2023-2024學(xué)年山東省名校交流高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年山東省名校交流高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．從甲、乙、丙三人中，任選兩名代表，甲被選中的概率為（）A． B． C． D．2．直線(xiàn)l：x+y﹣1＝0與圓C：x2+y2＝1交于兩點(diǎn)A、B，則弦AB的長(zhǎng)度為（）A．2 B． C．1 D．3．直線(xiàn)與、為端點(diǎn)的線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A． B．C． D．4．已知集，集合，則A．(-2,-1) B．(-1,0) C．(0,2) D．(-1,2)5．小金同學(xué)在學(xué)校中貫徹著“邊玩邊學(xué)”的學(xué)風(fēng)，他在“漢諾塔”的游戲中發(fā)現(xiàn)了數(shù)列遞推的奧妙：有、、三個(gè)木樁，木樁上套有編號(hào)分別為、、、、、、的七個(gè)圓環(huán)，規(guī)定每次只能將一個(gè)圓環(huán)從一個(gè)木樁移動(dòng)到另一個(gè)木樁，且任意一個(gè)木樁上不能出現(xiàn)“編號(hào)較大的圓環(huán)在編號(hào)較小的圓環(huán)之上”的情況，現(xiàn)要將這七個(gè)圓環(huán)全部套到木樁上，則所需的最少次數(shù)為（）A． B． C． D．6．已知變量與正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，，則由該觀測(cè)的數(shù)據(jù)算得的線(xiàn)性回歸方程可能是()A． B．C． D．7．若，且，則下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．8．已知在中，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且，若，則（）A． B． C． D．9．已知冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則的值為()A． B．1 C．3 D．610．在中，,則=（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在等比數(shù)列中，已知，則=________________.12．已知公式，，借助這個(gè)公式，我們可以求函數(shù)的值域，則該函數(shù)的值域是______.13．已知向量，，且與垂直，則的值為_(kāi)_____.14．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，若直線(xiàn)上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．15．已知，為單位向量，且，若向量滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)____.16．等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在已知數(shù)列中，，.（1）若數(shù)列中，，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．已知數(shù)列滿(mǎn)足=(1)若求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若==對(duì)一切恒成立求實(shí)數(shù)取值范圍.19．年北京市進(jìn)行人口抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取了某區(qū)居民人，記錄他們的年齡，將數(shù)據(jù)分成組：，，，…，并整理得到如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）從該區(qū)中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其年齡不小于的概率；（Ⅱ）估計(jì)該區(qū)居民年齡的中位數(shù)（精確到）；（Ⅲ）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)該區(qū)居民的平均年齡.20．已知函數(shù)（I）求的值（II）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.21．已知，.（1）計(jì)算及、；（2）設(shè)，，，若，試求此時(shí)和滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式，并求的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

采用列舉法寫(xiě)出總事件，再結(jié)合古典概型公式求解即可【詳解】被選出的情況具體有：甲乙、甲丙、乙丙，甲被選中有兩種，則故選：D2、B【解析】

利用直線(xiàn)和圓相交所得弦長(zhǎng)公式，計(jì)算出弦長(zhǎng).【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線(xiàn)和圓相交所得弦長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

由直線(xiàn)方程可得直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，利用兩點(diǎn)連線(xiàn)斜率公式可求得臨界值和，從而求得結(jié)果.【詳解】直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)則，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用直線(xiàn)與線(xiàn)段有交點(diǎn)確定直線(xiàn)斜率取值范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠確定直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)，從而找到直線(xiàn)與線(xiàn)段有交點(diǎn)的臨界狀態(tài).4、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，再解絕對(duì)值不等式，最后根據(jù)交集的定義求解.【詳解】由得，由得，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)不等式和絕對(duì)值不等式的解法，集合的交集.指數(shù)不等式要根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.5、B【解析】

假設(shè)樁上有個(gè)圓環(huán)，將個(gè)圓環(huán)從木樁全部套到木樁上，需要最少的次數(shù)為，根據(jù)題意求出數(shù)列的遞推公式，利用遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而得出的值，可得出結(jié)果.【詳解】假設(shè)樁上有個(gè)圓環(huán)，將個(gè)圓環(huán)從木樁全部套到木樁上，需要最少的次數(shù)為，可這樣操作，先將個(gè)圓環(huán)從木樁全部套到木樁上，至少需要的次數(shù)為，然后將最大的圓環(huán)從木樁套在木樁上，需要次，在將木樁上個(gè)圓環(huán)從木樁套到木樁上，至少需要的次數(shù)為，所以，，易知.設(shè)，得，對(duì)比得，，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，，因此，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵就是利用題意得出數(shù)列的遞推公式，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.6、A【解析】試題分析：因?yàn)榕c正相關(guān)，排除選項(xiàng)C、D，又因?yàn)榫€(xiàn)性回歸方程恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心，故排除選項(xiàng)B；故選A．考點(diǎn)：線(xiàn)性回歸直線(xiàn).7、B【解析】

根據(jù)不等式性質(zhì)確定選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，不成立；因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，不成立；所以選B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.8、C【解析】

首先，由已知條件可知，再有，這樣可用表示出．【詳解】∵，∴，，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理，解題時(shí)用向量加減法表示出，然后用基底表示即可．9、C【解析】

設(shè)，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求得，然后再求函數(shù)值．【詳解】設(shè)，由題意，，即，∴．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

解：因?yàn)橛烧叶ɡ?，所以又ｃ＜ａ所以，所以二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】12、【解析】

根據(jù)題意，可令，結(jié)合，再進(jìn)行整體代換即可求解【詳解】令，則，，，則，，，則函數(shù)值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查3倍角公式的使用，函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題13、【解析】

根據(jù)與垂直即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出x的值．【詳解】；；．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．14、.【解析】

設(shè)由，求出點(diǎn)軌跡方程，可判斷其軌跡為圓，點(diǎn)又在直線(xiàn)，轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，只需圓心到直線(xiàn)的距離小于半徑，得到關(guān)于的不等式，求解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，，，，整理得，又點(diǎn)在直線(xiàn)，直線(xiàn)與圓共公共點(diǎn)，圓心到直線(xiàn)的距離，即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求曲線(xiàn)的軌跡方程，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.15、.【解析】

由題意設(shè)，，，由得出，它表示圓，由，利用向量的模的幾何意義從而得到最小值.【詳解】由題意設(shè)，，，因，即，所以，它表示圓心為，半徑的圓，又，所以，而表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方，由，所以，故的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了圓的方程與應(yīng)用問(wèn)題，屬于中檔題.16、【解析】

取，代入計(jì)算得到答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了前項(xiàng)和和通項(xiàng)的關(guān)系，取是解題的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）存在，.【解析】

（1）利用等比數(shù)列的定義結(jié)合數(shù)列的遞推公式證明出為非零常數(shù)，即可證明出數(shù)列為等比數(shù)列，并可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法與等比數(shù)列的求和公式分別求出數(shù)列、，設(shè)，列出關(guān)于、、的方程組，解出即可.【詳解】（1）在數(shù)列中，，，則，，且，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，；（2），整理得，，，，所以，，若數(shù)列為等差數(shù)列，可設(shè)，則，即，則，解得，因此，存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的證明、數(shù)列求和以及等差數(shù)列的存在性問(wèn)題，熟悉等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.18、（1）=；（2）.【解析】

（1）由，結(jié)合可得數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而可得所求；（2）由得，利用累加法并結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出，化簡(jiǎn)得，再利用數(shù)列的單調(diào)性求出的最大值即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由，可得=．∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，∴.（2）由及，得=，∴，∴，又滿(mǎn)足上式，∴．∵對(duì)一切恒成立，即對(duì)一切恒成立，∴對(duì)一切恒成立．又?jǐn)?shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，∴，∴，∴實(shí)數(shù)取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，考查了累加法與恒成立問(wèn)題、邏輯推理能力與計(jì)算能力，解決數(shù)列中的恒成立問(wèn)題時(shí)，也常利用分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求最值的問(wèn)題求解．19、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】

（I）計(jì)算之間的頻率和，由此估計(jì)出年齡不小于的概率.（II）從左往右，計(jì)算出頻率之和為的位置，由此估計(jì)中中位數(shù).（III）用各組中點(diǎn)值乘以頻率人后相加，求得居民平均年齡的估計(jì)值.【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)從該區(qū)中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其年齡不小于60為事件,所以該區(qū)中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其年齡不小于60的概率為.（Ⅱ）年齡在的累計(jì)頻率為,,所以估計(jì)中位數(shù)為.（Ⅲ）平均年齡為【點(diǎn)睛】本小題主要考查頻率分布直方圖的識(shí)別與應(yīng)用，考查頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)和平均數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.20、（I）2；（II）的最小正周期是，.【解析】

（Ⅰ）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的值．（Ⅱ）直接利用函數(shù)的關(guān)系式，求出函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間．【詳解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsinxcosx，＝﹣cos2xsin2x，＝﹣2，則f（）＝﹣2sin（）＝2，（Ⅱ）因?yàn)椋缘淖钚≌芷谑牵烧液瘮?shù)的性質(zhì)得，解得，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，以及函數(shù)的性質(zhì)，是高考中的?？贾R(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)