浙江省杭州地區(qū)2025屆高一下數(shù)學期末經典試題含解析

浙江省杭州地區(qū)2025屆高一下數(shù)學期末經典試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，且，則（）A． B． C． D．2．設，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值是（）A．3 B． C．1 D．3．已知函數(shù)在處取得極小值，則的最小值為（）A．4 B．5 C．9 D．104．10名工人某天生產同一零件，生產的件數(shù)是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.設其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有（）.A． B． C． D．5．如果數(shù)據的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)和方差分別為()A． B． C． D．6．設x，y滿足約束條件，則z=x-y的取值范圍是A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]7．若cosθ＞0，且sin2θ＜0，則角θ的終邊在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．在△中，角，，所對的邊分別為，，，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,則()A． B． C． D．10．下列函數(shù)中，值域為的是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設a＞1,b＞1．若關于x,y的方程組無解，則的取值范圍是．12．函數(shù)的最大值為______.13．在平面直角坐標系中，角的頂點在原點，始邊與軸的正半軸重合，終邊過點，則______14．在明朝程大位《算術統(tǒng)宗》中有這樣的一首歌謠：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈”.這首古詩描述的這個寶塔古稱浮屠，本題說“寶塔一共有七層，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍，共有381盞燈，問塔頂有幾盞燈？”根據上述條件，從上往下數(shù)第二層有___________盞燈．15．在中，，，面積為，則________．16．函數(shù)的最小正周期為__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，已知四棱錐，側面是正三角形，底面為邊長2的菱形，，.（1）設平面平面，求證：；（2）求多面體的體積；（3）求二面角的余弦值.18．在△ABC中，已知BC=7，AB=3，∠A=60°．（1）求cos∠C的值；（2）求△ABC的面積．19．設為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，且數(shù)列的前項和為，求證：.20．某公司為了變廢為寶，節(jié)約資源，新上了一個從生活垃圾中提煉生物柴油的項目．經測算該項目月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關系可以近似地表示為：，且每處理一噸生活垃圾，可得到能利用的生物柴油價值為元，若該項目不獲利，政府將給予補貼．（1）當時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損？（2）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？21．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若，，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

首先根據，求得，結合角的范圍，利用平方關系，求得，利用題的條件，求得，之后將角進行配湊，使得，利用正弦的和角公式求得結果.【詳解】因為，所以，因為，所以.因為，，所以，所以，故選D.【點睛】該題考查的是有關三角函數(shù)化簡求值問題，涉及到的知識點有同角三角函數(shù)關系式，正弦函數(shù)的和角公式，在解題的過程中，注意時刻關注角的范圍.2、C【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，結合圖形找出最優(yōu)解，從而求出目標函數(shù)的最大值．【詳解】作出不等式組對應的平面區(qū)域，如陰影部分所示；平移直線，由圖像可知當直線經過點時，最大．，解得，即，所以的最大值為1．故答案為選C【點睛】本題給出二元一次不等式組，求目標函數(shù)的最大值，著重考查二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃，也考查了數(shù)形結合的解題思想方法，屬于基礎題．3、C【解析】由，得，則，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，故選C.4、B【解析】

根據所給數(shù)據，分別求出平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，然后進行比較可得選項.【詳解】，中位數(shù)為，眾數(shù)為.故選：B.【點睛】本題主要考查統(tǒng)計量的求解，明確平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的求解方法是求解的關鍵，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).5、D【解析】

根據平均數(shù)和方差的公式，可推導出，，，的平均數(shù)和方差．【詳解】因為，所以，所以的平均數(shù)為；因為，所以，故選：D.【點睛】本題考查平均數(shù)與方差的公式計算，考查對概念的理解與應用，考查基本運算求解能力.6、B【解析】作出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分所示.目標函數(shù)即，易知直線在軸上的截距最大時，目標函數(shù)取得最小值；在軸上的截距最小時，目標函數(shù)取得最大值，即在點處取得最小值，為；在點處取得最大值，為.故的取值范圍是[–3,2].所以選B.【名師點睛】線性規(guī)劃的實質是把代數(shù)問題幾何化，即運用數(shù)形結合的思想解題.需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數(shù)所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點處或邊界上取得.7、D【解析】試題分析：且，，為第四象限角．故D正確．考點：象限角．8、C【解析】

由正弦定理分別檢驗問題的充分性和必要性，可得答案.【詳解】解：充分性：在△中，由，可得,所以,故充分性成立；必要性：在△中，由及正弦定理，可得，可得,,故，必要性成立；故可得：在△中，角，，所對的邊分別為，，，則“”是“”的充分必要條件，故選C.【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷，相對不難，注意正弦定理的靈活運用.9、B【解析】

利用正弦定理邊化角，結合和差公式以及誘導公式，即可得到本題答案.【詳解】因為，所以，，，，，.故選：B.【點睛】本題主要考查利用正弦定理邊角轉化求角，考查計算能力，屬于基礎題.10、B【解析】

依次判斷各個函數(shù)的值域，從而得到結果.【詳解】選項：值域為，錯誤選項：值域為，正確選項：值域為，錯誤選項：值域為，錯誤本題正確選項：【點睛】本題考查初等函數(shù)的值域問題，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】試題分析：方程組無解等價于直線與直線平行，所以且．又，為正數(shù)，所以（），即取值范圍是．考點：方程組的思想以及基本不等式的應用．12、【解析】

設，，，則，，可得，再根據正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)的最值．【詳解】解：函數(shù)，設，，則，，，，故當，即時，函數(shù)，故故答案為：；【點睛】本題主要考查求函數(shù)的值域，正弦函數(shù)的定義域和值域，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于基礎題．13、-1【解析】

根據三角函數(shù)的定義求得，再代入的展開式進行求值.【詳解】角終邊過點，終邊在第三象限，根據三角函數(shù)的定義知：，【點睛】考查三角函數(shù)的定義及三角恒等變換，在變換過程中要注意符號的正負.14、6.【解析】

根據題意可將問題轉化為等比數(shù)列中，已知和，求解的問題；利用等比數(shù)列前項和公式可求得，利用求得結果.【詳解】由題意可知，每層懸掛的紅燈數(shù)成等比數(shù)列，設為設第層懸掛紅燈數(shù)為，向下依次為且即從上往下數(shù)第二層有盞燈本題正確結果；【點睛】本題考查利用等比數(shù)列前項和求解基本量的問題，屬于基礎題.15、【解析】

由已知利用三角形面積公式可求c，進而利用余弦定理可求a的值，根據正弦定理即可計算求解.【詳解】，，面積為,解得，由余弦定理可得：，所以,故答案為：【點睛】本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題.16、【解析】

用輔助角公式把函數(shù)解析式化成正弦型函數(shù)解析式的形式，最后利用正弦型函數(shù)的最小正周期的公式求出最小正周期.【詳解】,函數(shù)的最小正周期為.【點睛】本題考查了輔助角公式，考查了正弦型函數(shù)最小正周期公式，考查了數(shù)學運算能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】

（1）由，證得平面，再由線面平行的性質，即可得到；（2）取中點，連結，推得，，得到平面，再由多面體的體積，結合體積公式，即可求解；（3）由，設的中點為，連結，推得，從而得到就是二面角的平面角，由此可求得二面角的余弦值.【詳解】證明：（1）因為平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以；（2）取中點，連結，由得，同理，又因為，所以平面，在中，，所以，所以多面體的體積；（3）由題意知，底面為邊長2的菱形，，所以，又，所以，設的中點為，連結，由側面是正三角形知，，所以，因此就是二面角的平面角，在中，，，由余弦定理得，二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查了線面位置關系的判定，多面體的體積的計算，以及二面角的求解，其中解答中熟記線面位置關系的判定與性質，以及而面積的平面角的定義，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于中檔試題.18、（1）（2）【解析】

（1）由已知及正弦定理可得sinC的值，利用大邊對大角可求C為銳角，根據同角三角函數(shù)基本關系式可求cosC的值．（2）利用三角形內角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinB的值，根據三角形的面積公式即可計算得解．【詳解】（1）由題意，BC=7，AB=3，∠A=60°．∴由正弦定理可得：sinC=∵BC＞AB，∴C為銳角，∴cosC===，（2）因為A+B+C=π，A=60°，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+=，∴S△ABC=BC?AB?sinB=．【點睛】本題主要考查了正弦定理，大邊對大角，同角三角函數(shù)基本關系式，三角形內角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．19、（1），（2）見解析【解析】

(1)根據等差數(shù)列的通項公式得到結果；（2）根據第一問得到，由裂項求和得到結果.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由題意得，，解得，，則，.（2）由得∴.【點睛】這個題目考查的是數(shù)列通項公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項的求法中有常見的已知和的關系，求表達式，一般是寫出做差得通項，但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯位相減，裂項求和，分組求和等。20、（1）不能獲利，政府每月至少補貼元；（2）每月處理量為噸時，平均成本最低.【解析】

（1）利用：（生物的柴油總價值）（對應段的月處理成本）利潤，根據利潤的正負以及大小來判斷是否需要補貼，以及補貼多少；（2）考慮：（月處理成本）（月處理量）每噸的平均處理成本，即為，計算的最小值，注意分段.【詳解】（1）當時，該項目獲利為，則∴當時，，因此，該項目不會獲利當時，取得最大值，所以政府每月至少需要補貼元才能使該項目不虧損；（2）由題意可知，生活垃圾每噸的平均處理成本為：當時，所以當時，取得最小值；當時，當且僅當，即時，取得最小值因為，所以當每月處理量為噸時，才能使每噸的平均處理成本最低．【點睛】本題考查分段函數(shù)模型的實