部編《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)

《3.2.1函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1、內(nèi)容函數(shù)的單調(diào)性。2、內(nèi)容解析函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，它刻畫了函數(shù)的增減變化規(guī)律。因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)世界的運(yùn)動(dòng)變化中，增減趨勢是主要的變化規(guī)律之一，而引進(jìn)函數(shù)單調(diào)性的概念為刻畫這種變化規(guī)律提供了方法；另外，方程、不等式問題的求解，也可以利用函數(shù)的單調(diào)性。因此，函數(shù)單調(diào)性在數(shù)學(xué)內(nèi)外都有重要的應(yīng)用。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)，即它通常是在函數(shù)定義域的某個(gè)子集上具有的性質(zhì)；而函數(shù)奇偶性、周期性、最大值、最小值是函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)，屬于函數(shù)的整體性質(zhì)。另外，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，就容易得到函數(shù)的最大（?。┲怠某踔械礁咧?，函數(shù)的單調(diào)性概念的形成，經(jīng)歷了從定性到定量的過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念逐漸抽象化、嚴(yán)格化的過程，對于數(shù)學(xué)一般概念的學(xué)習(xí)具有借鑒意義。初中階段，用“y隨x的增大而增大（減小）”來刻畫函數(shù)圖象從左到右的上升（下降），學(xué)生經(jīng)歷了用自然語言表達(dá)圖形特征的過程；高中階段，通過引入數(shù)學(xué)符號，并采用“”的方式，進(jìn)一步將“y隨x的增大而增大（減?。鞭D(zhuǎn)化為精確的定量關(guān)系，即用不等式刻畫“增大”“減小”，從而使定性刻畫上升到定量刻畫，實(shí)現(xiàn)了變化規(guī)律的精確化表達(dá)。這樣一種從圖形直觀到定性刻畫再到定量刻畫的研究過程，以及通過引入數(shù)學(xué)符號、借助代數(shù)語言刻畫變化規(guī)律的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的一般過程，對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力具有重要意義。基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的符號語言刻畫。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1、目標(biāo)（1）借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性，理解它們的作用和實(shí)際意義；（2）會(huì)用定義證明簡單函數(shù)的單調(diào)性；（3）在抽象函數(shù)單調(diào)性的過程中感悟數(shù)學(xué)概念的抽象過程及符號表示的作用。2、目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：知道用符號語言刻畫函數(shù)單調(diào)性時(shí)，“任意”“都有”等關(guān)鍵詞的含義；能夠從函數(shù)圖象或通過代理推理，得出函數(shù)的單調(diào)遞增、單調(diào)遞減區(qū)間；知道函數(shù)的單調(diào)性反映了現(xiàn)實(shí)世界中事物在量的增加或減小上的變化趨勢。會(huì)用函數(shù)單調(diào)性的定義，按一定步驟證明函數(shù)的單調(diào)性。經(jīng)歷從圖象直觀到自然語言描述再到符號語言刻畫的過程，感悟通過引人“?x1,x2∈D”的符號表示，把一個(gè)含有“無限”的問題轉(zhuǎn)化為一種“三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，對于每一類函數(shù)都研究了函數(shù)值隨自變量的增大而變化的規(guī)律，能夠理解函數(shù)圖象從左到右上升或下降這一性質(zhì)，可以用“y隨x的增大而增大（減?。边@樣的自然語言來描述。高中階段，要通過引人“?x1,x2教學(xué)中，要利用一次函數(shù)、二次函數(shù)等，借助一定的教學(xué)媒體，如用信息技術(shù)展示函數(shù)值隨自變量變化而變化的情況，用表格形式加強(qiáng)自變量從小到大時(shí)函數(shù)值的大小變化趨勢等，數(shù)形結(jié)合地提出問題，給學(xué)生設(shè)置一條從定性到定量、從粗糙到精確的歸納過程，引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義，再通過辨析、練習(xí)幫助學(xué)生理解定義.根據(jù)以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：符號語言的引入，對“任意”“都有”等涉及無限取值的語言的理解和使用.四、教學(xué)支持條件分析為使學(xué)生更好地理解單調(diào)性的形式化定義，降低歸納定義過程中的難度，可利用信息技術(shù)，采用動(dòng)態(tài)方式展現(xiàn)函數(shù)值隨自變量值變化的規(guī)律，并體會(huì)自變量取值的任意性。教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）引入問題：請看下面的函數(shù)圖象，從左往右看你發(fā)現(xiàn)了函數(shù)圖象的什么特征呢？圖1圖2圖3追問1：圖2和圖3兩個(gè)函數(shù)圖象的共同點(diǎn)是什么呢？追問2：圖1“從左往右始終上升”，這一不變性是函數(shù)的什么性質(zhì)呢？師生活動(dòng)：教師利用PPT展示例子，學(xué)生回答，老師補(bǔ)充。教師指出：函數(shù)圖象從左到右始終保持上升，或在某個(gè)區(qū)間保持上升（或下降），這就是函數(shù)的單調(diào)性。本節(jié)課我們就先研究如何用定量的方法刻畫函數(shù)的單調(diào)性。設(shè)計(jì)意圖:通過實(shí)例，使學(xué)生感受研究函數(shù)性質(zhì)的必要性；結(jié)合初中已學(xué)的用定性方法刻畫函數(shù)的單調(diào)性的知識，明確學(xué)習(xí)任務(wù)。（二）單調(diào)性性質(zhì)的定量刻畫1.具體實(shí)例分析問題：以為例，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大QUOTEy=x,y=x2。你是怎樣理解隨的增大而增大的呢？你能說一說它的數(shù)量特征嗎？思考觀察下表你能看出具體數(shù)值的變化規(guī)律嗎？……1234…………14916……師生活動(dòng)：先讓學(xué)生觀看表格生成的動(dòng)畫，體會(huì)f(x)隨著x增大而增大。當(dāng)自變量從1增大到2時(shí)，當(dāng)自變量從2增大到3時(shí)，當(dāng)自變量從3增大到4時(shí)，追問：這樣的變化過程寫得完嗎？你能用自己的語言總結(jié)歸納出這一特點(diǎn)嗎？教師指導(dǎo)學(xué)生歸納出“當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)”這個(gè)符號表述.通過“問題串”引出“任意…都…”句式：“師問：x1和x2是一對具有代表性的符號，它們究竟代表了多少對數(shù)值？生答：無數(shù)對師問：無數(shù)對還是所有對？生答：所有對師問：無數(shù)能代替所有嗎？生答：不能師問：我們可以舉個(gè)反例嗎？引導(dǎo)學(xué)生舉反例。師問：什么數(shù)學(xué)符號可以替代所有呢？生答：任意師問：我們借助數(shù)學(xué)符號怎樣表達(dá)”當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大”。生答：當(dāng)時(shí)，都有。設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)環(huán)節(jié)是本節(jié)課的重點(diǎn)，其核心是通過從具體到抽象的過程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用嚴(yán)格的符號語言刻畫“在區(qū)間D上，當(dāng)x增大時(shí)，相應(yīng)的f（x）隨著減小”，在“圖象從左到右下降——y隨x的增大而減小——任取x1,x2∈D,當(dāng)x1<x2時(shí)，都有fx1>f(x2)需要注意的是，因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)性是一個(gè)比較難理解的概念，學(xué)生第一次遇到要用數(shù)學(xué)符號語言刻畫一個(gè)涉及“無限取值的問題”，大多數(shù)學(xué)生很難獨(dú)立想到其中的數(shù)學(xué)方法，所以教學(xué)中可以采取先由教師教學(xué)啟發(fā)性講解，使學(xué)生理解“在區(qū)間D上，y隨x的增大而減小”可以用“任取x1,x2∈D,當(dāng)x問題：大家能類比寫出“當(dāng)時(shí)，隨的增大而增小”嗎？師生活動(dòng)：全班思考后齊聲回答。設(shè)計(jì)意圖：激發(fā)類比思維，滲透分類整合的思想，讓學(xué)生體會(huì)完善知識結(jié)構(gòu)過程.2.單調(diào)性定義的抽象問題：大家能仿照寫出y=f(x)的單調(diào)性嗎？師生活動(dòng)：師生共同整理完善單調(diào)遞增的定義。設(shè)計(jì)意圖：把二次函數(shù)推廣到一般函數(shù)，并把討論區(qū)間一般化，由特殊到一般，具體到抽象，生成規(guī)范準(zhǔn)確的符號語言。問題5：能類比單調(diào)遞增的定義得到單調(diào)遞減的定義嗎？師生活動(dòng)：全班類比得出單調(diào)遞減的定義。設(shè)計(jì)意圖：類比單調(diào)遞增的定義得到單調(diào)遞減的定義，滲透類比、分類整合等數(shù)學(xué)思想.形成由特殊到一般，由局部到整體等研究問題的一般方法.教師通過PPT打出函數(shù)單調(diào)性的定義。3.單調(diào)性定義的辨析你認(rèn)為下列說法是否正確，請說明理由.辨析1：若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x)滿足f(2)>f(1),則函數(shù)f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增。師生活動(dòng)：請同學(xué)舉手回答，用預(yù)設(shè)動(dòng)畫驗(yàn)證想法。設(shè)計(jì)意圖：要學(xué)生理解可以用特殊推廣到一般，但不能用特殊代替一般，加強(qiáng)定義中“任意”兩字的理解。辨析2：若函數(shù)在區(qū)間(1,3)和區(qū)間[3,5]上都是增函數(shù)，則在區(qū)間(1,5]上也是增函數(shù)。（小組探究活動(dòng)）師生活動(dòng)：先獨(dú)立思考一分鐘，然后全班分成若干小組合作探究，判斷對錯(cuò)，并作圖舉反例說明理由，上臺(tái)展示成果，全班討論點(diǎn)評。設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識函數(shù)在不同區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）時(shí)，在它們的并集上不一定保持單調(diào)遞增（遞減）的性質(zhì).辨析3：函數(shù)在(-∞，0)上是增函數(shù)。師生活動(dòng)：學(xué)生搶答。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生區(qū)分“單調(diào)遞增”與“增函數(shù)”、“單調(diào)遞減”與“減函數(shù)”的概念。單調(diào)性定義的簡單應(yīng)用例.根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，及在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性。師生活動(dòng)：學(xué)生搶答。設(shè)計(jì)意圖：通過圖象直觀判斷函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)單調(diào)性判斷的重要方法之一。例．物理學(xué)中的玻意耳定律（k為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)力將增大，試對此用函數(shù)的單調(diào)性證明。師生活動(dòng)：先讓學(xué)生獨(dú)立思考“體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)

增大”的含義，建立物理意義與函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系。追問：你能總結(jié)證明函數(shù)單調(diào)性的解題過程嗎？設(shè)計(jì)意圖：例題是一個(gè)物理學(xué)中的公式，本例要使學(xué)生體會(huì)函數(shù)模型可以用來刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，而且數(shù)學(xué)研究的不是一個(gè)現(xiàn)象而是抽象概括出來的一般性問題，將一些不同的現(xiàn)象抽象成一類函數(shù)，通過研究這一類函數(shù)的性質(zhì)獲得事物的變化規(guī)律.另外，通過追問，要讓學(xué)生總結(jié)出證明函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：第一步，確定函數(shù)的定義域I；第二步，；?第三步，將fx第四步，得出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間。（四）課堂練習(xí)試判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.師生活動(dòng)：請學(xué)生演板，然后教師點(diǎn)評。設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生利用單調(diào)性定義進(jìn)行證明的步驟和方法。（五）課堂小結(jié)（1）什么叫函數(shù)的單調(diào)性？你能舉出一些具體的例子嗎？（2）你認(rèn)為在理解函數(shù)的單調(diào)性時(shí)應(yīng)把握好哪些關(guān)鍵問題？（3）判斷函數(shù)的單調(diào)性有哪些方法？用定義證明函數(shù)的單調(diào)性有哪些步驟？（3）結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，你對函數(shù)性質(zhì)的研究內(nèi)容和方法有什么體會(huì)？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上回答，教師再進(jìn)行歸納。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生準(zhǔn)確敘述單調(diào)遞增、單調(diào)遞減、增函數(shù)、減函數(shù)等概念；引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解“函數(shù)有意義”是討論函數(shù)單調(diào)性的前提，“?x1,x2∈I,且設(shè)x（六）課后作業(yè)教科書第85頁，習(xí)題3.2復(fù)習(xí)鞏固第1題第86頁，第2題，第3題第86頁，綜合運(yùn)用第8題（選做）設(shè)計(jì)意圖：提高用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性的能力，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步掌握用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的方法；分層作