七年級(jí)下- 4 三元一次方程組（解析版）

七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第八章二元一次方程組》8.4三元一次方程組知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一三元一次方程（組）的定義◆◆1、三元一次方程的定義：含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做三元一次方程.【注意】三元一次方程需滿足三個(gè)條件：①首先是整式方程．②方程中共含有三個(gè)未知數(shù)．③所有未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個(gè)條件的都不叫三元一次方程．◆◆2、三元一次方程組的定義：方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組．【注意】（1）三元一次方程組需滿足三個(gè)條件：①一共有三個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1；③方程組中一共有三個(gè)方程.（2）三元一次方程組不一定都是由三個(gè)三元一次方程合在一起組成的，其中有的方程也可以是一元一次方程或二元一次方程.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二三元一次方程組的解法◆◆1、解三元一次方程組的基本思路：消元，先消去一個(gè)未知數(shù)，把“三元”化為“二元”，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為解一元一次方程.◆◆2、解三元一次方程組的一般步驟：①首先利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組．②然后解這個(gè)二元一次方程組，求出這兩個(gè)未知數(shù)的值．③再把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)關(guān)于第三個(gè)未知數(shù)的一元一次方程．④解這個(gè)一元一次方程，求出第三個(gè)未知數(shù)的值．⑤最后將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用大括號(hào)合寫在一起即可．知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二列三元一次方程組解簡(jiǎn)單的實(shí)際問題◆◆列三元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟：（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．（2）設(shè)元：找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出題中的等量關(guān)系，列出方程組．（4）解方程組：解方程組求出未知數(shù)的值.（5）檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答．題型一三元一次方程組的識(shí)別題型一三元一次方程組的識(shí)別【例題1】下列方程組不是三元一次方程組的是（）A．x+y=12y+z=?23y=6 B．C．x=22y=?3x?z=1 【分析】根據(jù)三元一次方程組的定義來求解，對(duì)A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行一一驗(yàn)證．【解答】解：由題意知，含有三個(gè)相同的未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1次，并且一共有三個(gè)方程，叫做三元一次方程組．A、滿足三元一次方程組的定義，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、x2﹣4＝0，未知量x的次數(shù)為2次，∴不是三元一次方程，故B選項(xiàng)正確；C、滿足三元一次方程組的定義，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、滿足三元一次方程組的定義，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】主要考查三元一次方程組的定義：含有三個(gè)相同的未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1次，并且一共有三個(gè)方程（有時(shí)會(huì)有特例，但是所有的三元一次方程組都有3個(gè)未知數(shù)），叫做三元一次方程組，二元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d＝0其中a、b、c不為零．解題技巧提煉三元一次方程組必須滿足的條件：①方程組含有三個(gè)未知數(shù)，即“三元”；②每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，即一次“”；③方程中一共有三個(gè)整式方程.特別提醒：（1）三元一次方程組含有三個(gè)未知數(shù)指的是方程組整體上含有三個(gè)未知數(shù)，并不要求組成方程組的每一個(gè)方程中都必須含有三個(gè)未知數(shù)；（2）不能把“含有未知數(shù)”的項(xiàng)的次數(shù)都是“1”，誤以為是未知數(shù)的次數(shù)為1.【變式1-1】下列方程組是三元一次方程組的是（）A．3x+5y+z=?8x+y+m=3x?2y+z=21 B．C．x+y=3y+z=?1z+w=8 【分析】根據(jù)三元一次方程組的定義來求解，對(duì)A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行一一驗(yàn)證．【解答】解：由題意知，含有三個(gè)相同的未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1次，并且一共有三個(gè)方程，叫做三元一次方程組．A、含有四個(gè)未知數(shù)，不滿足三元一次方程組的定義，錯(cuò)誤；B、滿足三元一次方程組的定義，故選項(xiàng)正確；C、含有四個(gè)未知數(shù)，不滿足三元一次方程組的定義，錯(cuò)誤；D、ab，未知數(shù)的次數(shù)為2次，∴不是三元一次方程，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】主要考查三元一次方程組的定義：含有三個(gè)相同的未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1次，并且一共有三個(gè)方程（有時(shí)會(huì)有特例，但是所有的三元一次方程組都有3個(gè)未知數(shù)），叫做三元一次方程組，二元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d＝0其中a、b、c不為零．【變式1-2】下列方程組中，不是三元一次方程組的是（）A．x=3y=6x+y+z=0 B．C．3x+2y+z=184x?y+z=6x+y+2z=4 【分析】根據(jù)三元一次方程組的定義判斷求解．【解答】解：A：含有三個(gè)未知數(shù)x，y，z，且最高次數(shù)是1，都是整式方程，所以A是三元一次方程組；B：含有三個(gè)未知數(shù)x，y，z，且最高次數(shù)是1，都是整式方程，所以B是三元一次方程組；C：含有三個(gè)未知數(shù)x，y，z，且最高次數(shù)是1，都是整式方程，所以C是三元一次方程組；D：含有三個(gè)未知數(shù)x，y，z，但是4xyz的次數(shù)是3，所以D不是三元一次方程組；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元一次方程組的定義，理解三元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】下列方程組中，是三元一次方程組的是（）A．x+z=2xy+x=4z?x=1B．x?3y=4x+z=6【答案】C．【分析】利用三元一次方程組的定義判斷即可．【解答】解：A選項(xiàng)：方程的次數(shù)為2，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：有分式方程，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程的次數(shù)是1，均為整式方程，正確；D選項(xiàng)，有4個(gè)未知數(shù)，錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元一次方程組的定義，理解三元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．題型二解三元一次方程組題型二解三元一次方程組【例題2】（2021春?普陀區(qū)期末）解方程組：x?2y=?12x+y+z=5【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．【解答】解：x?2y=?1①2x+y+z=5②②+③得：3x﹣2y＝5④，由④和①組成一個(gè)二次一次方程組x?2y=?13x?2y=5解得：x=3y=2把x=3y=2代入③3﹣6﹣z解得：z＝﹣3，所以原方程組的解是：x=3y=2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．解題技巧提煉解三元一次方程組時(shí)，消去哪個(gè)未知數(shù)都是可以的，得到的結(jié)果都一樣，但我們應(yīng)通過觀察方程組選擇最為簡(jiǎn)便的解法，要根據(jù)方程組中各方程的特點(diǎn)，靈活地確定消元步驟和方法，不要盲目消元.【變式2-1】（2022春?南關(guān)區(qū)校級(jí)月考）解三元一次方程組x+y+z=3①3x+2y+z=10②2x?y+z=?1③，如果消掉未知數(shù)A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+②C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③【分析】觀察z的系數(shù)，利用加減消元法消去z即可．【解答】解：解三元一次方程組x+y+z=3①3x+2y+z=10②2x?y+z=?1③，如果消掉未知數(shù)則應(yīng)對(duì)方程組變形為②﹣①，②﹣③．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【變式2-2】（2021春?安居區(qū)期中）解方程組3x?y+z=4①2x+3y?z=12②A．由①，②消去z，再由①，③消去z B．由①，③消去z，再由②，③消去z C．由①，③消去y，再由①，②消去y D．由①，②消去z，再由①，③消去y【分析】根據(jù)解三元一次方程組的思路，把三元轉(zhuǎn)化為二元，即可解答．【解答】解：解方程組3x?y+z=4①2x+3y?z=12②利用加減法消去一個(gè)未知數(shù)，組成二元一次方程組，故以下解法不正確的是由①，②消去z，再由①，③消去y．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【變式2-3】解三元一次方程組x?y+z=?3，①x+2y?z=1，②A．①+② B．①﹣② C．①+③ D．②﹣③【分析】觀察發(fā)現(xiàn)：第三個(gè)方程不含z，故前兩個(gè)方程相加消去z，可將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組來求解．【解答】解：解三元一次方程組x?y+z=?3①x+2y?z=1②x+y=0③要使解法較為簡(jiǎn)便，首先應(yīng)進(jìn)行的變形為①+故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【變式2-4】（2022春?青龍縣期末）三元一次方程組x?y=1y?z=1A．x=2y=3z=4 B．x=2y=4z=3 C．【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．【解答】解：x?y=1①y?z=1②②+③得：x+y＝7④，①+④得：2x＝8，即x＝4，把x＝4代入①得：y＝3，把x＝4代入③得：z＝2，則方程組的解為x=4y=3故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解三元一次方程組，解三元一次方程組的基本方法是利用代入法或加減法，消去一個(gè)未知數(shù)，得到二元一次方程組，然后解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值，再求出第三個(gè)未知數(shù)的值．【變式2-5】（2022春??？谄谥校┮阎獂+y＝1，y+z＝5，x+z＝6，則xyz等于（）A．0 B．7 C．8 D．9【分析】①+②+③得出2x+2y+2z＝12，求出x+y+z＝6④，④﹣①求出z，④﹣②求出x，④﹣③求出y，再求出答案即可．【解答】解：由題意得：x+y=1①①+②+③，得2x+2y+2z＝12，x+y+z＝6④，④﹣①，得z＝5，④﹣②，得x＝1，④﹣③，得y＝0，所以xyz＝1×0×5＝0，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三元一次方程組，能把三元一次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組或一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．【變式2-6】（2022春?紹興期末）若關(guān)于x、y的二元一次方程組ax?by=?2cx+dy=4的解為x=3y=2，則方程組A．x=1y=2 B．x=1y=3 C．x=2y=2【分析】先將所求的方程組化簡(jiǎn)為a(x+2)?b(y?1)=2c(x+2)+d(y?1)=4，再結(jié)合已知方程組的解可得x+2=3【解答】解：化簡(jiǎn)方程組ax?by+2a+b=?2cx+dy?d=4?2c為方程組a(x+2)?b(y?1)=2∵二元一次方程組ax?by=?2cx+dy=4的解為x=3∴x+2=3y?1=2解得x=1y=3故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解法，利用整體思想解題是關(guān)鍵．【變式2-7】解下列三元一次方程組：（1）x+y=7，2y+z=6，x?z=7；【分析】各方程組利用加減消元法求出解即可．【解答】解：（1）x+y=7①2y+z=6②②+③得：x+2y＝13④，④﹣①得：y＝6，把y＝6代入④得：x＝1，把x＝1代入③得：z＝﹣6，則方程組的解為x=1y=6（2）2x+2y+z=4①2x+y+2z=7②②﹣③得：x﹣y＝13④，①×2﹣②得：2x+3y＝1⑤，③×3+④得：5x＝40，解得：x＝8，把x＝8代入④得：y＝﹣5，把x＝8，y＝﹣5代入①得：z＝﹣2，則方程組的解為x=8y=?5【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【變式2-8】解下列三元一次方程組：（1）x?4y+z=?32x+y?z=18，x?y?z=7；【分析】（1）方程組利用加減消元法求出解即可；（2）方程組利用加減消元法求出解即可．【解答】解：（1）x?4y+z=?3①2x+y?z=18②①+②得：3x﹣3y＝15，即x﹣y＝5④，①+③得：2x﹣5y＝4⑤，④×5﹣⑤得：3x＝21，解得：x＝7，把x＝7代入④得：7﹣y＝5，解得：y＝2，把x＝7，y＝2代入③得：7﹣2﹣z＝7，解得：z＝﹣2，則方程組的解為x=7y=2（2）x+z?3=0①2x?y+2z=2②②﹣③得：x+3z＝5④，④﹣①得：2z＝2，解得：z＝1，把z＝1代入①得：x+1﹣3＝0，解得：x＝2，把x＝2，z＝1代入③得：2﹣y﹣1＝﹣3，解得：y＝4，則方程組的解為x=2y=4【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，以及解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【變式2-9】解下列三元一次方程組：（1）3x?y+2z=32x+y?3z=11x+y+z=12；【分析】（1）由①+②和①+③分別消去y，再解關(guān)于x和z的二元一次方程組，再將解得的x和z值代入③，解出y即可；（2）先將①和②分別用y表示出x和z，再代入③即可解出y，進(jìn)而求出x和z即可．【解答】解：（1）3x?y+2z=3①①+②得5x﹣z＝14④①+③得4x+3z＝15⑤④×3+⑤得19x＝57∴x＝3⑥將⑥代入④得15﹣z＝14∴z＝1⑦將⑥⑦代入③得y＝8∴原方程組的解為：x=3y=8（2）x由①得x=3由②得z=y將④⑤代入③得32y+y∴y＝20⑥將⑥分別代入④⑤得x＝30，z＝10∴原方程組的解為：x=30y=20【點(diǎn)評(píng)】本題是三元一次方程組的求解問題，分別可以用加減消元法和代入消元法化簡(jiǎn)成二元一次方程組，進(jìn)而得解．題型三三元一次方程組---求解字母系數(shù)問題題型三三元一次方程組---求解字母系數(shù)問題【例題3】（2022春?荷塘區(qū)校級(jí)期中）已知代數(shù)式ax2+bx+c，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，其值為4；當(dāng)x＝1時(shí)，其值為8；當(dāng)x＝2時(shí)，其值為25；則當(dāng)x＝3時(shí)，其值為（）A．4 B．8 C．62 D．52【分析】根據(jù)已知條件可知a+b+c=8②a?b+c=4①4a+2b+c=25③，由此解方程組求出a、b、【解答】解：由題意得知a+b+c=8②a?b+c=4①用①+②得：a+c＝6④，用①×2+③得：2a+c＝11⑤，用⑤﹣④得：a＝5，把a(bǔ)＝5代入④得：5+c＝6，解得c＝1，把a(bǔ)＝5，c＝1代入①得：5﹣b+1＝4，解得b＝2，∴ax2+bx+c＝5x2+2x+1，∴當(dāng)x＝3時(shí)，ax2+bx+c＝5×32+2×3+1＝45+6+1＝52．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了代數(shù)式求值，解三元一次方程，正確建立三元一次方程組求出a、b、c的值是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題運(yùn)用了“待定系數(shù)法”，將已知的x,y值代入，聯(lián)立方程組求解即可.【變式3-1】（2022春?如東縣期中）三個(gè)二元一次方程3x﹣y＝7，2x+3y＝1，y＝kx﹣9有公共解，則k的值是（）A．3 B．?163 C．﹣2【分析】利用方程3x﹣y＝7和2x+3y＝1組成方程組，求出x、y，再代入y＝kx﹣9求出k值．【解答】解：3x?y=7①2x+3y=1②把①式兩邊乘3，得9x﹣3y＝21③，②+①得11x＝22，得x＝2，把x＝2代入①得6﹣y＝7，解得y＝﹣1，將x=2y=?1代入y＝kx﹣9得2k解得k＝4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組和三元一次方程組的解法，有加減法和代入法兩種，一般選用加減法解二元一次方程組較簡(jiǎn)單．【變式3-2】（2022春?婁底期中）在等式y(tǒng)＝ax2+bx+c中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2；當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝12，則a+b+c＝（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】先把x＝0時(shí)，y＝2；x＝﹣1時(shí)，y＝0；x＝2時(shí)，y＝12分別代入y＝ax2+bx+c，得到一個(gè)三元一次方程組解這個(gè)方程組即可求出a，b，c的值，進(jìn)而求得結(jié)果．【解答】解：把x＝0時(shí)，y＝2；x＝﹣1時(shí)，y＝0；x＝2時(shí)，y＝12分別代入y＝ax2+bx+c，得2=c0=a?b+c解得，a=1b=3∴a+b+c＝1+3+2＝6，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三元一次方程組的解法，掌握三元一次方程組解的步驟是本題的關(guān)鍵，把三元一次方程組通過消元轉(zhuǎn)化成二元一次方程組再進(jìn)行求解．【變式3-3】（2022春?榮縣校級(jí)期中）對(duì)于實(shí)數(shù)x，y定義新運(yùn)算：x?y＝ax+by+c，其中a，b，c均為常數(shù)，且已知3?5＝15，4?7＝28，則2?3的值為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根據(jù)所給的條件，可得到3a+5b+c＝15，4a+7b+c＝28，從而可求得a+2b＝13，7a+12b+2c＝43，整理可求得b﹣c＝24，從而可求解．【解答】解：∵3?5＝15，4?7＝28，∴3a+5b+c＝15①，4a+7b+c＝28②，②﹣①得：a+2b＝13，①+②得：7a+12b+2c＝43，則7（a+2b）﹣2（b﹣c）＝43，整理得：b﹣c＝24，∴2?3＝2a+3b+c＝2（a+2b）﹣（b﹣c）＝2×13﹣24＝26﹣24＝2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三元一次方程組，整體思想，解答的關(guān)鍵是由所給的條件得出：a+2b＝13，b﹣c＝24．【變式3-4】（2022?南京模擬）若方程組x?by+4z=1x?2by+3z=3的解是x=ay=1z=c，則a+bA．﹣3 B．0 C．3 D．6【分析】先把x=ay=1z=c代入原方程組，可得a?b+4c①a?2b+3c②，由①﹣②可得b＝﹣2﹣c，再把b＝﹣2﹣c代入①，可得a【解答】解：∵方程組x?by+4z=1x?2by+3z=3的解是x=a∴a?b+4c=1①a?2b+3c=3②由①﹣②得：b+c＝﹣2，∴b＝﹣2﹣c，把b＝﹣2﹣c代入①，得：a﹣（﹣2﹣c）+4c＝1，∴a+5c＝﹣1，∴a+b+6c＝a+5c+b+c＝﹣1﹣2＝﹣3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三元一次方程組的解，解二元一次方程組，理解方程組的解就是使方程組中每一個(gè)方程都成立的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．【變式3-5】已知方程組x+y=3ay+z=5az+x=4a的解使式子x﹣2y+3z的值等于﹣10，求【分析】把a(bǔ)看作已知數(shù)求出方程組的解表示出x，y，z，代入x﹣2y+3z＝﹣10中計(jì)算即可求出a的值．【解答】解：x+y=3a①y+z=5a②①+②+③得：x+y+z＝6a，解得：z＝3a，x＝a，y＝2a，代入x﹣2y+3z＝﹣10得：a﹣4a+9a＝﹣10，解得：a=?5【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．【變式3-6】（2021春?崇川區(qū)校級(jí)月考）已知y＝ax2+bx+c，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝8；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2；當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝4．（1）求a，b，c的值；（2）當(dāng)x＝﹣3時(shí)，求y的值．【分析】（1）把x、y的值分別代入y＝ax2+bx+c，得出關(guān)于a、b、c的方程組，求出方程組的解即可；（2）求出y=73x2+113【解答】解：（1）根據(jù)題意得：a+b+c=8①c=2②把②代入①，得a+b+2＝8④，把②代入③，得4a﹣2b+2＝4⑤，由④和⑤組成方程組a+b+2=84a?2b+2=4解得：a=73，b所以a=73，b=11（2）由（1）得：y=73x2+當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y=73×（﹣3）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三元一次方程組，能把三元一次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組是解此題的關(guān)鍵．題型四三元一次方程組---求比值問題題型四三元一次方程組---求比值問題【例題4】（2022春?榮縣校級(jí)期中）若x=3yy+4z=0（y≠0），則xA．65 B．?112 C．﹣12【分析】先觀察所給方程組與所求代數(shù)式的特點(diǎn)可發(fā)現(xiàn)，所求代數(shù)式中不含未知數(shù)y，故可用代入法把y消去，直接求出x、z的比值．【解答】解：①可變形為y=x3把③代入②得，x3+4去分母、移項(xiàng)得，x＝﹣12z，兩邊同除以12得xz故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三元一次方程組，解答此題的關(guān)鍵是注意觀察方程組中的方程與所求代數(shù)式之間的關(guān)系，消去所求代數(shù)式中不含有的未知數(shù)，利用等式的性質(zhì)直接求出x、z的比值．解題技巧提煉若出現(xiàn)兩個(gè)方程，三個(gè)未知數(shù)，則可將其中一個(gè)字母當(dāng)作常數(shù)，然后解這個(gè)“二元一次方程組”，再代入求比值即可.【變式4-1】（2022春?巴東縣期末）已知x=3yy+4z=0，且y≠0，則xA．34 B．?34 【分析】由②得出y＝﹣4z③，把③代入①得出x＝3×（﹣4z），求出x＝﹣12z，再等式兩邊都除以z即可．【解答】解：x=3y①由②，得y＝﹣4z③，把③代入①，得x＝3×（﹣4z），即x＝﹣12z，等式兩邊都除以z得：xz故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三元一次方程組，能求出y＝﹣4z是解此題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2021春?蓬溪縣期中）已知3x+5y+3z=03x?5y?8z=0（z≠0），則x：y：z＝【分析】把z看作已知數(shù)表示出x與y，即可求出所求．【解答】解：方程組整理得：3x+5y=?3z①3x?5y=8z②①+②得：6x＝5z，解得：x=56①﹣②得：10y＝﹣11z，解得：y=?1110則x：y：z=56z：（?1110故答案為：25：（﹣33）：30．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【變式4-3】設(shè)x2=yA．27 B．23 C．89【分析】設(shè)已知等式等于k，表示出x，y，z，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：設(shè)x2=y3=z4=k，得到x＝2k，則原式=2k?6k+12k故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），則2x+y+z2x?y+z=【分析】在x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0中，未知數(shù)系數(shù)相同，xy的系數(shù)互為相反數(shù)，通過兩個(gè)式子相減或相加，即可用z的代數(shù)式表示出x、y，進(jìn)而得出答案．【解答】解：x+y+7z＝0①，x﹣y﹣3z＝0②，①﹣②，得4y+10z＝0，即y＝﹣2.5z，①+②，得2x+4z＝0，即x＝﹣2z，∴2x+y+z2x?y+z故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三元一次方程組，正確用z的代數(shù)式表示出x、y是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-5】已知x、y、z都不為零，且4x?3y?3z=02x?3y+z=0，求式子x?3y+4z【分析】先通過消元用z表示出x，y的值，再把x，y的代入要求的式子，最后進(jìn)行約分即可．【解答】解：4x?3y?3z=0①2x?3y+z=0②①﹣②得：2x＝4z，解得：x＝2z，把x＝2z代入②得：y=53把x＝2z，y=53z代入2z?5z+4z10z+z【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，關(guān)鍵是通過消元用z表示出x，y的值，再把x，y的代入要求的式子，用到的知識(shí)點(diǎn)是代入法和加減法．題型五三元一次方程組與非負(fù)數(shù)的結(jié)合題型五三元一次方程組與非負(fù)數(shù)的結(jié)合【例題5】若|x﹣3y+5|+（3x+y﹣5）2+x+y?3z=0，求【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)得出x、y、z的三元一次方程組，解之求得x、y、z的值，代入計(jì)算可得．【解答】解：∵若|x﹣3y+5|+（3x+y﹣5）2+x+y?3z∴x?3y=?53x+y=5解得：x=1y=2∴x+y+z=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、解方程組的能力．解題技巧提煉根據(jù)絕對(duì)值和平方數(shù)的性質(zhì)，即幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，每個(gè)非負(fù)數(shù)的都為0，得出三個(gè)等式聯(lián)立方程組是解題的關(guān)鍵.【變式5-1】已知x，y，z滿足|x﹣2﹣z|+（3x﹣6y﹣7）2+|3y+3z﹣4|＝0．求x，y，z的值．【分析】已知等式為三個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0的形式，只有這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0，可組成方程組，求x、y、z的值．【解答】解：根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得x?2?z=0①×3+③，得3x+3y﹣10＝0④④﹣③，得y=1把y=13代入④得把x＝3代入①得z＝1．∴原方程的解為x=3y=故x＝3，y=13，【點(diǎn)評(píng)】本題是方程組的運(yùn)用，根據(jù)已知等式的特點(diǎn)，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，組成方程組求解．【變式5-2】已知|x﹣8y|+2（4y﹣1）2+3|8z﹣3x|＝0，求x+y+z的值．【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程組，求出x、y、z的值，再代入代數(shù)式求值即可．【解答】解：由題意得x?8y=04y?1=0解得x=2y=故x+y+z＝2+1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，初中階段有三種類型的非負(fù)數(shù)：（1）絕對(duì)值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術(shù)平方根）．當(dāng)它們相加和為0時(shí)，必須滿足其中的每一項(xiàng)都等于0．根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求解這類題目．【變式5-3】已知（a﹣2b﹣4）2+（2b+c）2+|a﹣4b+c|＝0，求3a+b﹣c的值．【分析】根據(jù)題意列出三元一次方程組，再根據(jù)解三元一次方程組的步驟求出a，b，c的值，再把它代入3a+b﹣c中，進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵（a﹣2b﹣4）2+（2b+c）2+|a﹣4b+c|＝0，∴a﹣2b﹣4＝0，2b+c＝0，a﹣4b+c＝0，∴a?2b?4=02b+c=0解得：a=6b=1則3a+b﹣c＝3×6+1﹣（﹣2）＝21．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組和絕對(duì)值，偶次方，解題的關(guān)鍵是根據(jù)絕對(duì)值，偶次方列出三元一次方程組，求出a，b，c的值．【變式5-4】已知|a﹣c﹣2|+a?9b+（3b+3c﹣4）2＝0，求a2016b2015c2017﹣【分析】首先由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出三元一次方程組，進(jìn)一步解方程組求得答案即可．【解答】解：∵|a﹣c﹣2|+a?9b+（3b+3c﹣4）∴a?c?2=0a?9b=0解得：a=3b=∴a2016b2015c2017﹣a＝32016×（13）2015×12017＝3﹣3＝0．【點(diǎn)評(píng)】此題考查解三元一次方程組，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)建立方程組是解決問題的關(guān)鍵．【變式5-5】若x，y，z滿足關(guān)系式|4x﹣4y+1|+152y+z+（z?12）2＝0，求x【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程組，求出方程組的解得到x，y，z的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：∵|4x﹣4y+1|+152y+z+（z∴4x?4y+1=02y+z=0解得：x=?12，y=?14則原式=14×（?【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式5-6】已知x，y，z滿足|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|＝﹣（3y+2z﹣13）2，求xyz的值．【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，將所給的絕對(duì)值方程轉(zhuǎn)化為三元一次方程組，解方程組即可解決問題．【解答】解：∵|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|＝﹣（3y+2z﹣13）2，∴|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|+（3y+2z﹣13）2＝0，∵|x﹣z﹣2|≥0，|3x﹣3y﹣3|≥0，（3y+2z﹣13）2≥0，∴x?z?2=0①3x?3y?3=0②由②÷3得：x﹣y﹣1＝0④，由①﹣④得：y﹣z﹣1＝0⑤，由③+2×⑤得：5y＝15，y＝3；將y＝3代入④得：x＝4；將y＝3代入⑤得：z＝2，∴xyz＝24．【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了非負(fù)數(shù)的應(yīng)用、三元一次方程組的解法及其應(yīng)用問題等重要代數(shù)知識(shí)點(diǎn)；對(duì)求解運(yùn)算能力、整體代換思想等均提出了較高的要求．題型六列三元一次方程組解實(shí)際問題題型六列三元一次方程組解實(shí)際問題【例題6】一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位、百位上的數(shù)字的和等于十位上數(shù)字的2倍，百位上的數(shù)字的3倍等于個(gè)位、十位上的數(shù)字的和，個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字的和是12．求這個(gè)三位數(shù)．【分析】設(shè)個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字分別是x，y，z，因?yàn)閭€(gè)位、百位上的數(shù)字的和等于十位上數(shù)字的2倍可列x+z＝2y，因?yàn)榘傥簧系臄?shù)字的3倍等于個(gè)位、十位上的數(shù)字的和可列3z＝x+y，因?yàn)閭€(gè)位、十位、百位上的數(shù)字的和是12可列x+y+z＝12，再用消元法求出x，y，z即可．【解答】解：設(shè)個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字分別是x，y，z．由題意可列：x+z=2y①3z=x+y②將②代入③得：4z＝12，∴z＝3，將z代入①，②得：x?2y=?3④x+y=9⑤⑤﹣④，得：3y＝12，解得：y＝4，將y＝4代入⑤，得：x＝5，∴方程組的解為x=5y=4答：這個(gè)數(shù)是543．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，分析題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉在解決實(shí)際問題時(shí)，若未知量較多，要考慮設(shè)三個(gè)未知數(shù)，但同時(shí)應(yīng)注意，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要找到幾個(gè)等量關(guān)系列幾個(gè)方程．（1）把求等式中常數(shù)的問題可轉(zhuǎn)化為解三元一次方程組，為以后待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式奠定基礎(chǔ)．（2）通過設(shè)二元與三元的對(duì)比，體驗(yàn)三元一次方程組在解決多個(gè)未知數(shù)問題中的優(yōu)越性．【變式6-1】（2022春?宜陽縣期中）已知某個(gè)三角形的周長(zhǎng)為18cm，其中兩條邊的長(zhǎng)度之和等于第三條邊長(zhǎng)度的2倍，而它們的差等于第三條邊長(zhǎng)度的13【分析】設(shè)這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c．根據(jù)題意列出方程組并解答．【解答】解：設(shè)這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為acm、bcm、ccm．依題意得：a+b+c=18a+b=2c解得a=7b=5答：這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為7cm、5cm、6cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用．在解決實(shí)際問題時(shí)，若未知量較多，要考慮設(shè)三個(gè)未知數(shù)，但同時(shí)應(yīng)注意，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要找到幾個(gè)等量關(guān)系列幾個(gè)方程．【變式6-2】（2021春?西湖區(qū)校級(jí)期中）為確保信息安全，信息需要加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文a，b，c，對(duì)應(yīng)密文a+1，﹣a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，則解密得到的明文為（）A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6【分析】根據(jù)“加密規(guī)則為：明文a，b，c，對(duì)應(yīng)密文a+1，﹣a+2b+4，b+3c+9”，即可得出關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：依題意得：a+1=7?a+2b+4=12解得：a=6b=7故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出三元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】某農(nóng)場(chǎng)300名職工耕種51公頃土地，計(jì)劃種植水稻、棉花和蔬菜，已知種植農(nóng)作物每公頃所需的勞動(dòng)力人數(shù)及投入的設(shè)備資金如下表：農(nóng)作物品種每公頃需勞動(dòng)力每公頃需投入資金水稻4人1萬元棉花8人1萬元蔬菜5人2萬元已知該農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃在設(shè)備投入67萬元，應(yīng)該怎樣安排這三種作物的種植面積，才能使所有職工有工作，而且投入的資金正好夠用？【分析】首先種植水稻x公頃，棉花y公頃，蔬菜為z公頃，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①三種農(nóng)作物的投入資金＝67萬元；②三種農(nóng)作物所需要的人力＝300名職工；③三種農(nóng)作物的公頃數(shù)＝51公頃，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可．【解答】解：設(shè)種植水稻x公頃，棉花y公頃，蔬菜為z公頃，由題意得：x+y+2z=674x+8y+5z=300解得：x=15y=20答：種植水稻15公頃，棉花20公頃，蔬菜為16公頃．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是弄懂題意，抓住題目中的關(guān)鍵語句，找出等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，列出方程組．【變式6-4】甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小時(shí)走3km，平路每小時(shí)走4km，下坡每小時(shí)走5km，那么從甲地到乙地需51min，從乙地到甲地需53.4min，從甲地到乙地時(shí)，上坡、平路、下坡的路程各是多少？【分析】設(shè)甲地到乙地，上坡、平路、下坡路各是x千米，y千米，z千米，根據(jù)全程3.3km，甲到乙要51分鐘，乙到甲要53.4分鐘．分別列出方程，組成方程組，再求解即可．【解答】解：設(shè)甲地到乙地，上坡、平路、下坡路各是x千米，y千米，z千米，根據(jù)題意得：x+y+z=3.3x解得x=1.2y=0.6答：甲地到乙地，上坡路1.2千米、平路0.6千米、下坡路1.5千米．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系，列出方程組，用代入消元法或加減消元法求出方程組的解．【變式6-5】（2022?南京模擬）有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件，乙7件，丙1件，共需315元；若購甲4件，乙10件，丙1件，共需420元．現(xiàn)在購買甲、乙、丙各1件，共需（）A．105元 B．210元 C．170元 D．不能確定【分析】等量關(guān)系為：甲3件的總價(jià)+乙7件的總價(jià)+丙1件的總價(jià)＝315，4件的總價(jià)+乙10件的總價(jià)+丙1件的總價(jià)＝420，把相關(guān)數(shù)值代入，都整理為等式左邊為x+y+z的等式，設(shè)法消去等號(hào)右邊含未知數(shù)的項(xiàng)，可得甲、乙、丙各1件共需的費(fèi)用．【解答】解：設(shè)購買甲、乙、丙各1件分別需要x，y，z元，則依題意3x+7y+z=315①4x+10y+z=420②由①×3﹣②×2得，x+y+z＝105，即現(xiàn)在購買甲、乙、丙各1件，共需105元．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用；根據(jù)總價(jià)得到2個(gè)等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵；難點(diǎn)是把2個(gè)等式整理為只含（x+y+z）的等式．【變式6-6】小紅在學(xué)校商店買了3支鋼筆，1本練習(xí)本，2支中性筆共花13元，小穎買了2支鋼筆，4本練習(xí)本，3支中性筆共花17元，小明打算在該商店買20支鋼筆，20本練習(xí)本，20支中性筆寄給四川地震災(zāi)區(qū)的小朋友，他只有120元的壓歲錢，請(qǐng)你幫他算一下，他的錢夠嗎？【分析】設(shè)鋼筆每支a元，練習(xí)本b元，中性筆c元．利用題中已知條件列出方程組，3a+b+2c=13①2a+4b+3c=17②，由此可以求得（a+b+c）的值，所以通過比較20（a+b+c【解答】解：設(shè)鋼筆每支a元，練習(xí)本b元，中性筆c元，則3a+b+2c=13①2a+4b+3c=17②①+②得，5a+5b+5c＝30，所以，20a+20b+20c＝4×30＝120（元），即120元的壓歲錢夠購買20支鋼筆，20本練習(xí)本，20支中性．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用．解方程組時(shí)，根據(jù)系數(shù)特點(diǎn)，通過加減，得到一個(gè)整體，然后整體求解．題型七求三元一次方程組特殊解問題題型七求三元一次方程組特殊解問題【例題7】（2022春?嘉魚縣期末）現(xiàn)有1元，5元，10元紙幣各10張混在一起，從中任意抽取21張紙幣合計(jì)100元，則抽取的紙幣中10元紙幣有（）張A．7 B．6 C．5 D．3【分析】根據(jù)題意列三元一次方程組，再分情況討論出結(jié)果或把選項(xiàng)中的數(shù)值一一代入驗(yàn)證即可．【解答】解：設(shè)1元、5元、10元的紙幣分別為x張、y張、z張，根據(jù)題意得：x+y+z=21①x+5y+10z=100②由①得：x＝21﹣y﹣z，把x＝21﹣y﹣z代入②得：21﹣y﹣z+5y+10z＝100，得：9z+4y＝79，∵x、y、z都是正整數(shù)，∴把z＝7、6、5、3分別代入等式，只有當(dāng)z＝7時(shí)，y是正整數(shù)，∴選項(xiàng)A符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元一次方程組，做題關(guān)鍵是能根據(jù)題意列出方程組，解方程組，分情況討論確定答案．解題技巧提煉求三元一次方程組的特殊解的方法：可類比求二元一次方程組特殊解的方法，即在把方程組轉(zhuǎn)化為用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)的形式之后，利用方程組特殊解的特點(diǎn)，盡量縮小未知數(shù)的取值范圍，然后再通過具體計(jì)算得到方程組的特殊解.【變式7-1】（2022秋?朝陽區(qū)期末）某跨學(xué)科綜合實(shí)踐小組準(zhǔn)備購買一些盒子存放實(shí)驗(yàn)材料．現(xiàn)有A，B，C三種型號(hào)的盒子，盒子容量和單價(jià)如表所示：盒子型號(hào)ABC盒子容量/升234盒子單價(jià)/元569其中A型號(hào)盒子做促銷活動(dòng)：購買三個(gè)及三個(gè)以上可一次性返現(xiàn)金4元，現(xiàn)有28升材料需要存放且每個(gè)盒子要裝滿材料．（1）若購買A，B，C三種型號(hào)的盒子的個(gè)數(shù)分別為2，3，4，則購買費(fèi)用為元；（2）若一次性購買所需盒子且使購買費(fèi)用不超過58元，則購買A，B，C三種型號(hào)的盒子的個(gè)數(shù)分別為.（寫出一種即可）【分析】（1）根據(jù)盒子的個(gè)數(shù)乘以盒子的單價(jià)即可得購買費(fèi)用；（2）設(shè)購買A種型號(hào)盒子x個(gè)，購買B種型號(hào)盒子y個(gè)，購買C種盒子型號(hào)z個(gè)，根據(jù)題意列出方程和不等式，然后求整數(shù)解即可．【解答】解：（1）購買A，B，C三種型號(hào)的盒子的個(gè)數(shù)分別為2，3，4，則購買費(fèi)用為：2×5+3×6+4×9＝64（元），故答案為：64；（2）設(shè)購買A種型號(hào)盒子x個(gè)，購買B種型號(hào)盒子y個(gè)，購買C種盒子型號(hào)z個(gè)，根據(jù)題意得：2x+3y+4z＝28，①當(dāng)0≤x＜3時(shí)，5x+6y+9z≤58，∵x，y，z都為正整數(shù)，∴x＝2時(shí)，y＝8，z＝0（不符合題意舍去），②當(dāng)3≤x時(shí)，5x+6y+9z﹣4≤58，∵x，y，z都為正整數(shù)，∴x＝4時(shí)，y＝4，z＝2，綜合所述，購買A，B，C三種型號(hào)的盒子的個(gè)數(shù)分別為4，4，2．故答案為：4，4，2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，分別0≤x＜3和3≤x兩種情況列出方程求出整數(shù)解是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】某商場(chǎng)計(jì)劃撥款9萬元從廠家購進(jìn)50臺(tái)電視機(jī)．已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號(hào)的電視機(jī)，出廠價(jià)分別為：甲種每臺(tái)1500元，乙種每臺(tái)2100元，丙種每臺(tái)2500元．（1）若商場(chǎng)同時(shí)購進(jìn)其中兩種不同型號(hào)電視機(jī)共50臺(tái)，用去9萬元，請(qǐng)研究一下商場(chǎng)的進(jìn)貨方案；（2）若商場(chǎng)銷售一臺(tái)甲種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺(tái)乙種電視機(jī)可獲利200元，銷售一臺(tái)丙種電視機(jī)可獲利250元．在同時(shí)購進(jìn)兩種不同型號(hào)電視機(jī)的方案中，為使銷售時(shí)獲利最多，你選擇哪種進(jìn)貨方案；（3）若商場(chǎng)準(zhǔn)備用9萬元同時(shí)購進(jìn)三種不同