《2.3直線的交點坐標與距離公式》課件與同步練習

第一課時兩條直線的交點坐標2.3直線的交點坐標與距離公式當——=——=——時，兩條直線重合。A1B1C1A2B2C2兩條直線A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的位置關系與系數(shù)的關系？l1⊥l2A1A2+B1B2=0l1//l2A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0或B2C1-B1C2≠0A1B2-A2B1≠

0l1與l2相交回顧引入兩條直線的交點坐標思考1:若點P在直線l上，則點P的坐標(x0，y0)與直線l的方程Ax+By+C=0有什么關系？

Ax0+By0+C=0思考2:直線2x+y-1=0與直線2x+y+1=0，

直線3x+4y-2=0與直線2x+y+2=0的位置關系分別如何？

學習新知思考3:能根據(jù)圖形確定直線3x+4y-2=0與直線2x+y+2=0的交點坐標嗎？有什么辦法求得這兩條直線的交點坐標？xyoP思考4:一般地，若直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交點坐標？幾何元素及關系代數(shù)表示點A

A(a,b)直線lL:Ax+By+C=0點A在直線l上直線l1與l2的交點是A

點A的坐標是方程組的解Aa+Bb+C=0學習新知兩條直線的交點：如果兩條直線A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0相交，由于交點同時在兩條直線上，交點坐標一定是它們的方程組成的方程組的解；反之，如果方程組只有一個解，那么以這個解為坐標的點就是直線A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交點。A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0學習新知思考5：對于兩條直線和,若方程組

有唯一解，有無數(shù)組解，無解，則兩直線的位置關系如何？直線l1、l2聯(lián)立得方程組

(代數(shù)問題)(幾何問題)學習新知一般地，對于直線l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有方程組

學習新知例1：求下列兩條直線的交點：

l1：3x+4y－2=0；l2：2x+y+2=0.解：解方程組3x+4y－2=02x+y+2=0∴l(xiāng)1與l2的交點是M（－2，2）x=－2y=2得典型例題練習：課本第72頁練習1

例2判斷下列各對直線的位置關系，如果相交，求出其交點的坐標.（1）（2）（3）典型例題例3：求直線3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交點M的坐標，并證明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ為任意常數(shù)）表示過M點的所有直線（不包括直線2x－3y－5=0）。證明：聯(lián)立方程3x+2y－1=02x－3y－5=0oxy(1,-1)M解得：x=1y=-1代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0得0+λ·0=0∴M點在直線上A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0是過直線A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程。M（1，-1）即典型例題過交點的直線系思考1:經(jīng)過直線l1:3x+4y-2=0與直線l2:2x+y+2=0的交點可作無數(shù)條直線，你能將這些直線的方程統(tǒng)一表示嗎？思考2:上述直線l1與直線l2的交點M(-2,2)在這條直線上嗎？當m，n為何值時，方程分別表示直線l1和l2？n=0,m≠0表示直線l1,m=0,n≠0表示直線l2學習新知k存在:y-2=k(x+2)；k不存在:x=-2思考3:方程表示的直線包括過交點M（-2，2）的所有直線嗎？

不表示2x+y+2=0這條直線思考4:方程表示經(jīng)過直線l1和l2的交點的直線系，一般地，經(jīng)過兩相交直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程可怎樣表示？m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0或A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0學習新知例4：求經(jīng)過兩條直線x+2y－1=0和2x－y－7=0的交點，且垂直于直線x+3y－5=0的直線方程。解法一：解方程組x+2y－1=0，2x－y－7=0得x=3y=－1∴這兩條直線的交點坐標為（3，-1）又∵直線x+2y－5=0的斜率是－1/3∴所求直線的斜率是3所求直線方程為y+1=3（x－3）即3x－y－10=0解法二：所求直線在直線系2x－y－7+λ（x+2y－1）=0中經(jīng)整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0∴－————=32+λ2λ－1解得λ=1/7因此，所求直線方程為3x－y－10=0典型例題例5求證:不論m取何實數(shù),直線(2m－1)x－(m+3)y－(m－11)=0恒過一個定點，并求出此定點的坐標.典型例題鞏固練習1.已知直線l1:ax+4y-2=0與直線l2:2x-5y+b=0互相垂直，垂足為（1,c),則a+b+c的值為()A.20B.-4C.0D.24

3.直線l被兩條直線l1:4x+y+3=0和l2:3x-5y-5=0截得的線段的中點為P(-1,2),則直線l的方程為

.BC3x+y+1=01.已知a,b滿足2a+b=1,則直線ax+3y+b=0必過定點

.鞏固練習

2.已知點A(1,3),B(4,2),若直線ax-y-2a=0與線段AB有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是

.

3.曲線y=|x|與直線y=kx+1有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是

.

1）對于直線l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有方程組

2）過交點的直線系經(jīng)過兩相交直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程可表示m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0或A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0課堂小結(jié)第二課時兩點間的距離2.3直線的交點坐標與距離公式名稱方程的形式已知條件方程直線的局限性一般式點斜式斜截式兩點式截距式

（x1，y1)是直線上一點，k是斜率k是斜率，b是直線在y軸上的截距不包括與x軸垂直的直線

a是直線在x軸上的截距，b是直線在y軸上的截距(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩點不包括與x軸垂直的直線不包括與坐標軸垂直的直線

Ax+By+C=0(A、B不同時為零)A、B、C為常數(shù)任何位置的直線不包括與坐標軸垂直的直線，不包括過原點的直線。

回顧引入直線方程的五種形式當——=——=——時，兩條直線重合。A1B1C1A2B2C2兩條直線A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的位置關系與系數(shù)的關系？l1⊥l2A1A2+B1B2=0

l1//l2

A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0或B2C1-B1C2≠0A1B2-A2B1≠

0

l1與l2相交回顧引入1）對于直線l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有方程組

2）過交點的直線系經(jīng)過兩相交直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程可表示m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0或A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0復習引入1.在平面直角坐標系中，根據(jù)直線的方程可以確定兩直線平行、垂直等位置關系，以及求兩相交直線的交點坐標，我們同樣可以根據(jù)點的坐標確定點與點之間的相對位置關系.2.平面上點與點之間的相對位置關系一般通過什么數(shù)量關系來反映？學習新知向量法推導兩點間的距離公式學習新知已知平面上兩點P1(x1,y1)和P2(x2,y2),能否求出兩點間的距離|P1P2|？

由此得出兩點間的距離

思考:特別地，點P(x，y)與坐標原點的距離是什么？

思考1:在平面直角坐標系中,已知點P1(2,-1)和P2(-3,2),如何計算點P1和P2的距離？學習新知xyoP1P2M思考2:一般地,已知平面上兩點P1(x1,y1)和P2(x2,y2),利用上述方法求點P1和P2的距離可得什么結(jié)論？MxyoP1P2

典型例題

1、求下列兩點間的距離(1)、A(6，0),B(-2，0)(2)、C(0，-4),D(0，-1)(3)、P(6，0),Q(0，-2)(4)、M(2，1),N(5，-1)課本第74頁第1題鞏固練習2、求在x軸上與點A(5,12)的距離為13的坐標；

3、已知點P的橫坐標是7，點P與點N(-1,5)間的距離等于10，求點P的縱坐標。鞏固練習例2.證明平行四邊形四條邊的平方和和等于兩條對角線的平方和。證明:以A為原點,AB為x軸建立直角坐標系.xyABCD(0,0)(a,0)(b,c)(a+b,c)則四個頂點坐標分別為A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)

因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和。解析法第二步:進行有關代數(shù)運算第三步:把代數(shù)運算結(jié)果翻譯成幾何關系。第一步:建立坐標系，用坐標表示有關的量。典型例題用坐標法證明簡單的平面幾何問題的步驟：第一步：建立坐標系，用坐標表示有關的量；第二步：進行有關的代數(shù)運算；第三步：把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”所幾何關系.方法總結(jié)已知點A(x,0)和B(2,3)的距離為3,求x的值。若|AB|為3或者2呢？

已知△ABC的三個頂點是A(-1,0),B(1,0),C，試判斷三角形的形狀。

提高練習兩點距離公式逆應用距離公式的變式探究思考1:已知平面上兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直線P1P2的斜率為k，則y2-y1可怎樣表示？從而點P1和P2的距離公式可作怎樣的變形？

學習新知思考2:已知平面上兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直線P1P2的斜率為k，則x2-x1可怎樣表示？從而點P1和P2的距離公式又可作怎樣的變形？

思考3:兩個結(jié)論是兩點間距離公式的兩種變形，其使用條件分別是什么？

思考4:若已知和，如何求？

學習新知

例3設直線2x-y+1=0與相交于A、B兩點，求|AB|的值.

典型例題4、證明直角三角形斜邊的中點到三個頂點的距離相等。yxoBCAM(0,0)(a,0)(0,b)已知:Rt△ABC中，D是斜邊BC上的中點.求證:AD=.

鞏固練習1.兩點間距離公式2.坐標法第一步:建立坐標系，用坐標表示有關的量。第二步:進行有關代數(shù)運算第三步:把代數(shù)運算結(jié)果翻譯成幾何關系。

課堂小結(jié)作業(yè)P79習題2.3第4和12題思考題：用坐標法證明：三角形內(nèi)，重心到三個頂點的距離的平方和最小。學習新知第三課時點到直線的距離2.3直線的交點坐標與距離公式

在公路附近有一家鄉(xiāng)村飯館,現(xiàn)在需要鋪設一條連接飯館和公路的道路.請同學們幫助設計一下：在理論上怎樣鋪路可以使這條連接道路的長度最短?QPyxol思考：已知點P0(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0,怎樣求點P到直線l的距離呢?點到直線的距離如圖，P到直線l的距離，就是指從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.學習新知當A=0或B=0時,直線方程為y=y1或x=x1的形式.Qyoy=y1(x0,y0)xP(x0,y1)Qxyox=x1P(x0,y0)(x1,y0)下面設A≠0,B≠0,我們進一步探求點到直線的距離公式:[思路一]利用兩點間距離公式:PyxolQ學習新知點P到直線/的距離，就是從點P到直線/的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足(如右圖).因此，求出垂足Q的坐標，利用兩點間的距離公式求出|PQ|,就可以得到點P到直線l的距離.得直線l與PQ的交點坐標，即垂足Q的坐標為因此，點P(xo,yo)到直線l:Ax+By+C=0的距離可以驗證，當A=0,或B=0時，上述公式仍然成立下面設A≠0,B≠0,我們進一步探求點到直線的距離公式:[思路二]利用兩點間距離公式，設而不求:PyxolQ學習新知點P到直線/的距離，就是從點P到直線/的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足(如右圖).因此，求出垂足Q的坐標，利用兩點間的距離公式求出|PQ|,就可以得到點P到直線l的距離.因此，點P(xo,yo)到直線l:Ax+By+C=0的距離可以驗證，當A=0,或B=0時，上述公式仍然成立

將(1)(2)兩邊平方后相加，得[思路三]構(gòu)造直角三角形求其高.學習新知[思路四]向量法求點到直線的距離.我們知道，向量是解決距離、角度問題的有力工具.能否用向量方法求點到直線的距離?學習新知P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離：點到直線的距離：（1）分子是P點坐標代入直線方程；（2）分母是直線未知數(shù)x、y系數(shù)平方和的算術(shù)根類似于勾股定理求斜邊的長學習新知(3)運用此公式時要注意直線方程必須是一般式,

若給出其他形式,應先化成一般式再用公式.(4)當點P0在直線l上時,點到直線的距離為零,公式仍然適用.例1:已知點A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求△ABC的面積xyOABCh解：設AB邊上的高為hAB的方程為化為一般式還有其他方法嗎？典型例題3.求點P0（-1，2）到直線2x+y-10=0的距離.1.求點A（-2，3）到直線3x+4y+3=0的距離.2.求點B（-5，7）到直線12x+5y+3=0的距離.4、P（2，—3）到直線x+2y+4=0的距離是_______0鞏固練習5.點P(-1,2)到直線3x=2的距離是______.6.點P(-1,2)到直線3y=2的距離是______.例2：用解析法證明：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高。證明:建立如圖直角坐標系,設P(x,0),x∈()OA(a,0)C(-a,0)B(0,b)xyEFP可求得lAB:()lCB:()|PE|=()|PF|=()A到BC的距離h=()因為|PE|+|PF|=h，所以原命題得證。典型例題例3.已知直線l經(jīng)過點M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)兩點到直線l的距離相等,求直線l的方程.典型例題解:(方法一)當過點M(-1,2)的直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)兩點到直線l的距離相等,故x=-1滿足題意;當過點M(-1,2)的直線l的斜率存在時,設l的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)與B(-4,5)兩點到直線l的距離相等,得即x+3y-5=0.綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.已知直線l經(jīng)過點M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)兩點到直線l的距離相等,求直線l的方程.典型例題(方法二)由題意得l∥AB或l過AB的中點.當l∥AB時,設直線AB的斜率為kAB,

即x+3y-5=0.當l過AB的中點(-1,4)時,直線l的方程為x=-1.綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.求經(jīng)過點P(-3,5),且與原點距離等于3的直線l的方程典型例題

在根據(jù)距離確定直線方程時,易忽略直線斜率不存在的情況,避免這種錯誤的方法是當用點斜式或斜截式表示直線方程時,應首先考慮斜率不存在的情況是否符合題設條件,然后再求解.鞏固練習1.已知直線l過點P(3,4)且與點A(－2,2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程為_____________________________.2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝02.直線3x-4y-27=0上到點P(2,1)距離最近的點的坐標是

.

解析:由題意知過點P作直線3x-4y-27=0的垂線,設垂足為M,則|MP|最小,

3.若點(4，a)到直線4x－3y＝0的距離不大于3，則a的取值范圍是______.1.平面內(nèi)一點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離公式是當A=0或B=0時,公式仍然成立.2.點到直線的距離即是點與直線上點連線的距離的最小值，利用點到直線的距離公式，解題時要注意把直線方程化為一般式.

3.利用點到直線的距離公式可求直線的方程，有時需結(jié)合圖形，數(shù)形結(jié)合，使問題更清晰.課堂小結(jié)第四課時兩條平行直線間的距離2.3直線的交點坐標與距離公式P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離：回顧引入（1）分子是P點坐標代入直線方程；（2）分母是直線未知數(shù)x、y系數(shù)平方和的算術(shù)根類似于勾股定理求斜邊的長(3)運用此公式時要注意直線方程必須是一般式,

若給出其他形式,應先化成一般式再用公式.(4)當點P0在直線l上時,點到直線的距離為零,公式仍然適用.新課引入A.兩平行線的距離B.點到直線的距離C.點到點的距離求平行直線2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距離。解：在直線2x

－7y－6=0上任取一點，如P(3,0)則兩平行線的距離就是點P(3,0)到直線2x－7y+8=0的距離.因此，d=P嘗試練習兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢？求兩條平行直線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0的距離.兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.yxol2l1QP學習新知解:在直線上Ax+By+C1=0任取一點,如P(x0,y0)則兩平行線的距離就是點P(x0,y0)到直線Ax+By+C2=0

的距離。（如圖）因此，d=兩條平行直線間的距離：已知兩條平行直線方程為:則它們之間的距離為:學習新知注意(1)把直線方程化為直線的一般式方程;(2)兩條直線方程中x,y的系數(shù)必須分別相等；(3)兩平行線間的距離是一條直線上任一點到另一條直線的距離,也可以看作是兩條直線上各取一點的最短距離.例1(1)已知兩平行直線l1:3x+5y+1=0和l2:6x+10y+5=0,則l1與l2間的距離為

.

(2)直線3x+y-3=0和直線6x+my-1=0平行,則它們之間的距離為

.

(3)已知直線l與兩直線l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0間的距離相等,則直線l的方程為

.

典型例題

典例解析例2．兩條互相平行的直線分別過點A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.你能求出d的取值范圍嗎？變式:上述問題中，當d取最大值時，請求出兩條直線的方程．典例解析典型例題例3.已知直線l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直線l與l1，l2的距離分別是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直線l的方程.思路探究：由題設知l1∥l2，故l∥l1∥l2，設出l的方程，利用距離公式表示出d1，d2.進而求出直線