平行四邊形完整版本

平行四邊形的性質(zhì)與判定1、平行四邊形定義：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。表示：平行四邊形用符號(hào)“□”來表示。２、平行四邊形性質(zhì)：平行四邊形性質(zhì)平行四邊形對(duì)邊相等；平行四邊形對(duì)角相等；平行四邊形對(duì)角線互相平分。３、擴(kuò)展性質(zhì)： 平行四邊形對(duì)角線分平行四邊形成面積相等的四個(gè)小三角形。平行四邊形對(duì)角線分平行四邊形成四個(gè)小三角形中，相鄰兩個(gè)小三角形周長差等于邊長差平行四邊形對(duì)角線的一半和大于任意一邊長過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的任意一條直線分平行四邊形成面積相等兩部分二.平行四邊形的面積：平行四邊形的面積：等于底和高的積，即S□ABCD=ah，其中a可以是平行四邊形的任何一邊，h必須是a邊到其對(duì)邊的距離，即對(duì)應(yīng)的高。平行四邊形中的等積法使用：【典例精析】例題1如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC邊于點(diǎn)E，則線段BE，EC的長度分別為（）A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4例題2如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F，且點(diǎn)F為邊DC的中點(diǎn)，DG⊥AE，垂足為G，若DG=1，則AE的邊長為（）A．2B．4C．4D．8一、平行四邊形的判定1、平行四邊形的判定判定前提：在同一平面內(nèi)判定定理兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。二.已知平面內(nèi)三點(diǎn)作平行四邊形：過點(diǎn)Ｅ、Ｆ、Ｇ三點(diǎn)作對(duì)邊平行線，圖中四邊形AEFG、BEGF、CFEG都是平行四邊形例題1如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P是三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周長為12，則PD+PE+PF=（）A．8B．6C．4D．3例題2如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)5×5的方陣，在方陣中的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫格點(diǎn)，四個(gè)點(diǎn)都是格點(diǎn)的四邊形叫格點(diǎn)四邊形，已知：A（1，2），B（3，2）．以A、B為頂點(diǎn)，面積為2的格點(diǎn)平行四邊形的個(gè)數(shù)是（）A．9個(gè)B．10個(gè)C．11個(gè)D．13個(gè)動(dòng)點(diǎn)形成平行四邊形實(shí)例：如圖，∠ABM為直角，點(diǎn)C為線段BA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是射線BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接AD，作BE⊥AD，垂足為E，連接CE，過點(diǎn)E作EF⊥CE，交BD于F．

（1）求證：BF=FD；

（2）點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中能否使得四邊形ACFE為平行四邊形？如不能，請(qǐng)說明理由；如能，求出此時(shí)∠A的度數(shù)．實(shí)例：在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在邊BC所在的直線上，過點(diǎn)D作DF∥AC交直線AB于點(diǎn)F，DE∥AB交直線AC于點(diǎn)E．（1）當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，如圖①，求證：DE+DF=AC．（2）當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的反向延長線上時(shí)，如圖③，請(qǐng)分別寫出圖②、圖③中DE，DF，AC之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．（3）若AC=6，DE=4，則DF=．

關(guān)于性質(zhì)的補(bǔ)充：（1）過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。（2）平行四邊形對(duì)角線把平行四邊形面積分成四等分。（3）平行四邊形中,一個(gè)角的頂點(diǎn)向他對(duì)角的兩邊所做的高，與這個(gè)角的兩邊組成的夾角相等。（4）平行四邊形的對(duì)角線一半的和大于平行四邊開任意一邊，差小于任意一邊。已知平面內(nèi)三點(diǎn)作平行四邊形：關(guān)于判定的補(bǔ)充：過點(diǎn)Ｅ、Ｆ、Ｇ三點(diǎn)作對(duì)邊平行線，圖中四邊形AEFG、BEGF、CFEG都是平行四邊形中位線定理的應(yīng)用考點(diǎn)1：（1）三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。（2）要將中位線與中線區(qū)別開。一個(gè)三角形有三條中位線?？键c(diǎn)2：三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半。證明圖示：拓展：（1）三角形三條中位線分三角形所成的四個(gè)三角形全等，每個(gè)三角形面積等于三角形面積的四分之一。（2）三角形三條中位線組成的三角形周長為原三角形周長的二分之一?！镜淅觥坷}1如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD=BC，∠PEF=30°，則∠PFE的度數(shù)是（）A．15°B．20°C．25°D．30°例題2如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．∠HGF=∠GHEB．∠GHE=∠HEFC．∠HEF=∠EFGD．∠HGF=∠HEF例題3如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足為N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，則△ABC的周長是（）A．28B．32C．18D．25例題4:如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B作BE∥AC，在BG上取點(diǎn)E，連接DE交AC的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：DF=EF；（2）如果AD=2，∠ADC=60°，AC⊥DC于點(diǎn)C，AC=2CF，求BE的長．【總結(jié)提升】1、要把三角形的中位線與三角形的中線區(qū)分開．三角形中線是連接一頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段，而三角形中位線是連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段。2、當(dāng)圖形中有一個(gè)中點(diǎn)的時(shí)候考慮倍長中線，當(dāng)圖形中有兩個(gè)中點(diǎn)的時(shí)候考慮連接后用中位線。3、連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)所得圖形是平行四邊形。4、直角三角形斜邊中線：如果一個(gè)三角形是直角三角形,那么這個(gè)三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。平行四邊形的性質(zhì)與判定1.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論正確的是（）A．S?ABCD=4S△AOBB．AC=BDC．AC⊥BDD．?ABCD是軸對(duì)稱圖形2.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，且AB=5，△OCD的周長為23，則平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的和是（）A．18B．28C．36D．463.已知?ABCD中，∠A+∠C=200°，則∠B的度數(shù)是（）A．100°B．160°C．80°D．60°4.如圖，在?ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD邊于點(diǎn)E，且AE=3，則AB的長為（）A．4B．3C．D．25.下列說法正確的有（）①平行四邊形的對(duì)角線相等；②平行四邊形的對(duì)邊相等；③平行四邊形的對(duì)角線互相垂直；④平行四邊形的對(duì)角線互相平分；⑤兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；⑥一組對(duì)邊平行而且另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形．A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)6.如圖所示，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別在BC，AD上，若想使四邊形AFCE為平行四邊形，須添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是①AF=CF；②AE=CF；③∠BAE=∠FCD；④∠BEA=∠FCE．7.已知△ABC的面積為36，將△ABC沿BC平移到△A′B′C′，使B′和C重合，連接AC′交A′C于D，則△C′DC的面積為8.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，DE平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，BF平分∠ABC，交CD于點(diǎn)F．（1）求證：DE=BF；（2）連接EF，寫出圖中所有的全等三角形．（不要求證明）9、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，∠1=∠2．（1）求證：AE=CF；（2）求證：四邊形EBFD是平行四邊形．10、已知，如圖，在?ABCD中，延長DA到點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使得AE=CF，連接EF，分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，連接DM，BN．

（1）求證：△AEM≌△CFN；

（2）求證：四邊形BMDN是平行四邊形．中位線定理的應(yīng)用1.已知△ABC的各邊長度分別為3cm，4cm，5cm，則連結(jié)各邊中點(diǎn)的三角形的周長為（）A．2cmB．7cmC．5cmD．6cm2.如圖，為測量池塘邊A、B兩點(diǎn)的距離，小明在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測得OA、OB的中點(diǎn)分別是點(diǎn)D、E，且DE=14米，則A、B間的距離是（）A．18米B．24米C．28米D．30米3．如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，連接BD．若BD平分∠ABC，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．BC=2BEB．∠A=∠EDAC．BC=2ADD．BD⊥AC4.如圖，已知矩形ABCD中，R、P分別是DC、BC上的點(diǎn)，E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)P在BC上從B向C移動(dòng)而R不動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是（）A．線段EF的長逐漸增大B．線段EF的長逐漸減小C．線段EF的長不改變D．線段EF的長不能確定5.如圖，點(diǎn)D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，連接DE、EF、FD，則圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)為．6.如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC延長線上一點(diǎn)，CF=1，DF交CE于點(diǎn)G，且EG=CG，則BC=．7.如圖，將△ABC沿它的中位線MN折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，若∠A=28°，∠B=130°，則∠A