數(shù)學(xué)文化 課件 10-悖論及其意義

數(shù)學(xué)文化第10章

悖論與三次數(shù)學(xué)危機(jī)

在數(shù)學(xué)史上，有三次數(shù)學(xué)危機(jī)，每一次都使數(shù)學(xué)陷入尷尬的境地，或說(shuō)是危機(jī)的境地。而每一次危機(jī)都是由數(shù)學(xué)悖論引起的。

悖論,就是“自相矛盾的論述”，是一種說(shuō)不明道不清的“荒謬”理論。悖論的通常形式是:“如果承認(rèn)某命題正確，就會(huì)推出它是錯(cuò)誤的；如果認(rèn)為它不正確，就會(huì)推出它是正確的?！睆亩贸霾环吓懦傻拿苊}。即由它的真，可以推出它的假;由它的假，則可推出它的真。

由于嚴(yán)格性被公認(rèn)為是數(shù)學(xué)的一個(gè)主要特點(diǎn)，因此如果數(shù)學(xué)中出現(xiàn)悖論，就會(huì)造成對(duì)數(shù)學(xué)可靠性的懷疑。因而引發(fā)人們認(rèn)識(shí)上的危機(jī)。因此，在這種情況下，悖論往往會(huì)直接導(dǎo)致“數(shù)學(xué)危機(jī)”的產(chǎn)生。但是，悖論并非無(wú)稽之談，它在荒誕中蘊(yùn)含著哲理，給人以啟迪。沿著它所指引的推理思路，可以使你走上一條貌似正確，在開(kāi)始時(shí)覺(jué)得順理成章，而后又使您在不知不覺(jué)中陷入自相矛盾的泥潭，但經(jīng)過(guò)破譯，將會(huì)使您感到回味無(wú)窮，并從中啟迪思維，提高能力，給你以奇異的美感。

奧地利學(xué)者班格特·漢生(BenguetHansen)認(rèn)為，一些常見(jiàn)的悖論，除了非直接的原因外，其性質(zhì)就和數(shù)學(xué)上的方程沒(méi)有解一樣。在算術(shù)中是靠引進(jìn)新數(shù)，擴(kuò)大數(shù)系來(lái)解決的，例如：x+1=0，在正整數(shù)系里無(wú)解，擴(kuò)大到有理數(shù)系便有解了；x2+1=0，在實(shí)數(shù)系里無(wú)解，擴(kuò)大到復(fù)數(shù)系便有解了。同樣，悖論的發(fā)生常常是與人們?cè)谙鄳?yīng)的歷史條件下的認(rèn)識(shí)水平有著密切的關(guān)系。

由于悖論是與一定的歷史條件相聯(lián)系，是相對(duì)于某個(gè)理論體系的，因此，面對(duì)悖論，我們應(yīng)努力去探尋或建立新的理論，使之既不損害原有理論的精華，又能消除悖論。因此，客觀上，悖論推動(dòng)了數(shù)學(xué)理論的研究與發(fā)展。章節(jié)目錄10.1

歷史上的幾個(gè)有名悖論10.2

三次數(shù)學(xué)危機(jī)10.3

數(shù)學(xué)危機(jī)的文化意義

這是公元前4世紀(jì)希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得提出來(lái)的一個(gè)重要的語(yǔ)義學(xué)悖論，通俗的表述是“我正在說(shuō)的這句話(huà)是謊話(huà)”。此話(huà)到底是真是假？

如果此話(huà)為真，則就肯定了他所說(shuō)的這句話(huà)確實(shí)是“謊話(huà)”；如果此話(huà)為假，則又肯定了他說(shuō)的這句話(huà)是真話(huà)。到底他說(shuō)的是真話(huà)是謊話(huà)，誰(shuí)也說(shuō)不清了。10.1.1說(shuō)謊者悖論10.1

歷史上的幾個(gè)有名悖論

這一悖論是針對(duì)“上帝是全能的”這一命題其意義為“全能就是可以辦到世界上的任何事都。請(qǐng)問(wèn)：上帝能創(chuàng)造出一個(gè)對(duì)手來(lái)?yè)魯∷约簡(jiǎn)?”

如果說(shuō)能，則上帝可以被對(duì)手擊敗，并非是全能的；如果說(shuō)不能，則說(shuō)明上帝并非是全能的。

這個(gè)悖論的特點(diǎn)是，上帝能肯定一切，也能否定一切，但他自己也在這一切之中，所以當(dāng)他否定一切的時(shí)候，同時(shí)也就否定了自己。10.1.2上帝全能悖論

這是羅素(B.A.W.Russell)集合悖論的一種通俗說(shuō)法。薩維爾村里的一名理發(fā)師，給自己定了一條店規(guī):“我只給那些自己不給自己刮胡子的人刮胡子?！蹦敲催@位理發(fā)師的胡子該不該由他自己刮？

如果理發(fā)師的胡子由他自己刮，則他屬于“自己給自己刮胡子的人”，因此，理發(fā)師不應(yīng)該給自己刮胡子；如果理發(fā)師的胡子不由自己刮，則他屬于“自己不給自己刮胡子的人”。因此，他的胡子可以由他自己刮?？傊?，他給自己刮也不是，不刮也不是。10.1.3理發(fā)師悖論

歐幾里得第三公理為“整體大于部分”，從歐氏幾何誕生起，這就是顛撲不破的真理。但是，伽利略卻在1638年提出一個(gè)命題：“部分有時(shí)可以等于整體”。顯然這二者組成了一對(duì)矛盾，俗稱(chēng)伽利略悖論。

其實(shí)，我們?cè)诘?章中已經(jīng)看到過(guò)部分與整體“相等”的情形。如正偶數(shù)集合是正整數(shù)集合的一個(gè)真子集，但它們之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。所以，在對(duì)應(yīng)的意義下，這兩個(gè)集合的元素是一樣多的，也就是“部分等于了整體”。10.1.4伽利略悖論

我們應(yīng)當(dāng)說(shuō)，歐氏公理“整體大于部分”是從有限數(shù)量上總結(jié)出來(lái)的一條公理，但對(duì)于無(wú)限集合來(lái)說(shuō)就不再適用。所以這個(gè)悖論實(shí)際上反映的是“有限”與“無(wú)限”之間的一種矛盾現(xiàn)象。由此，我們不能輕易地把有限集合中的公理、定理等套搬到無(wú)限集合中去。

數(shù)學(xué)是以嚴(yán)密的邏輯推理為基礎(chǔ)，容不得任何自相矛盾的命題或結(jié)論。如果數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了悖論，則就破壞了數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。數(shù)學(xué)悖論反映了數(shù)學(xué)科學(xué)的一些概念和原理之中還存在著不完善、不準(zhǔn)確之處，有待于數(shù)學(xué)家們進(jìn)一步探討和解決。數(shù)學(xué)就正是在這不斷發(fā)現(xiàn)和解決矛盾的過(guò)程中發(fā)展起來(lái)的。

在第1章中，我們?cè)榻B過(guò)畢達(dá)哥拉斯與他的學(xué)派，也介紹了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派關(guān)于諧音的研究，從而引起了該學(xué)派“萬(wàn)物皆數(shù)”的核心思想。10.2.1希伯索斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)10.2

三次數(shù)學(xué)危機(jī)

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)幾何學(xué)的貢獻(xiàn)很大，最著名的是所謂的“畢達(dá)哥拉斯定理”（即勾股定理）的發(fā)現(xiàn)：任何直角三角形的兩直角邊a、b和斜邊c，都有a2+b2=c2的關(guān)系。據(jù)說(shuō)當(dāng)時(shí)曾屠牛百頭來(lái)歡宴慶賀該定理的發(fā)現(xiàn)。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)學(xué)，把“幾何、算術(shù)、天文學(xué)、音樂(lè)”稱(chēng)為“四藝”，倡導(dǎo)一種“唯數(shù)論”的哲學(xué)觀，“數(shù)”與“和諧”是他們的主要哲學(xué)思想。他們認(rèn)為，宇宙的本質(zhì)是數(shù)的和諧。一切事物都必須而且只能通過(guò)數(shù)學(xué)得到解釋。他們堅(jiān)持的信條是：“宇宙間的開(kāi)始現(xiàn)象都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)的比。”也就是一切現(xiàn)象都可以用有理數(shù)來(lái)描述。圖1例如他們認(rèn)為“任何兩條不等的線(xiàn)段，總有一個(gè)最大公度線(xiàn)段?！逼淝蠓ㄈ鐖D10-1。設(shè)兩條線(xiàn)段AB、CD(|AB|>|CD|)，在AB上用圓規(guī)從一端點(diǎn)A起，連續(xù)截取長(zhǎng)度為CD的線(xiàn)段，使截取的次數(shù)盡可能的多。若沒(méi)有剩余，則CD就是最大公度線(xiàn)段。圖10-1

若有剩余,則設(shè)剩余線(xiàn)段為EB(|EB|<|CD|)，再在CD上截取次數(shù)盡可能多的EB線(xiàn)段，若沒(méi)有剩余，則EB就是最大公度線(xiàn)段。若有剩余，則設(shè)為FD(|FD|<|EB|)，再在EB上連續(xù)截取次數(shù)盡可能多的FD線(xiàn)段，如此反復(fù)下去。由于作圖工具的限制(僅用圓規(guī))總會(huì)出現(xiàn)沒(méi)有剩余的現(xiàn)象。也即最大公度線(xiàn)段總是可以求出的。例如圖10-1中，最后有FD=2GB，所以GB就是AB和CD最大公度線(xiàn)段。并且有，即兩個(gè)整數(shù)之比。即任何兩條線(xiàn)段都可以有最大公度線(xiàn)段，亦即有可公度比。

然而就是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所發(fā)現(xiàn)的畢達(dá)哥拉斯定理，也即是從直角三角形中，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)了“不可公度比”,動(dòng)搖了他們的哲學(xué)信念，產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

相傳，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員希伯索斯(Hippasus)通過(guò)邏輯推理方法發(fā)現(xiàn):“等腰直角三角形的斜邊和直角邊是不可公度的，即不存在最大公度線(xiàn)段”。

希伯索斯從幾何上的邏輯推理是基于如下的思考:如圖2所示，在等腰直角三角形ABC中，按前面方法，為了求AC與AB的最大公度線(xiàn)段，取AD=AC，過(guò)D作DE⊥AB交BC于E，因?yàn)椤螪CE=∠CDE=22.5°，所以|CE|=|DE|=|DB|。則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求DB與BE的最大公度線(xiàn)段，但△BDE又重新構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，往下，只能重復(fù)以上的作法。如此繼續(xù)下去，始終求不出AC與AB的最大公度線(xiàn)段。這就是說(shuō),希伯索斯從幾何上發(fā)現(xiàn)了線(xiàn)段的“不可公度”的存在。圖10-2

這樣一來(lái)就否定了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條一一宇宙間的一切現(xiàn)象都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派不能接受這樣毀滅性的打擊，據(jù)說(shuō)為封鎖消息，竟然把希伯索斯拋進(jìn)大海。還有一種說(shuō)法是畢達(dá)哥拉斯本人已經(jīng)知道不可公度比的存在，但要封鎖這一消息，而希伯索斯因泄密而被處死。本來(lái)希伯索斯對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了重大的貢獻(xiàn)，理應(yīng)受到贊賞，誰(shuí)知反而喪失了生命，希伯索斯是一個(gè)以身殉道的追求真理的先驅(qū)。

大約在公元370年，才華橫溢的希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯和畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生阿契塔給出兩個(gè)比相等的定義，從而消除了這一“丑聞”。他們給出的定義與涉及的量與“是否可公度”無(wú)關(guān)，借助幾何的方法，通過(guò)避免直接出現(xiàn)無(wú)理數(shù)而實(shí)現(xiàn)的。歐多克索斯建立了一整套比例論，其本人著作已失傳，幸而他的成果被保留在歐幾里得《幾何原本》一書(shū)的第五篇中。然而，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)徹底消除是直到19世紀(jì)戴德金實(shí)數(shù)理論建立起來(lái)以后的事。

不可公度比(即無(wú)理數(shù))的發(fā)現(xiàn)對(duì)古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)產(chǎn)生了極大的沖擊。

首先，它表明幾何的某些性質(zhì)與算術(shù)無(wú)關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來(lái)表示；反之，數(shù)卻可以由幾何量表示出來(lái)。

其次，希臘人從此發(fā)現(xiàn)了直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)是不可靠的，推理證明才是可靠的。從此希臘人開(kāi)始由“若干自明的公理和公設(shè)出發(fā),通過(guò)演繹，建立起了龐大而嚴(yán)密的幾何體系，形成了歐幾里得的《幾何原本》”。它不僅是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的自然產(chǎn)物，而且對(duì)西方近代數(shù)學(xué)的形成和發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，當(dāng)時(shí)希臘數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展到這樣的階段:1)數(shù)學(xué)已由經(jīng)驗(yàn)科學(xué)變?yōu)檠堇[科學(xué)；2)把證明引人了數(shù)學(xué)；3)演繹的思考首先出現(xiàn)在幾何學(xué)中，而不是在算術(shù)中，使幾何具有更加重要的地位。這種狀態(tài)一直保持到笛卡兒解析幾何的誕生。

17世紀(jì)由牛頓和萊布尼茨建立起來(lái)的微積分學(xué)，由于在自然科學(xué)中的廣泛應(yīng)用，揭示了許多自然現(xiàn)象，而被高度重視。但是不管是牛頓還是萊布尼茨所創(chuàng)立的微積分都是不嚴(yán)格的，兩人的理論都建立在無(wú)窮小分析上，但他們對(duì)作為基本概念的無(wú)窮小量的理解與運(yùn)用卻是混亂的。存在著明顯的邏輯矛盾。例如，對(duì)求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)牛頓的流數(shù)計(jì)算法，有（1）10.2.2貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)（2）（3）（4）（5）

在上面的推導(dǎo)過(guò)程中，從(3)到(4)，要求△x不等于零，而從(4)到(5)，又要求△x等于零。正因?yàn)樵跓o(wú)窮小量中存在著這類(lèi)矛盾，因而微積分誕生時(shí)就遭到了一些人的反對(duì)與攻擊，其中攻擊最猛烈的是當(dāng)時(shí)頗具影響的英國(guó)紅衣大主教貝克萊。貝克萊

1734年，貝克萊以“渺小的哲學(xué)家”之名出版了一本標(biāo)題很長(zhǎng)的書(shū)——《分析學(xué)家：或一篇致一位不信神數(shù)學(xué)家的論文，其中審查一下近代分析學(xué)的對(duì)象，原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點(diǎn)有更清晰的表達(dá)，或更明顯的推理》。在這里，貝克萊指責(zé)牛頓，是“依靠雙重錯(cuò)誤得到了不科學(xué)卻正確的結(jié)果”。

因?yàn)闊o(wú)窮小量在牛頓的理論中，一會(huì)兒說(shuō)是0，—會(huì)兒又說(shuō)不是0。因此，貝克萊主教嘲笑無(wú)窮小量是“逝去量的幽靈”。貝克萊的攻擊雖說(shuō)出自維護(hù)宗教的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷。

貝克萊的指責(zé)在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界中引起混亂，這就是第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的爆發(fā)。數(shù)學(xué)史上把貝克菜的問(wèn)題稱(chēng)之為“貝克萊悖論”，籠統(tǒng)地說(shuō)，貝克萊悖論可以表述為“無(wú)窮小量究競(jìng)是否為0”的問(wèn)題。

針對(duì)貝克萊的攻擊，牛頓與萊布尼茨都曾試圖通過(guò)完善自己的理論來(lái)解決，但都沒(méi)有獲得成功。這使數(shù)學(xué)家們陷入了尷尬境地。一方面微積分在應(yīng)用中大獲成功，另一方面白己卻存在著邏輯矛盾，這種情形下對(duì)微積分的取舍到底何去何從呢?

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的核心是微積分答礎(chǔ)的不牢固。重建微積分基礎(chǔ)的歷史重任落在了柯西、魏爾斯特拉斯等人身上?？挛鳎–auchy）的貢獻(xiàn)是將微積分建立在極限論的基礎(chǔ)上，而魏爾斯特拉斯(K.T.W.Weierstrass)的貢獻(xiàn)是邏輯地構(gòu)造實(shí)數(shù)論，完成了分析學(xué)的邏輯奠基工作，從而使微積分這座人類(lèi)數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建立在牢固可推的基礎(chǔ)之上。

19世紀(jì)未，由于嚴(yán)格的微積分理論的建立，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)已基本解決。數(shù)學(xué)表達(dá)的精確化和理論系統(tǒng)的公理化思想，深深滲透到人類(lèi)知識(shí)的各個(gè)領(lǐng)域。嚴(yán)格的微積分理論是以實(shí)數(shù)理論為基礎(chǔ)的，而嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論又以集合論為基礎(chǔ)。集合論似乎給數(shù)學(xué)家?guī)?lái)一勞永逸地?cái)[脫基礎(chǔ)危機(jī)的希望，盡管集合論的相容性尚未證明，但許多人認(rèn)為這只是時(shí)間早晚的問(wèn)題。集合論成功地用到了各個(gè)數(shù)學(xué)分支，成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

10.2.3羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

數(shù)學(xué)家們?yōu)樽约籂I(yíng)造的以康托集合論為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)大廈即將竣工而狂歡，認(rèn)為數(shù)學(xué)理論的嚴(yán)密性已經(jīng)完成，特別是基礎(chǔ)理論已不成問(wèn)題。1900年，在巴黎召開(kāi)的第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，法國(guó)大數(shù)學(xué)家龐加萊興奮地宣布：“我們最終達(dá)到了絕對(duì)的嚴(yán)密嗎？在數(shù)學(xué)發(fā)展前進(jìn)的每一階段，我們的前人都堅(jiān)信他們達(dá)到了這一點(diǎn)。如果我們被蒙蔽了，我們是不是也像他們一樣被蒙蔽了？如果我們不厭其煩地嚴(yán)格的話(huà)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)只有三段論或歸結(jié)為純數(shù)的直覺(jué)是不可能欺騙我們的。今天我們可以宣稱(chēng)完全的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了?！?/p>

正當(dāng)數(shù)學(xué)家們陶醉于勝利之中，為由康托所創(chuàng)立的集合論已為大家所接受，并深入到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支而歡欣鼓舞時(shí)，數(shù)學(xué)史上的一場(chǎng)新的危機(jī)正在降臨。僅僅過(guò)了兩年，數(shù)學(xué)大廈受到了又一次強(qiáng)烈的沖擊，人們?cè)僖淮伟l(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)出現(xiàn)了更大的裂痕，甚至有人認(rèn)為，整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基石有崩塌的危險(xiǎn)。這就是羅素悖論的出現(xiàn)。康托爾1902年6月羅素寫(xiě)信給德國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷格(E.I.G.Frege)，告訴他自己發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)悖論，意思是這樣的：集合可以按以下的方法分為兩類(lèi)。一類(lèi)集合是它本身不是自己的元素，如自然數(shù)集絕不是一個(gè)自然數(shù)；另一類(lèi)集合是它本身是自己的元素，如一切集合組成的集合，仍是一個(gè)集合，因此它本身也屬于這個(gè)集合。羅素

我們把所有屬于第一類(lèi)的集合歸在一起，又可構(gòu)成一個(gè)集合，不妨記作A?，F(xiàn)在問(wèn)，集合A屬于上面的哪一類(lèi)？如果A屬于第一類(lèi)，則A本身就是自己的元素，那么它應(yīng)當(dāng)屬于第二類(lèi)；如果A屬于第二類(lèi)，那么A當(dāng)然不能屬于第一類(lèi)。也就是說(shuō)，A本身不是自己的元素，而這樣根據(jù)第一類(lèi)集合的定義，A又應(yīng)當(dāng)屬于第一類(lèi)。因?yàn)锳是康托爾意義下的集合，應(yīng)當(dāng)二者必居其一，于是這個(gè)問(wèn)題的回答被弄得無(wú)所適從了。羅素這一悖論以其簡(jiǎn)單明了的方式，揭開(kāi)了當(dāng)時(shí)作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的康托爾集合論本身的矛盾重重的蓋子，震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界。當(dāng)弗雷格剛要出版《算術(shù)的基本法則》第二卷時(shí)，收到羅素的信后，他寫(xiě)道：“對(duì)一位科學(xué)家來(lái)說(shuō)，最難過(guò)的事情莫過(guò)于在他的工作即將結(jié)束時(shí)，其基礎(chǔ)崩潰了，羅素先生的一封信正好把我置身于這個(gè)境地?！?/p>

戴德金(J.W.R.Dedekind)也因此推遲了他的《什么是數(shù)的本質(zhì)和作用》一文的再版。發(fā)現(xiàn)拓?fù)鋵W(xué)中“不動(dòng)點(diǎn)原理”的布勞威爾(I.E.G.BrOuwer)，認(rèn)為白己過(guò)去的工作都是“廢活”，聲稱(chēng)要放棄不動(dòng)點(diǎn)理論。羅素

連大數(shù)學(xué)家龐加萊后來(lái)也不得不改口說(shuō)：“我們?cè)O(shè)置柵欄，把羊群圍住，免受狼的侵襲。但是很可能在圍柵欄時(shí)就已經(jīng)有一條狼被圍在其中了?！?/p>

這一悖論使號(hào)稱(chēng)數(shù)學(xué)又一次陷入了自相矛盾的危機(jī)。為了使這個(gè)悖論更加通俗易懂，羅素本人在1919年將其改為前面提到的“理發(fā)師悖論”。

羅素悖論即是對(duì)于任一集合考慮其是否屬于自身的問(wèn)題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫(xiě)出來(lái)就是：設(shè)有集合

，由于是一個(gè)集合，

則有問(wèn)題：“

是否屬于自身？”如果

，由S0的定義知，

；如果

，

由的定義又知

，從而矛盾是不可避免的。

危機(jī)產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家紛紛提出自己的解決方案。

1908年策墨羅(E.Zen1elo)采用把集合論公理化的方法來(lái)消除悖論，即對(duì)集合論建立新的原則，這些原則一方面必須是夠狹窄，以保證排除矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價(jià)值的內(nèi)容得以保存下來(lái)。

后來(lái)經(jīng)過(guò)其他數(shù)學(xué)家的改進(jìn)，演變?yōu)閆F或ZFS系統(tǒng)。馮·諾伊曼等開(kāi)辟集合論的另一公理化的NBG系統(tǒng)也克服了悖論,但還仍有一些問(wèn)題。

以后加上哥德?tīng)?K.Godel)、科恩(Cohen)等人的努力，到1983年，建立了公理化集合論，即要求集合必須滿(mǎn)是ZFG公理系統(tǒng)統(tǒng)中十條公理的限制，成功地排除了集合論中出現(xiàn)的悖論。

一般地，現(xiàn)今的普遍看法是，公理化集合論（ZF系統(tǒng)或BG系統(tǒng)）已經(jīng)為目前的數(shù)學(xué)研究提供了一個(gè)合適的基礎(chǔ)。這是因?yàn)椋旱谝?，所有已知的（邏?數(shù)學(xué)）悖論在這兩個(gè)系統(tǒng)中都得到了排除；第二，在這兩個(gè)系統(tǒng)中，至今尚未發(fā)現(xiàn)新的悖論；第三，公理化已是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要傾向。

另一方面，羅素悖論對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有著深遠(yuǎn)的影響，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的深入研究。

圍繞數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭(zhēng)，使得許多數(shù)學(xué)家卷入一場(chǎng)大辯論當(dāng)中。他們看到這次危機(jī)涉及到數(shù)學(xué)的根本。因此必須對(duì)數(shù)學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ)加以嚴(yán)密的考察。

在這場(chǎng)大辯論中。原來(lái)不明顯的意見(jiàn)分歧擴(kuò)展成為學(xué)派的爭(zhēng)論，三大數(shù)學(xué)哲學(xué)學(xué)派應(yīng)運(yùn)而生：

一是以羅素為代表的邏輯主義學(xué)派。他們的基本觀點(diǎn)是“數(shù)學(xué)即邏輯”。羅素說(shuō)，“邏輯是數(shù)學(xué)的青年時(shí)代，數(shù)學(xué)是邏輯的壯年時(shí)代”，即認(rèn)為數(shù)學(xué)是邏輯的延伸。只要不容許“集合的集合”這種邏輯語(yǔ)言出現(xiàn)，悖論就不會(huì)發(fā)生。

二是以布勞威爾(D.Brouwer)為代表的直覺(jué)主義學(xué)派。他們認(rèn)為數(shù)學(xué)理論的真?zhèn)沃荒苡萌说闹庇X(jué)去判斷。他們的名言是“存在必須是被構(gòu)造”。他們認(rèn)為“全體實(shí)數(shù)是不可接受的概念，“一切集合的集合”的概念更是不可理解，不承認(rèn)這些，悖論就不會(huì)出現(xiàn)。

三是以希爾伯特為代表的形式主義。1904年，希爾伯特開(kāi)始提出其著名的希爾伯特綱領(lǐng)，其基本思想是將古典數(shù)學(xué)表示成形式的公理系統(tǒng)，然后證明這一系統(tǒng)是相容的和完備的（即任一系統(tǒng)內(nèi)可表命題都可在系統(tǒng)內(nèi)得到判定），并尋找可以在有限步驟內(nèi)判定一命題可證明性的方法。 他們認(rèn)為公理只是一行符號(hào)，無(wú)所謂真假。只要能夠證明公理系統(tǒng)是相容的，這個(gè)公理系統(tǒng)便得到承認(rèn)，它便代表一種真理，悖論是公理系統(tǒng)不相容的一種表現(xiàn)。 1928年奧地利數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家哥德?tīng)栐凇稊?shù)學(xué)物理月刊》上發(fā)表了《論〈數(shù)學(xué)原理>和有關(guān)系統(tǒng)中的形式不可判定命題》一文，提出了著名的哥德?tīng)柌煌耆?。定理大意是說(shuō)，在一個(gè)形式系統(tǒng)中總存在一個(gè)不可判定的公式，而這個(gè)公式是真的。從該定理還可以推出這樣一個(gè)結(jié)論，一個(gè)非常強(qiáng)的形式系統(tǒng)的相容性是不可證明的。

哥德?tīng)柖ɡ砀嬖V我們，即使在數(shù)學(xué)這樣被認(rèn)為最可靠的知識(shí)中，也不存在所謂的“終極真理”。這樣以來(lái)，數(shù)學(xué)就只能從神壇上走下來(lái)，顯露其文化本性。數(shù)學(xué)只是一種文化。數(shù)學(xué)知識(shí)無(wú)疑是真實(shí)的，有意義的，但這些都無(wú)疑與其文明和文化背景息息相關(guān)。數(shù)學(xué)不是科學(xué)王國(guó)中的神，它處于永遠(yuǎn)的創(chuàng)造之中。哥德?tīng)?/p>

哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼淖C明暴露了各派的弱點(diǎn)，使得哲學(xué)的爭(zhēng)論黯淡下來(lái)，但此后，三大學(xué)派的研究工作，取得了不少積極成果。一個(gè)直接的結(jié)果，就是數(shù)理邏輯與計(jì)算技術(shù)、電子技術(shù)的結(jié)合，帶來(lái)了20世紀(jì)最重要的一次技術(shù)革命——電子計(jì)算機(jī)的誕生。

數(shù)學(xué)中的矛盾既然是固有的，它的激烈沖突使得危機(jī)就不可避免，危機(jī)的解決給數(shù)學(xué)帶來(lái)了許多新認(rèn)識(shí)、新內(nèi)容，有時(shí)甚至是革命性的變化。在集合論的基礎(chǔ)上，誕生了抽象代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析與測(cè)度論，數(shù)理邏輯成為了數(shù)學(xué)有機(jī)整體的一部分；代數(shù)幾何、微分幾何、復(fù)分析已經(jīng)推廣到了高維。悖論給數(shù)學(xué)大廈造成的地震，不但沒(méi)有摧垮這座歷經(jīng)數(shù)千年創(chuàng)造出來(lái)的宏偉建筑，而且引發(fā)出了一系列有意義的新創(chuàng)造：悖論的發(fā)現(xiàn)和消除成了數(shù)學(xué)發(fā)展的一種巨大的動(dòng)力。

數(shù)學(xué)危機(jī)，不僅沒(méi)有擊垮數(shù)學(xué)，反而促使了數(shù)學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)危機(jī)具有豐富的文化內(nèi)涵，它帶來(lái)了人們對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的改變。10.3

數(shù)學(xué)危機(jī)的文化意義

在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史上，一直貫穿著矛盾的斗爭(zhēng)和解決。而矛盾的消除，危機(jī)的解決，往往給數(shù)學(xué)帶來(lái)新的內(nèi)容、新的進(jìn)展，甚至引起革命性的變更。在處理矛盾和危機(jī)的過(guò)程中，數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行了一系列創(chuàng)造，這首先表現(xiàn)在新概念的產(chǎn)生：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)促成了公理幾何與邏輯的誕生；笫二次數(shù)學(xué)危機(jī)促成了分析基礎(chǔ)理論——實(shí)數(shù)理論與極限理論的誕生；第三次數(shù)學(xué)危機(jī)促成了數(shù)理邏輯的發(fā)展與一批新數(shù)學(xué)的誕生。新成果的不斷出現(xiàn)，使數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出無(wú)比興旺發(fā)達(dá)的景象，矛盾促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。10.3.1數(shù)學(xué)悖論是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力之一

數(shù)學(xué)的抽象性是數(shù)學(xué)的一個(gè)突出特征，數(shù)學(xué)對(duì)象的自由建構(gòu)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)突出表現(xiàn)。由于數(shù)學(xué)是“人類(lèi)創(chuàng)造性思維的產(chǎn)物，特別是，數(shù)學(xué)的客觀內(nèi)容不僅涉及到了客觀的物質(zhì)存在，而且也涉及到了人類(lèi)自身的活動(dòng)——如果考慮到數(shù)學(xué)的高