2024年內(nèi)蒙古赤峰市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（附答案解析）

2024年內(nèi)蒙古赤峰市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）（2024?赤峰一模）已知復(fù)數(shù)z滿足z另T,2為z的共軌復(fù)數(shù)，z—2等于（）

A.2iB.-2iC.1D.-i

2.（5分）（2024?赤峰一模）若全集U=R,集合A={xeZ|/<25},8={x|x-2W0},則A

n（CuB）=（）

A.{2,3,4}B.{3,4}C.{x|2?5}D.{x|2<x<5}

3.（5分）（2024?赤峰一模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）

1

A.y=sin2xB.y=\2x-1|C./D.y=ln\x\

1

4.（5分）（2024?赤峰一模）已知實(shí)數(shù)a=53,b=logs3,c=log^S,則mb,c這三個(gè)

5

數(shù)的大小關(guān)系是（）

A.c<a〈bB.b<-c<~aC.c〈b〈aD.a<c<b

5.（5分）（2024?赤峰一模）已知直線/：y=x+b,QO：?+/=4,則u\b\<2n是“直線/

與。。相交”的（）

A.充分必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分而不必要條件

D.既不充分也不必要條件

6.（5分）（2024?赤峰一模）已知拋物線C：f=4x的焦點(diǎn)為R點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4,3）,P

為C上一點(diǎn)，貝的最小值為（）

A.4V2B.2V3C.6D.5

7.（5分）（2024?赤峰一模）為了測(cè)量西藏被譽(yù)稱為“阿里之巔”岡仁波齊山峰的高度，通

常采用人工攀登的方式進(jìn)行，測(cè)量人員從山腳開(kāi)始，直到到達(dá)山頂分段測(cè)量過(guò)程中，己

知豎立在B點(diǎn)處的測(cè)量覘標(biāo)高20米，攀登者們?cè)贏處測(cè)得，到覘標(biāo)底點(diǎn)B和頂點(diǎn)C的

仰角分別為45°,75°,則A,2的高度差約為（）

A.7.32米B.7.07米C.27.32米D.30米

8.（5分）（2024?赤峰一模）已知遞增的等比數(shù)列｛?｝的前〃項(xiàng)和為甑，若。3=12,42+1

是m與。3-1的等差中項(xiàng)，貝|S3=（）

A.21B.21或57C.21或75D.57

9.（5分）（2024?赤峰一模）七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方模板”，

它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖是一

個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為

（）

9537

A.——B.—C.一D.—

3216816

10.（5分）（2024?赤峰一模）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》

中，后人稱為“三角垛”,“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)

11

球，第四層有10個(gè)球,…，設(shè)從上往下各層的球數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛〃〃｝,則一+—+--F

1

a2024

2023404840462023

A.-------B.C.-------D.-------

2024202520251012

11.（5分）（2024?赤峰一模）過(guò)雙曲線C；圣―、=l（a>0,b>0）的右頂點(diǎn)A作斜率為1

71T

的直線/,與C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)尸.Q,若PA另PQ,則雙曲線C的離心率為

（）

2V3V5V64V2

A.-----B.—C.—D.-----

3223

12.（5分）（2024?赤峰一模）已知函數(shù)/（x）定義域?yàn)镽,g（x）="-ex,h（x）=sin2x,

則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）

①若VxER,f（x-1）<f（x）,則函數(shù)/（%）+g（x）在R上是增函數(shù)

②若Vxi,X2GR,If（XI）（%2）|W|g（XI）+g（X2）I，則函數(shù)/（x）是奇函數(shù)

③若Vxi,X2GR,\f（XI）-f（X2）\^\h（XI）-h（X2）I，則函數(shù)/（x）是周期函數(shù)

11

e—f

④若x2（22）且%1W%2,，（xi）-f（X2）\^\h（xi）-h（X2）則函數(shù)/

（X）+h（無(wú)）在區(qū)間（―上》上單調(diào)遞增，函數(shù)/（尤）-h（X）在區(qū)間（―，務(wù)上單調(diào)

遞減

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）（2024?赤峰一模）有3名同學(xué)同時(shí)被邀請(qǐng)參加一項(xiàng)活動(dòng)，必須有人去，去幾人

自行決定，共有種不同的去法.（用數(shù)字回答）

T—TT->

14.（5分）（2024?赤峰一模）已知單位向量a、b滿足|a—b|=l,則|2a-

b\=.

15.（5分）（2024?赤峰一模）《孫子算經(jīng)》中提到“物不知數(shù)”問(wèn)題.如：被3除余2的正

整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，即2,5,8,11,構(gòu)成數(shù)列｛斯｝,記數(shù)列｛〃”｝的

前n項(xiàng)和為Sn,則2S"+27的最小值為.

n

16.（5分）（2024?赤峰一模）祖唯是我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家，著作《綴術(shù)》上論及多面

體的體積：緣鼎勢(shì)既同，則積不容異一一這就是祖晅原理.用現(xiàn)代語(yǔ)言可描述為：夾在

兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這個(gè)兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的

兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-

A18C1D1中，〃是8cl上一點(diǎn)，MN1BC于&N,MN=h（0</z<2）,點(diǎn)M繞441旋

轉(zhuǎn)一周所得圓的面積為（用/I表示）；將空間四邊形ABC14繞A41旋轉(zhuǎn)

一周所得幾何體的體積為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（-）必考題：共60

分.

17.（12分）（2024?赤峰一模）直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前己被廣

大消費(fèi)者所接受.針對(duì)這種現(xiàn)狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨金額

穩(wěn)步提升，以下是該公司2023年前5個(gè)月的帶貨金額的統(tǒng)計(jì)表（金額y（萬(wàn)元））.

月份1月2月3月4月5月

月份編號(hào)X12345

金額y（萬(wàn)元）712131924

（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表，

①求該公司帶貨金額的平均值歹；

②求該公司帶貨金額y與月份編號(hào)》的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）,并判斷它們是否具

有線性相關(guān)關(guān)系（0.75WMW1,則認(rèn)為y與x的線性相關(guān)性較強(qiáng)；|〃|<0.75,則認(rèn)為y與

尤的線性相關(guān)性較弱）；

（2）該公司現(xiàn)有一個(gè)直播間銷售甲、乙兩種產(chǎn)品.為對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)控，質(zhì)檢人員先

用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從甲、乙兩種產(chǎn)品中分別抽取了5件、3件產(chǎn)品進(jìn)行初檢，再?gòu)闹?/p>

隨機(jī)選取3件做進(jìn)一步的質(zhì)檢，記抽到甲產(chǎn)品的件數(shù)為X,試求X的分布列與期望.

均（無(wú)一9）

附：相關(guān)系數(shù)公式廠=參考數(shù)據(jù)：V174041.7,

全之1?！冈?也之1（y］歹）

Z：=1（/一元）（%一歹）=41,J-ti（3一君2=VTo,（%一刃2=V174.

18.（12分）（2024?赤峰一模）在①COST!=芻涓，②6cosC=（2a-c）cosB中任選一個(gè)作

為已知條件，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并作答.

問(wèn)題：在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,已知.

（1）求8；

（2）若△ABC的外接圓半徑為2,且cosAcosC=求a+c.

注：若選擇不同條件分別作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

19.（12分）（2024?赤峰一模）如圖，在四棱柱ABC￡?-AiBiCiDi中，底面ABC。是等腰梯

形，ZDAB=60°,AB=2CO=4,M是線段AB的中點(diǎn).

(1)求證：GM〃平面4AD￡h；

(2)若CD，平面A8CZ),且C￡>i=2b，求直線與平面CLDIM所成角的正弦值.

XV

20.(12分)(2024?赤峰一模)已知橢圓E：—+—=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為

Fi(-1,0),1(1,0),左、右頂點(diǎn)分別為A,3,P(x,y)為橢圓E上一點(diǎn)，且J(x—1。+y2+

7(x+l)2+y2=4.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過(guò)Q的直線與橢圓E交于C,。兩點(diǎn)(其中點(diǎn)C位于x軸上方)，記直線AC,BD

的斜率分別為依，fo,求心十嗇的最小值.

21.(12分)(2024?赤峰一模)2知函數(shù)/(%)=g(x)=%(x+3)2-3(x+1)

V.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求/(x)在尤=1處的切線方程；

(2)若VxiRl,e],BX2E[-3,0],使得/(xi)Wg(%2),

①求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

②求。的取值范圍.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23二題中任選一題作答.如果多做，則按所做

的第一題計(jì)分.作答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑.【選修4-4：坐

標(biāo)系與參數(shù)方程】

t2+l

22.(10分)(2024?赤峰一模)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為”二小

2t

為參數(shù)).

(1)寫出曲線C的普通方程;

T7TT

（2）設(shè)P為曲線C上的一點(diǎn)，將。P繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一得到OQ.當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)

4

。的軌跡是E,求曲線E的直角坐標(biāo)方程.

【選修4-5：不等式選講】“

23.（2024?赤峰一模）已知函數(shù)無(wú)）=\x-2|+|2r-1|.

（1）求不等式/（x）26的解集；

（2）已知對(duì)任意的xCR,都有/（無(wú)）若a,b,c均為正實(shí)數(shù)，a+2b+2c=2什2,在

空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（a,b,c）在以點(diǎn)（0,-1,-1）為球心的球上，求該球表面

積的最小值.

2024年內(nèi)蒙古赤峰市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）（2024?赤峰一模）已知復(fù)數(shù)z滿足z=2-i，2為z的共軟復(fù)數(shù)，z—2等于（）

A.2iB.-萬(wàn)C.1D.-i

【考點(diǎn)】共輾復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】整體思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】先求出2,再利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解.

11

【解答】解：??.5=打工

11

?*-z-z=7T—i—（―+i）=-2i.

22

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了共甄復(fù)數(shù)的概念，考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2024?赤峰一模）若全集U=R,集合4={xeZ|/<25},2={x|x-2W0},則A

n（CuB）=（）

A.{2,3,4}B.{3,4}C.{x|2Wx<5}D.{x\2<x<5]

【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用；交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.

【專題】整體思想；綜合法；簡(jiǎn)易邏輯；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】求出集合48的元素，進(jìn)而可得CuB的元素，再求出AC（CuB）.

【解答】解：集合A={x6Z|/<25}={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},B=[x\x

-2W0}={尤|xW2},

所以CuB={x|x>2},

所以AC（CuB）={3,4}.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查補(bǔ)集和交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）（2024?赤峰一模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）

1

A.y=sin2xB.y=\2x-1|C.y=D.y=ln\x\

【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象.

【答案】D

【分析】由已知結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：y=sin2x為奇函數(shù)，不符合題意；

y=|2*-1|為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；

尸與為奇函數(shù)，不符合題意；

y=/川R為偶函數(shù)，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本初等函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

1

4.（5分）（2024?赤峰一模）已知實(shí)數(shù)a=5與，b=log53,c=logi3,則a,b,c這三個(gè)

5

數(shù)的大小關(guān)系是（）

A.c<a<bB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象.

【答案】C

【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷a,b,c的范圍，即可比較a,6,c的

大小.

1

【解答】解：a=53,b=log53,c=log13,

5

則l<a<2,Q<b<l,c<0,

所以a>b>c.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在函數(shù)值大小比較中的應(yīng)用，屬

于基礎(chǔ)題.

5.（5分）（2024?赤峰一模）已知直線/：y=x+b,QO：x2+/=4,則“網(wǎng)<2”是"直線/

與OO相交”的（)

A.充分必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分而不必要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；充分條件與必要條件.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分別驗(yàn)證充分性，必要性

即可得到結(jié)果.

【解答】解：由題意可得直線/：與O。：/+/=4相交，

，網(wǎng)廣

則近有<2=>|Z?|<2V2,

當(dāng)⑶<2時(shí)，滿足圓心到直線的距離小于半徑，

即|例<2是直線I與。。相交的充分條件；

當(dāng)直線/：y=x+6與O。：相交時(shí)，不一定有|例<2,

所以也<2是直線/與O。相交的不必要條件.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查充分必要條件，屬于基礎(chǔ)題.

6.（5分）（2024?赤峰一模）已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為足點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4,3）,P

為C上一點(diǎn)，則|必|+|P川的最小值為（）

A.4V2B.2V3C.6D.5

【考點(diǎn)】拋物線的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)

運(yùn)算.

【答案】D

【分析】求出拋物線C的準(zhǔn)線I的方程,過(guò)A作/的垂線段，結(jié)合幾何意義及拋物線定

義即可得解.

【解答】解：拋物線C：/=?的準(zhǔn)線/：x=-l,顯然點(diǎn)A在拋物線C內(nèi)，過(guò)A作AM

_L/于交拋物線C于尸，如圖，

在拋物線C上任取不同于點(diǎn)P的點(diǎn)P',過(guò)P作尸'N_L于點(diǎn)N,連PF,AN,P'A,P'

F,

由拋物線定義知，|B4|+|PF|=|B4|+|PM=|AM<|AN|<|PA\+\P'N\=\P'A\+\P'F\,

于是得（|B4|+|PF|）mm=|AM|=4-（-1）=5,即點(diǎn)尸是過(guò)A作準(zhǔn)線/的垂線與拋物線

C的交點(diǎn)時(shí)，|以|+|「尸|取最小值，

所以|雨|+『用的最小值為5.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.

7.（5分）（2024?赤峰一模）為了測(cè)量西藏被譽(yù)稱為“阿里之巔”岡仁波齊山峰的高度，通

常采用人工攀登的方式進(jìn)行，測(cè)量人員從山腳開(kāi)始，直到到達(dá)山頂分段測(cè)量過(guò)程中，已

知豎立在B點(diǎn)處的測(cè)量覘標(biāo)高20米，攀登者們?cè)贏處測(cè)得，到覘標(biāo)底點(diǎn)B和頂點(diǎn)C的

仰角分別為45°,75°,則A,2的高度差約為（）

A.7.32米B.7.07米C.27.32米D.30米

【考點(diǎn)】解三角形.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】先根據(jù)題意建立三角形模型，再根據(jù)解三角形的知識(shí)，求解即可.

【解答】解：根據(jù)題意畫出如圖的模型，貝UCB=20,ZOAB=45°,NOAC=75

所以/CA8=30°,ZACB=15°,

BC一AB

在△ABC中,由正弦定理可得

sin乙CABsinC'

BCsinC20xsinl5°_20xsin（45°-30°）

可得AB==10V6-10V2,

sinZ-CABs譏30。=I

2

/2

所以在RtzXAOB中，8O=ABsin45°=（IOV6-IOV2）x與=10百—10^7.32（米）.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)建模能力，是基礎(chǔ)題.

8.(5分)(2024?赤峰一模)已知遞增的等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”若43=12,a2+l

是ai與“3-1的等差中項(xiàng)，貝US3=()

A.21B.21或57C.21或75D.57

【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【專題】方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)和公比，注意

公比大于1,再由等比數(shù)列的求和公式，可得所求和.

【解答】解：遞增的等比數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為S,設(shè)公比為q,q>\,

由43=12,可得ai/=12,

由。2+1是m與。3-1的等差中項(xiàng)，可得2(〃2+1)=。1+43-1,即2(l+aiq)—ai+aiq1

-1,

2

解得。1=3,q=2,或m=27,q=可（舍去）,

則S3=3（；—J）=21.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，考查方

程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.（5分）（2024?赤峰一模）七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方模板”，

它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖是一

個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為

)

【考點(diǎn)】幾何概型.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì).

【答案】C

【分析】設(shè)出大正方形的面積，求出陰影部分的面積，從而求出滿足條件的概率即可.

【解答】解：設(shè)“東方模板”的面積是4,

則陰影部分的三角形面積是1,

陰影部分平行四邊形的面積是工，

2

1+工4

則滿足條件的概率?二飛2，，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何概型問(wèn)題，考查面積之比，是一道基礎(chǔ)題.

10.（5分）（2024?赤峰一模）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》

中，后人稱為“三角垛”，“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)

11

球，第四層有10個(gè)球，…，設(shè)從上往下各層的球數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛板｝,則一+一+—F

口102

Q2024

2023404840462023

A.----B.----C.----D.----

2024202520251012

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；歸納推理.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸

納法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系和裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和.

【解答】解：41=1,42=1+2=3,43=1+2+3=6,...,

所以。九=1+2+3+…+n="勺1),

1211

故tz-------=2(------),

an71(九+1)nn+1

,,1114048

故—+一+…+-----=-----

0,2@20242025

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的求和，裂項(xiàng)相消法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

11.(5分)(2024?赤峰一模)過(guò)雙曲線C；今一*l(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)A作斜率為1

的直線/,與C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P.Q,若T1T則雙曲線C的離心率為

一P2=!qPQ,

()

2V3V5V64V2

A.---B.—C.—D.——

3223

【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì).

【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】由雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線離心率的求法求解.

【解答】解：過(guò)雙曲線C："一、=l(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)A作斜率為1的直線/,與

C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P,Q,

b

則NAOP=NAOQ且一W1,

則|4P|：|AQ|=1：3,

喘二1

3

則電1

囚QI3

ry=x-a

聯(lián)立|bx,

[y=—a

消y可得不=今,

同理可得：|西|=3，

11一萬(wàn)|

=3,

貝！Ja=2b,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了雙曲線離心率的求法，屬中檔題.

12.(5分)(2024?赤峰一模)已知函數(shù)/(%)定義域?yàn)镽,g(x)=--ex,h(x)=sin2x,

則下列命題正確的個(gè)數(shù)是()

①若VxER,f(x-1)<f(x),則函數(shù)/(x)+g(%)在R上是增函數(shù)

②若Vxi,X2ER,\f(XI)t/(I2)|W|g(XI)+g(X2)I，則函數(shù)/(x)是奇函數(shù)

③若Vxi,X2GR,1/(X1)-f(X2)\^\h(XI)-h(X2)|,則函數(shù)/(x)是周期函數(shù)

11

④若x2E(―22)，且入1W%2,|f(xi)-f(%2)\^\h(xi)-h(X2)|,則函數(shù)/

(x)+h(x)在區(qū)間(T，》上單調(diào)遞增，函數(shù)“無(wú))-h⑴在區(qū)間T，當(dāng)上單調(diào)

遞減

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

【考點(diǎn)】函數(shù)的周期性；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷.

【專題】函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象.

【答案】A

【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)可以判斷.

【解答】解：?.?/(x-1)<f(x),xcR,?"(％)在R上為增函數(shù)，

易知g(x)在R上為增函數(shù)，.??/(%)+g(x)在R上是增函數(shù)，①正確；

g(-x)=ex-/=-g(%),.\g(x)為奇函數(shù)，令X2=~xi,則(%1)(一xi)I

W|g(xi)+g(-xi)|=0,

f(xi)-+/(-xi)=0,.*./(x)為奇函數(shù)，②正確；

設(shè)X2=%1+內(nèi)1,依Z,則/z(xi)-h(X2)=sin2xi-sin2(xi+hi)=0,

|f(xi)-f(x2)\^\h(xi)-h(x2)|=0,/./(xi)-f(xi+^n)=0,

：.f(x)為周期函數(shù)，③正確；

i1i1

xE(-4，-)時(shí)，2xE(-1,1),：.h(x)在(一:-)上單調(diào)遞增，

2222

11

由|/(X1)-f(X2)|^|/z(XI)-h(X2)I可知，f(x)在(一2，5)上單調(diào)遞增，且/(X)

(%),

函數(shù)/(x)-h(無(wú))在區(qū)間(-熱|)可能恒為常函數(shù)，也可能單調(diào)遞減，④錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，以及周期性，有一定的難度，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)(2024?赤峰一模)有3名同學(xué)同時(shí)被邀請(qǐng)參加一項(xiàng)活動(dòng)，必須有人去，去幾人

自行決定，共有7種不同的去法.(用數(shù)字回答)

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】7.

【分析】分別考慮去一人、兩人、三人的情況，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理，即可求解.

【解答】解：去一人，有3種去法，

去兩人，有3種去法，

去三人，有1種去法，

故共有3+3+1=7種去法.

故答案為：7.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

14.（5分）（2024?赤峰一模）已知單位向量a、b滿足|a-b|=l,則|2a-b|=g.

【考點(diǎn)】向量的概念與向量的模；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】V3.

【分析】首先利用向量的模求出a小=去進(jìn)一步求出結(jié)果.

TT―—一TTT——1

【解答】解：由于單位向量a、b滿足|a-b\=1,則a?-2a-b+b2=1,整理得a,b=矛

T->/_>_>T—________

故12a—b\=J4a2—4a-b+b2=,4—2+1=V3.

故答案為：V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的數(shù)量積，向量的模，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

15.（5分）（2024?赤峰一模）《孫子算經(jīng)》中提到“物不知數(shù)”問(wèn)題.如：被3除余2的正

整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，即2,5,8,11,…，構(gòu)成數(shù)列｛珈｝,記數(shù)列｛而｝的

前”項(xiàng)和為％,則2.+27的最小值為19.

n

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和.

【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】19.

【分析】先根據(jù)可得數(shù)列｛外｝是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，再計(jì)算出前n項(xiàng)和

Sn的表達(dá)式并代入進(jìn)行化簡(jiǎn)整理,然后運(yùn)用均值不等式即可推導(dǎo)出2S"+27的最

nn

小值.

【解答】解：由題意可知，

數(shù)列｛麗｝是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列,

：.Sn=2n+n^n~1^3=3n2+n

~2-

3n2+n

2-+27

.2Sn+272

nn

3n2+n+27

=n

27

=3〃d------F1

n

22Ian--+1

7n

=2X9+1

=19,

當(dāng)且僅當(dāng)3w=9即w=3時(shí)，等號(hào)成立，

...2Sn+27的最小值為

n

故答案為：19.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的運(yùn)用.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，等差數(shù)列的定義及求

和公式的運(yùn)用，均值不等式的運(yùn)用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題.

16.（5分）（2024?赤峰一模）祖曬是我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家，著作《綴術(shù)》上論及多面

體的體積：緣累勢(shì)既同，則積不容異一一這就是祖晅原理.用現(xiàn)代語(yǔ)言可描述為：夾在

兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這個(gè)兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的

兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-

A181GZJ1中，〃是8cl上一點(diǎn)，MNLBC于前N,MN=h（0</z<2）,點(diǎn)M繞AAi旋

轉(zhuǎn)一周所得圓的面積為n（廬+4）（用表示）；將空間四邊形繞A41旋轉(zhuǎn)

32

一周所得幾何體的體積為—n.

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

32

【答案】n（層+4）;—7T.

【分析】第一空由已知，點(diǎn)〃繞A41旋轉(zhuǎn)一周所得圓的面積即為以AN為半徑的圓面積；

第二空空間四邊形ABQ4繞A41旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積，利用祖曬原理可以轉(zhuǎn)化為

一個(gè)底面半徑和高均為2的圓柱體積加一個(gè)底面半徑和高均為2的圓錐的體積.

【解答】解：在正方體ABCO-ALBIGDI中，棱長(zhǎng)為2,M是BC1上一點(diǎn)，MNLBC于

點(diǎn)N,MN=h

:.BN=h,：.AN=<AB2+BN2=V4+h2,

即點(diǎn)M繞441旋轉(zhuǎn)一周所得圓的半徑為

...點(diǎn)M繞A411旋轉(zhuǎn)一周所得圓的面積為n（層+4）.

根據(jù)祖曬原理”夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這個(gè)兩個(gè)平面的任意平

面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”，

將空間四邊形ABC1A1繞AA1旋轉(zhuǎn)一周，可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)底面半徑和高均為2的圓柱體積

加一個(gè)底面半徑和高均為2的圓錐的體積，

△空間四邊形A8G4繞A41旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為:

7r-22-2+1-7r-22-2=^.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的體積，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60

分.

17.（12分）（2024?赤峰一模）直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前己被廣

大消費(fèi)者所接受.針對(duì)這種現(xiàn)狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨金額

穩(wěn)步提升，以下是該公司2023年前5個(gè)月的帶貨金額的統(tǒng)計(jì)表（金額y（萬(wàn)元））.

月份1月2月3月4月5月

月份編號(hào)X12345

金額y（萬(wàn)元）712131924

（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表，

①求該公司帶貨金額的平均值區(qū)

②求該公司帶貨金額y與月份編號(hào)尤的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）,并判斷它們是否具

有線性相關(guān)關(guān)系（0.75WIHW1,則認(rèn)為y與x的線性相關(guān)性較強(qiáng)；|川＜0.75,則認(rèn)為y與

尤的線性相關(guān)性較弱);

(2)該公司現(xiàn)有一個(gè)直播間銷售甲、乙兩種產(chǎn)品.為對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)控，質(zhì)檢人員先

用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從甲、乙兩種產(chǎn)品中分別抽取了5件、3件產(chǎn)品進(jìn)行初檢，再?gòu)闹?/p>

隨機(jī)選取3件做進(jìn)一步的質(zhì)檢，記抽到甲產(chǎn)品的件數(shù)為X,試求X的分布列與期望.

附：相關(guān)系數(shù)公式y(tǒng))參考數(shù)據(jù)：VI溝=41.7,

翻=i?！富谩髦?(y-y)

2一君(%一為=41,值=1(%一君2=V10,(%一歹)2=V174.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】⑴①歹=15；

②認(rèn)為y與x的線性相關(guān)性較強(qiáng).

(2)X的分布列為：

X03

p1竺竺5

56562828

E(X)=學(xué)

【分析】(1)①由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)利用平均數(shù)計(jì)算公式可得區(qū)

②由已知數(shù)據(jù)可得相關(guān)系數(shù)r,進(jìn)而得出結(jié)論.

(2)利用超幾何分布列計(jì)算公式即可得出P(X=8,k=0,1,2,3,進(jìn)而得出X的分

布列及其E(X).

【解答】解：(1)①由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得：歹='十"十三十"""=15；

②由于：V1740~41.7,2：=i8-元)(%-歹)=41,(%；-x)2=V10,

(y；-y)2=V174,

二相關(guān)系數(shù)片7!急布“品皿98＞。.75'

因此認(rèn)為y與X的線性相關(guān)性較強(qiáng).

(2)由題意可得:尸(X=0)==擊尸(X=l)=居^=尸(X=2)=居^=

。8。8。8

P(X=3)=-M=X.

...X的分布列為:

X0123

p115155

56562828

11s16s16

E(X)=°x拓+1X拓+2x而+3X麗=石?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線性相關(guān)性系數(shù)、超幾何分布列的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能

力，屬于中檔題.

18.(12分)(2024?赤峰一模)在①cosTl=2a'②6cosC=(2a-c)cosB中任選一個(gè)作

為已知條件，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并作答.

問(wèn)題：在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,己知.

(1)求B；

⑵若△ABC的外接圓半徑為2,且cosAcosC=-彳，求a+c.

注：若選擇不同條件分別作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理；余弦定理.

【專題】整體思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

7T

【答案】(1)-；

(2)V30.

【分析】(1)若選①，由題意及正弦定理可得cosB的值，再由角2的范圍，可得角2的

大小；若選②，由正弦定理及兩角和的正弦公式，可得cosB的值，再由角B的范圍，可

得角B的大??；

(2)由正弦定理可得a,c的表達(dá)式，進(jìn)而可得ac的值，再由余弦定理可得a+c的值.

【解答】解：(1)若選①，由正弦定理可得2sinBcosA=2sinC-sinA,

在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以2sinAcosB=sinA,

因?yàn)閟inAWO,

,1

可得cos5=1,而B(niǎo)e(0,n),

可得B=-

若選②，因?yàn)??cosC=(2〃-c)cosB,由正弦定理可得sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB,

可得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB,

即sin(B+C)=2sinAcosB,在△ABC中，sin(B+C)=sinA,且sinAWO,

可得cos3=2，而B(niǎo)E(0,II),

可得B=J

(2)因?yàn)椤鰽BC的外接圓半徑為2,由正弦定理可得，一=，一=上~=2X2,3=與，

sinAsinCsinB§

可得b=2y/3,

〃=4sinA,c=4sinC,

所以ac=16sinAsinC,

cos5=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC,

{fUcosAcosC=-[,

o

11

所以一=-+sinAsinC,

28

Q

可得sinAsinC=取

o

一2

所以ac=16x=6,

oQ

由余弦定理可得：b2—(r+c2-2acccsB=(a+c)2-2ac-2acx

即12=(a+c)2-3ac—(a+c)2-3X6,

可得a+c—V30.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.(12分)(2024?赤峰一模)如圖，在四棱柱A8CQ-A1B1GO1中，底面A8CD是等腰梯

形，ZDAB=6Q°,AB=2CD=4,M是線段4B的中點(diǎn).

(1)求證：C1M〃平面A1ADD1；

(2)若CD_L平面ABC。，且CDi=2b，求直線。止1與平面C1DM所成角的正弦值.

【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面平行.

【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

V5

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（2）y.

【分析】（1）連接4。，推導(dǎo)出四邊形AMCLDI是平行四邊形，從而CM/〃由此

能證明〃平面AiAOOi.

（2）連接。iC、BiM.BiDi,由《=%-好。出，求出點(diǎn)為到平面C1DM的距

離h,由此能求出直線DiBi與平面C1ZJ1M所成角的正弦值.

【解答】解：（1）證明：如圖所示，連接。1A,

1

因?yàn)椤?C1=QC,AM=^AB=DC,所以DiCi=AM,

因?yàn)锳M〃Z）iCi,所以四邊形AMCiDi是平行四邊形，所以GM〃ADi,

因?yàn)镃1MC平面AiADDi,A。u平面A1ADD1,

所以〃平面

(2)連接BiM、BiDi,

因?yàn)閂M-BIRDI=且SAB/IDI=A/3,CZ)IJ_平面ABCDJ1CZ)!=2V3,

所以％i-BigOi=WxV3x2A/3=2,

22

因?yàn)镚M=ADr=2V6,DrM=J(2V3)+2=4,CiDi=2,

由余弦定理得：cos/JMDi="乎一:=乎，

2x2j6x4