高等數(shù)學(xué)上冊(cè)第五節(jié) 函數(shù)的微分及其應(yīng)用

關(guān)于高等數(shù)學(xué)上冊(cè)第五節(jié)函數(shù)的微分及其應(yīng)用一、微分的概念

引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問(wèn)此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長(zhǎng)為x,面積為A,則面積的增量為關(guān)于△x

的線(xiàn)性主部高階無(wú)窮小時(shí)為故稱(chēng)為函數(shù)在的微分當(dāng)x

在取得增量時(shí),變到邊長(zhǎng)由其第2頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月的微分,定義:

若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為(A

為不依賴(lài)于△x

的常數(shù))則稱(chēng)函數(shù)而稱(chēng)為記作即定理:

函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是即在點(diǎn)可微,第3頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月定理:函數(shù)證:

“必要性”

已知在點(diǎn)可微,則故在點(diǎn)的可導(dǎo),且在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即第4頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點(diǎn)的可導(dǎo),則第5頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月說(shuō)明:時(shí),所以時(shí)很小時(shí),有近似公式與是等價(jià)無(wú)窮小,當(dāng)故當(dāng)?shù)?頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月當(dāng)很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線(xiàn)縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記二.微分的幾何意義第7頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月例1設(shè)求當(dāng)及時(shí)，函數(shù)的增量和微分的值.解:當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增量

則時(shí)，則時(shí)，第8頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月三、微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變式5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)基本初等函數(shù)的微分公式(見(jiàn)P72表)第9頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月例3.設(shè)解:，求第10頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月例4.設(shè)求解:先化簡(jiǎn)第11頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月例+.設(shè)求解:利用一階微分形式不變性,有例5.

在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說(shuō)明:

上述微分的反問(wèn)題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意:數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性.第12頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性,例如第13頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)很小時(shí),使用原則:得近似等式:（一）函數(shù)值的近似計(jì)算第14頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月特別當(dāng)很小時(shí),常用近似公式:很小)證明:令得第15頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月解:

以例6.半徑為10厘米的金屬圓片加熱后，

半徑伸長(zhǎng)了0.05厘米，

問(wèn)面積達(dá)約增加了多少？分別表示圓片的面積及半徑，則當(dāng)厘米，厘米，時(shí)面積的增量（厘米2）第16頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月的近似值.例7.求解:設(shè)

則令則由得第17頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月的近似值.例8.求解:由公式第18頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月內(nèi)容小結(jié)1.微分概念微分的定義及幾何意義可導(dǎo)可微2.微分運(yùn)算法則微分形式不變性:(u

是自變量或中間變量)3.微分的應(yīng)用近似計(jì)算估計(jì)誤差第19頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月思考與練習(xí)1.設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在圖中標(biāo)出的點(diǎn)處的及并說(shuō)明其正負(fù).第20頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月2.第21頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月1.已知求解：因?yàn)樗詡溆妙}第22頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月方程兩邊求微分,得已知求解：2.第23頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月（二）函數(shù)的誤差估計(jì)例1.

計(jì)算球的體積可精確至１％，若根據(jù)這個(gè)體積來(lái)推算球的半徑則的相對(duì)誤差是多少？解:由公式則于是

因此第24頁(yè),共26頁(yè)，星期六，2024年，5月例2.有一批半徑為1cm的球,

為了提高球面的光潔度,解:

已知球體體積為鍍銅體積為V

在時(shí)體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用銅