2024屆甘肅省蘭州市高三年級下冊一模數(shù)學(xué)試題及答案

2024年蘭州市高三診斷考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后。用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號框涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號框?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。

寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的）

1.設(shè)集合/={x|y=ln（x—l）},5={1,2,3,4},則/U5=（）

A.（l,+oo）B.{2,3,4}C.（1,4]D.[l,+oo）

z

2.在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z在第二象限，則復(fù)數(shù)一對應(yīng)的點(diǎn)Z1所在象限為（）

2i1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.某校為了提高學(xué)生的安全意識，組織高一年級全體學(xué)生進(jìn)行安全知識競賽答題活動，隨機(jī)抽取8人的得分

作為樣本，分?jǐn)?shù)從低到高依次為:84,85,87,87,90,a,b,99,若這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為94,則利

用樣本估計(jì)此次競賽的平均分約為（）

A.85B.86C.90D.95

aa

4.已知0＜。＜乃，cosa=2sin—,貝Usin—=（）

22

V3-1V3V3+1

A.B.1C.D.

222

22

5.已知雙曲線￡]：j—4=1（?！?力〉0）與雙曲線與：上—乙=1的離心率相同，雙曲線用的頂點(diǎn)是雙曲

erb~169

線E2的焦點(diǎn)，則雙曲線用的虛軸長為（）

6.球面上兩點(diǎn)間距離的定義為：經(jīng)過球面上兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間劣弧的長度（大圓就是經(jīng)過球心的平面截

球面所得的圓）.設(shè)地球的半徑為R,若甲地位于北緯45°東經(jīng)120。，乙地位于北緯45°西經(jīng)60。，則甲、乙

兩地的球面距離為（）

兀八八兀c＜2兀八

A.------RB.------RC.—RD.------R

6322

3%+1,%為奇數(shù)

數(shù)列｛%｝滿足%

7.=21°",an+l1為倬粕則?2004=()

3%'%為偶數(shù)

A.5B.4C.2D.1

8.已知y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對于任意x均有/(x+l)+/(x—l)=O,當(dāng)0<xWl時(shí),

/(x)=2x-L若/[ln(ea)]〉/(lna)(e是自然對數(shù)的底)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.e-i+2"<口<V+2"左eZ)B.W<a〈白”(keZ)

C.屋5皿<a<e>"(左eZ)D,e^1+4i<a<e1+4"(^eZ)

二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對得6分，部分選對得3分，有選錯(cuò)的得0分)

9.某學(xué)校開展測量旗桿高度的數(shù)學(xué)建?；顒?，學(xué)生需通過建立模型、實(shí)地測量，迭代優(yōu)化完成此次活動.在

以下不同小組設(shè)計(jì)的初步方案中，可計(jì)算出旗桿高度的方案有

A.在水平地面上任意尋找兩點(diǎn)/,B,分別測量旗桿頂端的仰角a,(3,再測量48兩點(diǎn)間距離

B.在旗桿對面找到某建筑物(低于旗桿)，測得建筑物的高度為人，在該建筑物底部和頂部分別測得旗桿頂端

的仰角a和，

C.在地面上任意尋找一點(diǎn)/,測量旗桿頂端的仰角a,再測量N到旗桿底部的距離

D.在旗桿的正前方4處測得旗桿頂端的仰角a,正對旗桿前行5m到達(dá)8處，再次測量旗桿頂端的仰角，

10.英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，經(jīng)他研究，隨機(jī)事件/,8存在如下關(guān)系：

P(A|B)=尸⑷尸(川⑷.對于一個(gè)電商平臺，用戶可以選擇使用信用卡、支付寶或微信進(jìn)行支付.己知使

P(B)

用信用卡支付的用戶占總用戶的20%,使用支付寶支付的用戶占總用戶的40%,其余的用戶使用微信支付.平

臺試運(yùn)營過程中發(fā)現(xiàn)三種支付方式都會遇到支付問題，為了優(yōu)化服務(wù)，進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)支付問題的概

率是0.06,若一個(gè)遇到支付問題的用戶，使用三種支付方式支付的概率均為工，則以下說法正確的是()

3

A.使用信用卡支付的用戶中有10%的人遇到支付問題

B.使用支付寶支付遇到支付問題與使用微信支付遇到支付問題的概率不同

C.要將出現(xiàn)支付問題的概率降到0.05,可以將信用卡支付通道關(guān)閉

D.減少微信支付的人數(shù)有可能降低出現(xiàn)支付問題的概率

11.半徑長為1米的車輪勻速在水平地面上向前滾動(無滑動)，輪軸每秒前進(jìn)差米.運(yùn)動前車輪著地點(diǎn)為

2

A,若車輪滾動時(shí)點(diǎn)/距離地面的高度力(米)關(guān)于時(shí)間/(秒)的函數(shù)記為〃=/(7)?20),則以下判斷正

確的是()

A.對于V/20,都有/?+2)=/?)B.〃=在區(qū)間[4左,4左+2]（左eN）上為增函數(shù)

C.D.對于V/e[2,4],都有/（6—/）+/（/）=2

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.函數(shù)/（x）=xeT（e是自然對數(shù)的底）在x=l處的切線方程是.

13.等邊三角形N8C中，點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)，點(diǎn)￡是BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，cos〈五瓦麗〉=

14.如圖在四棱柱4BC?！狧B'C'。'中，側(cè)面為正方形，側(cè)面BCC'B'為菱形，B'C=BC=2,E、F

分別為棱。。'及的中點(diǎn)，在側(cè)面CD0C'內(nèi)（包括邊界）找到一個(gè)點(diǎn)尸，使三棱錐尸-6所與三棱錐

8'-尸的體積相等，則點(diǎn)P可以是（答案不唯一），若二面角H-48-C的大小為。，當(dāng)。取最

大值時(shí)，線段5'0長度的取值范圍是.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）

15.（13分）若一個(gè)平面多邊形任意一邊所在的直線都不能分割這個(gè)多邊形，則稱這樣的多邊形為凸多邊形，

凸多邊形不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的連線段稱為凸多邊形的對角線.用an表示凸〃+3邊形（〃eN*）對角線的條數(shù).

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為%,求數(shù)列｛2乜｝的前〃項(xiàng)和S,,,并證明2S"-l<0.

16.（15分）如圖，四棱錐尸―48cZ）中，P/_L底面/BCD,AD//BC,ABLAD,PA=AD=3,

AB=4,BC=5,E,尸分別為必，PC上一點(diǎn)，BE=ABP,EF//BC.

p

4

（2）當(dāng)二面角E-Z。-8的余弦值為一時(shí)，求PC與平面NEED所成角的正弦值.

5

17.（15分）2024年高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性考試中選擇題有單選和多選兩種題型組成.單選題每題四個(gè)選項(xiàng)，有且僅

有一個(gè)選項(xiàng)正確，選對得5分，選錯(cuò)得0分，多選題每題四個(gè)選項(xiàng)，有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)正確，全部選對得6分，

部分選對得3分，有錯(cuò)誤選擇或不選擇得0分.

（1）已知某同學(xué)對其中4道單選題完全沒有答題思路，只能隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)作答，且每題的解答相互獨(dú)立,

記該同學(xué)在這4道單選題中答對的題數(shù)為隨機(jī)變量X.

（i）求尸（X=3）；

（ii）求使得尸（X=左）取最大值時(shí)的整數(shù)上

（2）若該同學(xué)在解答最后一道多選題時(shí)，除確定B,D選項(xiàng)不能同時(shí)選擇之外沒有答題思路，只能隨機(jī)選擇

若干選項(xiàng)作答.已知此題正確答案是兩選項(xiàng)與三選項(xiàng)的概率均為,，求該同學(xué)在答題過程中使得分期望最大

2

的答題方式，并寫出得分的最大期望.

18.（17分）已知圓C過點(diǎn)尸（4,1）,/（2,3）和"（2,—1）,且圓C與），軸交于點(diǎn)兒點(diǎn)廠是拋物線￡:

x2=2〃（p>0）的焦點(diǎn)。

（1）求圓C和拋物線￡的方程：

（2）過點(diǎn)尸作直線/與拋物線交于不同的兩點(diǎn)）,B,過點(diǎn)/,8分別做拋物線￡的切線，兩條切線交于點(diǎn)

Q,試判斷直線加與圓C的另一個(gè)交點(diǎn)。是否為定點(diǎn)，如果是，求出。點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，說明理由.

19.（17分）定義：如果在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)N,8的坐標(biāo)分別為（芭,乃），（々，歹2），那么稱

〃（43）=卜1-即+|%-刃為Z,B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離.

（1）已知點(diǎn)乂，但分別在直線x—2y=0,2x—y=0上，點(diǎn)朋'（0,2）與點(diǎn)M，傷的曼哈頓距離分別為

d（MM）,求d（MM）和"（/，必）的最小值；

（2）已知點(diǎn)N是直線x+Ky+2左+1=0（左>0）上的動點(diǎn)，點(diǎn)/（0,2）與點(diǎn)N的曼哈頓距離d（MN）的最

小值記為/（左），求/（左）的最大值；

（3）已知點(diǎn)在［，點(diǎn)N（m,〃）（k,m,neR,e是自然對數(shù)的底），當(dāng)左W1時(shí)，d（/,N）的最大

值為/（機(jī),"），求/（切,〃）的最小值.

2024年蘭州市高三診斷考試

數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

一'選擇82(本胭共8小題，每小胭5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.)

I.D2.A3.C4.A5.B6.C7.B8.D

8.【解析】?.?/(K)是定義在R上的奇函數(shù).?./(0)=0旦圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

???/(x+l)+/(x-l)=0.-./(x+1)==/(1-x)

??/(x+4)=/Il-(.v+3)］=-/(2+.v)=-/d-(-r+D］=-/(-x)=/(X)

???/(-I+x)=/(3+x)=/［l-(2+.r)］=/(-1-Jf)

/(2+X)=/(-2+.V)=-/(2--V)

因此函數(shù)的周期為4,且函數(shù)圖象關(guān)于x=1+2k(keZ)和(2￡0)(〃GZ)對稱

可畫出函數(shù)在區(qū)間［-2,2］內(nèi)的簡圖

則圖可知，在［-2,2］內(nèi)要滿足

/［ln(eo)］=/(l+lnG)>/(Ina)八_2』除、

31)?X?/9L2，,v

只需N<1|I

再根據(jù)函數(shù)的周期性可知cT'SvavcM'AeZ)，故選D.

二,多選52(本大麓共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部

選對播6分，部分選對得3分，有選錯(cuò)的得。分)

9.BCD10.AC11.BD

II.【解析］若記車輪運(yùn)動時(shí)落地點(diǎn)為P，則，秒時(shí)N/OP=手，因此,/|=/(/)=l-COSy(/&0),if

滿足/Q+4)=/a)對于任意,20成立.在區(qū)間［4A,4"2］(AeN)上為增函數(shù)，在區(qū)間［2,4］內(nèi)圖象關(guān)

157t2-41

于點(diǎn)(3,1)對稱，/(7.5)=l-cos—=^=—故選B,D.

42

三.填空題體大題共3小題，每小屋5分，共15分）

1V21

12.片-13.—14.笊一空：分別取核C'。及CC”的中點(diǎn)M、N,取線段MV上任意一點(diǎn)尸

C14

均可（2分），第二空：［6,6］（3分）

14.【解析】第一空；因?yàn)辄c(diǎn)P在側(cè)而CWP'內(nèi)（包括邊界）且三極推P-8￡F的體枳與三楨錐體

枳相等，即在例面CW'C內(nèi)確定一點(diǎn)P,使874平而切%\義因?yàn)镋、尸分別為極?！癈?的中點(diǎn)，/故

分別取校C'。'及C9的中點(diǎn)M、N,易知MN//EF,且交MM于點(diǎn)M,BF交EC千點(diǎn)F,

所以平而"MV"平面8EF,故當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上時(shí).點(diǎn)尸到平而8￡F的距圖與點(diǎn)V到平而8即的距離相?

等，所以三板維P-8EF的體枳與三極椎屆-8￡尸的體枳相等.

第二空：因?yàn)槎鴥?nèi)心?/18-C的大小為0.所以過C作C"_L/B節(jié)"，4〃作KH/BB、,則4WC為二而

用/T-/1B-C的平而角仇易知0SZfl,3C=￡.當(dāng)。取最大色時(shí),印gM時(shí)，此

33

時(shí)。_L/f8即底而/I8GD為正方形，在AB'CW中8，C=2QV*2.ZS'GV=y,所

以BW=g,在AB'C'M中8p=2CW=2,ZB'CM=^,8fM=有，又因?yàn)?

MN=EF=42.所以AB，超W中，B'N=6A附=五,B'M=45,所以AB，M/'c

為在加三角形，當(dāng)點(diǎn)夕在線段A/A，運(yùn)動時(shí).線段歹P尺度的取值范㈣見［百,逐］.

四.解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明.證明過程成演算步圖）

15.【解析】（l）4=C：.,-（”+3）=^^（"eN?）.........5分

⑵因?yàn)閿?shù)列間滿足,也=｛：：二:二卬｛加<2

又因?yàn)?=2=1+1符合"+1當(dāng)〃=I時(shí)的他所以數(shù)列他）的通項(xiàng)公式為6“=〃+1（"eN,）.

因?yàn)?"=（；）""，所以邑=

...........13分

16.【解析】（I）如圖所示：以/為坐標(biāo)原點(diǎn),以/B所在直線為x軸，以/￡>

所在直線為,軸，以）尸所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則P（0,0,3）,

5（4,0,0）.C（4,5.0）

設(shè)￡(x,y,z),由BE=A8P,可得(K-4,y,z)=之(-4Q3),

則￡(4-4兒0,32),%1.底面/1瓦口可得?81.花，而=(4,0,-3),次=(4一4兒031),而?荏=0解

^A=—......................6分

25

⑴設(shè)平而￡4。的法向設(shè)為JE=(4-4A,0,3A),AD=(0.3.0)

1AD,卷+"z=o,令*=34得*0兒聞-4),

由?！禠NEn

4

平而加。的法向Jil為/?,則析=(0,0,1),二面向E-/O-8的余弦位為］

則cos(m.n)=/4===?解得4=2.......................”分

,9—+16(4-1)252

|"g128

正=(4,5,-3),?=(3,0,-4)若直線PC與平面/(EED所成角為則shi6=麗F

所以直線PC與平面4EFD所成角的正弦值超巨.......“….15分

25

17.【解析】⑴⑴因?yàn)?~8(引,所以收才=3”%)吟=卷.......3分

C拈峙I*-鏟(”

(ii)因?yàn)榇鶻=A)=C}(3"34Y,A=0....4.解得總弓

44

所以上=1時(shí)，P(X=*)最大........7分

(2)由題知，8D選項(xiàng)不能同時(shí)選擇，該同學(xué)可以選擇的選、雙選和三選.

正確答案是兩選項(xiàng)的可能情況為4C，AD,BC.CD,每種情況出現(xiàn)的概率均;xg=*；

正確答案是三選項(xiàng)的可能情況為48C,ACD,每種情況出現(xiàn)的概率為

224，

若該同學(xué)做出的決策是單選，則舒分的期第如下：

E(4)=3x-!-x3+2x1x3=9分E(8)=2x，x3+lx!x3=M分，

1045，10420

III?1I27

E(C)=3X,X3+2X!X3;2分￡(0=2x,x3+lx」x3二義分.

1045910420

若該同學(xué)做出的決策是雙選，則得分的期里如下，

11271121127

E(/l^)=—x6+-x3=—￡MC)=—x6+2xlx3=—；)?E(JD)=—x6+-x3=—

10420，10410，10420，

11271I27

E(^C)=—x6+-x3=—￡(CD)=—x6+-x3=—

10420?10420

若該同學(xué)做出的決策是三選，則得分的期S1如下：

I313

￡(J5C)=-x6=-^￡(NCD)=LX6=三分.

42，42

經(jīng)比較，該同學(xué)選擇電選/或單選C的汨分期型最大，最大值為學(xué)分.......15分

18.【解析】⑴/C過點(diǎn)尸(4,1),〃(2,3)和NR,-。，因此可以知道例心在直線y=出故可被圓心C(a,l),

又由于陰C過點(diǎn)尸(4,1),所以a=2,r=2.故例的方程為(x-2)2+(y-lj2=4,

可得點(diǎn)尸(0,1)，因此，拋物線￡的方程為f=4?................7分

(2)由條件可知，直線4ff的斜率必存在，不妨設(shè)為女,則虱成48的方程為：y-\=k(x-4)B|J

y=kx-4k+l.

由<,二.得/-4h+164—4=0，

y=kx-4k+\

其中A=I6爐一644+16=16(爐一44#1)>0,即為〈2-舊或〃>2+6，

設(shè)4(X“M),8(占,必)，過點(diǎn)的拋物紋的切線的斜率分別為4，k

則司+占=軟，x,x2=l,6^y4,k嚴(yán)與“2=字，

過A點(diǎn)的拋物線的切線方程為歹-寸=血口-不)，即y=%x-江，

4224

同理，過8點(diǎn)的拋物線的切線方程為苧

i

一|x=^L±i=2A

=i2.4

2

W得[.即。(2A,4A-1),

%.卜昔

=-=41

2X-4

所以點(diǎn)。在直線y=2.r-l上，而點(diǎn)〃也在直線y=2x-l上，

故直線QM與圓C的另?個(gè)交點(diǎn)就是直線y=2x-1與圓C的交點(diǎn),

(X-2)2+(^-1)2=4

rti'

y=2x-\

21

故直線QM與圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為定點(diǎn)（］,一1）..............17分

19.【解析】（1）法一:

3

——x+2tx<0,

；x+2,04x<4,則"(A/,N|)Z2,

d(M，M)=|x|+|"2|=|x|+|尹一2m

3-2,XN4,

當(dāng)好vl時(shí),成機(jī)件W+長+%/+2|期+k+北+1+明平2+北+“，f(k)=\2k2+2k+\\

—r+—+2,ANI,

12c-

所以/伏尸，kk又因?yàn)楫?dāng)AN1時(shí)尸+產(chǎn)5,當(dāng)OvAcl時(shí)|2犬+2%+1］<5

卜爐+2〃+||,0<%<1,

所以/(固的股大值為5.............9分

法二：根據(jù)⑴直線x+A2y+X+l=0(A>0)的斜率是-_L

k2

當(dāng)-