江西省撫州市臨川區(qū)第一中學(xué)2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

江西省撫州市臨川區(qū)第一中學(xué)2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在等差數(shù)列中，，則（）A． B． C． D．2．在數(shù)列an中，an+1=an+a（n∈N*，a為常數(shù)），若平面上的三個不共線的非零向量OA、OB、OC滿足OC=a1A．1005 B．1006 C．2010 D．20123．函數(shù)的圖象的相鄰兩支截直線所得的線段長為，則的值是（）A．0 B． C．1 D．4．在中，若，且，則的形狀為()A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．正三角形或直角三角形 D．正三角形5．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為（）A．-199 B．199 C．-101 D．1016．圓心坐標(biāo)為，半徑長為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．C． D．7．把黑、紅、白3張紙牌分給甲、乙、丙三人,則事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是()A．對立事件B．互斥但不對立事件C．不可能事件D．必然事件8．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A． B． C． D．與均為的最大值9．過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（）A． B．C． D．10．設(shè)非零向量，滿足，則（）A． B． C．// D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．把數(shù)列的各項(xiàng)排成如圖所示三角形狀，記表示第m行、第n個數(shù)的位置，則在圖中的位置可記為____________．12．已知棱長都相等正四棱錐的側(cè)面積為，則該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為________．13．渦陽一中某班對第二次質(zhì)量檢測成績進(jìn)行分析，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取個樣本時，先將個同學(xué)按、、、、進(jìn)行編號，然后從隨機(jī)數(shù)表第行第列的數(shù)開始向右讀（注：如表為隨機(jī)數(shù)表的第行和第行），則選出的第個個體是______.14．設(shè)，，則______．15．在區(qū)間[-1,2]上隨機(jī)取一個數(shù)x,則x∈[0,1]的概率為.16．如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）已知直線過點(diǎn)且與直線垂直，求直線的方程；（Ⅱ）求與直線的距離為的直線方程.18．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°,E是BC的中點(diǎn)，M（1）求證：AE⊥平面PAD；（2）若AB=AP=2，求三棱錐P-ACM的體積.19．如圖，四面體中，，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）已知是邊長為2正三角形.（Ⅰ）若為棱的中點(diǎn)，求的大??；（Ⅱ）若為線段上的點(diǎn)，且，求四面體的體積的最大值.20．在正△ABC中，AB＝2，（t∈R）.（1）試用，表示：（2）當(dāng)?取得最小值時，求t的值.21．設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期．（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）設(shè)為的三個內(nèi)角，若，，且為銳角，求．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)得出關(guān)于的等式，可解出的值.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，由于，即，即，解得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差中項(xiàng)性質(zhì)的應(yīng)用，解題時充分利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，可簡化計(jì)算，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

利用等差數(shù)列的定義可知數(shù)列an為等差數(shù)列，由向量中三點(diǎn)共線的結(jié)論得出a1+【詳解】∵an+1=an∵三點(diǎn)A、B、C共線且該直線不過O點(diǎn)，OC=a1因此，S2010故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列求和，涉及等差數(shù)列的定義以及向量中三點(diǎn)共線結(jié)論的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.3、C【解析】

根據(jù)題意可知函數(shù)周期為，利用周期公式求出，計(jì)算即可求值.【詳解】由正切型函數(shù)的圖象及相鄰兩支截直線所得的線段長為知，，所以，，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正切型函數(shù)的周期，求值，屬于中檔題.4、D【解析】

由兩角和的正切公式求得，從而得，由二倍角公式求得，再求得，注意檢驗(yàn)符合題意，可判斷三角形形狀．【詳解】，∴，∴，由，即.∴或.當(dāng)時，，無意義.當(dāng)時，，此時為正三角形.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查兩角和的正切公式和二倍角公式，根據(jù)三角公式求出角是解題的基本方法．5、D【解析】

由特點(diǎn)可采用并項(xiàng)求和的方式求得.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查并項(xiàng)求和法求解數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式寫.【詳解】圓心為，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故選C.7、B【解析】試題分析：把黑、紅、白3張紙牌分給甲、乙、丙三人，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，但除了事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”還有“丙分得紅牌”，所以這兩者不是對立事件，答案為B.考點(diǎn)：互斥與對立事件.8、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合，，分析出錯誤結(jié)論.【詳解】由于，，所以，，，所以，與均為的最大值.而，所以，所以C選項(xiàng)結(jié)論錯誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查分析與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

先由題意設(shè)所求直線為：，再由直線過點(diǎn)，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗笾本€與直線平行，因此，可設(shè)所求直線為：，又所求直線過點(diǎn)，所以，解得，所求直線方程為：.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查求直線的方程，熟記直線方程的常見形式即可，屬于基礎(chǔ)題型.10、A【解析】

根據(jù)與的幾何意義可以判斷.【詳解】由的幾何意義知，以向量，為鄰邊的平行四邊形為矩形，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的加減法的幾何意義,同時，本題也可以兩邊平方，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算推出結(jié)論.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用第m行共有個數(shù)，前m行共有個數(shù)，得的位置即可求解【詳解】因?yàn)榈趍行共有個數(shù)，前m行共有個數(shù)，所以應(yīng)該在第11行倒數(shù)第二個數(shù)，所以的位置為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，發(fā)現(xiàn)每行個數(shù)成等差是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題12、【解析】

根據(jù)側(cè)面積求出正四棱錐的棱長，畫出組合體的截面圖，根據(jù)三角形的相似求得四棱錐內(nèi)切球的半徑，于是可得內(nèi)切球的表面積．【詳解】設(shè)正四棱錐的棱長為，則，解得．于是該正四棱錐內(nèi)切球的大圓是如圖△PMN的內(nèi)切圓，其中，．∴．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，由∽，得，即，解得，∴內(nèi)切球的表面積為．【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．13、.【解析】

根據(jù)隨機(jī)數(shù)法列出前個個體的編號，即可得出答案.【詳解】由隨機(jī)數(shù)法可知，前個個體的編號依次為、、、、、、，因此，第個個體是，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)數(shù)法讀取樣本個體編號，讀取時要把握兩個原則：（1）看樣本編號最大數(shù)為幾位數(shù)，讀取時就幾個數(shù)連著一起取；（2）不在編號范圍內(nèi)的號碼要去掉，重復(fù)的只能取第一次.14、【解析】

由，根據(jù)兩角差的正切公式可解得．【詳解】，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角差的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)知識的考查．15、【解析】

直接利用長度型幾何概型求解即可.【詳解】因?yàn)閰^(qū)間總長度為，符合條件的區(qū)間長度為，所以，由幾何概型概率公式可得，在區(qū)間[-1,2]上隨機(jī)取一個數(shù)x,則x∈[0,1]的概率為，故答案為：.【點(diǎn)睛】解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與長度有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計(jì)算問題的總長度以及事件的長度.16、【解析】

求出長方體體積與三棱錐的體積后即可得到棱錐的體積與剩下的幾何體體積之比.【詳解】設(shè)長方體長寬高分別為，，，所以長方體體積，三棱錐體積，所以棱錐的體積與剩下的幾何體體積的之比為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了長方體體積公式，三棱錐體積公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）或．【解析】

（Ⅰ）根據(jù)直線與直線垂直，求得直線的斜率為，再利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；（Ⅱ）設(shè)所求直線方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，求得的值，即可得到答案.【詳解】（Ⅰ）由題意，設(shè)所求直線的斜率為，由直線的斜率為，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為，所以所求直線的方程為直線的方程為：，即.（Ⅱ）設(shè)所求直線方程為，即，直線上任取一點(diǎn)，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得，解得或-4，所以所求直線方程為：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線方程的求解，兩直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、(1)見證明；(2)3【解析】

(1)本題首先可以通過菱形的相關(guān)性質(zhì)證明出AE⊥AD，然后通過PA⊥菱形ABCD所在的平面證明出PA⊥AE，最后通過線面垂直的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果；(2)可以將三角形APM當(dāng)成三棱錐P-ACM的底面，將AE當(dāng)成三棱錐P-ACM的高，最后通過三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：連接AC，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，∠ABC=60°，所以因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC，因?yàn)锳D//BC，所以AE⊥AD，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE，又因?yàn)镻A∩AD=A，所以AE⊥平面PAD．（2）AB=AP=2,則AD=2，AE=3所以Vp【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何的相關(guān)性質(zhì)，主要考查線面垂直的證明以及三棱錐體積的求法，可以通過證明平面外一條直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線來證明線面垂直，考查推理能力，是中檔題．19、（1）證明見解析；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，通過證明，證得平面，由此證得.（2）（I）通過證明，證得平面，由此證得,利用“直斜邊的中線等于斜邊的一半”這個定理及其逆定理，證得.（II）利用求得四面體的體積的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求得四面體的體積的最大值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，所以，所以.又因?yàn)?，所以，又，所以面，所?（2）（Ⅰ）由題意得，在正三角形中，，又因?yàn)椋?，所以面，所?∵為棱的中點(diǎn)，∴，在中，為的中點(diǎn)，.∴（Ⅱ），四面體的體積，又因?yàn)椋?，所以等號?dāng)且僅當(dāng)時成立，此時.故所求的四面體的體積的最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查線面垂直的證明，考查直角三角形的判定，考查三棱錐體積的最大值的求法，考查基本不等式的運(yùn)用，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)即可得出，從而解得；（2）由（1）得，根據(jù)得，從而進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算得出，配方即可得出當(dāng)時，取最小值.【詳解】（1）∵；∴；∴；（2）∵△ABC是正三角形，且AB＝2；∴；∵；∴；∴∴時，取最小值.【點(diǎn)睛】本題考查向量減法、加法的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及