2024屆廣東省肇慶市高三年級(jí)上冊(cè)第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題含答案

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肇慶市2024屆高中畢業(yè)班第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)

本試題共4頁(yè)，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處。

2.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。

3.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改

液、修正帶、刮紙刀?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試題及答題卡交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的

1.已知z=&，且21=3-i,z2=2-i,則|z|=

A.2B.C.1D.孝

2.已知集合A=|彳|#一3*+2N0,xeZ},B=\y\|y|^2,yeN},貝=

A.!0,1|B,JI,2|

c.10,1,2}D.{-2,-1,0,1,2(

3.已知e1，e?是單位向量，且它們的夾角是60。.若a=e1+2e?,b=Xet-e2,且a\=

\b\,則入=

A.2B.-2C.2或-3D.3或-2

4.為了研究我國(guó)男女性的身高情況，某地區(qū)采用分層隨機(jī)抽樣的方式抽取了100萬人的樣

本，其中男性約占51%、女性約占49%,統(tǒng)計(jì)計(jì)算樣本中男性的平均身高為175cm,女

性的平均身高為165cm,則樣本中全體人員的平均身高約為

A.166cmB.168cmC.170cmD.172cm

32

5.已知。=1.()產(chǎn)2,ft=o.52',c=log0523.2,貝ij

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

SS

6.已知數(shù)列l(wèi)a,J是等差數(shù)列，S“是它的前w項(xiàng)和，%=2,常=11,則瑞=

A.100B.101C.110D.120

高三?數(shù)學(xué)第1頁(yè)(共4頁(yè))

7.已知雙曲線E：=1，則過點(diǎn)（2,6）與E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有

A.4條B.3條C.2條D.1條

8.在△48C中，若A>8,則下列結(jié)論婚性的是

A.4+sinA>B+sinBB.sinA+cosB>sinB+cosA

C.sinA+cosA>sinB+cosBD.4+sinB>B+sinA

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.已知曲線C的方程為貯+4=1,則

a3

A.當(dāng)〃<0時(shí)，曲線C表示雙曲線

B.當(dāng)0<a<3時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

C.當(dāng)〃=3時(shí)，曲線C表示圓

D.當(dāng)”>3時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓

10.若△48C的三個(gè)內(nèi)角4,B,C的正弦值為sin4,sinB,sinC,貝lj

A.sinA,sin8,sinC一定能構(gòu)成三角形的三條邊

B.」二，」方，一定能構(gòu)成三角形的三條邊

C.sin2A,sin2B,sin2c一定能構(gòu)成三角形的三條邊

D./sinA,/sinB,下一?定能構(gòu)成三角形的三條邊

11.已知3六0,函數(shù)/(欠)=sina)x+g-sin(a)x-碧)，xeR,若/(%)在區(qū)間

(信，答)上單調(diào)遞增，則。的可能取值為

A.-1B.aC.2D.4

12.定義在R上的函數(shù)/(x)同時(shí)滿足①/U+l)-f(x)=2x+2,xeR；②當(dāng)彳e[0,1]時(shí),

l/(x)l?l,則

A./(0)=-1

B./(#)為偶函數(shù)

C.存在neN*,使得f(〃)>2023n

D.對(duì)任意*wR,1/(%)|<J+|%|+3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

/9\6

13.在仔-￡)的展開式中，/的系數(shù)為.

14.拋物線y=pf的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),則p的值為.

高三?數(shù)學(xué)第2頁(yè)(共4頁(yè))

15.小明去書店買了5本參考書，其中有2本數(shù)學(xué)，2本物理，1本化學(xué).小明從中隨機(jī)抽取

2本，若2本中有1本是數(shù)學(xué)，則另1本是物理或化學(xué)的概率是.

16.在四面體尸-ABC中，BP1PC,484c=60。，若5c=2,則四面體P-A8C體積的最大

值是,它的外接球表面積的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

已知數(shù)列I滿足a?=2",數(shù)列|b?\滿足6“=%”+1,記??為數(shù)列｛b?｝的前n項(xiàng)和.

(1)是否存在人，使履為等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的儲(chǔ)若不存在，請(qǐng)

說明理由；

(2)求

18.(12分)

在△48C中，4。是484c的平分線，48=2,AD=1,4c=4,求:

(1)3。的長(zhǎng)；

(2)448C的面積.

19.(12分)

如圖，在三棱柱48C-48c中，平面4CG4，平面A8C,AB1AC,AB=AC,A4,=AtC.

(1)若“，/丫分別為46，BB、的中點(diǎn)，證明：MN〃平面4BC；

⑵當(dāng)直線48與平面回64所成角的正弦值為《時(shí)，求平面48c與平面48c夾角

的余弦值.

高三?數(shù)學(xué)第3頁(yè)(共4頁(yè))

20.（12分）

已知函數(shù)/(x)=\nx-m+"(meR).

(1)求/(彳)的極值；

(2)對(duì)任意xe(0,1),不等式/(x)>恒成立，求加的取值范圍.

e

21.(12分)

已知6、匕分別是橢圓c：4+旨=1(。>/>>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸(乙,%)在C上.

ab

⑴證明：|P^I(其中e為C的離心率);

(2)當(dāng)。=5,6=/適時(shí)，是否存在過點(diǎn)外的直線/與C交于4(町，%),B(X2,打)兩

117

點(diǎn)，其中9>0,x2<0,使得不心+何口=3兩成立？若存在，求出直線/的方程;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

22.(12分)

某市12月的天氣情況有晴天、下雨、陰天3種，第2天的天氣情況只取決于第1天的天

氣情況，而與之前的無關(guān).若第1天為晴天，則第2天下雨的概率為十,陰天的概率為

若第1天為下雨，則第2天晴天的概率為:，陰天的概率為號(hào)；若第1天為陰天,

44o

則第2天晴天的概率為十，下雨的概率為上.已知該市12月第1天的天氣情況為下雨.

(1)求該市12月第3天的天氣情況為晴天的概率；

(2)記心,叫，c”分別為該市12月第n(neN)天的天氣情況為晴天、下雨和陰天的概

率，證明：I冊(cè)+1為等比數(shù)列，并求出a?.

高三?數(shù)學(xué)第4頁(yè)(共4頁(yè))

肇慶市2024屆高中畢業(yè)班第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（參考）數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。

題號(hào)12345678

答案BCDCABCC

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

題號(hào)9101112

答案ACADBCACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.6014./15.與16.號(hào)（2分）等（3分）

四、解答題：本題共6小題，共70分。

17.（10分）

解：（1）方法一：假設(shè)存在入，使I4-屋為等比數(shù)列，則至少滿足泌“-A+的前3項(xiàng)成

等比數(shù)列.I4-川的前3項(xiàng)為匕-A=5-4，4-人=17-3%-A=65-入，…1分

則（5-八）（65-入）=（17-入廠，.............................................2分

解得入=1..............................................................................................................................3分

以下證明：當(dāng)A=1時(shí)，電-1｝為等比數(shù)列.

由6=2m+1=4"+1,得6“-1=4"...............................................................................4分

b-1

因?yàn)槭瑀=4（">2）是非零常數(shù)，且兒-1=4,所以也-11為首項(xiàng)為4,公比為4的

等比數(shù)列.................................................................5分

方法二：猜想A=1時(shí)，!b,.-1!為等比數(shù)列..................................1分

由b.=a2?+l,得b?=22"+1=4"+1,故6.-1=4\.................................................3分

因?yàn)?二1=4（心2）是非零常數(shù)，且4-1=4,所以也-11為首項(xiàng)為4,公比為4的

等比數(shù)列.................................................................5分

（2）由（1）得%-1=4”,所以力=4"+1,..........................................................................6分

4n+1-4

—3+10分

18.（12分）

方法一：解：（1）設(shè)乙^^=2氏則48/1。=

由〃麗=S&w+Sac“，得/48YZ）sine+/4CT〃sin0=/48?4Csin20，…1分

高三?數(shù)學(xué)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（參考）第1頁(yè)（共7頁(yè)）

1I1/3

所以kx2xlxsin^+—x4x1xsin0=—x2x4xsin26,得cosJ二？,3分

222o

45(BD1=AB2+AD--2AB-ADcos0=22+I2-2x1x2=.................5分

o2

所以BD=多..............................................................6分

(2)因?yàn)閏os0=_g-?所以sin0=/1-cos20=...............8分

所以sin2。=2singeos。=2x言二注............................10分

oo32

所以小c=fl8?4Csin2e=/x2x4x^|^=￥^......................12分

方法二：（1）證明：由角平分線定理知普=生=等=；,不妨設(shè)8。=%，則OC=2*.

zlLJy.j42.

..........................................................................2分

由/B4D=Z,C4O可知cosZ.BW=cosZ.C4O,..................................3分

2

即I：；；/J噌二了1解得、=乎（負(fù)值舍去），即8"=小.......6分

(2)解：由(1)知5。=3%='―^—.

、,,4+16-

22

DO/i4B+AC-BC\2)23。八

在△45C中，cos乙班八24iC=-272^4—=一亞,............8分

所以SA4BC=?ACsin/_BAC=:x2x4x

...................12分

19.（12分）

方法一：（1）證明：如圖，取4c的中點(diǎn)P,連接MP交4C于

點(diǎn)Q,連接08.

因?yàn)镸是4G的中點(diǎn)，N是BB］的中點(diǎn)，

所以2N〃/L41〃PM,BN=QM,所以四邊形MN5Q是平行四邊

形，所以Q8〃MN.

又Q8C：平面48C,MN《平面48C,

所以,M/V〃平面48c...............................4分

（2）解：因?yàn)?B_L4C,平面4cL平面48C,平面ACG4m平面48c=4C,48U平

面ABC,所以48，平面434,所以直線與平面/憶6人所成的角為4/148,則

c2

sin/_AAXB=—.

不妨設(shè)48=4C=2,貝ij48=3,=5，連接CM.

高三?數(shù)學(xué)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（參考）第2頁(yè)（共7頁(yè)）

因?yàn)锳4i=4C=CG,所以CM_L4G.

又平面ABC〃平面48,G,所以平面4CCM1。平面/Bi*,

且平面4CC14c平面481cl=4G，CMU平面4CG4,故CM,平面4181G.……6分

設(shè)81G的中點(diǎn)為E,連接ME,以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，加以MG,MC所在直線分別為工軸、

y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則4(0,-1,0),8(2,-2,2),C(0,0,2),山(2,-1,0),G(0,1,0),

故或=(2,-1,2),BC=(-2,2,0).

設(shè)平面48C的法向量為〃=(￡,y,z),

r4]B,n=0,r2x-y+2z=0,

則一即，不妨取x=2,

[BC?n=0,I-2%+2y=0,

則有〃=(2,2,-1).

易知平面481G的一個(gè)法向量為，〃=(0,0,1).

設(shè)平面48c與平面48a的夾角為仇

貝I]cos。=|cos(m,n)|=--—='

m111/22+22+(

所以平面48c與平面4圈G夾角的余弦值為4...........................12分

方法二：(1)證明：取4C的中點(diǎn)心連接兒￡,易知兒

因?yàn)槠矫?CG4_L平面48C,且平面4CCHn平面48c=4C,

&EU平面4CG4,所以4EJ■平面4BC,即4速」平面..............2分

以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，4當(dāng)，4G,4也所在直線分別為彳軸、：r軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖.

因?yàn)?8U平面A8C,

所以48_L平面4CG4,所以直線48與平面48出所成的

角為乙AAiB,則sin44418=仔.

不妨設(shè)A8=4C=2,貝ij4]B=3,A4,=\/5,

則4(0,0,0),8(2,-1,2),C(0,1,2),8,(2,0,0),

C,(0,2,0),.....................................4分

故元=(2,-1,2),4^=(0,1,2).

設(shè)平面48C的法向量為〃=(X，y,z),

r4,/?,n=0,r2x-y+2z=0,

則—>即，不妨取z=l,貝情”=(

[,4￡?"=(),ly+2z=0,

又M(0,1,0),N(2,-y,1),故加=(2,-y,1),

可得謁?"=(),故而1”,即MN〃平面48c.............................6分

(2)解：易知平面4&G的一個(gè)法向量為機(jī)=(0,0,1),....................10分

設(shè)平面48c與平面4片匕的夾角為巴

高三?數(shù)學(xué)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(參考)第3頁(yè)(共7頁(yè))

I?〃I_J_1

]m?l-/(-2)2+(-2)2+1-3，

所以平面48c與平面4”夾角的余弦值為十...........................12分

20.(12分)

解：⑴/⑷的定義域?yàn)?0,+8),廣⑴=+-，=7%.

當(dāng)mWO時(shí)，/'(彳)>0恒成立，此時(shí)/(x)單調(diào)遞增，/(%)無極值；..............2分

當(dāng)777〉0時(shí)，令/'(%)=0,得%二機(jī).

故當(dāng)％e(0,皿)時(shí)，/"(%)<0,/(%)單調(diào)遞減；當(dāng)%+8)時(shí)，/"(%)>0,/(%)單

調(diào)遞增，此時(shí)，/(%)在％二m處取到極小值lnm-m+1,無極大值.............4分

xlnx+-

(2)方法一：對(duì)任意0〈支<1時(shí)，/(*)>-■5-恒成立，即m>-------盧恒成立.

ex-1

%lnx+—%-In%-1--

令g(%)=--------產(chǎn)，%e(0,1),貝Ijg'⑷=-—-[°'?

x-I(%-1)

^h(x)=x-\nx-\--9xe(O,1),貝*/(%)=T<0,即/2(%)在區(qū)間(0,1)上單

ex

調(diào)遞減...................................................................6分

又仁)=0,

所以當(dāng)％￡(o,時(shí),h(x)>0,Bpgf(x)>0,此時(shí)g(%)單調(diào)遞增;

當(dāng)％c(4,1)時(shí)，/“冗)<0,即g'(%)<0,此時(shí)以％)單調(diào)遞減，..............8分

1I11

—In—H—y

所以g(x)2=g(+)=[(~~=~-...................................................................1。分

——1

e

所以機(jī)>:，即m的取值范圍為(9，+00)............................................................12分

方法二：由(1)知/'(支)=一,

X

當(dāng)mWO時(shí)，f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?山=-1-m+me=(e-l)機(jī)-1<十，所以機(jī)W0不符合題意........6分

當(dāng)。〈機(jī)<1時(shí)，當(dāng)％￡(0,加)時(shí)/(%)單調(diào)遞減，當(dāng)％￡(m,1)時(shí)/(%)單調(diào)遞增.

對(duì)任意0〈欠<1時(shí)，/(%)>恒成立，即/(%)min=lnzn-?n+1>,

ee

即Inm-m+1+—>0.

e

<vg(zn)=lnm-/n+l+—,mE.(0,1)

高三?數(shù)學(xué)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(參考)第4頁(yè)(共7頁(yè))

g'（m）=--1=—>0,g（m）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增...................8分

mm

又g（5）=-1-十+1+十町

所以-..........................................................10分

e

當(dāng)mNl時(shí)，/'（彳）=三％<0,/（彳）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減.

X

所以/（X）>/（1）=°>-：，符合題意......................................11分

綜上，m的取值范圍為（十，+8）........................................12分

21.（12分）

222

⑴證明：設(shè)4（c，0）,因?yàn)辄c(diǎn)%）在C上，所以言+2=1,故宿=/>21-號(hào),

ab\a）

故I/*2I=，（&-7+4=7（3-c）。+//（1-0=、/（a-］（,）=\a-exQ\....2分

又-aWx(>Wa,所以-cW2t：oWc<a,故a-亍3>0,所以|PF2\=a-ex0....4分

(2)解：假設(shè)存在這樣的直線/.

由(1)知|AF21=a-ex,=5-,I8/^1=?-ex2=5-x-,.

由橢圓定義知I=2a-=5+?陽(yáng)，I=2。-\BF2\^5+^-x2.

因?yàn)槟?席=前,所以fr

6分

5+亍町

整理得2(%+*2)2+15/W(X1+X2)+6X,X2-125=0①.

設(shè)，：y=k(x-/iCT).

聯(lián)立2515'得(3+5解-10/IU筋,+25(2*-3)=o,............8分

.y=k(x-v/T(y),

10、/面2

所以△=(-10/10A：2)2-100(2i2-3)(3+5A：2)=900(*+i)>0,且陽(yáng)+x

23+5儲(chǔ)'

代人①式’.............................................9分

化簡(jiǎn)整理得105A4-8儲(chǔ)-33=0,解得人=±孚...........................11分

故直線/存在，且它的方程為y=^I：-而或y=-可:+必..............12分

22.(12分)

高三?數(shù)學(xué)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（參考）第5頁(yè)（共7頁(yè)）

（1）解：設(shè)“該市12月第n天的天氣情況為晴天”為事件4.，”該市12月第n天的天氣情

況為下雨”為事件乩，“該市12月第八天的天氣情況為陰天”為事件C.，〃wN*,且1W

〃近31.

由圖可得，=A2A3+B2A3+C243,.........................................2分

由全概率公式可得，

戶(