第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式（知識通關(guān)詳解）-【單元測試】2023數(shù)學分層訓練AB卷（原卷版）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式專題詳解精講溫故知新（一）不等式與不等關(guān)系1、應(yīng)用不等式（組）表示不等關(guān)系；不等式的主要性質(zhì)：(1)對稱性：(2)傳遞性：(3)加法法則：；(同向可加)(4)乘法法則：；(同向同正可乘)倒數(shù)法則：(6)乘方法則：(7)開方法則：2、應(yīng)用不等式的性質(zhì)比較兩個實數(shù)的大?。鹤鞑罘ǎㄗ鞑睢冃巍袛喾枴Y(jié)論）3、應(yīng)用不等式性質(zhì)證明不等式例1：1．（2019·浙江·高考真題）若，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2014·四川·高考真題（文））若則一定有A． B． C． D．3．（2022·上海崇明·二模）如果，那么下列不等式中正確的是（

）A． B．C． D．4．（2022·上海交大附中模擬預(yù)測）已知，，則下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．舉一反三1．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）設(shè)、均為非零實數(shù)且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預(yù)測（文））已知且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（多選）（2022·廣東佛山·模擬預(yù)測）下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，，則4．（2013·全國·高考真題（文））設(shè)滿足約束條件，則的最大值為______．（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：設(shè)相應(yīng)的一元二次方程的兩根為，，則不等式的解的各種情況如下表：二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根無實根R例2：1．（2015·天津·高考真題（理））設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2019·天津·高考真題（文））設(shè)，使不等式成立的的取值范圍為__________.舉一反三1．（2022·安徽·合肥市第八中學模擬預(yù)測（文））不等式成立是不等式成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2015·廣東·高考真題（文））不等式的解集為_________．（用區(qū)間表示）．2、簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。例3：1．（2022·天津·一模）已知，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件舉一反三1．（2022·陜西·武功縣普集高級中學一模（文））使不等式成立的一個充分不必要條件是（

）A．且 B．C． D．2．（2022·陜西·咸陽市高新一中高一期中）不等式的解集是_________3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。例4：1．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件舉一反三1．（2017·上?！じ呖颊骖}）不等式的解集為________2．（2022·河南河南·一模（理））若成立的一個充分不必要條件是，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．（二）基本不等式1．若a,b∈R,則a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時取等號.2．如果a,b是正數(shù)，那么變形：有:a+b≥；ab≤,當且僅當a=b時取等號.3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),當且僅當a=b時,a+b有最小值;如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),當且僅當a=b時,ab有最大值.注：（1）當兩個正數(shù)的積為定值時，可以求它們和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定值時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．（2）求最值的重要條件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1）(根據(jù)目標不等式左右的運算結(jié)構(gòu)選用)；（2）a、b、cR，（當且僅當時，取等號）；（3）若，則（糖水的濃度問題）。例5：1．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學模擬預(yù)測）若、，且，則的最小值為（

）．A． B． C． D．2．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））若實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2022·上海虹口·二模）函數(shù)的值域為_________.4．（2022·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測）已知正數(shù)，則的最大值為_________．舉一反三1．（2022·上海黃浦·二模）若、均為非零實數(shù)，則不等式成立的一個充要條件為（

）．A． B． C． D．2．（2022·青?！ず|市第一中學模擬預(yù)測（文））已知是圓上一點，則的最大值為（

）A． B．C． D．3．（2022·湖南·金海學校高一期中）若，則的最小值為_____.4．（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為____________．5．（2017·山東·高考真題（文））若直線過點，則的最小值為________．6．（2020·天津·高考真題）已知，且，則的最小值為_________．拓展提升（一）（含參一元二次不等式分類討論） 三個兩次之間的關(guān)系含參一元二次不等式常用的分類方法有三種：一、按項的系數(shù)的符號分類，即;例1解不等式：分析：本題二次項系數(shù)含有參數(shù)，，故只需對二次項系數(shù)進行分類討論。舉一反三解不等式二、按判別式的符號分類，即；例2解不等式分析本題中由于的系數(shù)大于0,故只需考慮與根的情況。舉一反三解不等式三、按方程的根的大小來分類，即；例3解不等式舉一反三例6、若關(guān)于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍。（拓展提升（二）（含參一元二次不等式恒成立問題）“含參不等式恒成立問題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機地結(jié)合起來，其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學思想對鍛煉學生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨到的作用。本文就結(jié)合實例談?wù)勥@類問題的一般求解策略。

一、判別式法若所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地，對于二次函數(shù),有1）對恒成立;2）對恒成立例1：若不等式的解集是R，求m的范圍。舉一反三1．已知關(guān)于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或二、最值法將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法，其一般類型有：1）恒成立2）恒成立例2、若時，不等式恒成立，求的取值范圍。舉一反三關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則的取值范圍為________．三、分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強。一般地有：1）恒成立2）恒成立例3、已知時，不等式恒成立，求的取值范圍。舉一反三若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問題時，若能適時的把主元變量和參數(shù)變量進行“換位”思考，往往會使問題降次、簡化。例4．對任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問題。舉一反三當時，不等式恒成立，求的取值范圍．分類討論法處理含參不等式恒成立的某些問題時，有些時候需要對參數(shù)進行討論。例5．若不等式對一切都成立，則a的最小值為（

）A．0 B