2024屆湖北省宜宜昌市部分示范高中教學協(xié)作體高考壓軸卷數(shù)學試卷含解析

2024屆湖北省宜宜昌市部分示范高中教學協(xié)作體高考壓軸卷數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．2．在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.13．若x，y滿足約束條件且的最大值為，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，則M∩N＝（）A．[﹣3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣1，0] D．（﹣1，0）5．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．46．如圖，在底面邊長為1，高為2的正四棱柱中，點是平面內(nèi)一點，則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為（）A．2 B．3 C．4 D．57．甲乙兩人有三個不同的學習小組，，可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組，則兩人參加同一個小組的概率為（）A．B．C．D．8．設，則，則（）A． B． C． D．9．復數(shù)，是虛數(shù)單位，則下列結論正確的是A． B．的共軛復數(shù)為C．的實部與虛部之和為1 D．在復平面內(nèi)的對應點位于第一象限10．若向量，，則與共線的向量可以是（）A． B． C． D．11．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）A． B． C． D．12．在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預測．甲：我的成績比乙高．乙：丙的成績比我和甲的都高．丙：我的成績比乙高．成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預測正確，那么三人按成績由高到低的次序為A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則________.(填“>”或“=”或“<”).14．在平面直角坐標系中，已知點，，若圓上有且僅有一對點，使得的面積是的面積的2倍，則的值為_______.15．（5分）已知橢圓方程為，過其下焦點作斜率存在的直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，則面積的取值范圍是____________．16．設變量，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求；（2）若的面積為，，求的周長.18．（12分）若不等式在時恒成立，則的取值范圍是__________.19．（12分）2018年9月，臺風“山竹”在我國多個省市登陸，造成直接經(jīng)濟損失達52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個農(nóng)戶在該次臺風中造成的直接經(jīng)濟損失，將收集的數(shù)據(jù)分成五組：，，，，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試根據(jù)頻率分布直方圖估計該地區(qū)每個農(nóng)戶的平均損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）臺風后該青年志愿者與當?shù)卣蛏鐣l(fā)出倡議，為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶，現(xiàn)從這50戶并且損失超過4000元的農(nóng)戶中隨機抽取2戶進行重點幫扶，設抽出損失超過8000元的農(nóng)戶數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.20．（12分）設拋物線的焦點為，準線為，為過焦點且垂直于軸的拋物線的弦，已知以為直徑的圓經(jīng)過點.（1）求的值及該圓的方程；（2）設為上任意一點，過點作的切線，切點為，證明：.21．（12分）已知是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前項和為，且為與的等差中項．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設，求的前100項和．22．（10分）已知，分別是橢圓：的左，右焦點，點在橢圓上，且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點．（1）求,的值：（2）過點作不與軸重合的直線，設與圓相交于A，B兩點，且與橢圓相交于C，D兩點，當時，求△的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

求出集合的等價條件,利用交集的定義進行求解即可.【詳解】解：∵,,∴,故選：C.【點睛】本題主要考查了對數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運算,屬于基礎題.2、A【解析】

由題意得到關于的等式，結合對數(shù)的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數(shù)學應用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算.3、A【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的最值，判斷a的范圍即可．【詳解】作出約束條件表示的可行域，如圖所示.因為的最大值為，所以在點處取得最大值，則，即.故選：A【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結合是解決本題的關鍵．4、C【解析】

先化簡N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根據(jù)M＝{x|﹣1＜x＜2}，求兩集合的交集.【詳解】因為N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因為M＝{x|﹣1＜x＜2}，所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.故選：C【點睛】本題主要考查集合的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.5、A【解析】

由傾斜角的余弦值，求出正切值，即的關系，求出雙曲線的離心率.【詳解】解：設雙曲線的半個焦距為，由題意又，則，，，所以離心率，故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎題6、A【解析】

根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀，結合題干中的數(shù)據(jù)可計算出結果.【詳解】由三視圖的性質(zhì)和定義知，三棱錐的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長為高為的三角形，其面積都是，正視圖與側(cè)視圖的面積之和為，故選：A.【點睛】本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和，解答的關鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀，考查空間想象能力與計算能力，屬于基礎題.7、A【解析】依題意，基本事件的總數(shù)有種，兩個人參加同一個小組，方法數(shù)有種，故概率為.8、A【解析】

根據(jù)換底公式可得，再化簡，比較的大小，即得答案.【詳解】，，.，顯然.,即，，即.綜上，.故選：.【點睛】本題考查換底公式和對數(shù)的運算，屬于中檔題.9、D【解析】

利用復數(shù)的四則運算，求得，在根據(jù)復數(shù)的模，復數(shù)與共軛復數(shù)的概念等即可得到結論．【詳解】由題意，則，的共軛復數(shù)為，復數(shù)的實部與虛部之和為，在復平面內(nèi)對應點位于第一象限，故選D．【點睛】復數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運算的法則是進行復數(shù)運算的理論依據(jù),加減運算類似于多項式的合并同類項,乘法法則類似于多項式乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實數(shù)化，其次要熟悉復數(shù)相關基本概念，如復數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為．10、B【解析】

先利用向量坐標運算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點睛】本題考查向量的坐標運算和向量平行的判定,屬于基礎題,在解題中要注意橫坐標與橫坐標對應,縱坐標與縱坐標對應,切不可錯位.11、C【解析】

由三視圖可知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是底邊為，高為的等腰三角形，側(cè)棱長為，利用正弦定理求出底面三角形外接圓的半徑，根據(jù)三棱柱的兩底面中心連線的中點就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半徑，即可求解球的表面積.【詳解】由三視圖可知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是底邊為，高為的等腰三角形，側(cè)棱長為，如圖：由底面邊長可知，底面三角形的頂角為，由正弦定理可得，解得，三棱柱的兩底面中心連線的中點就是三棱柱的外接球的球心，所以，該幾何體外接球的表面積為：.故選：C【點睛】本題考查了多面體的內(nèi)切球與外接球問題，由三視圖求幾何體的表面積，考查了學生的空間想象能力，屬于基礎題.12、A【解析】

利用逐一驗證的方法進行求解.【詳解】若甲預測正確，則乙、丙預測錯誤，則甲比乙成績高，丙比乙成績低，故3人成績由高到低依次為甲，乙，丙；若乙預測正確，則丙預測也正確，不符合題意；若丙預測正確，則甲必預測錯誤，丙比乙的成績高，乙比甲成績高，即丙比甲，乙成績都高，即乙預測正確，不符合題意，故選A．【點睛】本題將數(shù)學知識與時政結合，主要考查推理判斷能力．題目有一定難度，注重了基礎知識、邏輯推理能力的考查．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

注意到，故只需比較與1的大小即可.【詳解】由已知，，故有.又由，故有.故答案為：.【點睛】本題考查對數(shù)式比較大小，涉及到換底公式的應用，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道中檔題.14、【解析】

寫出所在直線方程，求出圓心到直線的距離，結合題意可得關于的等式，求解得答案．【詳解】解：直線的方程為，即．圓的圓心到直線的距離，由的面積是的面積的2倍的點，有且僅有一對，可得點到的距離是點到直線的距離的2倍，可得過圓的圓心，如圖：由，解得．故答案為：．【點睛】本題考查直線和圓的位置關系以及點到直線的距離公式應用，考查數(shù)形結合的解題思想方法，屬于中檔題．15、【解析】

由題意，，則，得．由題意可設的方程為，，聯(lián)立方程組，消去得，恒成立，，，則，點到直線的距離為，則，又，則，當且僅當即時取等號．故面積的取值范圍是.16、-8【解析】

通過約束條件，畫出可行域，將問題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問題，通過圖像解決.【詳解】由題意可得可行域如下圖所示：令，則即為在軸截距的最大值由圖可知：當過時，在軸截距最大本題正確結果：【點睛】本題考查線性規(guī)劃中的型最值的求解問題，關鍵在于將所求最值轉(zhuǎn)化為在軸截距的問題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理將目標式邊化角，結合倍角公式，即可整理化簡求得結果；（2）由面積公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，結合即可求得周長.【詳解】（1）由題設得.由正弦定理得∵∴，所以或.當，（舍）故，解得.（2），從而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周長為.【點睛】本題考查由余弦定理解三角形，涉及面積公式，正弦的倍角公式，應用正弦定理將邊化角，屬綜合性基礎題.18、【解析】

原不等式等價于在恒成立，令，，求出在上的最小值后可得的取值范圍.【詳解】因為在時恒成立，故在恒成立.令，由可得.令，，則為上的增函數(shù)，故.故.故答案為：.【點睛】本題考查含參數(shù)的不等式的恒成立，對于此類問題，優(yōu)先考慮參變分離，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的新函數(shù)的最值問題，本題屬于基礎題.19、（1）3360元；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算每個農(nóng)戶的平均損失；（2）根據(jù)頻率分布直方圖計算隨機變量X的可能取值，再求X的分布列和數(shù)學期望值．【詳解】（1）記每個農(nóng)戶的平均損失為元，則；（2）由頻率分布直方圖，可得損失超過1000元的農(nóng)戶共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（戶），損失超過8000元的農(nóng)戶共有0.00003×2000×50＝3（戶），隨機抽取2戶，則X的可能取值為0，1，2；計算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列為；X012P數(shù)學期望為E（X）＝0×+1×+2×＝．【點睛】本題考查了頻率分布直方圖與離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望計算問題，屬于中檔題．20、（1），圓的方程為：.（2）答案見解析【解析】

（1）根據(jù)題意，可知點的坐標為，即可求出的值，即可求出該圓的方程；（2）由題易知，直線的斜率存在且不為0，設的方程為，與拋物線聯(lián)立方程組，根據(jù)，求得，化簡解得，進而求得點的坐標為，分別求出，，利用向量的數(shù)量積為0，即可證出.【詳解】解：（1）易知點的坐標為，所以，解得.又圓的圓心為，所以圓的方程為.（2）證明易知，直線的斜率存在且不為0，設的方程為，代入的方程，得.令，得，所以，解得.將代入的方程，得，即點的坐標為.所以，，.故.【點睛】本題考查拋物線的標準方程和圓的方程，考查直線和拋物線的位置關系，利用聯(lián)立方程組、求交點坐標以及向量的數(shù)量積，考查解題能力和計算能力.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）利用已知條件化簡出，當時，，當時，再利用進行化簡，得出，即可證明出為等差數(shù)列；（2）根據(jù)（1）中，求出數(shù)列的通項公式，再化簡出，可直接求出的前100項和．【詳解】解：（1）由題意知，即，①當時，由①式可得；又時，有，代入①式得，整理得，∴是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，∵是各項都為正數(shù)，∴，∴，又，∴，則，，即：.∴的前100項和．【點睛】本題考查數(shù)列遞推關系的應用，通項公式的求法以及裂項相消法求和