2023年江蘇省常州市高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角〃條形碼粘貼處〃o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3,非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.馬林?梅森是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物，梅森在歐幾里得、費(fèi)

馬等人研究的基礎(chǔ)上對(duì)2。-1作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作，人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn)，將形如

（其中P是素?cái)?shù)）的素?cái)?shù)，稱為梅森素?cái)?shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

2.已知集合4="|卜一1區(qū)3,》62},8=卜€(wěn)2|2*64},則集合3=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}

3.將函數(shù)/（x）=2sin（3x+o）（0<o<;r）圖象向右平移TT勺個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=TTg對(duì)稱，則

83

函數(shù)/（X）在一三上的值域是（）

oX_

「五~\

A.[-1,2]B.[-^3,2]C.---JD.[一行,2]

4.已知拋物線丁=2沖（〃>0）經(jīng)過點(diǎn)加（2,2夜），焦點(diǎn)為尸，則直線板的斜率為（）

A.272B.—C.—D.-272

42

5.已知a,5是兩條不同的直線，a,"是兩個(gè)不同的平面，且aua,bc.fi,allfl,blla,則“a〃是“a〃",的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6,若i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=J±上在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1+2/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7.AABC中，AB=3,BC=V13,AC=4,則△ABC的面積是（）

A.3A/3B.C.3D.-

、22

8.直線丁=去+1與拋物線C：f=4）,交于A,5兩點(diǎn)，直線///AB,且/與C相切，切點(diǎn)為尸，記ARS的面積

為S,則S-|A卻的最小值為（）

9273264

A.一一B.---C.----D.---

442727

2

9.已知雙曲線C：—士，F(xiàn),為其左、右焦點(diǎn)，直線/過右焦點(diǎn)￡,與雙曲線C的右支交于A,B兩點(diǎn),

4

且點(diǎn)A在x軸上方，若|A6|=3忸閭，則直線/的斜率為（）

A.1B.-2C.-1D.2

10.三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SA,底面ABC,AB=5,8c=8,NB=60°,SA=2#>,則該三棱錐的外接球

的表面積為（）

642564362048/T

A.—71B.---nC.---71D.----\j37r

33327

11.已知S“是等差數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和，4+出=^，%+4=4,則S[o=（）

8535

A.85B.—C.35D.—

22

3

12.一個(gè)算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結(jié)果是:，則判斷框中應(yīng)填入的條件是（）

4

A.z>5?B.z<5?C.z>4?D.z<4?

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.已知雙曲線f—5=1S〉0)的一條漸近線為y=2x，則焦點(diǎn)到這條漸近線的距離為.

14.已知點(diǎn)P是拋物線f=4)，上動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-1)，則管的最小值為.

15.集合A={(x,y)M+3=a,a>0},8={(x,y)|網(wǎng)+1=兇+聞，若Afi8是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的

集合，則下列說法正確的為

\oX

vV

①”的值可以為2；

②"的值可以為0;

③。的值可以為2+及；

16.已知(l+2x)”=4+4x+“2x2H—+“"'°+41尤”，貝2/4--10a,0+llOn=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x=tcosa

17.(12分)在直角坐標(biāo)系m萬中，曲線G的參數(shù)方程為c。為參數(shù)，aSavG,點(diǎn)M(0,—2).

y=-2+tsma

以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為。=4及cos[o+().

（i）求曲線G的直角坐標(biāo)方程，并指出其形狀;

（2）曲線G與曲線交于A,B兩點(diǎn),若一1—+」一=姮，求Sina的值.

\MA\\MB\4

18.（12分）某商店舉行促銷反饋活動(dòng)，顧客購物每滿200元，有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)（即滿200元可以抽獎(jiǎng)一次，滿400

元可以抽獎(jiǎng)兩次，依次類推）.抽獎(jiǎng)的規(guī)則如下：在一個(gè)不透明口袋中裝有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)完全相同

的小球，顧客每次從口袋中摸出一個(gè)小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號(hào)一次比一次

大（如1,2,5）,則獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金40元；若摸得的小球編號(hào)一次比一次小（如5,3,1）,則獲得二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金

20元；其余情況獲得三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金10元.

（1）某人抽獎(jiǎng)一次，求其獲獎(jiǎng)金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；

（2）趙四購物恰好滿600元，假設(shè)他不放棄每次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求他獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元的概率.

19.（12分）第十三屆全國人大常委會(huì)第十一次會(huì)議審議的《固體廢物污染環(huán)境防治法（修訂草案）》中，提出推行生

活垃圾分類制度，這是生活垃圾分類首次被納入國家立法中.為了解某城市居民的垃圾分類意識(shí)與政府相關(guān)法規(guī)宣傳

普及的關(guān)系，對(duì)某試點(diǎn)社區(qū)抽取50戶居民進(jìn)行調(diào)查，得到如下的2x2列聯(lián)表.

分類意識(shí)強(qiáng)分類意識(shí)弱合計(jì)

試點(diǎn)后5

試點(diǎn)前9

合計(jì)50

已知在抽取的50戶居民中隨機(jī)抽取1戶，抽到分類意識(shí)強(qiáng)的概率為058.

（1）請(qǐng)將上面的2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為居民分類意識(shí)的強(qiáng)弱與政府宣傳普及工作有

關(guān)？說明你的理由；

（2）已知在試點(diǎn)前分類意識(shí)強(qiáng)的9戶居民中，有3戶自覺垃圾分類在12年以上，現(xiàn)在從試點(diǎn)前分類意識(shí)強(qiáng)的9戶居民

中，隨機(jī)選出3戶進(jìn)行自覺垃圾分類年限的調(diào)查，記選出自覺垃圾分類年限在12年以上的戶數(shù)為X,求X分布列及

數(shù)學(xué)期望.

3一八斗/n(ad-bc)2

參考公式：K=-----------------------------，其中拉=a+6+c+d.

(〃+b)(c+d)(a+c)(/?+d)

下面的臨界值表僅供參考

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.01()0.0050.001

k（）2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.（12分）設(shè)數(shù)列｛4｝,也｝的各項(xiàng)都是正數(shù),S"為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，且對(duì)任意〃eN*,都有42=2S“一a,,

bi=e,“自比，cn=an-Inbn（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求數(shù)列｛a,J,｛a｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和北.

2

21.（12分）AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、C,已知△A8C的面積為」一

3sinA

（1）求siriBsinC;

⑵若6cos885。=1,。=3,求白ABC的周長.

22.(10分)已知函數(shù)〃x)=mln(l+x)-x,g(x)=〃a-sinx.

（1）若函數(shù)在（。，+8）上單調(diào)遞減，且函數(shù)8（尤）在￥；上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)〃?的值;

X

19

(2)求證：(1+sinl)I+sinl+sin1+sin-~--(nGN*,且〃N2).

[n-l)xn

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

模擬程序的運(yùn)行即可求出答案.

【詳解】

解：模擬程序的運(yùn)行，可得：

p=l,

5=1,輸出S的值為1,

滿足條件PW7,執(zhí)行循環(huán)體，p=3,S=7,輸出S的值為7,

滿足條件PW7,執(zhí)行循環(huán)體，p=5,5=31,輸出S的值為31,

滿足條件PW7,執(zhí)行循環(huán)體，p=7,5=127,輸出S的值為127,

滿足條件PS7,執(zhí)行循環(huán)體，p=9,S=511,輸出S的值為511,

此時(shí)，不滿足條件PS7,退出循環(huán)，結(jié)束，

故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是5,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

弄清集合8的含義，它的元素x來自于集合4,且2'也是集合A的元素.

【詳解】

因|x-l區(qū)3,所以—2WxW4,故4={-2,—1,0,1,2,24},又xeZ,2'GA，則x=0」,2,

故集合B={0,1,2}.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的定義，涉及到解絕對(duì)值不等式，是一道基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

由題意利用函數(shù)丫=4$缶(。*+夕)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，余弦函數(shù)的值域，求得結(jié)果.

【詳解】

n

解：把函數(shù)f(x)=2sin(3x+e)(0＜。＜乃)圖象向右平移g個(gè)單位長度后,

O

可得y=2sin13x一普+Q

的圖象;

7T

再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線X=§對(duì)稱,

TT3冗TT

■^x--—+(p=k7r+-,ZeZ,

382

171

（P---函數(shù)/（X）=2sin|3x+

8

7t71,nJ冗7151

在上，3x+-^-€,sin3x----G

I'I?5TI8jF'l'

故/（x）=2sin-*Je[—0,2],即/（x）的值域是[-72,2],

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)y=Asin（0x+e）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題.

4.A

【解析】

先求出〃，再求焦點(diǎn)F坐標(biāo)，最后求的斜率

【詳解】

解：拋物線產(chǎn)=2〃:@>0）經(jīng)過點(diǎn)加（2,2血）

（2旬,=2px2,p=2,

F（1,O）,%=20,

故選：A

【點(diǎn)睛】

考查拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)及斜率的運(yùn)算公式，基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可.

【詳解】

解：aaa,bc.fi,a//fi,b//a,

由a〃兒不一定有a〃4a與/?可能相交；

反之，由a〃人可得a〃b或a與》異面，

'-a,%是兩條不同的直線，a,“是兩個(gè)不同的平面，且aua,bu/j,a//fi,b//a,

則“a〃〃是"a〃/T的既不充分也不必要條件.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，考查面面平行的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.D

【解析】

31

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，化簡得到2再結(jié)合復(fù)數(shù)的表示，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，可得：源《=二=『7,

l+2z(l+2z)(l-2z)555

所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式是解

答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.A

【解析】

由余弦定理求出角A，再由三角形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】

AH一曲田.A.B1+AC2-BC21

1由41余弦定理得：cosA=-----------------------=-,

2-AB-AC2

又Ae(O,乃)，所以得A=?,

故AA5C的面積S='-A6-AC-sinA=3G.

2

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

8.D

【解析】

設(shè)出A8坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用弦長公式求得|A8],再由點(diǎn)到直線的距離公式求得尸到AB的距離,

得到AE4B的面積為S,作差后利用導(dǎo)數(shù)求最值.

【詳解】

"V-JCJC+1

設(shè)A(X，yJ,8(私必)，聯(lián)立〈2_4丫，得f—4履—4=0

則%+4=4%,X+必=%(X+%2)+2=4左2+2

貝！J|=y+%+〃=4k2+4

丫21

由f=4y,得=>/=-X

2

設(shè)。伍，%)，則;&nXo=2k,ya=k

則點(diǎn)P到直線y="+l的距離d=〃2+121

從而5=3,即4=2,2+1).而工7

5-|AB|=2(Jt2+l)-VF+l-4(A:2+l)=2J3-4i/2(J>l).

令/(x)=-4x2=/'(X)=6/-8x(x>1)

當(dāng)時(shí)，/'(x)<0；當(dāng)x>g時(shí)，/'(x)>0

故/(七1而=/(^=一|^，即S—|AB|的最小值為一捺

本題正確選項(xiàng)：D

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的問題.解決圓錐曲線中的面積類最值問題，通常采用

構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來求解最值.

9.D

【解析】

由|AF2|=3|BFZ|,可得入鳥=36反設(shè)直線1的方程x=my+石，m>0,設(shè)4(西,)[),網(wǎng)馬,%)，即yi=-3y2①，

聯(lián)立直線1與曲線C,得yi+y2=-￥"②，yiyzn—：③，求出O1的值即可求出直線的斜率.

〃廠一4m~—4

【詳解】

2

雙曲線C：y-/=1,Fl,F2為左、右焦點(diǎn)，則F2(6，0),設(shè)直線1的方程X=my+6，m>0,1?雙曲線的漸

近線方程為X=±2y,/.m#2,

設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),且yi>0,由|AF2|=3|BF2|,，尾=3可，Ayi=-3y20

由｛得(加一4尸+26沖+1=。

，△=(275m)2-4(n?-4)>0,即n?+4>0恒成立,

?"巾2=一追②‘川2=力③'

聯(lián)立O?得一2%=_"|^>0,聯(lián)立①③得_3￡=^^<0,

m>0,解得：m=-,直線/的斜率為2,

2

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識(shí)，屬于中檔題.

10.B

【解析】

由題，側(cè)棱SA_L底面ABC,AB=5,BC=8,NB=60°,則根據(jù)余弦定理可得BC=,5?+8?-2x5x8xg=7,

2LBC7,.7

△ABC的外接圓圓心i-sinB一忑一‘一忑

T

三棱錐的外接球的球心到面ABC的距離d=-SA=45,則外接球的半徑R=,則該三棱

2

錐的外接球的表面積為S=4乃/?2=—%

3

點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑E公式是解答的關(guān)鍵.

11.B

【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為q,△的形式，求得由此求得50.

【詳解】

(J5

2a.+d=-3371385

設(shè)公差為d,貝時(shí)?2,所以2d=—,d=-,q=—,Sin=10a,+-xl0x9x-=—.

2ral+3°d=41248242

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，考查等差數(shù)列前八項(xiàng)和的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類型，得到判斷框內(nèi)的語句性質(zhì)，然后對(duì)循環(huán)體進(jìn)行分析，找出循環(huán)規(guī)律，判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次

數(shù)以及i的關(guān)系，最終得出選項(xiàng).

【詳解】

經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu)，判斷框?yàn)樘鲅h(huán)的語句，

第一次循環(huán)：5=0+-!-=-,z=l+l=2；

1x22

第二次循環(huán)：S=—1+」1一=—7,i=2+l=3；

22x33

213

第三次循環(huán)：S=—+——i=3+l=4,

33x44

此時(shí)退出循環(huán)，根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語句，.?"<4?,故選D.

【點(diǎn)睛】

題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：（1）不要混淆處理框

和輸入框；（2）注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；（3）注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；（4）處

理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；（5）要注意各個(gè)框的順序，（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題

中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2.

【解析】

2

由雙曲線--六=13>0）的一條漸近線為y=2x,解得求出雙曲線的右焦點(diǎn)（c,O）,利用點(diǎn)到直線的距離公式

求解即可.

【詳解】

?.?雙曲線一-1r=13>0）的一條漸近線為y=2x.'.-=2

解得：b=2；.c=Ji百=6

，雙曲線的右焦點(diǎn)為（6,0）

??.焦點(diǎn)到這條漸近線的距離為：-r-=2

本題正確結(jié)果：2

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線和的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，涉及到點(diǎn)到直線距離公式的考查，屬于基礎(chǔ)題.

14.旦

2

【解析】

過點(diǎn)p作aw垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，則由拋物線的定義可得=P產(chǎn)，

則"=3_=sinNP4"，NR4M為銳角.故當(dāng)Q4和拋物線相切時(shí)，”的值最小.

PAPAPA

再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得與的最小值.

PA

【詳解】

解：由題意可得，拋物線/=4），的焦點(diǎn)尸（0,1）,準(zhǔn)線方程為y=T,

過點(diǎn)尸作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，則由拋物線的定義可得=

PFPM

則——=----=sinZPAM,/PAM為銳角.

PAPA

故當(dāng)NPAM最小時(shí)，竺的值最小.

PA

設(shè)切點(diǎn)P（2&,a）,由y=的導(dǎo)數(shù)為y，=gx,

則Q4的斜率為=&=君，

求得。=1,可得＞（2,1）,

：?PM=2,PA=ly/l.

??/DAPMV2

??sin/PAM=-----=——?

PA2

故答案為：交.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的定義，性質(zhì)的簡單應(yīng)用，直線的斜率公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.

15.②?

【解析】

根據(jù)對(duì)稱性，只需研究第一象限的情況，計(jì)算AC：y=（啦-l）x,得到A（l,、匯-1）,C（V2+1,1）,得到答案.

【詳解】

如圖所示：根據(jù)對(duì)稱性，只需研究第一象限的情況，

集合xy+\=x+y,故-1）=0,即x=］或y=l,

集合A：x+y=a,ACI8是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，

故AC所在的直線的傾斜角為22.5。，tan22.50=>/2-1,故AC：>=（近一1卜，

解得A0,我—1）,此時(shí)血，C（V2+1,1）,此時(shí)"夜+2.

故答案為：②③.

本題考查了根據(jù)集合的交集求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，利用對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵.

16.22

【解析】

對(duì)原方程兩邊求導(dǎo)，然后令x=-\求得表達(dá)式的值.

【詳解】

對(duì)等式(l+2x)”=4+4左+。2/+…+%0P"兩邊求導(dǎo)，得

9

22(l+2x)i。=%+2a2x+—1-10a10x4-110,^'°,令x=—1,則2a、+---1040+Ila”=22.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查二項(xiàng)式展開式，考查利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件，考查賦值法，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)(x-2)2+(y+2)2=8,以(2,—2)為圓心，2夜為半徑的圓；(2)sintz=—

4

【解析】

(1)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，直接得到的直角坐標(biāo)方程并判斷形狀;

(2)聯(lián)立直線參數(shù)方程與c,的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)直線參數(shù)方程中/的幾何意義結(jié)合」—+—!—=姮求解出

\MA\\MB\4

sina的值.

【詳解】

解：(1)由夕=4&cos，+?1,得p=4cose-4sine,所以「？=4pcos。-40sin6,

即犬+了2=4x-4y,(x-2)2+(y+2)2=8.

所以曲線C2是以(2,-2)為圓心，2加為半徑的圓.

x=tcosa,.

(2)將c,代入(x-2)2+(y+2)2=8,

y=-2+tsma

整理得J-4?cosa-4=0-

設(shè)點(diǎn)A,B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為乙，t2,

貝！J4+弓=4cosa,r/2=-4.

]1+卜il+m-』+：『一4楂_J16COS%+16歷

\MA\\MB\~\MA\\MB\一1閡~4~4-44

解得cos2a=±7,貝！Jsina=Jl-cos2a=業(yè)5.

164

【點(diǎn)睛】

本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化以及根據(jù)直線參數(shù)方程中f的幾何意義求值，難度一般.(1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互

化公式：夕cosa=x,psin8=y；(2)若要使用直線參數(shù)方程中/的幾何意義，要注意將直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程代入到

對(duì)應(yīng)曲線的直角坐標(biāo)方程中，構(gòu)成關(guān)于/的一元二次方程并結(jié)合韋達(dá)定理形式進(jìn)行分析求解.

18.(1)分布見解析，期望為'50；(2)4——9.

3216

【解析】

(1)先明確X的可能取值，分別求解其概率，然后寫出分布列，利用期望公式可求期望；

(2)獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元，可能是三次二等獎(jiǎng)，也可能是一次一等獎(jiǎng)，兩次三等獎(jiǎng)，然后分別求解概率即可.

【詳解】

(1)由題意知，隨機(jī)變量X的可能取值為10,20,40

C31c31

且P(X=40)=3=2，P(X=20)=.=7,

/VO/Vo

2

所以P(X=10)=1—尸(X=40)一尸(X=20)=-,

3

即隨機(jī)變量X的概率分布為

X102040

2

P

366

所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=10X2+20XL+40X』=^.

3663

(2)由題意知，趙四有三次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，設(shè)恰好獲得60元為事件A,

因?yàn)?0=20x3=40+10+10,

所以「⑷心+C守+熬

【點(diǎn)睛】

本題主要考查隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，明確隨機(jī)變量的所有取值是求解的第一步，再求解對(duì)應(yīng)的概率，側(cè)重考

查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

19.(1)有99.5%的把握認(rèn)為居民分類意識(shí)強(qiáng)與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系.見解析(2)分布列見解析，期望為1.

【解析】

(1)由在抽取的50戶居民中隨機(jī)抽取1戶，抽到分類意識(shí)強(qiáng)的概率為058可得列聯(lián)表，然后計(jì)算K?后可得結(jié)論；

(2)由已知X的取值分別為0』,2,3,分別計(jì)算概率得分布列，由公式計(jì)算出期望.

【詳解】

解：(1)根據(jù)在抽取的5()戶居民中隨機(jī)抽取1戶，到分類意識(shí)強(qiáng)的概率為058,可得分類意識(shí)強(qiáng)的有29戶，故可得2x2

列聯(lián)表如下：

分類意識(shí)強(qiáng)分類意識(shí)弱合計(jì)

試點(diǎn)后20525

試點(diǎn)前91625

合計(jì)292150

50(20xl6-5x9)26050

因?yàn)镵?的觀測(cè)值左=?9.934>7.879,

25x25x29x21609

所以有99.5%的把握認(rèn)為居民分類意識(shí)強(qiáng)與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系.

(2)現(xiàn)在從試點(diǎn)前分類意識(shí)強(qiáng)的9戶居民中，選出3戶進(jìn)行自覺垃圾分類年限的調(diào)查，記選出自覺垃圾分類年限在12

年以上的戶數(shù)為X,則X=0,1,2,3,

C35

故尸—°)=#五'P(x=i)

C；28

23

F(X=2)=C-'^C_=3—,尸(X=3)=CW=1',

C；14Cl84

則X的分布列為

X0123

51531

P

21281484

E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=1.

21281484

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力.

20.(1)an=n,bn=Z"(2)7；+1

【解析】

當(dāng)〃時(shí),，與一%作差可得為一，即可得到數(shù)列是首項(xiàng)為公差

(1)22=25?_,-%a；=2S“g-=1(〃>2)｛an｝1,

為1的等差數(shù)列，即可求解；對(duì)。用=照取自然對(duì)數(shù)，則足〃用=21nd，即｛In%｝是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列,

即可求解；

(2)由(1)可得。“=%比久=小2",再利用錯(cuò)位相減法求解即可.

【詳解】

解：(1)因?yàn)椤薄?gt;0,4：=2S“-4,①

當(dāng)〃=1時(shí),a：=2S]-q，解得4=1；

當(dāng)〃22時(shí)，有“3=2s,i-,②

由①一②得,G=2(S,-S,i)-(a.—，*)=(+??_!(?>2),

又％〉0，所以%-=1(〃22),

即數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，故an=n,

、In”小八

又因?yàn)閮?nèi)用=瓦，且b?>0,取自然對(duì)數(shù)得In仇+1=2Inb?，所以金泊=2,

又因?yàn)镮n仇=lne=l,

所以｛ln〃｝是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，

所以lna=2"L即"Me"

(2)由(1)知,%=a.lnd=〃-2"T,

所以7；=1X1+2x⑵+3>(2y+…+(〃—1)x(2)"-2+〃x(2產(chǎn),③

2x7；=1x(2)1+2x(2)2+3x(2)3+???+(n-l)x(2)n-l+wx(2)"，④

③減去④得:―/=1+2+2?+…+2'T一〃x2"

1(2"—1),、

=△-----x2"=2"-1-〃x2"=(1-〃)2"-1，

2-1、7

所以7；=5-1)2'+1

【點(diǎn)睛】

本題考查由凡與S”的關(guān)系求通項(xiàng)公式，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.

2

21.(l)sinBsinC=-(2)3+屈.

【解析】

12

試題分析：(D由三角形面積公式建立等式Lacsin8=，一，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出

23sinA

i91

sinBsinC的值；(2)由0?88$。=》和5皿85畝。=一計(jì)算出(：05(8+0=-大從而求出角A,根據(jù)題設(shè)

632

和余弦定理可以求出be和人+c的值，從而求出△ABC的周長為3+屈.

試題解析：(1)由題設(shè)得LacsinB=，一，即，csin6=—―.

23sinA23sinA

由正弦定理得一sinCsinB=---