2023-2024學年吉林省長春新區(qū)中考四模數學試題含解析

2023-2024學年吉林省長春新區(qū)中考四模數學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.二次函數y=-x2-4x+5的最大值是（）

A.-7B.5C.0D.9

2.在Rt2kABC中，ZACB=90°,AC=12,BC=9,D是AB的中點，G是△ABC的重心，如果以點D為圓心DG為

半徑的圓和以點C為圓心半徑為r的圓相交，那么r的取值范圍是（）

A.r<5B.r>5C.r<10D.5<r<10

3.已知點A為某封閉圖形邊界上一定點，動點P從點A出發(fā)，沿其邊界順時針勻速運動一周.設點P運動的時間為x,

線段AP的長為y.表示y與x的函數關系的圖象大致如右圖所示，則該封閉圖形可能是（）

4.在平面直角坐標系內，點P（a,a+3）的位置一定不在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.如圖是二次函數y=ax?+bx+c的圖象，其對稱軸為x=L下列結論：①abc>0；②2a+b=0；（3）4a+2b+c<0；

④若（一：，yi）,（二y2）是拋物線上兩點，則yi<y2,其中結論正確的是（）

A.①②B.②③C.②④D.①③④

6.一、單選題

如圖，△ABC中，AB=4,AC=3,BC=2,將△ABC繞點A順時針旋轉60。得到△AED,則BE的長為（）

C.3D.2

7.如圖，△OABs/\oCD,OA：OC=3：2,ZA=a,ZC=p,△OAB與△OCD的面積分別是Si和S2,△OAB

與4OCD的周長分別是G和C2,則下列等式一定成立的是（)

OB3a3s,3G3

A.----=一B.—c-=—D.—L=-

■S2

CD2B22C22

8.如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得/ABC=a,ZADC=0,貝!I竹竿AB與AD的長度之比為（

)

cos/?

cosa

9.用配方法解方程X2-4X+1=0,配方后所得的方程是()

A.(x-2)2=3B.(x+2)2=3C.(x-2)2=-3D.(x+2)2=-3

10.如果將拋物線一向右平移1個單位，那么所得的拋物線的表達式是

A-3=0a+JB.——--c-口=(0+廳D-0=

11.從1、2、3、4、5、6這六個數中隨機取出一個數，取出的數是3的倍數的概率是（）

⑵一元二次方程的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根

C.沒有實數根D.無法判斷

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.若二次函數y=一爐―4x+A:的最大值是9,則k=.

14.下面是甲、乙兩人10次射擊成績（環(huán)數）的條形統(tǒng)計圖，通常新手的成績不太確定，根據圖中的信息，估計這兩

人中的新手是.

15.在今年的春節(jié)黃金周中，全國零售和餐飲企業(yè)實現銷售額約9260億元，比去年春節(jié)黃金周增長10.2%,將9260

億用科學記數法表示為.

16.二次根式廳7在實數范圍內有意義，x的取值范圍是.

17.如圖，AB是圓O的直徑，弦CDLAB,ZBCD=30°,CD=4則S陰影=

18.現在網購越來越多地成為人們的一種消費方式，天貓和淘寶的支付交易額突破67000000000元，將67000000000

元用科學記數法表示為.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）先化簡，再求值：（_一工）+上，其中x=-L

x-2x+lxx-1

20.（6分）有A、B兩組卡片共1張，A組的三張分別寫有數字2,4,6,B組的兩張分別寫有3,1.它們除了數字

外沒有任何區(qū)別，隨機從A組抽取一張，求抽到數字為2的概率；隨機地分別從A組、B組各抽取一張，請你用列表

或畫樹狀圖的方法表示所有等可能的結果.現制定這樣一個游戲規(guī)則：若選出的兩數之積為3的倍數，則甲獲勝；否則

乙獲勝.請問這樣的游戲規(guī)則對甲乙雙方公平嗎？為什么？

21.（6分）如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP并延長，交AD于E,交BA的延長線點F.問：

圖中△APD與哪個三角形全等？并說明理由；求證：AAPEsaEPA；猜想：線段PC,PE,PF之間存在什么關系？

并說明理由.

22.（8分）為了豐富校園文化，促進學生全面發(fā)展.我市某區(qū)教育局在全區(qū)中小學開展“書法、武術、黃梅戲進校園”

活動.今年3月份，該區(qū)某校舉行了“黃梅戲”演唱比賽，比賽成績評定為A,B,C,D,E五個等級，該校部分學生

參加了學校的比賽，并將比賽結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據圖中信息，解答下列問題.

（1）求該校參加本次“黃梅戲”演唱比賽的學生人數；

（2）求扇形統(tǒng)計圖B等級所對應扇形的圓心角度數；

（3）已知A等級的4名學生中有1名男生，3名女生，現從中任意選取2名學生作為全校訓練的示范者，請你用列表

法或畫樹狀圖的方法，求出恰好選1名男生和1名女生的概率.

23.（8分）某農場用2臺大收割機和5臺小收割機同時工作2小時共收割小麥3.6公頃，3臺大收割機和2臺小收割

機同時工作5小時共收割小麥8公頃.1臺大收割機和1臺小收割機每小時各收割小麥多少公頃？

24.（10分）如圖，分別以線段AB兩端點A,B為圓心，以大于‘AB長為半徑畫弧，兩弧交于C,D兩點，作直線

2

CD交AB于點M,DE〃AB,BE〃CD.

（D判斷四邊形ACBD的形狀，并說明理由;

(2)求證：ME=AD.

25.（10分）某初中學校舉行毛筆書法大賽，對各年級同學的獲獎情況進行了統(tǒng)計，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計

圖，請結合圖中相關數據解答下列問題：

有L來自七年級，有L來自八年級，其他同學均來自九年級，現準備從獲得一等獎的同學中任選兩人參加市內毛筆書

44

法大賽，請通過列表或畫樹狀圖求所選出的兩人中既有七年級又有九年級同學的概率.

26.（12分）列方程解應用題：某景區(qū)一景點要限期完成，甲工程隊單獨做可提前一天完成，乙工程隊獨做要誤期6

天，現由兩工程隊合做4天后，余下的由乙工程隊獨做，正好如期完成，則工程期限為多少天？

27.（12分）如圖1,在菱形ABC。中，AB=6小，tan/A8C=2,點E從點。出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿

著射線04的方向勻速運動，設運動時間為秒），將線段CE繞點C順時針旋轉一個角a（a=NBC。），得到對應

線段C足

（1）求證：BE=DF；

（2）當/=秒時，OF的長度有最小值，最小值等于；

（3）如圖2,連接50、EF、BD交EC、E尸于點尸、Q,當f為何值時，AEPQ是直角三角形?

參考答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1,D

【解析】

直接利用配方法得出二次函數的頂點式進而得出答案.

【詳解】

y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9,

即二次函數y=-x2-4x+5的最大值是9,

故選D.

【點睛】

此題主要考查了二次函數的最值，正確配方是解題關鍵.

2、D

【解析】

延長CD交。D于點E,

VZACB=90°,AC=12,BC=9,/.AB=7AC2+BC2=15?

是AB中點，/.CD=-AB=—,

22

2

是AABC的重心,.*.CG=-CD=5,DG=2.5,

3

CE=CD+DE=CD+DF=10,

???0C與。D相交，。(:的半徑為一

5<r<10,

故選D.

【點睛】本題考查了三角形的重心的性質、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半、兩圓相交等，根據知求出CG的長是

解題的關鍵.

3、A

【解析】

解：分析題中所給函數圖像，

0-E段，AP隨X的增大而增大，長度與點尸的運動時間成正比.

E-F段,AP逐漸減小，到達最小值時又逐漸增大，排除C、D選項,

b-G段，AP逐漸減小直至為0,排除B選項.

故選A.

【點睛】

本題考查了動點問題的函數圖象，函數圖象是典型的數形結合，圖象應用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解

決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力.用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖.

4、D

【解析】

判斷出P的橫縱坐標的符號,即可判斷出點P所在的相應象限.

【詳解】

當a為正數的時候,a+3一定為正數,所以點P可能在第一象限,一定不在第四象限,當a為負數的時候,a+3可能為正數，

也可能為負數，所以點P可能在第二象限,也可能在第三象限，

故選D.

【點睛】

本題考查了點的坐標的知識點，解題的關鍵是由a的取值判斷出相應的象限.

5、C

【解析】

試題分析：根據題意可得：a；0,b0,c>0,則abc二0,則①錯誤；根據對稱軸為x=l可得：-三=1,則-b=2a,即

2a+b=0,則②正確；根據函數的軸對稱可得：當x=2時，y>0,即4a+2b+c>0,則③錯誤；對于開口向下的函數，離

對稱軸越近則函數值越大，則二Z；,則④正確.

點睛：本題主要考查的就是二次函數的性質，屬于中等題.如果開口向上，則a>0,如果開口向下，則a<0；如果對稱

軸在y軸左邊，則b的符號與a相同，如果對稱軸在y軸右邊，則b的符號與a相反；如果題目中出現2a+b和2a-b

的時候，我們要看對稱軸與1或者-1的大小關系再進行判定；如果出現a+b+c,則看x=l時y的值；如果出現a-b+c,

則看x=-l時y的值；如果出現4a+2b+c,則看x=2時y的值，以此類推；對于開口向上的函數，離對稱軸越遠則函數

值越大，對于開口向下的函數，離對稱軸越近則函數值越大.

6、B

【解析】

根據旋轉的性質可得AB=AE,ZBAE=60°,然后判斷出△AEB是等邊三角形，再根據等邊三角形的三條邊都相等可

得BE=AB.

【詳解】

解：；AABC繞點A順時針旋轉60。得到△AED,

/.AB=AE,ZBAE=60°,

/.△AEB是等邊三角形，

/.BE=AB,

VAB=1,

/.BE=1.

故選B.

【點睛】

本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，主要利用了旋轉前后對應邊相等以及旋轉角的定義.

7、D

【解析】

A選項，在AOABs^ocD中，OB和CD不是對應邊，因此它們的比值不一定等于相似比，所以A選項不一定成立;

B選項，在AOABsaocD中，NA和NC是對應角，因此￡=〃，所以B選項不成立；

C選項，因為相似三角形的面積比等于相似比的平方，所以C選項不成立；

D選項，因為相似三角形的周長比等于相似比，所以D選項一定成立.

故選D.

8、B

【解析】

在兩個直角三角形中，分別求出AB、AD即可解決問題；

【詳解】

*AC

在RtAABC中，AB=-------,

sina

在RtAACD中，AD=——

sinp

.ACACsin/?

??AB：AD=------：~~~~------f

sinasinpsina

故選B.

【點睛】

本題考查解直角三角形的應用、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題.

9、A

【解析】

方程變形后，配方得到結果，即可做出判斷.

【詳解】

方程%2-4%+1=0，

變形得：X2-4X=-1?

2

配方得：X-4X+4=-1+4,即(X-2)2=3,

故選A.

【點睛】

本題考查的知識點是了解一元二次方程-配方法，解題關鍵是熟練掌握完全平方公式.

10、D

【解析】

本題主要考查二次函數的解析式

【詳解】

解：根據二次函數的解析式形式可得，設頂點坐標為(h,k),則二次函數的解析式為，一_二由原拋物線解析

式,一「可得a=L且原拋物線的頂點坐標為(0,0),向右平移1個單位后的頂點坐標為(1,0),故平移后的解析式為

y=(x一廳.

故選D.

【點睛】

本題主要考查二次函數的頂點式，根據頂點的平移可得到二次函數平移后的解析式.

11、B

【解析】

考點：概率公式.

專題：計算題.

分析：根據概率的求法，找準兩點：

①全部情況的總數；

②符合條件的情況數目；二者的比值就是其發(fā)生的概率.解答：解：從1、2、3、4、5、6這六個數中隨機取出一個數,

共有6種情況，取出的數是3的倍數的可能有3和6兩種，

故概率為2/6="1/”3.

故選B.

點評：此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，

那么事件A的概率P(A)="m"/n.

12、B

【解析】

試題解析：在方程4x2-2x+=0中，△=(-2)2-4X4X^=0,

4

一元二次方程4x2_2x+l=0有兩個相等的實數根.

4

故選B.

考點：根的判別式.

二、填空題：(本大題共6個小題，每小題4分，共24分.)

13、5

【解析】y=-(x-2)2+4+k,

?.?二次函數y=-x2-4x+k的最大值是9,

.\4+k=9,解得：k=5,

故答案為：5.

14、甲.

【解析】

根據方差的意義可作出判斷.方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數

據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩(wěn)定，方差越大，數據不穩(wěn)定，則為新手.

【詳解】

?.?通過觀察條形統(tǒng)計圖可知：乙的成績更整齊，也相對更穩(wěn)定，

甲的方差大于乙的方差.

故答案為：甲.

【點睛】

本題考查的知識點是方差，條形統(tǒng)計圖，解題的關鍵是熟練的掌握方差，條形統(tǒng)計圖.

15、9.26X1011

【解析】試題解析:9260億=9.26x1011

故答案為：9.26X1011

點睛：科學記數法的表示形式為axlO”的形式，其中l(wèi)W|a|<10,n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小

數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值大于1時，n是正數；當原數的絕對值小于1

時，n是負數.

16、x<l

【解析】

根據二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式即可.

【詳解】

解：由題意得，1-xK),

解得，x<l,

故答案為x<l.

【點睛】

本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數必須是非負數是解題的關鍵.

17、

【解析】

根據垂徑定理求得—--.一_二一_—一-“3?然后由圓周角定理知NDOE=60。，然后通過解直角三角形求得線段OD、OE的

長度，最后將相關線段的長度代入S陰影=S扇形ODB-SADOE+SABEC.

【詳解】

如圖，假設線段C。、AB交于點E,

A

'：AB是O的直徑，弦CDLAB,IO.'|

B

又；二二二二一

???二二二二I=二二二二二=6ff,~二匚二=3r.

：?S陰影=S扇形ODB—S&DOE+SABEC__-

-ftt-c.、a也

T口口X:口□□□=Ar*+2VJ=1T.

71SJ

故答案為:「

fu

【點睛】

考查圓周角定理，垂徑定理，扇形面積的計算，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關鍵.

18、6.7xlO10

【解析】

科學記數法的表示形式為axion的形式，其中iw|a卜10,n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動

了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>1時，n是正數；當原數的絕對值<1時，n是負數.

【詳解】

67000000000的小數點向左移動10位得到6.7,

所以67000000000用科學記數法表示為6.7x101°,

故答案為：6.7xlO10.

【點睛】

本題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為axlO"的形式，其中l(wèi)<|a|<10,n為整數，表示時關鍵要正

確確定a的值以及n的值.

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、-2.

【解析】

根據分式的運算法化解即可求出答案.

【詳解】

fcnr-c；,X+1l、c/,、%2+1

解：原式=(------)?(x-l)=------,

x-1XX

當x=T時，原式=(Djl=_2.

【點睛】

熟練運用分式的運算法則.

20、(1)P(抽到數字為2)=；；(2)不公平，理由見解析.

【解析】

試題分析：(1)根據概率的定義列式即可；(2)畫出樹狀圖，然后根據概率的意義分別求出甲、乙獲勝的概率，從而

得解.

試題解析：(DP=J;

3

(2)由題意畫出樹狀圖如下：

開始

一共有6種情況，

42

甲獲勝的情況有4種，P=-=-,

63

21

乙獲勝的情況有2種，P=~=~,

63

所以，這樣的游戲規(guī)則對甲乙雙方不公平.

考點：游戲公平性；列表法與樹狀圖法.

21、(1)ACPD.理由參見解析；(2)證明參見解析；(3)PC2=PE?PF.理由參見解析.

【解析】

(1)根據菱形的性質，利用SAS來判定兩三角形全等；(2)根據第一問的全等三角形結論及已知，利用兩組角相等

則兩三角形相似來判定即可；(3)根據相似三角形的對應邊成比例及全等三角形的對應邊相等即可得到結論.

【詳解】

解：(1)4APDgZXCPD.

理由：?..四邊形ABCD是菱形，

，AD=CD,ZADP=ZCDP.

又；PD=PD,.,.△APD^ACPD(SAS).

(2)VAAPD^ACPD,

NDAP=NDCP,

；CD〃AB,

:.NDCF=NDAP=NCFB,

XVZFPA=ZFPA,

??.△APE-AFPA(兩組角相等則兩三角形相似).

(3)猜想:PC2=PE?PF.

理由：,/△APE^AFPA,

APPE,

—=——即anPA2=PE?PF.

FPPA

,.'△APD^ACPD,

/.PA=PC.

/.PC2=PE?PF.

【點睛】

本題考查1.相似三角形的判定與性質；2.全等三角形的判定；3.菱形的性質，綜合性較強.

22、(1)50；(2)115.2°；(3)1

.

【解析】

（1）先求出參加本次比賽的學生人數；（2）由（1）求出的學生人數，即可求出B等級所對應扇形的圓心角度

數；（3）首先根據題意列表或畫出樹狀圖，然后由求得所有等可能的結果，再利用概率公式即可求得答

案.

解：（1）參加本次比賽的學生有：-二…（人）

（2）B等級的學生共有："-二；：=-（人）.

二所占的百分比為：工-"二立2

.?.B等級所對應扇形的圓心角度數為：州產

（3）列表如下：

男女1女2女3

男---（女，男）（女,男）（女，男）

女1（男，女）---（女，女）（女，女）

女2（男，女）（女，女）---（女，女）

女3（男,女）（女，女）（女，女）---

?.?共有12種等可能的結果，選中1名男生和1名女生結果的有6種.

AP（選中1名男生和1名女生）=.=■.

“點睛”本題考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n,再從中選出符合事件A

或B的結果數目m,然后根據概率公式求出事件A或B的概率.通過扇形統(tǒng)計圖求出扇形的圓心角度數，應用數形

結合的思想是解決此類題目的關鍵.

23、1臺大收割機和1臺小收割機每小時各收割小麥0.4hm2和0.2hm2.

【解析】

此題可設1臺大收割機和1臺小收割機每小時各收割小麥x公頃和y公頃，根據題中的等量關系列出二元一次方程組

解答即可

【詳解】

設1臺大收割機和1臺小收割機每小時各收割小麥x公頃和y公頃

22x+5y=3.6

根據題意可得｛

5（3x+2y）=8

答：每臺大小收割機每小時分別收割0.4公頃和0.2公頃.

【點睛】

此題主要考查了二元一次方程組的實際應用，解題關鍵在于弄清題意，找到合適的等量關系

24、（1）四邊形ACBD是菱形；理由見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據題意得出4。=3。=5￡>=人￡>,即可得出結論；

（2）先證明四邊形MOM是平行四邊形，再由菱形的性質得出N5ND=90。，證明四邊形AC3D是矩形，得出對

角線相等=即可得出結論.

【詳解】

（1）解：四邊形ACBD是菱形；理由如下：

根據題意得：AC=BC=BD=AD,

...四邊形ACBD是菱形（四條邊相等的四邊形是菱形）；

（2）證明：VDE/7AB,BE〃CD,

二四邊形BEDM是平行四邊形，

?.?四邊形ACBD是菱形，

.\AB±CD,

:./BMD=90°,

.??四邊形ACBD是矩形，

.*.ME=BD,

VAD=BD,

/.ME=AD.

【點睛】

本題考查了菱形的判定、矩形的判定與性質、平行四邊形的判定，熟練掌握菱形的判定和矩形的判定與性質，并能進

行推理結論是解決問題的關鍵.

25、（1）答案見解析；（2）1.

【解析】

【分析】（1）根據參與獎有10人，占比25%可求得獲獎的總人數，用總人數減去二等獎、三等獎、鼓勵獎、參與獎

的人數可求得一等獎的人數，據此補全條形圖即可；

（2）根據題意分別求出七年級、八年級、九年級獲得一等獎的人數，然后通過列表或畫樹狀圖法進行求解即可得.

【詳解】（1）104-25%=40（人），

獲一等獎人數：40-8-6-12-10=4（人），

補全條形圖如圖所示：

/.九年級獲一等獎人數：4-1-1=2（人），

七年級獲一等獎的同學用M表示，八年級獲一等獎的同學用N表示,

九年級獲一等獎的同學用Pl、P2表示，樹狀圖如下：

開始

MNPi尸2

z1\z1\z1\/1\

N尸iP2M尸iPzMNP2MNP\

共有12種等可能結果，其中獲得一等獎的既有七年級又有九年級人數的結果有4種，

41

則所選出的兩人中既有七年級又有九年級同學的概率P=—=-.

123

【點評】此題考查了統(tǒng)計與概率綜合，理解扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖的意義及列表法或樹狀圖法是解題關鍵.

26、15天

【解析】

試題分析：首先設規(guī)定的工期是x天，則甲工程隊單獨做需(x-1)天，乙工程隊單獨做需(x