高中數(shù)學(xué)選修21講義第一章12簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

如圖所示，有三種電路圖．問(wèn)題1：甲圖中，什么情況下燈亮？提示：開(kāi)關(guān)p閉合且q閉合．問(wèn)題2：乙圖中，什么情況下燈亮？提示：開(kāi)關(guān)p閉合或q閉合．問(wèn)題3：丙圖中，什么情況下燈不亮？提示：開(kāi)關(guān)p不閉合時(shí)．這里的“或”“且”“非”稱為邏輯聯(lián)結(jié)詞.如知識(shí)點(diǎn)一中的圖，若開(kāi)關(guān)p、q的閉合與斷開(kāi)分別對(duì)應(yīng)命題p、q的真與假，則燈亮與不亮分別對(duì)應(yīng)著p∧q、p∨q、綈p的真與假．問(wèn)題1：什么情況下，p∧q為真？提示：當(dāng)p真，q真時(shí)．問(wèn)題2：什么情況下，p∨q為假？提示：當(dāng)p假，q假時(shí)．問(wèn)題3：什么情況下，?p為真？提示：當(dāng)p假時(shí)．1．一般地，通常用小寫(xiě)拉丁字母p，q，r表示命題，用聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”把p，q聯(lián)結(jié)起來(lái)，就得到新命題，“p或q”、“p且q”、“非p”．“p或q”記作“p∨q”；“p且q”記作“p∧q”；“非p”記作“?p”．2．一般地，“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命題的真假性可以用下面表格分別表示：(1)命題p且q的真假性：pqp且q真真真真假假假真假假假假(2)命題p或q的真假性：pqp或q真真真假真真真假真假假假(3)p與?p的真假性：p?p真假假真命題“p∧q”的真假，概括為同真為真，有假為假；命題“p∨q”的真假，概括為同假為假，有真為真；命題p與“?p”的真假相反．[例1]指出下列命題分別由“p且q”“p或q”“非p”中的哪種形式構(gòu)成，并寫(xiě)出其中的命題p，q：(1)兩個(gè)角是45°的三角形是等腰直角三角形；(2)方程x2－3＝0沒(méi)有有理根；(3)如果xy<0，則點(diǎn)P(x，y)的位置在第二或第三象限．[思路點(diǎn)撥]根據(jù)命題的含義，確定邏輯聯(lián)結(jié)詞，分解出命題p和q.[精解詳析](1)“p且q”的形式；其中p：兩個(gè)角是45°的三角形是等腰三角形；q：兩個(gè)角是45°的三角形是直角三角形；(2)“非p”的形式；p：方程x2－3＝0有有理根；(3)“p或q”的形式；其中p：如果xy<0，則點(diǎn)P(x，y)的位置在第二象限：q：如果xy<0，則點(diǎn)P(x，y)的位置在第三象限．[一點(diǎn)通]正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)各命題的語(yǔ)句中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞或語(yǔ)句的意義確定命題的形式．若命題中沒(méi)有出現(xiàn)邏輯聯(lián)結(jié)詞，則可根據(jù)語(yǔ)句的意義確定命題的構(gòu)成形式．1．分別指出下列命題的形式及構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題：(1)2既不是偶數(shù)，也不是質(zhì)數(shù)；(2)王某是體操運(yùn)動(dòng)員或跳水運(yùn)動(dòng)員；(3)正方形既是矩形，也是菱形；(4)僅有一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形或平行四邊形；(5)方程2x2－x＋1＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根．解：(1)這個(gè)命題是“p且q”的形式，其中p：2不是偶數(shù)，q：2不是質(zhì)數(shù)；(2)這個(gè)命題是“p或q”的形式，其中p：王某是體操運(yùn)動(dòng)員，q：王某是跳水運(yùn)動(dòng)員；(3)這個(gè)命題是“p且q”的形式，其中p：正方形是矩形，q：正方形是菱形；(4)這個(gè)命題是“p或q”的形式，p：僅有一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形，q：僅有一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形．(5)這個(gè)命題是“?p”形式，其中p：方程2x2－x＋1＝0有實(shí)數(shù)根．2．分別指出下列命題的形式及構(gòu)成它的命題：(1)相似三角形周長(zhǎng)相等或?qū)?yīng)角相等；(2)方程x2－3x－4＝0的根是－4或1；(3)a?A.解：(1)這個(gè)命題是“p∨q”的形式，其中p：相似三角形周長(zhǎng)相等；q：相似三角形對(duì)應(yīng)角相等．(2)這個(gè)命題是“p∨q”的形式，其中p：方程x2－3x－4＝0的一個(gè)根是－4，q：方程x2－3x－4＝0的一個(gè)根是1.(3)這個(gè)命題是“?p”的形式，其中p：a∈A.[例2]寫(xiě)出由下列各組命題構(gòu)成的“p且q”“p或q”和“非p”形式的命題：(1)p：6是自然數(shù)；q：6是偶數(shù)；(2)p：??{0}；q：?＝{0}；(3)p：甲是運(yùn)動(dòng)員；q：甲是教練員．[思路點(diǎn)撥]根據(jù)p，q語(yǔ)句上的要求，正確使用聯(lián)結(jié)詞，寫(xiě)成三種形式．[精解詳析](1)p且q：6是自然數(shù)且是偶數(shù)．p或q：6是自然數(shù)或是偶數(shù)．非p：6不是自然數(shù)．(2)p且q：??{0}且?＝{0}．p或q：??{0}或?＝{0}．非p：?{0}．(3)p且q：甲是運(yùn)動(dòng)員且是教練員．p或q：甲是運(yùn)動(dòng)員或是教練員．非p：甲不是運(yùn)動(dòng)員．[一點(diǎn)通]用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”、“或”、“非”聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題時(shí)，關(guān)鍵是正確理解這些詞語(yǔ)的意義及其與日常用語(yǔ)中的同義詞的區(qū)別，選擇合適的聯(lián)結(jié)詞．有時(shí)，為了語(yǔ)法的要求及語(yǔ)句的通順，也可進(jìn)行適當(dāng)?shù)氖÷院妥冃危?．分別寫(xiě)出由下列命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命題．(1)p：梯形有一組對(duì)邊平行，q：梯形有一組對(duì)邊相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．解：(1)p且q：梯形有一組對(duì)邊平行且有一組對(duì)邊相等．p或q：梯形有一組對(duì)邊平行或有一組對(duì)邊相等．非p：梯形沒(méi)有一組對(duì)邊平行．(2)p且q：－1與－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．非p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．4．寫(xiě)出由下列各組命題構(gòu)成的“p或q”、“p且q”和“非p”形式的新命題：(1)p：2014是正數(shù)，q：2014是負(fù)整數(shù)；(2)p：1是方程x2＋2x－3＝0的根，q：1是質(zhì)數(shù)．解：(1)“p或q”形式的新命題：2014是正數(shù)或2014是負(fù)整數(shù)．“p且q”形式的新命題：2014是正數(shù)且2014是負(fù)整數(shù)．“非p”形式的新命題：2014不是正數(shù)．(2)“p或q”形式的新命題：1是方程x2＋2x－3＝0的根或是質(zhì)數(shù)．“p且q”形式的新命題：1是方程x2＋2x－3＝0的根且是質(zhì)數(shù)．“非p”形式的新命題：1不是方程x2＋2x－3＝0的根.[例3]寫(xiě)出下列命題的否定，并判斷真假：(1)p：y＝cosx不是周期函數(shù)；(2)p：2和3都是奇數(shù)；(3)p：8>7.[思路點(diǎn)撥]對(duì)命題的判斷詞或關(guān)鍵詞進(jìn)行全盤(pán)否定即可．[精解詳析](1)?p：y＝cosx是周期函數(shù)．由于命題p是假命題，所以?p是真命題．(2)?p：2和3不都是奇數(shù)．由于命題p是假命題，所以?p是真命題．(3)?p：8≤7.由于命題p是真命題，所以?p是假命題．[一點(diǎn)通]寫(xiě)出命題的否定(非)，需要對(duì)其正面敘述的詞語(yǔ)進(jìn)行否定，常用的正面敘述的詞語(yǔ)及它的否定列表如下：正面詞語(yǔ)否定等于不等于大于(＞)不大于(≤)小于(＜)不小于(≥)是不是都是不都是p或q非p且非q至多有一個(gè)至少有兩個(gè)至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有正面詞語(yǔ)否定任意的某個(gè)所有的某些至多有n個(gè)至少有n＋1個(gè)任意兩個(gè)某兩個(gè)p且q非p或非q5．寫(xiě)出下列命題的否定，并判斷真假：(1)p：y＝tanx的定義域是R；(2)p：1,2,3至少有一個(gè)是奇數(shù)；(3)p：1,2,3至多有一個(gè)是奇數(shù)．解：(1)?p：y＝tanx的定義域不是R.由于命題p是假命題，所以綈p是真命題．(2)?p：1,2,3都不是奇數(shù)．由于命題p是真命題，所以綈p是假命題．(3)?p：1,2,3至少有兩個(gè)是奇數(shù)．由于命題p是假命題，所以綈p是真命題．6．寫(xiě)出下列命題的否定：(1)△ABC是直角三角形或等腰三角形；(2)4,5都是方程x2－5x＋4＝0的根；(3)他是數(shù)學(xué)家或物理學(xué)家；(4)他既是班干部又是學(xué)生會(huì)干部．解：(1)△ABC既不是直角三角形又不是等腰三角形．(2)4,5不都是方程x2－5x＋4＝0的根．(3)他既不是數(shù)學(xué)家也不是物理學(xué)家．(4)他不是班干部或他不是學(xué)生會(huì)干部．[例4]分別指出下列各組命題構(gòu)成的“p∧q”“p∨q”“?p”形式的命題的真假：(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p：函數(shù)y＝x2＋x＋2的圖像與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)．q：不等式x2＋x＋2<0無(wú)解；(3)p：函數(shù)y＝cosx是周期函數(shù)．q：函數(shù)y＝cosx是奇函數(shù)．[思路點(diǎn)撥]先判斷命題p、q的真假，再判斷“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假．[精解詳析](1)∵p為假命題，q為真命題，∴p∧q為假命題，p∨q為真命題，?p為真命題．(2)∵p為真命題，q為真命題，∴p∧q為真命題，p∨q為真命題，?p為假命題．(3)∵p為真命題，q為假命題，∴p∧q為假命題，p∨q為真命題，?p為假命題．[一點(diǎn)通]判斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假的步驟：(1)確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，是“p∧q”、“p∨q”還是“綈p”形式；(2)判斷其中簡(jiǎn)單命題p，q的真假；(3)根據(jù)真值表判斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假．7．分別指出由下列各組命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”的形式的命題的真假：(1)p：a2＋1≥1，q：2＞3；(2)p：2＋2＝5，q：3＞2；(3)p：1∈{1,2}，q：{1}?{1,2}；(4)p：??{0}，q：?＝{0}．解：pqp或qp且q(1)真假真假(2)假真真假(3)真真真真(4)真假真假8.分別指出下列命題的構(gòu)成形式及各命題的真假：(1)全等三角形周長(zhǎng)相等或?qū)?yīng)角相等；(2)9的算術(shù)平方根不是－3；(3)垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩段弧．解：(1)這個(gè)命題是p∨q的形式，其中p：全等三角形周長(zhǎng)相等，q：全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，因?yàn)閜真q真，所以p∨q為真．(2)這個(gè)命題是?p的形式，其中p：9的算術(shù)平方根是－3，因?yàn)閜假，所以綈p為真．(3)這個(gè)命題是p∧q的形式，其中p：垂直于弦的直徑平分這條弦，q：垂直于弦的直徑平分這條弦所對(duì)的兩段弧，因?yàn)閜真q真，所以p∧q為真.1．正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞是解題的關(guān)鍵，日常用語(yǔ)中的“或”是兩個(gè)中任選一個(gè)，不能都選，而邏輯聯(lián)結(jié)詞中的“或”表示兩個(gè)中至少選一個(gè)．2．命題的否定只否定結(jié)論，而否命題既否定條件又否定結(jié)論，要注意區(qū)別．課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（三）1．命題“正方形的兩條對(duì)角線互相垂直平分”的構(gòu)成形式是________．解析：正方形的兩條對(duì)角線互相垂直并且平分，是p且q的形式．答案：p且q2．由命題p：6是12的約數(shù)，q：6是24的約數(shù)，構(gòu)成的“p或q”形式的命題是________________________________________________________________________，“p且q”形式的命題是________________________________________________，“非p”形式的命題是_________________________________________________．答案：6是12或24的約數(shù)6是12的約數(shù)且是24的約數(shù)6不是12的約數(shù)3．“末位數(shù)字是1或3的整數(shù)不能被8整除”的否定形式是____________________，否命題是________________________________________________________________________．解析：命題的否定僅否定結(jié)論，所以該命題的否定形式是：末位數(shù)字是1或3的整數(shù)能被8整除；而否命題要同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所以否命題是：末位數(shù)字不是1且不是3的整數(shù)能被8整除答案：末位數(shù)字是1或3的整數(shù)能被8整除末位數(shù)字不是1且不是3的整數(shù)能被8整除4．若p是真命題，q是假命題，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是________．①p∧q是真命題②p∨q是假命題③?p是真命題④?q是真命題解析：p是真命題，則?p是假命題．q是假命題，則?q是真命題．故p∧q是假命題，p∨q是真命題．答案：①②③5．已知命題p：若a>1，則ax>logax恒成立；命題q：在等差數(shù)列{an}中，m＋n＝p＋q是am＋an＝ap＋aq成立的充分不必要條件(m，n，p，q∈N*)，則下面為真命題的是________．①(?p)∧(?q)；②(?p)∨(?q)；③p∨(?q)；④p∧q.解析：當(dāng)a＝1.1，x＝2時(shí)，ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.21＝2，此時(shí)，ax<logax，故p為假命題．命題q，由等差數(shù)列的性質(zhì)，當(dāng)m＋n＝p＋q時(shí)，an＋am＝ap＋aq成立，當(dāng)公差d＝0時(shí)，由am＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命題．故?p是真命題，?q是假命題，所以p∧q為假命題，p∨(?q)為假命題，(?p)∧(?q)為假命題，(?p)∨((?q)為真命題．答案：②6．分別指出下列命題的形式及構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題：(1)12可以被3或4整除；(2)3是12和15的公約數(shù)．解：(1)這個(gè)命題是“p或q”的形式，其中p：12可以被3整除；q：12可以被4整除．(2)這個(gè)命題是“p且q”的形式，其中p：3是12的約數(shù)；q：3是15的約數(shù)．7．寫(xiě)出下列各命題的否定形式及否命題：(1)面積相等的三角形是全等三角形；(2)若m2＋n2＋a2＋b2＝0，則實(shí)數(shù)m，n，a，b全為零；(3)若xy＝0，則x＝0或y＝0.解：(1)否定形式：面積相等的三角形不一定是全等三角形；否命題：面積不相等的三角形不是全等三角形．(2)否定形式：若m2＋n2＋a2＋b2＝0，則實(shí)數(shù)m，n，a，b不全為零；否命題：若m2＋n2＋a2＋b2≠0，則實(shí)數(shù)m，n，a，b不全為零．(3)否定形式：若xy＝0，則x≠0且y≠0；否命題：若xy≠0，則x≠0且y≠0.8．寫(xiě)出下列各組命題構(gòu)成的“p或q”、“p且q”以及“非p”形式的命題，并判斷它們的真假．(1)p：eq\r(5)是有理數(shù)，q：eq\r(5)是整數(shù)；(2)p：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)，q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)．解：(1)p或q：eq\r(5)是有理數(shù)或eq\r(5)是整數(shù)；p且q：eq\r(5)是有理數(shù)且eq\r(5)是整數(shù)；非p：eq\r(5)不是有理數(shù)．因?yàn)閜假，q假，所以p或q為假，p且q為假，非p為真．(2)p或q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)或不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)；p且q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)且不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)；非p：不等式x2－2x－3＞0的解集不是(－∞，－1)．因?yàn)閜假，q假，所以p或q假，p且q假，非p為真．7．命題p：實(shí)數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2<0(a>0)，命題q：實(shí)數(shù)x滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－1|≤2，,\f(x＋3,x－2)≥0.))(1)若a＝1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)若q??p，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)由于a＝1，則x2－4ax＋3a2<0?x2－4x＋3<0?1<x<3.所以p：1<x<3.解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－1|≤2，,\f(x＋3,x－2)≥0))得2<x≤3，所以q：2<x≤3.由于p∧q為真，所以p，q均是真命題，解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<3，,2<x≤3))得2<x<3，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(2,3)．(2)?p：x2－4ax＋3a2≥0，a>0，x2－4ax＋3a2≥0?(x－a)(x－3a)≥0?x≤a或x≥3a，所以?p：x≤a或x≥3a，設(shè)A＝{x|x≤a或x≥3a}，由(1)知q：2<x≤3，設(shè)B＝{x|2<x≤3}．由于q??p，所以B