2024年廣雅中學(xué)高三數(shù)學(xué)考前模擬試卷附答案解析

年廣雅中學(xué)高三數(shù)學(xué)考前模擬試卷（考試時(shí)間：120分鐘；試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的．1．若集合，，則B中元素的最小值為（

）A． B． C． D．322．已知，則=（

）A． B． C． D．3．已知的外接圓圓心為O，且則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列5．過點(diǎn)作圓的切線，為切點(diǎn)，，則的最大值是（

）A． B． C． D．6．在正三棱臺(tái)中，已知，，側(cè)棱的長(zhǎng)為2，則此正三棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線對(duì)稱，若，分別為它們圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為（

）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)A，B，C都在雙曲線：上，且點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，.過A作垂直于x軸的直線分別交，于點(diǎn)M，N.若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說法中正確的是（

）A．已知隨機(jī)事件A，B滿足，，則B．已知隨機(jī)變量，若，則C．若樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為10，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3D．隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若方差，則10．已知復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若是非零復(fù)數(shù)，且，則 D．若是非零復(fù)數(shù)，則11．已知數(shù)列滿足：，其中，下列說法正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列C．當(dāng)時(shí)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則D．當(dāng)時(shí)，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）13．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.斜率為的直線經(jīng)過焦點(diǎn)，交于點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)（，在軸的兩側(cè)），若，則拋物線的方程為.14．如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實(shí)線部分（它由線段與分別以為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上，且均為直角.若百米，則此步道的最大長(zhǎng)度為百米.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在銳角中，角所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，且.(1)求角；(2)求的取值范圍.16．如圖，在圓錐中，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面的直徑，為底面圓的圓心，為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形為矩形．(1)求證：平面平面；(2)若，，，求平面和平面夾角的余弦值.17．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．問：在軸上是否存在定點(diǎn)，使直線的斜率與的斜率的積為定值？若存在，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．18．某景區(qū)的索道共有三種購(gòu)票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票．為提高服務(wù)水平，現(xiàn)對(duì)當(dāng)日購(gòu)票的120人征集意見，當(dāng)日購(gòu)買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為36、60和24．(1)若按購(gòu)票類型采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這120人中隨機(jī)抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人，求隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購(gòu)買單程上山票的概率．(2)記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時(shí)要求把購(gòu)買單程上山票的2人和購(gòu)買回程票的m（且）人組成一組，負(fù)責(zé)人從某組中任選2人進(jìn)行詢問，若選出的2人的購(gòu)票類型相同，則該組標(biāo)為A，否則該組標(biāo)為B，記詢問的某組被標(biāo)為B的概率為p．（i）試用含m的代數(shù)式表示p；（ii）若一共詢問了5組，用表示恰有3組被標(biāo)為B的概率，試求的最大值及此時(shí)m的值．19．設(shè)函數(shù)，.曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求a的值；(2)求證：方程僅有一個(gè)實(shí)根；(3)對(duì)任意，有，求正數(shù)k的取值范圍.1．A【分析】根據(jù)題意，由集合的概念，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，所以B中元素的最小值為.故選：A2．A【分析】利用誘導(dǎo)公式與和角公式化簡(jiǎn)所求式得，構(gòu)造分母，分子分母同除以，化弦為切，代入即得.【詳解】由.故選：A.3．C【分析】根據(jù)條件作圖可得為等邊三角形，根據(jù)投影向量的概念求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以外接圓圓心O為BC的中點(diǎn)，即BC為外接圓的直徑，如圖，又，所以為等邊三角形，則，故，所以向量在向量上的投影向量為：．故選：C．4．C【分析】分析可知數(shù)列的每一項(xiàng)都是正數(shù)，由已知條件可得出，結(jié)合等差中項(xiàng)法判斷可得出結(jié)論．【詳解】因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿足，，故對(duì)任意的，，則，所以數(shù)列的每一項(xiàng)都是正數(shù)，所以，可得.由等差中項(xiàng)法可知，數(shù)列是等差數(shù)列．故選：C.5．D【分析】根據(jù)題意可得，三角換元令，，，利用三角恒變換求出最大值.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心為，則，，令，，，則，其中，所以的最大值為.故選：D.6．C【分析】先計(jì)算出三棱臺(tái)的上下底面的面積，再根據(jù)底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)求解三棱臺(tái)的高，進(jìn)而計(jì)算出三棱臺(tái)的體積．【詳解】正三棱臺(tái)中，已知，，所以的面積為，的面積為，設(shè)，分別是，的中心，設(shè)，分別是，的中點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線，，，，，，過作，垂足為，則，，三棱臺(tái)的高為，三棱臺(tái)的體積為．故選：C．7．D【分析】首先得到函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離最小值的倍，求出過點(diǎn)的切線恰與平行時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)為函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，則，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，又，即點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以這，兩點(diǎn)之間距離的最小值等于點(diǎn)到直線距離最小值的倍，由，則，函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，令，解得，，所以點(diǎn)到直線距離的最小值為，所以這，兩點(diǎn)之間距離的最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是得到兩函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，再將問題轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.8．B【分析】設(shè)，由且軸得，注意到，也就是，而，，即，由此結(jié)合離心率公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)，由且軸，所以，所以，從而，即，設(shè)點(diǎn)，且它在雙曲線上，，即，其中，，從而，.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得到，，，由此即可順利得解.9．BC【分析】由條件概率的公式可得A錯(cuò)誤；由正態(tài)分布的方差公式和方差的性質(zhì)可得B正確；由平均數(shù)的計(jì)算公式可得C正確；由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】A：由條件概率的公式可得，所以，故A錯(cuò)誤；B：因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，又，所以，所以，故B正確；C：因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為10，所以，化簡(jiǎn)可得，所以的平均數(shù)為，故C正確；D：由題意可得，解得或，則或，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10．BC【分析】對(duì)于A項(xiàng)，可以舉反例說明；對(duì)于B項(xiàng)，可以設(shè)，則，代入等式兩邊驗(yàn)證即可判定；對(duì)于C項(xiàng)，可將題設(shè)條件等價(jià)轉(zhuǎn)化，分析即得；對(duì)于D項(xiàng)，可通過舉反例對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若，，顯然滿足，但，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)，則，，故而，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由可得：，因是非零復(fù)數(shù)，故，即，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，是非零復(fù)數(shù)，但，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.11．ACD【分析】根據(jù)可得，即可迭代求解A，根據(jù)，時(shí)，可得為常數(shù)列，即可判斷B；根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，證出當(dāng)時(shí)，從而判斷出數(shù)列的單調(diào)性，建立關(guān)于的一元二次不等式，解出首項(xiàng)的取值范圍，判斷出C項(xiàng)的正誤；當(dāng)，時(shí)，根據(jù)遞推關(guān)系證出，從而可得，由此推導(dǎo)出，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式證出，從而判斷出D項(xiàng)的正誤．【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，又，故，所以，故A項(xiàng)正確．對(duì)于B，因?yàn)榍?，所以，?dāng)，時(shí)，，此時(shí)數(shù)列是常數(shù)列，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C,由于數(shù)列是遞增數(shù)列,當(dāng)時(shí)，故，，故，所以，即，解得或，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D,當(dāng)時(shí)，，結(jié)合，可知，，，結(jié)合，可知是遞增數(shù)列，，則，即，所以，即，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，可得，故D項(xiàng)正確；故選：ACD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化的常見形式（1）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．（2）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．（3）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．（4）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．（5）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．（6）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．12．330【分析】寫出含有項(xiàng)的系數(shù)，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：330.13．【分析】首先表示出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，即可得到直線的方程，從而求出點(diǎn)坐標(biāo)，再聯(lián)立直線與拋物線方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，再由距離公式得到方程，解得即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，依題意直線的方程為，令可得，即，由，消去得，解得或，又，在軸的兩側(cè)，所以，則，所以，所以，解得或（舍去），所以拋物線的方程為.故答案為：14．【分析】設(shè)半圓步道直徑為百米，連接，借助相似三角形性質(zhì)用表示，結(jié)合對(duì)稱性求出步道長(zhǎng)度關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.【詳解】設(shè)半圓步道直徑為百米，連接，顯然，由點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，得兩個(gè)半圓步道及直道都關(guān)于過點(diǎn)垂直于的直線對(duì)稱，則，又，則∽，有，即有，因此步道長(zhǎng)，，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，因此當(dāng)時(shí)，，所以步道的最大長(zhǎng)度為百米.故答案為：15．(1)(2).【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理可得結(jié)果；（2）根據(jù)為銳角三角形求出，利用兩角差的正弦公式及輔助角公式化簡(jiǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】（1），，又，，.（2）由（1）可知，，且為銳角三角形，所以，，則，因?yàn)椋?16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）依題意可得，平面，從而得到，即可證明平面，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，通過求解法向量的夾角余弦值來求解平面和平面夾角的余弦值；【詳解】（1）∵為圓錐底面的直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，∴．∵四邊形為矩形，平面，∴，平面，又平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面．又平面，∴平面平面．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，過點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，所以，所以，所以平面和平面夾角的余弦值為．17．(1)；(2)存在，且該定點(diǎn)為【分析】（1）結(jié)合離心率的定義，將代入橢圓方程計(jì)算即可得；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立曲線，借助韋達(dá)定理表示交點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系后，結(jié)合斜率公式表示出斜率之積后可得時(shí)，，計(jì)算即可得解.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即，所以，所以橢圓的方程為，因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，解得，故，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）假設(shè)存在定點(diǎn)．設(shè)，，易知直線的斜率顯然存在，且不為0，設(shè)其方程為，聯(lián)立橢圓方程與直線方程，得，消去并整理，得，所以，，由，解得，且，所以，則當(dāng)時(shí)，為定值，此時(shí)．所以存在定點(diǎn)，使直線的斜率與的斜率的積為定值．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.18．(1)(2)（i）；（ii）時(shí)，．【分析】（1）由古典概型結(jié)合組合數(shù)公式即可求得答案；（2）（i）由古典概型結(jié)合對(duì)立事件的概率公式即可求得答案；（ii）由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)即可求解.【詳解】（1）因?yàn)橘?gòu)買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)之比為，所以這10人中，購(gòu)買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為：，，，故隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購(gòu)買單程上山票的概率．（2）（i）從人中任選2人，有種選法，其中購(gòu)票類型相同的有種選法，則詢問的某組被標(biāo)為B的概率．（ii）由題意，5組中恰有3組被標(biāo)為B的概率，所以，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為．由，且，得．當(dāng)時(shí)，5組中恰有3組被標(biāo)為B的概率最大，且的最大值為．19．(1)；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）根據(jù)切點(diǎn)在曲線和切線上可得；（2）分，，，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，通過單調(diào)性討論即可得證；（3）令，分，兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)討論最值即可得解.【詳解】（1）解：因?yàn)椋裕贮c(diǎn)在切線上，所以，所以，即.（2）證明：欲證方程僅有一個(gè)實(shí)根，只需證明僅有一個(gè)零點(diǎn)，令，則，令，則，討論：（1）當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增