選ABD.

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分。

12.135-

【解析】由條件可知不含字母y的項為或(34)2(^『=135/.

13—

3

【解析】設事件“甲獲勝”為事件4,事件“乙摸到2號球”為事件8,則P(4)=1+：：勺?=2

3

尸(⑨=嬴■，所以尸⑶4)=鬻=

29-5

25

2-7

14.ex-y-2=0e,-^~-

e+1

【解析】設點P(t,ln。，則以線段代為直徑的圓的方程為工Qi)+(y-2)(y-lnt)=0,整理得，+/

一枚一(2+ln，)y+21nt=0,與圓C：x2+(y-2)2=4相交，得直線AB：tx+(lnZ-2)y-21n2=0,

令夕=0,則＞挈，構造函數gQ)=挈，對其求導得g，Q)=式1#1,令g，a)=0,則,=e,于是

數學試題參考答案第2頁(共6頁)

函數g(，)在(0,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減，其最大值為g(e)=七9,此時直線AB的方程為

C

ex-y-2=0,P(e,l),IPCI=>/e2+1,sinZ.APC=[J，=■,2,于是cos乙APB=cos2Z.APC=1-

'尸C?./a2*1

,2_7

2sin2ZAPC=c￡j—

e+1

四、解答題:本題共5小題，共77分。

15.（本題滿分13分）

解：（1）因線性回歸直線方程經過樣本中心（工力,

所以將亍=483=27代入于=0.59U+h,

得到6=27-0.591x48=-1.368.........................................................2分

于是夕=0.591"-1.368,................................................................3分

當工=35時0.591x35-1.368=19.317.

所以］的值為-1.368,估計35歲的小趙的脂肪含量約為19.317..............................4分

（2）以頻率估計概率,設甲款健身器材使用年限為X（單傳:年），則X的分布列為

X5678

P0.10.40.30.2

.......................................................................................7分

于是E（X）=5x0.1+6x0.4+7x0.3+8x0.2=6.6......................................8分

設乙款健身器材使用年限為y（單位:年），則Y的分布列為

Y5678

P0.30.40.20.1

.....................................................................................11分

于是E（y）=5x0.3+6x0.4+7x0.2+8x0.1=6.1......................................12分

因E（X）>E（F），所以小趙應購買甲款健身器材才能使用更長久...........................13分

16.（本題滿分15分）

解：（1）因4P，DP,AZ）=2”=4,所以乙PAD=全，

又標=4荏，所以花=1,

根據余弦定理知

PE2=AE2+AP2-2xAExAPxcosZ.PAD=]+4-2x1x2x-1-=3,..........................I分

又CQ=3AB=3,仞=4,皿也所以BE=衣,CE=3&,BC=25,...........................2分

于是BE?+PE?=PB2,所以PE工BE,......................................................3分

B呼+CE1=Bd,于是BE[CE,..........................................................4分

因。￡"￡=￡,所以8￡_L平面PC￡,......................................................5分

乂BEU平面PBE,所以平面P5E_L平面0CE...............................................6分

數學試題參考答案第3頁（共6頁）

(2)如圖，以點E為原點，分別以EO,EP所在直線為y軸/軸建立空間直角坐標系.

則P(0,0,5),C(3,3,0),〃(0,3,0),B(l,-I,0).....................................8分

于是冠=(3,3,0),

設平面PCD的法向量為m=(孫九z),

又定=(3,3,-有)，尻=(3,0,0),

m?PC=3x+3y--/3z=Q一

于是一_，所以不妨取m=(0,1,有)，......12分

Im-DC=3x=0p

設直線CE與平面PCD所成角為夕，/

則sin"Icos〈阮，命|=春?:一=蠟一=冬.......14分

\EC\?|m|?3"x24/

所以直線CE與平面PCD所成角的止弦值為常.................15分“

17.(本題滿分15分)

解:對函數/U)求導得r(工)=lnx+1-a,...........................................1分

所以7(e)=l+l-a=2-a=l,

解得a=L......................................................................2分

(1)由題意可知辿三二經生才雁對任意的*e(0,+8)恒成立，.............................3分

X

即lnx-1+B"/n對任意的％e(0,+8)恒成立，只需(lnx-1+：)................4分

2

令g(%)=Inx-1+—>0,......................................................5分

x

對其求導得g'(,)=--4=^,

XXX

所以當xe(0,e2)時,g'Q)<0,函數g(x)單調遞減；

當％e(e、+8)時,/(%)>0,函數gQ)單調遞增..........................................7分

所以gQ).=g(e2)=2-1+1=2,.................................................8分

于是mW2,因此實數m的取值范圍是(-8,2]........................................9分

(2)由條件知無(工)=N1H*-工+/,對其求導得"(《)=lnx+2x,..........................10分

函數%)在(0,+8)上單調遞增，且"(J=-1+,<0,〃⑴=2>0,

所以存在工。三(十,1卜使五'(%)=0,即ln3+2&=0,.................................12分

當xe(0,3)時"⑷<0,函數乂工)單調遞減；

當％e(%,+8)時，"⑷>0,函數A?)單調遞增，

于是與是函數乂X)的極值點，..........................................................13分

所以/(3)+33=xolnx0+2%0=-2xl+2x0=2x0(l-JV0)>0,即得證.......................15分

數學試題參考答案第4頁(共6頁)

18.（本題滿分17分）

解：（1）因由.,一成等比數列，所以a：=a2a8,即（%+4尸=%（一+12）,

解得%=4,.............................................................................1分

所以當心2,*eN?時,Q.=2”,..........................................................2分

又％=3不符合上式，..................................................................3分

r3.a=1

所以數列｛4｝的通項公式為％=Lc...............................................4分

[2n,n^2

因此Si=%=3,

當"22,/ieN■時,S.=3+4+6+…+2“=3~1）￡+26）=d+“+],..................6分

乂5=3符合上.式，

所以當V/ieN*時,S.n,+a+L........................................................7分

（2）由（由知tan21「=]（：：，?；?...............................................8分

n+n+11+（九+1）九

令lancB=n,c?G^O,yj,

G”.A（n+1）-ntanc,+1-tancB

BfrUtan6.=?,^=7—-----------=tan（c.+1-cj,...............................10分

1+（n+1）nI+tanca41tancn

又用.1-^^^（。，胃）,所以b叁nq.i-Cn.......................................12分

因此兀=1）1+與+%+…+4=（q-q）+（C3-q）+（，-，）+…+（G.i-J）

=J.i-q,..........................................................................14分

匚匕八，.e▲/、tan爆“一tan，71+1-1n

所以tanTn=tan（c.41-c.）=;--------------=;-------=---r,

1+tanc1t.itanC11+n+1n+2

于是tanT.=士....................................................................17分

71+Z

19.（本題滿分17分）

解：（1）設P（曲,力）”5,為）,則乎+，：=1,若+:=1,.....................................1分

.巨4（力+1）x,y+1的

丁“^^=-門『2一門.................................................2分

因點8（0,-1）飽=4瓦，所以左里=4（力_+1）.,于是-鼻=-3"

整理得-?2/l=?1-*2,..............................................................3分

乂直線PQ的方程為y-%=紅二1（，-x））,

X2-X\

.力一y1%一力.%-%.與為一物為力一力,,

即niy=-----x-------%.+y.=-----x+---------=------x+1,............................5分

X2-X}X2-X）X2-X]Xj-x2x2-X）

所以直線PQ過定點，定點坐標為（0,D..................................................