專項 圓中證切線、求弧長、求面積、新定義探究問題 中考數(shù)學(xué)

搶分秘籍10圓中證切線、求弧長、求面積、新定義探究問題（壓軸通關(guān)）目錄【中考預(yù)測】預(yù)測考向，總結(jié)?？键c及應(yīng)對的策略【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）圓中證切線、求弧長、求扇形面積問題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點頻率看，證明切線是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高頻考點、必考點，圓通常還會和其他幾何圖形及函數(shù)結(jié)合一起考查。2．從題型角度看，以解答題的第六題或第七題為主，分值8~10分左右，著實不少！題型一證切線、求面積【例1】（2024·湖北襄陽·一模）是的直徑，，，與相交于點．(1)如圖1，求證：是的切線；(2)如圖2，連接，過點作分別交，于點，，交于點，若，求圖中陰影部分的面積．本題考查切線的判定，圓周角定理、垂徑定理以及扇形面積；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)切線的判定方法進行解答即可；根據(jù)垂徑定理，平行線的性質(zhì)以及扇形面積的計算方法進行計算即可．本題考查切線的判定，圓周角定理、垂徑定理以及扇形面積；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)切線的判定方法進行解答即可；根據(jù)垂徑定理，平行線的性質(zhì)以及扇形面積的計算方法進行計算即可．【例2】（2024·湖北十堰·一模）如圖，是的直徑，點在上，點為延長線上一點，過點作交的延長線于點，且．(1)求證：是的切線；(2)若線段與的交點是的中點，的半徑為6，求陰影部分的面積．1．（2024·廣東佛山·一模）如圖，點是正方形的邊延長線上一點，且，連接交于點，以點為圓心，為半徑作交線段于點．(1)求證：是的切線；(2)若，求陰影部分的面積．2．（2024·遼寧沈陽·一模）如圖，直線l與相切于點M，點P為直線l上一點，直線交于點A、B，點C在線段上，連接BC，且．

(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，的半徑為，求圖中陰影部分的面積．題型二證切線、求線段或半徑【例1】（新考法，拓視野）（2024·廣東深圳·一模）如圖，已知是的直徑．點P在的延長線上，點D是上一點．連接，過點B作垂直于，交的延長線于點C、連接并延長，交于點E，且(1)求證：是的切線；(2)若，求半徑的長．本題考查切線的判定，圓周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，圓周角定理以及切線的判定方法是正確解答的關(guān)鍵．本題考查切線的判定，圓周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，圓周角定理以及切線的判定方法是正確解答的關(guān)鍵．【例2】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，在中，，點D是上一點，且，點O在上，以點O為圓心的圓經(jīng)過C，D兩點．(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑為3，求的長．1．（2024·廣東珠海·一模）如圖，是的直徑，，E是的中點，連結(jié)并延長到點F，使．連結(jié)交于點D，連結(jié)，．(1)求證：直線是的切線．(2)若，求的長．2．（2024·湖北隨州·一模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點，過點作交的延長線于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．題型三圓與（特殊）平行四邊形綜合問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·廣東江門·一模）如圖，矩形中，，．E是的中點，以為直徑的與交于F，過F作于G．(1)求證：是的切線．(2)求的值．本題主要考查了圓，矩形，三角形綜合．熟練掌握圓的基本性質(zhì)和圓周角定理推論，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理解直角三角形，銳角三角函數(shù)等知識，是解題的關(guān)鍵．本題主要考查了圓，矩形，三角形綜合．熟練掌握圓的基本性質(zhì)和圓周角定理推論，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理解直角三角形，銳角三角函數(shù)等知識，是解題的關(guān)鍵．【例2】（2024·安徽馬鞍山·一模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，直徑平分．(1)求證：；(2)過點A向圓外作，且，求證：四邊形為平行四邊形．1．（2024·云南·模擬預(yù)測）如圖，線段與相切于點B，交于點M，其延長線交于點C，連接，，D為上一點且弧的中點為M，連接，．(1)求的度數(shù)；(2)四邊形是否是菱形？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；(3)若，求弧的長．2．（2024·河南平頂山·一模）如圖，為的直徑，點是的中點，過點作的切線，與的延長線交于點，連接．

(1)求證：(2)連接，當時：①連接，判斷四邊形的形狀，并說明理由．②若，圖中陰影部分的面積為（用含有的式子表示）．3．（2024·江蘇南京·一模）如圖，四邊形是平行四邊形，；(1)如圖①，當與相切時，求證：四邊形是菱形．(2)如圖②，當與相交于點E時．（Ⅰ）若，，求的半徑．（Ⅱ）連接，交于點F，若，則的度數(shù)是°．題型四圓內(nèi)接三角形和四邊形【例1】（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于，過點C作交于點E，交于點D，連接交于點G，連接，設(shè)（m為常數(shù)）．(1)求證：；(2)設(shè)，求證：；(3)求的值（用含m的代數(shù)式表示）．本題主要考查圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，垂徑定理等，熟練掌握圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．本題主要考查圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，垂徑定理等，熟練掌握圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例2】（2024·天津濱海新·一模）如圖，是的直徑，弦與相交于點P，若．(1)如圖①，求的度數(shù)；(2)如圖②，過點C作的切線，與的延長線交于點E，若，求的度數(shù)．1．（2024·安徽蕪湖·一模）四邊形ABCD內(nèi)接于，．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2．連接交于點E．①求證：；②若，，，求的長．2．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖1，在中，直徑垂直弦于點，連接，過點作于F，交于點H，交于點E，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，求證：；(3)如圖3，連接，分別交于點，當，，求線段的長．3．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖1，在中，為直徑，和為弦，且．(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，E為上一點，連接，作于E交于F，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接交于G，過F作于F，交延長線于N，若，，求的長．4．（2024·河北滄州·一模）如圖，珍珍利用一張直徑為8cm的半圓形紙片探究圓的知識，將半圓形紙片沿弦折疊．(1)如圖1，為的切線，當時，求證：．(2)如圖2，當時，通過計算比較與弧哪個長度更長．（π取）(3)如圖3，M為的中點，為點M關(guān)于弦的對稱點，當時，直接寫出點與點M之間的距離約為_____cm．（結(jié)果保留兩位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：27）題型五生活中的實物抽象出圓的綜合問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·河南洛陽·一模）中國最遲在四千多年前的夏禹時代已有了馬車，而目前考古發(fā)現(xiàn)最早的雙輪馬車始見年代為商代晚期(河南安陽殷城)．小明在殷墟游玩時，見到了如圖1的馬車車廂模型，他繪制了如圖2的車輪側(cè)面圖．如圖2，當過圓心O的車架的一端A落在地面上時，與的另一個交點為點D，水平地面切于點B．(1)求證：；(2)若，求的直徑．本題主要考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理等等本題主要考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理等等.【例2】（2024·廣東珠?！ひ荒＃楹霌P民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運動會的比賽項目．滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成．小明對滾鐵環(huán)的啟動階段進行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時，鐵環(huán)與水平地面相切于點C，推桿與鉛垂線的夾角為點O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．當推桿與鐵環(huán)相切于點B時，手上的力量通過切點B傳遞到鐵環(huán)上，會有較好的啟動效果．

(1)求證：．(2)實踐中發(fā)現(xiàn)，切點B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動．圖中點B是該區(qū)域內(nèi)最低位置，此時點A距地面的距離最小，測得．已知鐵環(huán)的半徑為，推桿的長為，求此時的長．1．（2024·河北石家莊·一模）圖1是傳統(tǒng)的手工推磨工具，根據(jù)它的原理設(shè)計了如圖2所示的機械設(shè)備，磨盤半徑，用長為的連桿將點與動力裝置相連（大小可變），點在軌道上滑動，帶動點使磨盤繞點轉(zhuǎn)動，，．(1)當點、、三點共線的時候，的長為______；(2)點由軌道最遠處向滑動，使磨盤轉(zhuǎn)動不超過的過程中：①與相切于點，如圖3，求的長；②從①中相切的位置開始，點繼續(xù)向點方向滑動至點，點隨之逆時針運動至點，此時，求點運動的路徑長（結(jié)果保留）．（參考數(shù)據(jù)：，，）2．（2024·河北石家莊·一模）如圖1，某玩具風車的支撐桿垂直于桌面，點為風車中心，，風車在風吹動下繞著中心旋轉(zhuǎn)，葉片端點，，，將四等分，已知的半徑為．(1)風車在轉(zhuǎn)動過程中，當時，點在左側(cè)，如圖2所示，求點到桌面的距離（結(jié)果保留根號）；(2)在風車轉(zhuǎn)動一周的過程中，求點到桌面的距離不超過時，點所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留）；(3)連接，當與相切時，求切線長的值，并直接寫出，兩點到桌面的距離的差．題型六圓中動點問題【例1】（2024·江蘇淮安·一模）如圖，是的直徑，，延長至點C，使．動點P從點A出發(fā)，沿圓周按順時針方向以每秒個單位的速度向終點B運動，設(shè)運動時間為t秒，連接，作點C關(guān)于直線的對稱點D，連接、、、．

(1)當時．①求的度數(shù)；②判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求t的值．本題考查切線的判定，圓的相關(guān)性質(zhì)，勾股定理的逆定理，弧長公式等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．本題考查切線的判定，圓的相關(guān)性質(zhì)，勾股定理的逆定理，弧長公式等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【例2】（2024·云南昆明·一模）如圖，，是的兩條直徑，且，點E是上一動點（不與點B，D重合），連接并延長交的延長線于點F，點P在上，且，連接，分別交，于點M，N，連接，設(shè)的半徑為r．(1)求證：是的切線；(2)當時，求證：；(3)在點E的移動過程中，判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．1．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖①，在中，，以點為圓心，以2為半徑畫圓，交于點，交于點．點從點出發(fā)，沿按順時針方向運動，當點再次經(jīng)過點時停止運動．(1)的長為______；(2)在點運動的過程中，點到距離的最大值為______；(3)延長交于點，連接，交于點．①當為等腰三角形時，連結(jié)接，求的面積：②如圖②，連接，當點在線段上時，作的角平分線交于點．點的位置隨著點的運動而發(fā)生改變，則點形成的軌跡路徑長為______．題型七圓中新定義探究綜合問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·湖南長沙·一模）定義：對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形叫做圓的“奇妙四邊形”．(1)若是圓的“奇妙四邊形”，則是_________（填序號）：①矩形；②菱形；③正方形(2)如圖1，已知的半徑為R，四邊形是的“奇妙四邊形”．求證：；(3)如圖2，四邊形是“奇妙四邊形”，P為圓內(nèi)一點，，，，且．當?shù)拈L度最小時，求的值．本題是圓的綜合題，考查的是勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，熟練的建立數(shù)學(xué)模型并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵本題是圓的綜合題，考查的是勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，熟練的建立數(shù)學(xué)模型并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵.【例2】（2024·浙江臺州·一模）【概念呈現(xiàn)】在鈍角三角形中，鈍角的度數(shù)恰好是其中一個銳角的度數(shù)與90度的和，則稱這個鈍角三角形為和美三角形，這個銳角叫做和美角．【概念理解】（1）當和美三角形是等腰三角形時，求和美角的度數(shù)．

【性質(zhì)探究】（2）如圖1，是和美三角形，是鈍角，是和美角，求證：．【拓展應(yīng)用】（3）如圖2，是的直徑，且，點C，D是圓上的兩點，弦與交于點E，連接，，是和美三角形．①當時，求的長．②當是和美三角形時，直接寫出的值．1．（2024·山東濟寧·二模）【初步感知】（1）如圖1，點A，B，P均在上，若，則銳角的大小為______度；【深入探究】（2）如圖2，小明遇到這樣一個問題：是等邊三角形的外接圓，點P在上（點P不與點A，C重合），連接，，．求證：；小明發(fā)現(xiàn)，延長至點E，使，連接，通過證明．可推得是等邊三角形，進而得證.請根據(jù)小明的分析思路完成證明過程．【啟發(fā)應(yīng)用】（3）如圖3，是的外接圓，，，點P在上，且點P與點B在的兩側(cè)，連接，，，若，則的值為_____．題型八圓與函數(shù)的綜合問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·湖南長沙·一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于C點，且．

(1)求該拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在點M，使，如果存在，求點M的坐標，如果不存在，說明理由；(3)若點D是拋物線第二象限上一動點，過點D作軸于點F，過點的圓與交于點E，連接，求的面積．本題主要考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，拋物線上的點的坐標特征以及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．本題主要考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，拋物線上的點的坐標特征以及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例2】（2024·江蘇淮安·一模）在平面直角坐標系中，的半徑為．對于的弦和點給出如下定義：若直線，都是的切線，則稱點是弦的“關(guān)聯(lián)點”．

(1)如圖，點，分別為過、點的線段與的交點．①在點中，弦的“關(guān)聯(lián)點”是；②若點是弦的“關(guān)聯(lián)點”，則的長為；(2)已知點在正半軸上，在正半軸上，若對于線段上任一點，都存在的弦，使得點是弦的“關(guān)聯(lián)點”．記的長為，當點在線段上運動時，的取值范圍為，求出此時所在直線表達式．1．（23-24九年級上·浙江金華·期末）如圖1，在平面直角坐標系中，點M的坐標為，以點為圓心，5為半徑的圓與坐標軸分別交于點A、B、C、D．(1)與相似嗎？為什么？(2)如圖2，弦交x軸于點P，且，求；(3)如圖3，過點D作的切線，交x軸于點Q．點G是上的動點是否變化？若不變，請求出比值，若變化，請說明理由．2．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）在直角坐標系中，正方形的兩邊分別在軸、軸上，點的坐標為．(1)如圖，將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到正方形，邊交于．求點的坐標．(2)如圖，與正方形四邊都相切，直線切于點，分別交軸、軸、線段于點．求證：平分．(3)若，為延長線上一動點，過三點作，交于，如圖．當運動時（不包括點），是否為定值？若是，求其值；若不是，說明理由．搶分秘籍10圓中證切線、求弧長、求面積、新定義探究問題（壓軸通關(guān)）目錄【中考預(yù)測】預(yù)測考向，總結(jié)?？键c及應(yīng)對的策略【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）圓中證切線、求弧長、求扇形面積問題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點頻率看，證明切線是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高頻考點、必考點，圓通常還會和其他幾何圖形及函數(shù)結(jié)合一起考查。2．從題型角度看，以解答題的第六題或第七題為主，分值8~10分左右，著實不少！題型一證切線、求面積【例1】（2024·湖北襄陽·一模）是的直徑，，，與相交于點．(1)如圖1，求證：是的切線；(2)如圖2，連接，過點作分別交，于點，，交于點，若，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查切線的判定，圓周角定理、垂徑定理以及扇形面積；（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)切線的判定方法進行解答即可；（2）根據(jù)垂徑定理，平行線的性質(zhì)以及扇形面積的計算方法進行計算即可．【詳解】（1）證明：，，，即，是的直徑，是的切線；（2）解：如圖，連接，是的直徑，，即，，，，，，，，，本題考查切線的判定，圓周角定理、垂徑定理以及扇形面積；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)切線的判定方法進行解答即可；根據(jù)垂徑定理，平行線的性質(zhì)以及扇形面積的計算方法進行計算即可．本題考查切線的判定，圓周角定理、垂徑定理以及扇形面積；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)切線的判定方法進行解答即可；根據(jù)垂徑定理，平行線的性質(zhì)以及扇形面積的計算方法進行計算即可．【例2】（2024·湖北十堰·一模）如圖，是的直徑，點在上，點為延長線上一點，過點作交的延長線于點，且．(1)求證：是的切線；(2)若線段與的交點是的中點，的半徑為6，求陰影部分的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查切線的判定，直徑所對的圓周角是直角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積的計算等知識點．正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）連接，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，推出是等邊三角形，得到，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，，∵是的直徑，

∴，即，∵，∴，∴，，∵，

∴，∵，

∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：連接，∵，是的中點，

∴，∵的半徑為，，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴陰影部分的面積為：，∴陰影部分的面積為．1．（2024·廣東佛山·一模）如圖，點是正方形的邊延長線上一點，且，連接交于點，以點為圓心，為半徑作交線段于點．(1)求證：是的切線；(2)若，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，由，得到，由角平分線的性質(zhì)定理，得到，即可求解，（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，設(shè)，根據(jù)，求出的長，根據(jù)，求出的度數(shù)，根據(jù)，即可求解，本題考查了，切線的判定，正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，扇形的面積，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理．【詳解】（1）解：過點作，交于點，∵正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴點在上，∴是的切線，（2）解：∵正方形，∴，，∵，設(shè)，則，∴，解得：，∴∵，∴，，故答案為：．2．（2024·遼寧沈陽·一模）如圖，直線l與相切于點M，點P為直線l上一點，直線交于點A、B，點C在線段上，連接BC，且．

(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，的半徑為，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)直線是的切線，理由見解析(2)【分析】（1）首先證明，得出，即可得出直線是的切線；（2）利用切線的性質(zhì)定理以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系得出，則，以及的長，再利用三角形面積公式以及扇形面積公式得出答案即可．【詳解】（1）解：直線是的切線，理由：連接，，∵直線l與相切于點M，∴，在和中，∴，∴，為直徑，∴直線是的切線；（2）過點O作于點N，

∵，∴，即，又∵，則，∴，∴，則，∴，∵，，∴，∴，，∴，則，∴圖中陰影部分的面積為：．【點睛】此題主要考查了扇形面積公式以及切線的性質(zhì)和判定和銳角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用以及全等三角形的判定及性質(zhì)等知識，熟練應(yīng)用切線的性質(zhì)和判定定理是解題關(guān)鍵．題型二證切線、求線段或半徑【例1】（新考法，拓視野）（2024·廣東深圳·一模）如圖，已知是的直徑．點P在的延長線上，點D是上一點．連接，過點B作垂直于，交的延長線于點C、連接并延長，交于點E，且(1)求證：是的切線；(2)若，求半徑的長．【答案】(1)見詳解(2)3【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)垂線、平行線的性質(zhì)得出，由切線的判定方法即可得出結(jié)論；（2）在直角三角形中由銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，，∴，，，是的半徑，是的切線；（2）解：由（1）可知，，，在中，，即，設(shè)，則，，，解得，，即半徑為3．本題考查切線的判定，圓周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，圓周角定理以及切線的判定方法是正確解答的關(guān)鍵．本題考查切線的判定，圓周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，圓周角定理以及切線的判定方法是正確解答的關(guān)鍵．【例2】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，在中，，點D是上一點，且，點O在上，以點O為圓心的圓經(jīng)過C，D兩點．(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑為3，求的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，切線的判定，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，求得，等量代換得到，求得，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，求得，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得到，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，，，，，，，，，，，是的半徑，直線與相切；（2），，，，在中，，設(shè)，，，，．1．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┤鐖D，是的直徑，，E是的中點，連結(jié)并延長到點F，使．連結(jié)交于點D，連結(jié)，．(1)求證：直線是的切線．(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明，可得，可得結(jié)論；（2）由勾股定理求得和，再根據(jù)等面積法即可求得．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：∵是的直徑，∴，∵，，∴，∴，∵E是的中點，∴，在和中，，∴，∴，∴直線是的切線；（2）由（1）知，，設(shè)的半徑為r，則，，在中，由勾股定理得，即，解得，即，，∵為直徑，∴，∴，即，解得．【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2024·湖北隨州·一模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點，過點作交的延長線于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)，【分析】此題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“連半徑，證垂直”即可，（2）先由“直徑所對的圓周角是直角”，證是直角三角形，用勾股定理求出長，再通過三角形相似即可求解．【詳解】（1）證明：連接

∵為的中點，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，為半徑，∴為的切線，（2）∵為直徑，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，即，∴，∵，∴，

在中，由勾股定理得：．題型三圓與（特殊）平行四邊形綜合問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·廣東江門·一模）如圖，矩形中，，．E是的中點，以為直徑的與交于F，過F作于G．(1)求證：是的切線．(2)求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接交于點O，由圓周角定理推論得到，根據(jù)矩形，得到四邊形是矩形，得到，點O是的圓心，根據(jù)，證明，根據(jù)，得到，推出，即得是的切線；（2）證明，，，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)余弦定義即得．【詳解】（1）連接交于點O，∵是的直徑，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴點O是的圓心，∵E是的中點，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴是的切線；（2）∵，∴，∵，，∴，∴．本題主要考查了圓，矩形，三角形綜合．熟練掌握圓的基本性質(zhì)和圓周角定理推論，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理解直角三角形，銳角三角函數(shù)等知識，是解題的關(guān)鍵．本題主要考查了圓，矩形，三角形綜合．熟練掌握圓的基本性質(zhì)和圓周角定理推論，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理解直角三角形，銳角三角函數(shù)等知識，是解題的關(guān)鍵．【例2】（2024·安徽馬鞍山·一模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，直徑平分．(1)求證：；(2)過點A向圓外作，且，求證：四邊形為平行四邊形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題考查的是圓的相關(guān)性質(zhì)--圓周角定理推論、同圓中弧弦間的關(guān)系，平行四邊形的判定，（1）先證明及，證出即可證出結(jié)論；（2）先證明，再證明即可證出結(jié)論．【詳解】（1）證明：為直徑，，直徑平分，，，，，；（2）證明：四邊形為平行四邊形．1．（2024·云南·模擬預(yù)測）如圖，線段與相切于點B，交于點M，其延長線交于點C，連接，，D為上一點且弧的中點為M，連接，．(1)求的度數(shù)；(2)四邊形是否是菱形？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；(3)若，求弧的長．【答案】(1)(2)四邊形是菱形，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)及角的和差求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出進而推出根據(jù)圓周角定理得，利用HL證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出，結(jié)合,推出四邊形是平行四邊形，再結(jié)合，進而判定四邊形是菱形；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)推出根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角的和差推出，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)弧長計算公式求解即可．【詳解】（1）如圖,連接，∵線段與相切于點，，，，，，；（2）四邊形是菱形，理由如下：連接，∵弧的中點為，∴，∵，∴，∴，∵為的直徑，∴，在和中，，∴，∴，∴，又，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；（3）如圖,連接，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴弧的長【點睛】此題是圓的綜合題，考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、弧長計算公式等知識，熟練運用切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、弧長計算公式并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2024·河南平頂山·一模）如圖，為的直徑，點是的中點，過點作的切線，與的延長線交于點，連接．

(1)求證：(2)連接，當時：①連接，判斷四邊形的形狀，并說明理由．②若，圖中陰影部分的面積為（用含有的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)①菱形，理由見解析；②【分析】（1）連接，證明，即可得到結(jié)論．（2）①根據(jù)（1）的結(jié)論和已知條件先證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及點是的中點，可得從而證明鄰邊相等，即可得出結(jié)論；②連接，如圖所示，設(shè)交于點，證明得，從而可求出，解直角三角形得出，根據(jù)，從而可得，求出扇形的面積即可得到陰影部分的面積．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，

∵點是的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的切線．∴，∴，即：；（2）①如圖所示，

由（1）可得∵∴，四邊形是平行四邊形，又∵∴∴，∴四邊形是菱形，②連接，如圖所示，設(shè)交于點

∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴；則∴∵，∴，∴．∴．【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的判定，弧弦圓心角的關(guān)系，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，扇形的面積等知識，熟練掌握切線的判斷定理以及扇形面積的求法是解題的關(guān)鍵．3．（2024·江蘇南京·一模）如圖，四邊形是平行四邊形，；(1)如圖①，當與相切時，求證：四邊形是菱形．(2)如圖②，當與相交于點E時．（Ⅰ）若，，求的半徑．（Ⅱ）連接，交于點F，若，則的度數(shù)是°．【答案】(1)見解析(2)（Ⅰ）；（Ⅱ）72【分析】（1）連接并延長，交于點M，連接，證明，得出，根據(jù)，得出，即可證明結(jié)論；（2）（Ⅰ）證明，得出，即，求出（負值舍去），設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，求出結(jié)果即可；（Ⅱ）證明，得出，證明，根據(jù)，得出，設(shè)，則，根據(jù)，得出，求出x的值即可．【詳解】（1）解：連接并延長，交于點M，連接，如圖所示：∴，∴，∵與相切，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴四邊形為菱形．（2）解：（Ⅰ）連接并延長，交于點P，連接、，，如圖所示：∵，，∴垂直平分，∴，，∵四邊形為平行四邊形，∴，，，∵四邊形內(nèi)接于，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得：（負值舍去），∴，設(shè)，則，∵，即，解得：．即圓的半徑為．（Ⅱ）連接，如圖所示：∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴設(shè)，則，∵，∴，解得：，∴．【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，菱形的判定，解題的關(guān)鍵熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)和判定，作出輔助線．題型四圓內(nèi)接三角形和四邊形【例1】（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于，過點C作交于點E，交于點D，連接交于點G，連接，設(shè)（m為常數(shù)）．(1)求證：；(2)設(shè)，求證：；(3)求的值（用含m的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接．根據(jù)圓周角定理得到是的直徑，由，得到，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)相交于點M，連接．由（1）可知，得到，再根據(jù)．推出，由即可得出結(jié)論；（3）證明，得到，解直角三角形得到，代入計算即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：，是的直徑．如圖，連接．，又，即，，，，，；（2）證明：如圖，設(shè)相交于點M，連接．由（1）可知，，即．又．，又，．．，；（3）解：，，，即．又，，，即，．本題主要考查圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，垂徑定理等，熟練掌握圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．本題主要考查圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，垂徑定理等，熟練掌握圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例2】（2024·天津濱海新·一模）如圖，是的直徑，弦與相交于點P，若．(1)如圖①，求的度數(shù)；(2)如圖②，過點C作的切線，與的延長線交于點E，若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得出，求出結(jié)果即可；（2）連接，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，最后求出即可．【詳解】（1）解：如圖①，連接，

∵，∴，∵為的直徑，∴，∴．（2）解：如圖②，連接．

∵，∴，∵是切線，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直徑所對的圓周角為直角，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．1．（2024·安徽蕪湖·一模）四邊形ABCD內(nèi)接于，．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2．連接交于點E．①求證：；②若，，，求的長．【答案】(1)(2)①見詳解②【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可；（2）①先證明，得，再根據(jù)即可得出結(jié)論；②設(shè)，則，先證明，再根據(jù)勾股定理求出的長，由①知，求出的長，再根據(jù)勾股定理即可．【詳解】（1）解：，若．四邊形ABCD內(nèi)接于，；（2）證明①，，，，，，，；②設(shè)，則，，在中，，，，，，由①知，，【點睛】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．2．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖1，在中，直徑垂直弦于點，連接，過點作于F，交于點H，交于點E，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，求證：；(3)如圖3，連接，分別交于點，當，，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)12【分析】（1）連接，根據(jù)垂徑定理和等弧所對的圓周角相等，結(jié)合等角的余角相等即可證明結(jié)論；（2）連接，運用同?。ǖ然。┧鶎Φ膱A周角相等，結(jié)合同角的余角相等和等量代換即可證明；先證明，再證明；（3）根據(jù)已知設(shè)出和，結(jié)合（2）表示，進而用x表示半徑、直徑，結(jié)合勾股定理表示，結(jié)合，即可求解．【詳解】（1）證明：連接，∵是的直徑，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）連接，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，由（1）知：，∴，∵，∴，∴；（3）連接，則：，∵，∴設(shè)，則，∴，由（2）知，，∵，∴，∴，∴，，，∵，且，∴，∴，∴中，，中，，中，，∵，∴，∴，即：，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】此題主要考查圓的綜合問題，涉及到垂徑定理，圓周角定理，弧、弦、角之間的關(guān)系，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強，難度較大，熟悉圓的相關(guān)性質(zhì)，會結(jié)合題意靈活運用勾股定理和方程思想，會借助相似三角形構(gòu)建等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖1，在中，為直徑，和為弦，且．(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，E為上一點，連接，作于E交于F，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接交于G，過F作于F，交延長線于N，若，，求的長．【答案】(1)(2)見詳解(3)【分析】（1）利用證明，即可得出，又，故可得出（2）先求四邊形內(nèi)角和，進而可得出，等量代換可得出，證明，由全等得性質(zhì)可得出，等量代換得出，由等角對等邊得出．（3）在的條件下，作，可得出，設(shè)，可得，利用勾股定理解出x，得出，，，，過C作于K，得出，進一步利用勾股定理得出的值．【詳解】（1）解：連接，，∵是直徑，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴．（2）四邊形內(nèi)角和為：，∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴．（3）在的條件下，作，如下圖，∴，設(shè)，則，∵∴在中：，即，解得，∵∴，∴，，，，過C作于K，又∵∴，∴，∴，∴，∴，可解得．【點睛】本題主要考查了全等的判定以及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，四邊形內(nèi)角和問題等知識，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2024·河北滄州·一模）如圖，珍珍利用一張直徑為8cm的半圓形紙片探究圓的知識，將半圓形紙片沿弦折疊．(1)如圖1，為的切線，當時，求證：．(2)如圖2，當時，通過計算比較與弧哪個長度更長．（π取）(3)如圖3，M為的中點，為點M關(guān)于弦的對稱點，當時，直接寫出點與點M之間的距離約為_____cm．（結(jié)果保留兩位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：27）【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)，圓周角定理，得到，即可得證；（2）連接，圓周角定理，得到，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求出的長，進行比較即可；（3）連接，交于點，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，垂徑定理，得到三點共線，解直角三角形，求出的長，進而求出的長，再根據(jù)對稱，求出的長即可．【詳解】（1）證明：連接，∵為的切線，∴，∵，∴，∴，∴；（2）連接，∵為直徑，∴，∵，∴，∴，連接，則：，∴，∴；（3）連接，交于點，∵為的中點，∴，∵為點M關(guān)于弦的對稱點，∴，∴三點共線，在中，，∴，∵，∴，∵對稱，∴；故答案為：．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，有一定的難度，掌握相關(guān)性質(zhì)，正確的添加輔助線，是解題的關(guān)鍵．題型五生活中的實物抽象出圓的綜合問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·河南洛陽·一模）中國最遲在四千多年前的夏禹時代已有了馬車，而目前考古發(fā)現(xiàn)最早的雙輪馬車始見年代為商代晚期(河南安陽殷城)．小明在殷墟游玩時，見到了如圖1的馬車車廂模型，他繪制了如圖2的車輪側(cè)面圖．如圖2，當過圓心O的車架的一端A落在地面上時，與的另一個交點為點D，水平地面切于點B．(1)求證：；(2)若，求的直徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理等等：（1）如圖所示，連接，根據(jù)等邊對等角結(jié)合三角形外角的性質(zhì)證明，由切線的性質(zhì)得到，則由三角形內(nèi)角和定理可得；（2）設(shè)的半徑為，則，，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵，∴，∴，∵水平地面切于點B，∴，即，∴，即；（2）解：設(shè)的半徑為，則，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴的半徑為．本題主要考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理等等.本題主要考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理等等.【例2】（2024·廣東珠海·一模）為弘揚民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運動會的比賽項目．滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成．小明對滾鐵環(huán)的啟動階段進行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時，鐵環(huán)與水平地面相切于點C，推桿與鉛垂線的夾角為點O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．當推桿與鐵環(huán)相切于點B時，手上的力量通過切點B傳遞到鐵環(huán)上，會有較好的啟動效果．

(1)求證：．(2)實踐中發(fā)現(xiàn)，切點B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動．圖中點B是該區(qū)域內(nèi)最低位置，此時點A距地面的距離最小，測得．已知鐵環(huán)的半徑為，推桿的長為，求此時的長．【答案】(1)證明見詳解；(2)；【分析】本題考查解直角三角形，直角三角形兩銳角互余，切線的性質(zhì)：（1）過B作，根據(jù)切線得到，結(jié)合得到，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求解即可得到答案；（2）根據(jù)（1）及得到，結(jié)合三角函數(shù)求出，即可得到答案；【詳解】（1）解：過B作，由題意可得，，∵鐵環(huán)與水平地面相切于點C，∴，∵，∴，∵推桿與鐵環(huán)相切于點B，

，∴，∴，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵的半徑為，推桿的長為，∴，，∴，∴．1．（2024·河北石家莊·一模）圖1是傳統(tǒng)的手工推磨工具，根據(jù)它的原理設(shè)計了如圖2所示的機械設(shè)備，磨盤半徑，用長為的連桿將點與動力裝置相連（大小可變），點在軌道上滑動，帶動點使磨盤繞點轉(zhuǎn)動，，．(1)當點、、三點共線的時候，的長為______；(2)點由軌道最遠處向滑動，使磨盤轉(zhuǎn)動不超過的過程中：①與相切于點，如圖3，求的長；②從①中相切的位置開始，點繼續(xù)向點方向滑動至點，點隨之逆時針運動至點，此時，求點運動的路徑長（結(jié)果保留）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)或(2)①②【分析】（1）分點Q在線段上和點Q在的延長線上兩種情況，分別利用勾股定理求解即可；（2）①連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)勾股定理可進行求解；②連接、，過點作交于點．證明四邊形是平行四邊形，得到，解直角三角形得到，利用弧長公式計算即可．【詳解】（1）解：如圖：當點Q在線段上時，

在中，，，；如圖：當點Q在的延長線上時，

，；綜上，的長為或，故答案為：或；（2）解：①如圖1，連接，與相切于點，，

在中，，在中，；②如圖2，連接、，過點作交于點．

，，四邊形是平行四邊形，交于點，，，．【點睛】本題主要考查切線的性質(zhì)及勾股定理，弧長的計算，解直角三角形，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·河北石家莊·一模）如圖1，某玩具風車的支撐桿垂直于桌面，點為風車中心，，風車在風吹動下繞著中心旋轉(zhuǎn)，葉片端點，，，將四等分，已知的半徑為．(1)風車在轉(zhuǎn)動過程中，當時，點在左側(cè)，如圖2所示，求點到桌面的距離（結(jié)果保留根號）；(2)在風車轉(zhuǎn)動一周的過程中，求點到桌面的距離不超過時，點所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留）；(3)連接，當與相切時，求切線長的值，并直接寫出，兩點到桌面的距離的差．【答案】(1)(2)(3)切線長的值為，，兩點到桌面的距離的差為【分析】（1）過點作于點，作于點，則四邊形為矩形，易得，在中，利用三角函數(shù)解得的值，進而可得的值，即可獲得答案；（2）設(shè)點在旋轉(zhuǎn)過程中運動到點，的位置時，點到桌面的距離均為，過點作于H，則，作于點D，則四動形為矩形，在中，利用三角函數(shù)解得，進而可得，由圓的軸對稱性可知，然后利用弧長公式求解即可；（3）如下圖，連接，過點作，交延長線于點，過點作于點，根據(jù)題意可得，在中，利用勾股定理解得；證明，利用相似三角形的性質(zhì)解得的值，再證明，易得，即可獲得答案．【詳解】（1）解：如下圖，過點作于點，作于點，則四邊形為矩形，∴，在中，，，∴，∵，∴，∴．答：點到桌面的距離是；（2）如下圖，設(shè)點在旋轉(zhuǎn)過程中運動到點，的位置時，點到桌面的距離均為，過點作于H，則，作于點D，則四動形為矩形，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，由圓的軸對稱性可知，，∴．∴符合條件的點所經(jīng)過的路徑長為；（3）如下圖，連接，過點作，交延長線于點，過點作于點，∵弧是半圓，∴為的直徑，∵直線切于點，且經(jīng)過點，∴，在中，，，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∵，，，∴，∴，∴，即，兩點到桌面的距離的差為．答：切線長的值為，，兩點到桌面的距離的差為．【點睛】本題主要考查了解直角三角形、矩形的判定與性質(zhì)、弧長計算、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，理解題意，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．題型六圓中動點問題【例1】（2024·江蘇淮安·一模）如圖，是的直徑，，延長至點C，使．動點P從點A出發(fā)，沿圓周按順時針方向以每秒個單位的速度向終點B運動，設(shè)運動時間為t秒，連接，作點C關(guān)于直線的對稱點D，連接、、、．

(1)當時．①求的度數(shù)；②判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求t的值．【答案】(1)①；②與相切，理由見解析(2)【分析】本題考查切線的判定，圓的相關(guān)性質(zhì)，勾股定理的逆定理，弧長公式等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（1）①由題意可知，，根據(jù)弧長公式，設(shè)，當時，，求解即可；②連接，由①可知，，，可知為等邊三角形，則，再證，則，得，即可求得，可證得與相切；（2）由（1）可知，，，由軸對稱可知，，，根據(jù)勾股定理的逆定理可證明，則，再由弧長公式得，即可求得．【詳解】（1）解：①∵是的直徑，，∴，設(shè)，當時，∴，即：；②與相切，理由如下：連接，

由①可知，，，∴為等邊三角形，則，，又∵，∴，則，∴，則，∴與相切；（2）由（1）可知，，，由軸對稱可知，，，在中，，，∴，∴，則，則，解得：．本題考查切線的判定，圓的相關(guān)性質(zhì)，勾股定理的逆定理，弧長公式等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．本題考查切線的判定，圓的相關(guān)性質(zhì)，勾股定理的逆定理，弧長公式等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【例2】（2024·云南昆明·一模）如圖，，是的兩條直徑，且，點E是上一動點（不與點B，D重合），連接并延長交的延長線于點F，點P在上，且，連接，分別交，于點M，N，連接，設(shè)的半徑為r．(1)求證：是的切線；(2)當時，求證：；(3)在點E的移動過程中，判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)是定值，【分析】（1）連接，由直徑所對圓周角是直角可得，則，由，可知，根據(jù)，可得，進而可證得，即可證明結(jié)論；（2）由圓周角定理可知，進而可得，，再證明，結(jié)合含的直角三角形即可求解；（3）連接，根據(jù)題意可得，進而可知則，，由圓周角定理可知，得，可證，得，則，結(jié)合勾股定理可得，即可求得為定值．【詳解】（1）證明：連接，∵是的直徑，∴，則，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴是的切線；（2）解：∵，∴，∵，則，∴，∵，∴，則，又∵，∴，∴；（3）是定值，，理由如下：連接，∵，且、是的直徑，∴，則，，∵，∴，又∵，∴，∴，則，∵，∴，則，即：．【點睛】本題主要考查圓周角定理，切線的判定定理，勾股定理，含的直角三角形以及相似三角形的性質(zhì)等知識，證明是解答本題的關(guān)鍵．1．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖①，在中，，以點為圓心，以2為半徑畫圓，交于點，交于點．點從點出發(fā)，沿按順時針方向運動，當點再次經(jīng)過點時停止運動．(1)的長為______；(2)在點運動的過程中，點到距離的最大值為______；(3)延長交于點，連接，交于點．①當為等腰三角形時，連結(jié)接，求的面積：②如圖②，連接，當點在線段上時，作的角平分線交于點．點的位置隨著點的運動而發(fā)生改變，則點形成的軌跡路徑長為______．【答案】(1)(2)(3)①的面積為或；②【分析】（1）根據(jù)弧長公式計算即可；（2）結(jié)合題意可知當點在過點垂直于的直線上且在點上方時，點到距離有最大值，如圖，，根據(jù)勾股定理即可求解；（3）①分三種情況：當時，利用相似三角形即可求解，當時，點與點重合在點或點，不符合題意，當時，點與點重合，不符合題意，分別討論即可；②連接，取中點，連接，，則，由勾股定理得，可證明，得，由，知，即可得，進而可知，可知點在運動過程中，點的軌跡為：點為圓心，為半徑，從點運動到點的圓弧，根據(jù)弧長公式即可求解．【詳解】（1）解：由題意可知，，，∴，故答案為：；（2）由題意可知，當點在過點垂直于的直線上且在點上方時，點到距離有最大值，如圖，，∵，，∴，則，此時，，則點到距離的最大值為，故答案為：；（3）①當時，，又∵，∴，則，∴，∴，即：，則，設(shè)，則，，由勾股定理可得：，即：，解得：（負值舍去），則，若點在線段部分，則，∴的面積，若點在線段部分，則，∴的面積；當時，點與點重合在點或點，不符合題意；當時，點與點重合，不符合題意；綜上，的面積為或；②連接，取中點，連接，，則，由勾股定理得，∵平分，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，則點在以為直徑的上，∵點在線段上，∴點在運動過程中，點的軌跡為：以點為圓心，為半徑，從點運動到點的圓弧，∴點形成的軌跡路徑長為：，故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的判定及性質(zhì)，90度的圓周角所對的弦是直徑，弧長公式，動點軌跡問題，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等知識，添加輔助線證明三角形全等，由全等三角形的性質(zhì)證明，得點的軌跡是解決問題的關(guān)鍵．題型七圓中新定義探究綜合問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·湖南長沙·一模）定義：對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形叫做圓的“奇妙四邊形”．(1)若是圓的“奇妙四邊形”，則是_________（填序號）：①矩形；②菱形；③正方形(2)如圖1，已知的半徑為R，四邊形是的“奇妙四邊形”．求證：；(3)如圖2，四邊形是“奇妙四邊形”，P為圓內(nèi)一點，，，，且．當?shù)拈L度最小時，求的值．【答案】(1)③(2)見解析(3)【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，“奇妙四邊形”的定義和正方形的判定定理解得即可；（2）過點B作直徑，分別連接，，，，證明，．可得，可得，再利用勾股定理可得答案；（3）設(shè)的長度為a，，在中，利用勾股定理列出方程，利用即可求得的最小值，求得必值，再利用相似三角形是性質(zhì)即可求得結(jié)論．【詳解】（1）解：若平行四邊形是“奇妙四邊形”，則四邊形是正方形．理由∶∵四邊形是平行四邊形，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴平行四邊形是矩形，∵四邊形是“奇妙四邊形”，∴，∴矩形是正方形，故答案為∶③；（2）證明∶過點B作直徑，分別連接，，，，∵是的直徑，∴，∴，∵四邊形是“奇妙四邊形”，∴，∴，又，∴，∵，，∴，∴，∵，∴∴；（3）解：連接交于E，設(shè)的長度為a，，∵，，∴，∴，∵∴，，∵，∴，∵∴，整理得，∴∴，又，∴，∴a有最小值2，即的長度最小值為2，∴，解得∶，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．本題是圓的綜合題，考查的是勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，熟練的建立數(shù)學(xué)模型并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵.本題是圓的綜合題，考查的是勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，熟練的建立數(shù)學(xué)模型并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵.【例2】（2024·浙江臺州·一模）【概念呈現(xiàn)】在鈍角三角形中，鈍角的度數(shù)恰好是其中一個銳角的度數(shù)與90度的和，則稱這個鈍角三角形為和美三角形，這個銳角叫做和美角．【概念理解】（1）當和美三角形是等腰三角形時，求和美角的度數(shù)．

【性質(zhì)探究】（2）如圖1，是和美三角形，是鈍角，是和美角，求證：．【拓展應(yīng)用】（3）如圖2，是的直徑，且，點C，D是圓上的兩點，弦與交于點E，連接，，是和美三角形．①當時，求的長．②當是和美三角形時，直接寫出的值．【答案】（1）；（2）見解析；（3）①；②或【分析】（1）根據(jù)新定義，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理列方程再求解即可；（2）作，根據(jù)新定義可得，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)和銳角的正切的比例關(guān)系證明即可；（3）①分兩種情況進行討論，當為和美角時，由（2）得：，則，進而可證，作于F，可證，由相似三角形的性質(zhì)可得，，進而可求長；當為和美角時，由，可知為和美角，由（2）得：，則，進而可得出，作于H，由即可求出長．②由與都是和美三角形，分別討論兩個三角形的和美角，結(jié)合相似三角的性質(zhì)與和美角的定義，分別求解即可；【詳解】（1）解：設(shè)和美角的度數(shù)為x．根據(jù)題意可得：，解得：，

∴和美角的度數(shù)為．（2）證明：如圖1，作交于D，∴，∵是和美三角形，是鈍角，是和美角，∴，∴，又∵，∴，∴．（3）①如圖3，當為和美角時，由（2）得：，∴，∵，∴，作于F，

∴，∴，∴∴．如圖4，當為和美角時，∵，∴為和美角，由（2）得：，∴，∴，∴，作于H，∴，由，∴，∴．②設(shè)．?。鐖D5，若與是和美角，則，，，所以．ⅱ．如圖6，若與是和美角，則，，由△BDC內(nèi)角和可得，所以．ⅲ．如圖7，若與是和美角，則，，，，由△BDC內(nèi)角和可得，所以．ⅳ．如圖8，若與是和美角，則，，，由可得，這種情形不存在．綜上所述，的值為或．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)和判定等，解題的關(guān)鍵是理解新定義，結(jié)合以上知識點解題，熟練掌握分類討論思想的運用；1．（2024·山東濟寧·二模）【初步感知】（1）如圖1，點A，B，P均在上，若，則銳角的大小為______度；【深入探究】（2）如圖2，小明遇到這樣一個問題：是等邊三角形的外接圓，點P在上（點P不與點A，C重合），連接，，．求證：；小明發(fā)現(xiàn)，延長至點E，使，連接，通過證明．可推得是等邊三角形，進而得證.請根據(jù)小明的分析思路完成證明過程．【啟發(fā)應(yīng)用】（3）如圖3，是的外接圓，，，點P在上，且點P與點B在的兩側(cè)，連接，，，若，則的值為_____．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可直接得出答案；（2）延長至點E，使，連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，再證，推出，，進而證明是等邊三角形，可得；（3）延長至點E，使，連接，通過證明，可推得是等腰直角三角形，結(jié)合與可得，代入即可求解．【詳解】解：（1），故答案為：；（2）證明過程如下：如圖，延長至點E，使，連接，

四邊形是的內(nèi)接四邊形，，是等邊三角形，，在和中，，，，，，是等邊三角形，，即；（3）如圖，延長至點E，使，連接，

四邊形是的內(nèi)接四邊形，，在和中，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形；解題的關(guān)鍵是做輔助線構(gòu)造，進行轉(zhuǎn)換求解．題型八圓與函數(shù)的綜合問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·湖南長沙·一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于C點，且．

(1)求該拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在點M，使，如果存在，求點M的坐標，如果不存在，說明理由；(3)若點D是拋物線第二象限上一動點，過點D作軸于點F，過點的圓與交于點E，連接，求的面積．【答案】(1)(2)存在，(3)6【分析】（1）根據(jù)題意得到，，，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）作軸交拋物線于點，將代入求出答案；（3）記過點、、的圓的圓心為點，設(shè)，根據(jù)面積公式或利用相似三角形的判定與性質(zhì)列出式子求出答案．【詳解】（1）解：令，則，，，，，，，拋物線過點A，B，，解得，拋物線為；（2）解：存在，理由如下：，，，若，則軸或軸，又點在拋物線上，軸，作軸交拋物線于點，

當時，，解得，，；（3）解：由（1）知，，記過點、、的圓的圓心為點，

則點在線段的垂直平分線上，故可設(shè)，同理，點在線段的垂直平分線上，又軸于點，設(shè)，則，，，，即：①，又點在拋物線上，，即：②，將②代入①得：，，，即：，，本題主要考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，拋物線上的點的坐標特征以及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握