高中數(shù)學(xué)公式（表格形式含背誦口訣）

高中所用重點(diǎn)公式匯總

公式分類公式表達(dá)式

乘法與因式分

—b2—一b)/+/=+—cib+)標(biāo)—=(a—+ab+b2)

解

如果集合A有n個(gè)元素，則A的子集的個(gè)數(shù)為2"個(gè)，A的真子集的個(gè)數(shù)為2"-1個(gè)；

集合A的非空真子集為2"-2個(gè)。

如果p=>q,則p是q的充分條件，q是p的必要條件。若p、q都為集合，則pqq；

若p=>q，貝Jpn-iq。

Ia+bW|a+b|a-b|^|a1+|b|aWb-bWaWb

三角不等式

ia-bj|a|-b-aWaWa

一元二次方程-b±ylb2-4ac

的解%=2a

二次函數(shù)頂點(diǎn)4ac—b2—b

2—--、,對稱軸光=1；

二次函數(shù)y=ax+bx+c(aw0)頂點(diǎn)為9a>0

坐標(biāo)及開口方、2〃4。)2a

向

時(shí)，圖像開口向上，〃<。時(shí)，圖像開口一句下。

根與系數(shù)的關(guān)

再+x2=—b/a再?x=c/a注：韋達(dá)定理

系2

b2-4ac=0注：方程有兩個(gè)相等的實(shí)根

判別式b2-4ac>0注：方程有兩個(gè)不等的實(shí)根

b2-4ac<0注：方程有兩個(gè)共輾復(fù)數(shù)根

三角函數(shù)公式

JI

總口訣為：奇變偶不變，符號看象限。其中“奇、偶”式指數(shù)“左?一土a"(左eZ)中左的

誘導(dǎo)公式2

奇偶；“符號”是把任意角a看做銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號。

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

兩角和公式cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

_.2tanA_.cot2A-l

tan2A=-----；—cot2A=------------

倍角公式l-tan2A2cotA

cos2a=cos2cr-sin2a-2cos2a-1=l-2sin2a

sin(A/2)=jn普sin")=一/于

半角公式cos(A/2)=嚴(yán)丁cos(A/2)=-尸丁

tan(A/2)JEHUtan(A/2)=后耳

Vl+cosAV1+cosA

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

和差化積sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

三角函數(shù)值的asma+bcosa=Ya2+b2sin(cr+。)其中sin0=/",cos0=,a=

最值y]a2+b2yla2+b2

通向公式：an=q—

、，.行

3on(LaJ.n(n-l)7n(n-l),

等差數(shù)列刖n項(xiàng)和：S“=-——^=na]+———-d=na一一-——-d

n222

等差中項(xiàng)：A=

2

n1

通向公式：an=ax-q~

等比數(shù)列na...............................0=1)

前n項(xiàng)和：1

a^l-q")ay-a,A

1-q1-q

1+2+3+4+5+6+7+8+9+,?,+n=n(n+1)/2l+3+5+7+9+ll+13+15+-+(2n-l)=n2

某些數(shù)列前n

項(xiàng)和2+4+6+8+10+12+…+(2n)=n(n+1)12+22+---+J?2=n(n+l)(2n+l)/6

l3+23+33+---+n3=n2(n+l)2/41-2+2-3+3-4d--bn(n+1)=n(n+l)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角

向量

設(shè)。=（七,%），b=（x2,y2）,4為實(shí)數(shù)

a±b=(七±%2，必±乃)=(?，肛)

基本公式

a?b=xxx2+yxy2\a|=+y；

allbo(玉，%)=A(x2,y2)=xxy2-x2yi-0

特殊情況

—>—>—>—>

a_Lb。/?=xrx2+yxy2=0

_再+AX

X一2

線段定比分點(diǎn)點(diǎn)P（x,y）的坐標(biāo)為：.1+2

公式、,_%+儀

K-1+2

1「1+尤2

-2

中點(diǎn)公式?

12

_芭+%+%3

三角形重心公「3

?

式、一切+乃+必

產(chǎn)-3

2

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x—a)2+(y—/?)2=r注：（a,b）是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程x2+y2+Ebe+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

2242

1.標(biāo)準(zhǔn)方程：三+與=1（其中〃>人>0）2.準(zhǔn)線：X=±—

橢圓的相關(guān)重a2b2C

點(diǎn)內(nèi)容

3.離心率：e=—（0<e<l）4.左焦距：a^-ex；右焦距：a-ex

a

222

1.標(biāo)準(zhǔn)方程：=l(a>0,/?>0,c2=a2+b2)2.準(zhǔn)線：X=i

abc

3.離心率：e=—(e>l)4.左焦距：|a+ex|；右焦距：\a-ex\

a

雙曲線

2h2h

5.通徑：----6.漸近線：y=±—x

aa

,,,x=asec8/、，人“〃、

7.參數(shù)方程：(，為參數(shù))

y=btan0

1.標(biāo)準(zhǔn)方程：y2=2px2.準(zhǔn)線：％二—々

3.焦點(diǎn)：（■^■,0）4.焦半徑：|PF|=X+^-

拋物線

5.通徑長度：2p6.焦點(diǎn)弦：|AB|=xl+x2+p

P22

%%2=彳％%=-。

直棱柱側(cè)面積S=c^h（。為底面周長）

S=」c?/（/為母線長）

圓柱側(cè)面積S=c^h圓錐側(cè)面積

2

弧長公式/=a*ra是圓心角的弧度數(shù)r>0扇形面積公式S=-IT

2

錐體體積公式V=-Sh圓錐體體積公式V=-7rr2h

33

柱體體積公式V=Sh圓柱體V=7ir2h

n

(1)正整數(shù)指數(shù)幕：0=a,a…a(nwN*)(2)零指數(shù)幕：Q°=1(。W0)

(3)負(fù)整數(shù)指數(shù)幕：Q一〃=」?(〃N*)

指數(shù)嘉的運(yùn)算

(4)分?jǐn)?shù)指數(shù)募："=-7=(a^0,)

法則Na1n

mnm+nmmnm，n

(5)a-a^a；0三a"=a""(6)(a)=a

(7)(〃6)"=廢"(為=鳥,3-0)

設(shè)〃>o,awl,m>0,〃>0則

①負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)

②10gql=。，即1的對數(shù)恒等于零；bgaa=l,即底數(shù)的對數(shù)恒等于1

對數(shù)性質(zhì)及運(yùn)

算法則③aogaN=N

④loga（m-n）=]ogam+]ogan

M

m

⑥log,b=—logab

n

logb

⑦log(,Z?=-~~^-，log/?log/=l

log—

1.A：=n(n-1)(M-2)???(n-m+1)(m<n)

〃！

排列公式二-------(m<n)

2.A：=〃(〃—1)(〃—2)…321

MA"

1.Cm=——-——=j(m<n)

"初("一nt)!A；；

組合公式

2.C；=Cfm(m<n)

3.C3=C：+C；T(m<n)

(a+b)n=C^an+C^b+C;af1+???+C?"

二項(xiàng)式定理

rnrr

其中第r+1項(xiàng)為：Tr+X=Cna-b

1.C'=02.(x")'="?x"T(xeQ)

3.(sinx)'=cosx4.(cos%)'=-sinx

常用導(dǎo)數(shù)公式

5.(loga^)'=-logfle6.(e*)'=ex

X

7.(axy=ax\na8.(lnx),=—

X

1.(u±vy=u'±V2.(u-v)=u'-v+u-V

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

3(y),=(vw0)4.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：%=

VV

公式口訣：

一、《集合與函數(shù)》

內(nèi)容子交并補(bǔ)集，還有幕指對函數(shù)。性質(zhì)奇偶與增減，觀察圖象最明顯。

復(fù)合函數(shù)式出現(xiàn)，性質(zhì)乘法法則辨，若要詳細(xì)證明它，還須將那定義抓。

指數(shù)與對數(shù)函數(shù)，兩者互為反函數(shù)。底數(shù)非1的正數(shù)，1兩邊增減變故。

函數(shù)定義域好求。分母不能等于0,偶次方根須非負(fù)，零和負(fù)數(shù)無對數(shù)；

正切函數(shù)角不直，余切函數(shù)角不平；其余函數(shù)實(shí)數(shù)集，多種情況求交集。

兩個(gè)互為反函數(shù)，單調(diào)性質(zhì)都相同；圖象互為軸對稱，Y=X是對稱軸；

求解非常有規(guī)律，反解換元定義域；反函數(shù)的定義域，原來函數(shù)的值域。

塞函數(shù)性質(zhì)易記，指數(shù)化既約分?jǐn)?shù)；函數(shù)性質(zhì)看指數(shù)，奇母奇子奇函數(shù),

奇母偶子偶函數(shù)，偶母非奇偶函數(shù)；圖象第一象限內(nèi)，函數(shù)增減看正負(fù)。

二、《三角函數(shù)》

三角函數(shù)是函數(shù)，象限符號坐標(biāo)注。

函數(shù)圖象單位圓，周期奇偶增減現(xiàn)。同角關(guān)系很重要，化簡證明都需要。

正六邊形頂點(diǎn)處，從上到下弦切割；中心記上數(shù)字1,連結(jié)頂點(diǎn)三角形；

向下三角平方和，倒數(shù)關(guān)系是對角，頂點(diǎn)任意一函數(shù)，等于后面兩根除。

誘導(dǎo)公式就是好，負(fù)化正后大化小，變成銳角好查表，化簡證明少不了。

二的一半整數(shù)倍，奇數(shù)化余偶不變，將其后者視銳角，符號原來函數(shù)判。

兩角和的余弦值，化為單角好求值，余弦積減正弦積，換角變形眾公式。

和差化積須同名，互余角度變名稱。

計(jì)算證明角先行，注意結(jié)構(gòu)函數(shù)名，保持基本量不變，繁難向著簡易變。

逆反原則作指導(dǎo)，升嘉降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。

萬能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運(yùn)用加巧用；

1加余弦想余弦，1減余弦想正弦，嘉升一次角減半，升嘉降次它為范；

三角函數(shù)反函數(shù)，實(shí)質(zhì)就是求角度，先求三角函數(shù)值，再判角取值范圍；

利用直角三角形，形象直觀好換名，簡單三角的方程，化為最簡求解集；

三、《不等式》

解不等式的途徑，利用函數(shù)的性質(zhì)。對指無理不等式，化為有理不等式。

高次向著低次代，步步轉(zhuǎn)化要等價(jià)。數(shù)形之間互轉(zhuǎn)化，幫助解答作用大。

證不等式的方法，實(shí)數(shù)性質(zhì)威力大。求差與0比大小，作商和1爭高下。

直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負(fù)常用基本式，正面難則反證法。

還有重要不等式，以及數(shù)學(xué)歸納法。圖形函數(shù)來幫助，畫圖建模構(gòu)造法。

四、《數(shù)列》

等差等比兩數(shù)列，通項(xiàng)公式N項(xiàng)和。兩個(gè)有限求極限，四則運(yùn)算順序換。

數(shù)列問題多變幻，方程化歸整體算，數(shù)列求和比較難，錯(cuò)位相消巧轉(zhuǎn)換。

取長補(bǔ)短高斯法，裂項(xiàng)求和公式算。歸納思想非常好，編個(gè)程序好思考：

一算二看三聯(lián)想，猜測證明不可少。還有數(shù)學(xué)歸納法，證明步驟程序化：

首先驗(yàn)證再假定，從K向著K加1,推論過程須詳盡，歸納原理來肯定。

五、《復(fù)數(shù)》

虛數(shù)單位i一出，數(shù)集擴(kuò)大到復(fù)數(shù)。一個(gè)復(fù)數(shù)一對數(shù)，橫縱坐標(biāo)實(shí)虛部。

對應(yīng)復(fù)平面上點(diǎn)，原點(diǎn)與它連成箭。箭桿與X軸正向，所成便是輻角度。

箭桿的長即是模，常將數(shù)形來結(jié)合。代數(shù)幾何三角式，相互轉(zhuǎn)化試一試。

代數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)，有i多項(xiàng)式運(yùn)算。i的正整數(shù)次慕，四個(gè)數(shù)值周期現(xiàn)。

一些重要的結(jié)論，熟記巧用得結(jié)果。虛實(shí)互化本領(lǐng)大，復(fù)數(shù)相等來轉(zhuǎn)化。

利用方程思想解，注意整體代換術(shù)。幾何運(yùn)算圖上看，加法平行四邊形，

減法三角法則判；乘法除法的運(yùn)算，逆向順向做旋轉(zhuǎn)，伸縮全年模長短。

三角形式的運(yùn)算，須將輻角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方開方極方便。

輻角運(yùn)算很奇特，和差是由積商得。四條性質(zhì)離不得，相等和模與共趣，

兩個(gè)不會為實(shí)數(shù)，比較大小要不得。復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)很密切，須注意本質(zhì)區(qū)別。

六、《排列、組合、二項(xiàng)式定理》

加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關(guān)是組合，要求有序是排列。

兩個(gè)公式兩性質(zhì)，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應(yīng)用問題須轉(zhuǎn)化。

排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。

不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式，定義證明建模試。

關(guān)于二項(xiàng)式定理，中國楊輝三角形。兩條性質(zhì)兩公式，函數(shù)賦值變換式。

七、《立體幾何》

點(diǎn)線面三位一體，柱錐臺球?yàn)榇怼＞嚯x都從點(diǎn)出發(fā)，角度皆為線線成。

垂直平行是重點(diǎn)，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對之間循環(huán)現(xiàn)。

方程思想整體求，化歸意識動割補(bǔ)。計(jì)算之前須證明，畫好移出的圖形。

體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對于解題最關(guān)鍵。

異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質(zhì)三垂線，解決問題一大片。

八、《平面解析幾何》

有向線段直線圓，橢圓雙曲拋物線，參數(shù)方程極坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合稱典范。

笛卡爾的觀點(diǎn)對，點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對，兩者一一來對應(yīng)，開創(chuàng)幾何新途徑。

兩種思想相輝映，化歸思想打前陣；都說待定系數(shù)法，實(shí)為方程組思想。

三種類型集大成，畫出曲線求方程，給了方程作曲線,曲線位置關(guān)系判。

四件工具是法寶，坐標(biāo)思想?yún)?shù)好；平面幾何不能丟，旋轉(zhuǎn)變換復(fù)數(shù)求。

解析幾何是幾何，得意忘形學(xué)不活。圖形直觀數(shù)入微，數(shù)學(xué)本是數(shù)形學(xué)。

高中數(shù)學(xué)20個(gè)解題捷徑

1.適用條件［直線過焦點(diǎn)］,必有ecosA(xl)/(x+l),其中A為直線與焦點(diǎn)所在軸夾角，

是銳角。x為分離比，必須大于1。注：上述公式適合一切圓錐曲線。如果焦點(diǎn)內(nèi)分(指的是

焦點(diǎn)在所截線段上)，用該公式;如果外分(焦點(diǎn)在所截線段延長線上)，右邊為(x+l)/(x-l),其

他不變

2.函數(shù)的周期性問題(記憶三個(gè)XD若f(x)=-f(x+k),則T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不為

0),則T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k),則T=6k。注意點(diǎn)：a.周期函數(shù)，周期必?zé)o限b.周期函

數(shù)未必存在最小周期，如：常數(shù)函數(shù)。c.周期函數(shù)加周期函數(shù)未必是周期函數(shù),如：y=sinxy=sin

派x相加不是周期函數(shù)。

3.關(guān)于對稱問題⑴若在R上(下同)滿足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，對稱軸為x=(a+b)/2⑵

函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于x=(b-a)/2對稱;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b,則f(x)圖像關(guān)于(a,

b)中心對稱4.函數(shù)奇偶性(1)對于屬于R上的奇函數(shù)有f(0)=0;(2)對于含參函數(shù)，奇函數(shù)沒

有偶次方項(xiàng)，偶函數(shù)沒有奇次方項(xiàng)(3)奇偶性作用不大，一般用于選擇填空

5.數(shù)列爆強(qiáng)定律(1)等差數(shù)列中:S奇=na中,例如S13=13a7(13和7為下角標(biāo));(2)等差

數(shù)列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比數(shù)列中，上述2中各項(xiàng)在公比不為負(fù)一

時(shí)成等比，在q=-l時(shí)，未必成立(4)等比數(shù)列爆強(qiáng)公式：S(n+m)=S(m)+q2ms(n)可以迅速求q

6.數(shù)列的終極利器：特征根方程首先介紹公式：對于an+l=pan+q(n+l為下角標(biāo)，n

為下角標(biāo))，al已知，那么特征根x=q/(l-p),則數(shù)列通項(xiàng)公式為an=(al-x)p2(n-l)+x,這是一

階特征根方程的運(yùn)用。二階有點(diǎn)麻煩，且不常用。所以不贅述。希望同學(xué)們牢記上述公式。

當(dāng)然這種類型的數(shù)列可以構(gòu)造(兩邊同時(shí)加數(shù))

7.函數(shù)詳解補(bǔ)充1、復(fù)合函數(shù)奇偶性：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外2、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增

異減3、重點(diǎn)知識關(guān)于三次函數(shù)：恐怕沒有多少人知道三次函數(shù)曲線其實(shí)是中心對稱圖形。

它有一個(gè)對稱中心，求法為二階導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)為0,根x即為中心橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)可以用x帶入

原函數(shù)界定。另外，必有唯一一條過該中心的直線與兩旁相切。

8,適用于標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點(diǎn)在x軸)爆強(qiáng)公式k橢=-{0}2伏0}/{32)丫0}1{雙={92以0}/{儂)丫0}

k拋=p/yo注：(xo,yo)均為直線過圓錐曲線所截段的中點(diǎn)。

9.兩直線垂直或平行的必殺技已知直線LI：alx+bly+cl=0直線L2：a2x+b2y+c2=0若

它們垂直：(充要條件)ala2+blb2=0;若它們平行：(充要條件)alb2=a2bl且alc2*2cl(這個(gè)

條件為了防止兩直線重合)注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩，直接必殺！

10.經(jīng)典考法相信鄰項(xiàng)相消大家都知道。下面看隔項(xiàng)相消：

Sn=l/(lx3)+l/(2x4)+l/(3x5)+...+l/［n(n+2)］=l/2［l+l/2-l/(n+l)-l/(n+2)］注：隔項(xiàng)相加保留四

項(xiàng)，即首兩項(xiàng)，尾兩項(xiàng)。自己把式子寫在草稿紙上，那樣看起來會很清爽以及整潔！

11.面積公式S=l/2|mq-np|其中向量AB=(m,n),向量BC=(p,q)注：這個(gè)公式可以

解決已知三角形三點(diǎn)坐標(biāo)求面積的問題

12.空間立體幾何中：以下命題均錯(cuò)(1)空間中不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面(2)垂直同一直線

的兩直線平行(3)兩組對邊分