空間直線、平面的平行 高頻考點(diǎn)-精講（解析版）2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（藝考生基礎(chǔ)版）

空間直線、平面的平行（精講）

目錄

第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶

第二部分：典型例題剖析

題型一：直線與平面平行的判定與性質(zhì)

角度1：直線與平面平行的判定

角度2：直線與平面平行的性質(zhì)

題型二：平面與平面平行的判定與性質(zhì)

角度1：平面與平面平行的判定

角度2：平面與平面平行的性質(zhì)

題型三：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶

知識(shí)點(diǎn)一：直線與平面平行

1、直線與平面平行的定義

直線/與平面a沒有公共點(diǎn)，則稱直線/與平面戊平行.

2、直線與平面平行的判定定理

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行

a

aaa

符號(hào)表述：bua>naa

a|b

3、直線與平面平行的性質(zhì)定理

如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交

線平行

第1頁共30頁

符號(hào)表述：aa,au/3,a)3=b=>ab

知識(shí)點(diǎn)二：平面與平面平行

1、平面與平面平行的定義

兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)

2、平面與平面平行的判定定理

如果一個(gè)平面內(nèi)的有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.

au0,bu0

符號(hào)表述：aPlb=P>=allB

alla,blla

3、平面與平面平行的性質(zhì)定理

3.1性質(zhì)定理

兩個(gè)平行平面，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.

符號(hào)語言

alIp

a\'y==aIlb

/3'y=b

3.2性質(zhì)

兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行與另一平面

第2頁共30頁

符號(hào)語言：。B，auana（3

第二部分：典型例題剖析

題型一：直線與平面平行的判定與性質(zhì)

角度L直線與平面平行的判定

典型例題

例題1.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）在三棱錐BCD中，點(diǎn)E,E分別在上.若

AE:E3=CF:FB=2:5,則直線AC與平面?！陱S的位置關(guān)系為（）

A.平行B.相交C.ACu平面D阱D.不能確定

【答案】A

【詳解】因?yàn)锳E:EB=CF:FB=2:5,所以EF7/AC.

又ACa平面￡>E產(chǎn),E歹u平面。EF,所以AC〃平面￡>￡尸.

故選：A

例題2.（2022?山東?廣饒一中高二階段練習(xí)）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD

為平行四邊形，E是必上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E滿足條件：時(shí)，SC//平面EBD.

【答案】SE=AE（答案表述不唯一）

【詳解】連接AC交于。，連接OE,

SCI/平面￡BD,SCu平面SAC,平面SAC|平面EBD=OE,

:.SCHOE.

又底面ABC。為平行四邊形，。為對(duì)角線AC與的交點(diǎn),

故。為AC的中點(diǎn),;.E為1sA的中點(diǎn)，

故當(dāng)E滿足條件：SE=AE時(shí)，SC//面

故答案為：SE=AE（答案表述不唯一）

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例題3.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖，在正方體ABC。-AAGR中，人片與截面

的位置關(guān)系是,與平面DD&C的位置關(guān)系是

【答案】相交平行

【詳解】a耳與截面ARC相交，

由題意得〃RC,而480平面DD?C,DCu平面DD￡C，所以4臺(tái)//平面DD￡C.

故答案為：相交，平行

例題4.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖，在正方體ABCO-A4GA中，4G與BQ交

于點(diǎn)。I,求證:

⑴直線AB〃平面AC2；

(2)直線BQ〃平面ACR.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(1)證明：直線AB在平面AC2外，因?yàn)锳2BC,AR=BC,

所以四邊形AQCB是平行四邊形，所以AB〃2C,

第4頁共30頁

而RC是平面ACQ內(nèi)的直線，根據(jù)判定定理可知，直線〃平面AC2.

（2）證明：如圖，連接加）,交AC于。，連接2。，易知2。1OB,DQi=OB,

則四邊形〃。田。是平行四邊形，所以。出R0,

所以2。在平面AC。上，根據(jù)判定定理可知，。出|平面AC，.

題型歸類練

1.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體ABC。-ABCQi中，E為棱。，的中點(diǎn),

找出可以推導(dǎo)出。出〃平面板的那條直線，并在圖中畫出該直線.

D,C,

【答案】答案見解析

【詳解】連接AC的交于。，并連接E。，如圖，EO為所求直線，證明如下：

DO=BO,DE=EDX,故OE為△?DB"中位線，故OE7/BR,又82cz平面AEC,

OEu平面AEC,根據(jù)線面平行的判定，平面AEC.

DiG

AB

2.（2022?全國(guó),高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在三棱柱ABC-AB?中，E,F,G,H分別是

AB,AC,4與，HQ的中點(diǎn).求證：平面ER〃平面BCHG.

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【答案】證明見解析

【詳解】證明：???￡/分別是A2,AC的中點(diǎn)，

EF//BC.

：平面BCHG,BCu平面8cHG,

EF〃平面BCHG.

-：AG=EB,且AG//EB

四邊形AE2G是平行四邊形，

\EHGB.

:平面BCHG,GBu平面BCHG,

片片〃平面BCHG.

■：AECEF=E,

平面EFA//平面BCHG.

3.（2022?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知長(zhǎng)方體，

求證：AA〃平面

【答案】證明見解析

【詳解】在長(zhǎng)方體ABCD-ABGR中，AA〃B瓦，

又BBtu平面BBRD,A4,也平面BBRD,

所以AA〃平面88QD

4.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，幾何體的底面ABC。為平行四邊形，點(diǎn)M為尸C中

點(diǎn)，證明：PA〃平面

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p

【答案】證明見解析

【詳解】證明：連接AC交8。于點(diǎn)O,因?yàn)榈酌鍭BC。為平行四邊形，所以。為AC中點(diǎn),

在△PAC中，又M為PC中點(diǎn)，所以。M〃/

又PAC平面OAfc平面

所以PA〃平面BDM.

角度2：直線與平面平行的性質(zhì)

典型例題

例題1.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）若直線a〃平面a,Aia,且直線。與點(diǎn)A位于a

的兩側(cè)，B,Cea,AB,AC分別交平面a于點(diǎn)E,F,若3c=4,CF=5,AF=3,

則政的長(zhǎng)為（）

2

CD.

-13

【答案】B

【詳解】:BCHa,3Cu平面ABC,平面ABCa=EF,

AFEF3EF

EF!IBC,——，即nn----=——EF=-

ACBC5+342

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故選：B.

例題2.（2022?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知A、B、C、。四點(diǎn)不共面，且AB〃平面a,

CD//a,ACoa=E,ADrya=F,BDca=H,3Cca=G，則四邊形是

四邊形.

【答案】平行

【詳解】由題，平面ABDc平面a=,因?yàn)锳B〃平面a,

所以AB〃尸”，

又平面ABC】平面夕=EG,所以A3〃EG,則FH〃EG,

同理G//〃CO〃EF,

所以四邊形EPHG是平行四邊形，

故答案為：平行

例題3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖1,在矩形ABCD中，點(diǎn)后在邊8上，

BC=DE=2EC,將ZX/ME沿AE進(jìn)行翻折，翻折后D點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)位置，且滿足平面PAE±

PF

平面ABCE,如圖2.若點(diǎn)E在棱叢上，且所〃平面PBC,求I；

PA

【答案】9PF1

r/X.3

【詳解】如圖，在P8上取點(diǎn)G,使得"；〃回，連接尸G,GC,

則FG〃AB〃CE.

因?yàn)轷拧ㄆ矫鍼3C,平面EFGCc平面P3C=CG,EFu平面EFGC,

所以跖〃CG,

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所以四邊形EFGC是平行四邊形，所以FG=EC.

因?yàn)閎G〃AB,所以△尸尸G”ZXPAB，

又因?yàn)锳B=DE+EC=3EC,

所以嬰=/=1

PAAB3

例題4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PCl^ABCD,

底面ABC。是直角梯形，ABLAD,AB//CD,AB=2AD=2CD=2,E是尸8上的點(diǎn).若尸￡>//

平面ACE,求的值；

P

【答案】

【詳解】連接3。，交AC于點(diǎn)G,連接EG；

尸D〃平面ACE,PDu平面F8D,平面PRO］平面ACE=EG,

PD//EG,:.PE:PB=DG:BD-,

QAB//CD,:.DG:GB=CD:AB=1:2,DG:BD^\:3,

:.PE:PB=1:3,即PE:P3的值為;.

例題5.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角

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梯形，BC//AD,AB±AD,42=3。=L4。24，底面48。。，過3。的平面交尸。于河,

2

交.PA于N（M與。不重合）.求證：MNBC.

【答案】證明見解析

【詳解】證明：在梯形A8CD中，BC//AD,3C<Z平面上4D,ADu平面上4D,

BC/Z^-^PAD.

又BCu平面3CW,平面3QVMC平面2￡>=MN,

題型歸類練

1.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-A3C。中，M,N分別為AC,PC上的點(diǎn),

5.MNW平面PAD,則（）

AB

A.MNWPDB.MN\\PAC.MN\1ADD.以上均有可能

【答案】B

【詳解】???MNW平面PAD,MNu平面PAC,平面PADc平面PAC=PA,

MNWPA.

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故選：B

2.（2022?福建泉州?高一期中）如圖所示，ABCD—A/SGD是棱長(zhǎng)為〃的正方體，M,N

分別是下底面的棱43，B/G的中點(diǎn)，尸是上底面的棱上的一點(diǎn)，AP=；，過P，M,

N的平面交上底面于PQ,。在。上，則尸。=.

【答案］—

【詳解】???〃平面ABCD,平面PAfNQc平面ABCD=PQ,AfNu平面PQNM,

2

MN//PQ,易知。

故PQ={PD2+DQ2=屈PD=g缶.

故答案為：旭

3

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，BCL平

面VAB,VALVB,設(shè)平面儂B與平面VW的公共直線為/.寫出圖中與/平行的直線，并證

明。

【答案】圖中與/平行的直線為A3和8,證明見解析

【詳解】圖中與/平行的直線為A3和。，

因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，所以CD//AB,

因?yàn)镃DZ平面以5，ABi平面必切，

所以CD〃平面VA3,

因?yàn)槠矫姹嘏c平面VCD的交線/,CDu平面VCD,

所以CD〃/,即〃/CD,進(jìn)一步由平行線的傳遞性得，IIIAB；

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故圖中與/平行的直線為AB和8

4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，直三棱柱ABC-A用G中，XABC=90,

AB=BC=2,血，E是4G邊的中點(diǎn)，過A，氏E作截面交Bg于點(diǎn)。.求證：DE//AB；

【答案】證明見解析

【詳解】證明：如圖，在直三棱錐ABC-AqG中，

因?yàn)槠矫?1耳￡,44<=平面4耳￡,

所以AB//平面ABC，

又ABi平面ABDE,平面ABCC平面

所以DE//AB.

5.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體ABCD-ABGR中，AB=2,￡為AD的

中點(diǎn)，點(diǎn)廠在co上.若所〃平面做c,則線段所的長(zhǎng)度等于,平面內(nèi)

與￡產(chǎn)平行的線段是.

【詳解】在正方體48C。一A用G2中，AB=2,：.AC=2A/2.

又E為A。的中點(diǎn)，所〃平面陰c,EFu平面ADC,平面ADC廣平面A^C=AC,

EF//AC,：.尸為0c的中點(diǎn)，,EF=LAC=y/^.

2

■「AC//A.Q,EF//AQ.

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故答案為：應(yīng)，AG

題型二：平面與平面平行的判定與性質(zhì)

角度1：平面與平面平行的判定

典型例題

例題1.（2022新疆?和碩縣高級(jí)中學(xué)高一期中）如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面A3CD

為平行四邊形，點(diǎn),M、N、。分別是Bl、BD、的中點(diǎn).求證：

⑴初V〃平面PC￡＞；

（2）平面〃平面PBC.

【答案】（1）證明見解析；

⑵證明見解析.

（1）由題意，四棱錐P-ABCD的底面48C。為平行四邊形，點(diǎn)M、N、。分別是尸A、BD、

尸。的中點(diǎn)，是AC的中點(diǎn)，,MN//PC,'：PCu平面PCD,W平面尸CO,,MN//

平面PCD；

（2）由（1）知MZV〃尸C,PCu平面P8C,MVz平面PBC,二MNII平面尸8C,「ABCD

為平行四邊形，是8。中點(diǎn)，又?.?。是尸。中點(diǎn)，，在APB。中，NQ\\PB,?.?PBU平

ffiPBC,NQU平面P2C,二NQII平面PBC,,:MNcNQ=N,MN、N0u平面AfAQ,.,.平

面MVQ〃平面PBC.

例題2.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)P在平面ABC外，D、E、f分別

是9、PB、PC的中點(diǎn).求證：平面DEF〃平面ABC.

【答案】證明見解析

【詳解】D、E、尸分別是上4、PB、PC的中點(diǎn),

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DE//AB,EFIIBC,

又DE.平面ABC,ABI平面ABC,￡F<z平面ABC,BCu平面ABC

OE//平面ABC,￡F〃平面ABC,

DEEF=E,

：.平面DEF〃平面ABC.

例題3.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABC。-ABC?中，AB=1,AD=2,

E,F,。分別為A244,,BC的中點(diǎn)，求證：平面3所〃平面AQQ.

_______IZ

Qc

【答案】證明見解析

【詳解】因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，。是8c的中點(diǎn)，

所以ED=BQ,ED〃BQ,所以四邊形BED。是平行四邊形，

所以BE〃DQ.

又因?yàn)锽E<Z平面ADQ,DQu平面AQ。，

所以3E〃平面

又因?yàn)槭茿A的中點(diǎn)，所以所〃A。，

因?yàn)槁?平面ADQ，ADu平面A。。，所以所P平面AQ。.

因?yàn)锽EcEF=E,EFu平面BEF,BEu平面BEF,

所以平面3EF〃平面A。。.

題型歸類練

1.（2022?江蘇?高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在三棱柱ABC-44cl中，R、。分別為B￡,

2C的中點(diǎn)，求證：平面482〃平面ACQ.

【答案】證明見解析

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【詳解】證明：在三棱柱ABC-aqG中，四邊形4BCG、AACG為平行四邊形，

又2、。分別為qG,8C的中點(diǎn)，

所以，G//8D且2G=BD,所以四邊形DGDB為平行四邊形，

所以R8//DG，因?yàn)槠矫鍭G。，OC|U平面ACQ,所以。12〃平面AG。，

連接AC］、AC,A。AC,=M,再連接DM,由四邊形aAC￡為平行四邊形，

所以M為AC的中點(diǎn)，所以。M//A3,因?yàn)锳BU平面AG。，.U平面4G。，所以4引/

平面AG。，

又ABRB=B,4&*u平面4曲，

所以平面〃平面ACQ.

2.（2022,全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在正方體ABC。-A與G2中，E,尸分別為棱”>|,CG

的中點(diǎn).求證：平面AEG〃平面BDF

第15頁共30頁

【詳解】證明：在正方體A8C。-AAG。中，E,尸分別為棱。A，CC1的中點(diǎn),

所以￡>E=gr>n，CL=；CG.

因?yàn)镃C|=O。，且CCJ/OR,

所以。E=C7,且￡>E〃C尸，

所以四邊形DEC/是平行四邊形，所以DF//EG

又DFu平面8DF,EG①平面8。尸,

所以EQ〃平面

同理，BF//AE,又3尸u平面AE（Z平面2￡>P,

所以AE〃平面3￡小.

又AEcECX=E,AE,ECXu平面AECX,

所以平面AEG〃平面BDF

3.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）兩個(gè)全等的正方形ABC。和AB匹所在平面相交于AB,

M^AC,NeFB且AM=FN,過點(diǎn)M作血/_LAB于點(diǎn)H.求證：平面〃平面BCE.

【答案】證明見解析

【詳解】證明：因?yàn)檎叫蜛BC。中MHLAB,BC1AB,

所以MH//BC,則0=—

ACAB

因?yàn)?Cu平面BCE,所以MH〃平面BCE

FNAM

因?yàn)樗?AC,AM=FN,所以」=——

BFAC

FNAH

所以而二方,所以NH—,

因?yàn)锽Eu平面BCE,則NHH平面BCE

因?yàn)锳ff/u平面肱\反，NHu平面MNH,MHcNH=H,

所以平面MNHII平面BCE

角度2：平面與平面平行的性質(zhì)

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典型例題

例題1.（2022,全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知平面a〃平面點(diǎn)P為a,萬外一點(diǎn),

直線尸8,分別與a,夕相交于A,5和C,D,則AC與8。的位置關(guān)系為（）

A.平行B.相交C.異面D.平行或異面

【答案】A

【詳解】解：由題意知尸，A,B,C,。在同一平面內(nèi)，且平面平面a=AC,平

面尸3。1平面尸=BD,且a//￡,AC//BD,

故選：A.

例題2.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，空間圖形ABC是三棱臺(tái)，在點(diǎn)

A，3[,C],A,B,C中取3個(gè)點(diǎn)確定平面a,a平面42?=機(jī)，且〃z〃AB,則所取的這3

個(gè)點(diǎn)可以是（）

A.A,BVCB.A，8，GC.A,5GD.4瓦,￡

【答案】C

【詳解】解：由空間圖形ABiG-ABC是三棱臺(tái)，可得平面ABC，平面ABC-

當(dāng)平面ABG為平面a,平面二-|平面44cl=優(yōu)時(shí)，又平面a1平面45c=AB,

所以由面面平行的性質(zhì)定理可知,所以選項(xiàng)C符合要求.

故選：C.

例題3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，平面e〃平面￡,△PA6所在的平面與C，

△分別交于8和A3,若尸C=2,C4=3,CD=l,則AB=.

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p

【詳解】由題意，平面。//平面△P4B所在的平面與a,6分別交于8和A5,

根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可得C0//AB,所以C工D=不PC，

ABPA

因?yàn)镻C=2,C4=3,CD=\,所以42=^^=詈=5.

故答案為：

例題4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-A耳G中，側(cè)面BC￡4為正

方形，平面以文遇。平面48月4,AB=BC=2,M,N分別為4耳，AC的中點(diǎn).求證：

MN//平面BCC[B]；

【答案】證明見解析

【詳解】取的中點(diǎn)為K,連接MK,NK,

由三棱柱ABC-A與G可得四邊形AB44為平行四邊形，

BtM=MAi,BK=必，貝I]MKHBBX,

又平面,8月u平面CBB[G,故M7C〃平面CBBC,

CN=NA,BK=KA,則NKUBC,同理可得NKH平面CBB￡,

而腔MK=K,NK,MKu平面MKN,故平面MAN〃平面CBBG,

又MNu平面MKN,故MN〃平面CBB|G

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M

例題5.（2022哈國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖①，在直角梯形A3CP中，AP\BC,AP±AB,

AB=BC=-AP,。為AP的中點(diǎn)，E,F,G分別為PC,PD,CB的中點(diǎn)，將APCD

2

沿折起，得到四棱錐尸-ABCD,如圖②.求證:在四棱錐尸-ABCD中，AP平面

EFG.

D

m(D用②

【答案】證明見解析.

【詳解】在四棱錐中，E,尸分別為PC,PZ）的中點(diǎn)，.IE/〃CD

ABHCD,：.EF//AB：：ERt平面PAB,ABu平面PAB,

：.EF〃平面PAB.

同理EG〃平面PAB.

又EFcEG=E,：.平面EFG//平面PAB.

-：APu平面PAB,

AP〃平面EFG

題型歸類練

1.（2022?山東?高密三中高二開學(xué)考試）已知平面a〃平面△，點(diǎn)P是平面a,夕外一點(diǎn)

（如圖所示），且直線尸3,PD分別與夕相交于點(diǎn)A,B,C,D,若叢=4,PB=5,

PC=3,貝！|尸D=.

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p

【答案】5#375

【詳解】解：因?yàn)槠矫鎍〃平面夕，平面④平面PBD=AC,平面廣平面=

pApC

所以AC//BD,所以PACPBD,即——=——

PBPD

所以但*卡與

故答案為：?

2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）四棱錐尸-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,

ZBAD=nO°,PAJL底面ABCD,PA=273,E,歹分別是PC,尸。的中點(diǎn).已知8G=28C，

若平面EFG//平面求2的值;

【詳解】若面EFG//面面ELBC面PBC=P8,面EFGc面P3C=EG,

由面面平行的性質(zhì)定理知：PB//EG,于是要=名，

GBEP

由E為尸C的中點(diǎn)知：G為BC的中點(diǎn)，故=所以4=

3.（2022?全國(guó)?高一）如圖，AD〃BC且A￡）=23C,AD_LCD,EG〃4。且EG=AD,CD//FG

且CD=2FG,OG_L平面ABC。，DA=DC=DG,若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，

求證：MN〃平面CDE.

第20頁共30頁

【答案】證明見解析

【詳解】證明：設(shè)H是。G的中點(diǎn)，連接NH,MH,

由于M是C尸的中點(diǎn)，所以MHIICQ,

由于MHO平面CDE,C￡）u平面CDE,

所以Afflll平面CDE.

由于N是EG的中點(diǎn)，所以NHIIDE,

由于由于平面CDE,DEu平面CDE,

所以NHII平面CDE.

由于NH,MHu平面MNH,

所以平面MNHW平面CDE,

由于MNu平面MNH,所以腦VII平面CDE.

4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，，ABLAD,BC//AD,

AD^2BC=2PA^2AB=2,E、F、G分別為線段A￡＞、DC、的中點(diǎn)，

證明：直線尸產(chǎn)〃平面ACG.

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G

BC

【答案】證明見解析

【詳解】如圖，連接EC、EB,EB與AC相交于點(diǎn)。，連接0G,

因?yàn)?CV/AD,AB±AD,E為線段的中點(diǎn)，AD=2BC=2AB,

所以四邊形ABCE為矩形，。為的中點(diǎn)，

因?yàn)镚為網(wǎng)的中點(diǎn)，所以。G為△P3E的中位線，OG//PE,

因?yàn)镺Gz平面PEF,PEu平面PEF,所以O(shè)G〃平面尸EF,

因?yàn)镋、尸分別為線段AD、0c的中點(diǎn)，所以砂〃AC,

因?yàn)锳C<Z平面PEF,EFu平面PEF,所以ACV/平面PEF,

因?yàn)镺Gu平面GAC,ACu平面GAC,AC\OG=O,

所以平面PE尸//平面GAC,

因?yàn)槭琍u平面尸EF,所以尸尸//平面GAC.

5.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-ABC中，點(diǎn)。，2分別為AC,AG

An

上的動(dòng)點(diǎn)，若平面BG。//平面A瓦。，請(qǐng)問券是否為定值.若為定值求出該值，若不是定

值，說明理由.

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【答案】是定值1,理由見解析.

【詳解】解：如圖，連接48交A4于點(diǎn)。，連接。2，由棱柱的性質(zhì)，可知四邊形片

為平行四邊形,

所以。為A8的中點(diǎn),

因?yàn)槠矫鍮CpII平面A耳。，且平面ABC,n平面ABR=DQ,平面AXBC{n平面

BC]D=BC],

所以5aII0D1,

所以2為線段AG的中點(diǎn)，所以

因?yàn)槠矫?CQII平面平面A41clC1平面&)G=DG，平面朋CQ1平面

AB[D]=AD],

所以AD1||DC],

因?yàn)锳DIIG2,所以四邊形ADGR是平行四邊形,

所以AO=GR=1ACI=|AC,

所以t=L

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6.（2022?安徽?合肥雙鳳高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，己知四棱錐尸-ABCD的底面是

平行四邊形，且NR4B=ZRDC=90。.

（2）若點(diǎn)瓦尸分別是棱尸口，3c的中點(diǎn)，求證：EF//平面

【答案】（1）見解析（2）見解析

【詳解】證明：（1）在四棱錐尸-ABCD中，

因?yàn)镹R4B=NPDC=90。，所以AB_L班DC_LPD.

又因?yàn)樗睦忮F尸-ABCD的底面是平行四邊形，所以AB〃OC,

所以AB_LPD.

因?yàn)镻AcPD=尸,PA,POu平面PAD,所以AB_L平面PAD.

（2）如圖，取AT＞的中點(diǎn)G,連EG,GF.

在中，因?yàn)镋是棱產(chǎn)。的中點(diǎn),

所以EG〃上4.

又FG（Z平面PAB,PAu平面PAB,

所以EG//平面PAB.

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在平行四邊形ABC。中，G,尸分別是棱AO,2C的中點(diǎn)，

所以AG=2F=；BC,AG//2F,所以四邊形AB尸G是平行四邊形，

所以FG/ABA.

又FGU平面ABt平面R4B,所以尸G//平面

因?yàn)镋GcFG=G,EG,FGu平面EFG,所以平面EFG//平面PAB.

又EFu平面E尸G,所以EF〃平面R4B.

題型三：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

典型例題

例題1.（2022?湖南湘潭?高三開學(xué)考試）已知直三棱柱ABC-^Q的側(cè)棱和底面邊

長(zhǎng)均為1,M,N分別是棱BC,A耳上的點(diǎn)，且CM=2Bp=九,當(dāng)MN//平面

441cle時(shí)，A的值為（）

【答案】B

【詳解】過N作NP//4cl交AG于P，連接CP,

因?yàn)镸CUBG，NPUMC,故N,P,M,C共面，

因?yàn)镸N//平面44。。，平面腦VPCc平面441GC=CP,MNu平面MVPC,

所以MN〃CP,又NP//MC,

四邊形MNPC為平行四邊形，

又CM=2B、N=A,

NP=1——=A=CM,

2

所以

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故選：B.

例題2.（多選）（2022?河北高二階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A4G

中，ZBAC=9Q,AB=AC=y/2,44,=2,E,￡G分別是棱8C，AG，A4的中點(diǎn)，。在線段

8c上，則下列說法中正確的有（）

A.斯〃平面AA.42

B.BD〃平面EFG

C.存在點(diǎn)。，滿足叨_LEb

D.CZJ+G。的最小值為典

2

【答案】AD

【詳解】對(duì)于A,連接BG,EEG分別是棱BC，4G，A片的中點(diǎn)，.?.Gb//3E且Gb=3E,

，四邊形EFGB為平行四邊形，:.EF//BG,又平面的耳2,BGu平面的耳2在平面

內(nèi)，所以EF〃平面44出避，故A正確；

對(duì)于B,易知GfV/BC,所以G、尸、&C四點(diǎn)共面，又點(diǎn)Ee3C,所以G久民E四點(diǎn)共面，二Be

平面EFG,而。e平面EFG,.,.直線3。1|平面￡7七=3,故B不正確；

對(duì)于C,以｛AB,AC,A、｝為正交基底，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z.

則4（0,0,0）,B（V2,0,0）,C（O,A,O）W（0,O,2）,E[￥，￥，O]，4（），4,2],

I22JI27

EF=一半,0,2,AB,=（72,0,2）,BC=（-^,^,0）,

I2）

.BD=BB、+BQ=AA^+ABXCX=AA^+ABC=A/2A,2）,

若則3"所=卜亞4亞42>~,0,2=2+4=0,./=^,.?.￡）在線段BQ

I2J

延長(zhǎng)線上，而不在線段gG上，故c不正確；

對(duì)于D,把圖1的正面CGBm和上底面A片儲(chǔ)展開如圖2所示，連接CG即為所求，過G做

111

PG垂直于3c且與其相交于P,與4G相交于。，易得BP=aBC=a，GQ=~,

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1s333

PG=GQ+QP=-+2=-,PC=-PC=-x2=~,..在RtGPC中,

22442

寸，，GC=典，故D正確.

故選：AD

例題3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面是直角梯

形，AD//BC,ZADC=90,AC和8D相交于點(diǎn)N,面PACL面ABCD,BC=2AD=2,

CD=I,PA=PC=—.在線段上確定一點(diǎn)V,使得P3〃面ACW,求此時(shí)?的值.

2MD

【答案】點(diǎn)M為心的三等分點(diǎn)且它3皿止匕時(shí)和=2

PM

【詳解】點(diǎn)M為心的三等分點(diǎn)且如=3四‘止匕時(shí)礪=2,證明如下:

連接AM,CM,

在直角梯形ABCD中，AD//BC,BC=2AD=2,/.-----=-----=—,

BNBC2

DNDM

s.MNUPB,

又零1

又肱Vu平面ACM,依u平面ACM,平面ACM.

題型歸類練

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1.（多選）（2022?貴州?六盤水市第二中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在三棱柱A8C-A瓦G中，

已知點(diǎn)G,X分別在4耳，AG上，且G8經(jīng)過"4G的重心，點(diǎn)E,尸分別是AB,AC的

中點(diǎn)，且8、C、G、H四點(diǎn)共面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.EF//GHB.GH〃平面AEF

C.—=-D.平面〃平面8CC4

EF3

【答案】ABC

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)槠矫?月￡||平面ABC,平面AMGC平面3C"G="G,平面ABC

EF1

平面3cHG=3C,所以用IIBC,因?yàn)镋,尸分別是AB,AC的中點(diǎn)，所以IIBC,—