2024年浙江臺州市二模數(shù)學(xué)高考模擬試卷試題（含答案）

臺州市2024屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量評估試題

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合/={x|x—1?0},5={x|-l<x<3},則2口8=()

A.(-l,l)B.(-l,3)C,[-l,l)D.[l,3)

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=--(i為虛數(shù)單位)，則()

i

A.z的實(shí)部為2B.|z|=V5

C.z=2-iD.z對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限

3.已知平面向量3=(2/)，1=(-2,4),若(2Z+可乂蘇-可，則實(shí)數(shù)2=()

A.-lB.-2C.lD.2

4.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{%}滿足q=3,且-3%,a2,%成等差數(shù)列，則數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為()

5.已知x,y為正實(shí)數(shù)，則可成為“x<>”的充要條件的是()

11,

A.—<—B.x+iny<y+mx

xy'

C.sinx<sinjD.x-cosj<y-cosx

6.在△45。中，角N,B,。所對的邊分別為a,b,c.若acosC=2ccosZ,則空的最大值為()

a

A.V3B.-C.D.3

22

7.房屋建造時經(jīng)常需要把長方體磚頭進(jìn)行不同角度的切割，以契合實(shí)際需要.已知長方體的規(guī)格為

24cmxllcmx5cm,現(xiàn)從長方體的某一棱的中點(diǎn)處作垂直于該棱的截面，截取1次后共可以得到

12cmx1Icmx5cm,24cmx—cmx5cm,24cmxllcmx*cm三種不同規(guī)格的長方體.按照上述方式對第1

22

次所截得的長方體進(jìn)行第2次截取，再對第2次所截得的長方體進(jìn)行第3次截取，則共可得到體積為165cm3

的不同規(guī)格長方體的個數(shù)為()

A.8B.10C.12D.16

22

8.設(shè)公，鳥是雙曲線C：=—京=l(a〉O,b〉O)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)、M,N分別在雙曲線C的左、右兩

TT----?----?

支上，且滿足=NF[=2MF[,則雙曲線。的離心率為()

7/-5

A.2B.-C.V3D.-

32

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.某同學(xué)最近6次考試的數(shù)學(xué)成績?yōu)?07,114,136,128,122,143.則()

A.成績的第60百分位數(shù)為122B.成績的極差為36

C.成績的平均數(shù)為125D.若增加一個成績125,則成績的方差變小

10.已知正方體N8CD-481GA的棱長為1，P為平面N8CD內(nèi)一動點(diǎn)，且直線口尸與平面Z8CD所成

7T

角為一，￡為正方形Z/DQ的中心，則下列結(jié)論正確的是()

A.點(diǎn)P的軌跡為拋物線

TT

B.正方體ABCD-4BCR的內(nèi)切球被平面ABC1所截得的截面面積為一

6

C.直線CP與平面CDD￡所成角的正弦值的最大值為—

D.點(diǎn)M為直線28上一動點(diǎn)，則“P+ME的最小值為

11.已知/(%)是定義域?yàn)椋鹸|xw0｝的非常數(shù)函數(shù)，若對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,y均有

(\

/(x)/(y)=/(Ay)+/-,則下列結(jié)論正確的是()

A./(l)=2區(qū)/(叼的值域?yàn)椋?,+00)

C./(x)=/D./(x)是奇函數(shù)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（x+1）6的展開式中/的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

13.某班有/,8兩個學(xué)習(xí)小組，其中A組有2位男生，1位女生，8組有2位男生，2位女生.為了促進(jìn)小組

之間的交流，需要從3兩組中隨機(jī)各選一位同學(xué)交換，則交換后“組中男生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

ax-\

14.已知關(guān)于x的不等式lnx+1<a4e2恒成立，則實(shí)數(shù)0的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

已知數(shù)列｛4｝滿足/=一,an+1=-----.

21-an

（1）求4（）24（只需寫出數(shù)值，不需要證明）；

（2）若數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)可以表示成見=5-0sin（加+9）Q<co<3,（pe-三！的形式，求。，（p.

16.（15分）

臺州是全國三大電動車生產(chǎn)基地之擁有完整的產(chǎn)業(yè)鏈和突出的設(shè)計優(yōu)勢.某電動車公司為了搶占更多的

市場份額，計劃加大廣告投入、該公司近5年的年廣告費(fèi)玉（單位：百萬元）和年銷售量%（單位：百萬

輛）關(guān)系如圖所示：令匕=lnx,（i=l,2,3,5）,數(shù)據(jù)經(jīng)過初步處理得：

55i(y.-y)22

E(x>-x)2i(v,-v)3(%-司(匕-何

Z=1i=li=li=li=li=li=l

444.81040.31.61219.58.06

現(xiàn)有①歹=6x+a和②y=〃lnx+加兩種方案作為年銷售量>關(guān)于年廣告費(fèi)x的回歸分析模型，其中a,b,

m,n均為常數(shù).

（1）請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好？

（2）根據(jù)（1）的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測年

廣告費(fèi)為6（百萬元）時，產(chǎn)品的年銷售量是多少？

（3）該公司生產(chǎn)的電動車毛利潤為每輛200元（不含廣告費(fèi)、研發(fā)經(jīng)費(fèi)）.該公司在加大廣告投入的同時也

加大研發(fā)經(jīng)費(fèi)的投入，年研發(fā)經(jīng)費(fèi)為年廣告費(fèi)的199倍.電動車的年凈利潤受年廣告費(fèi)和年研發(fā)經(jīng)費(fèi)影響外

還受隨機(jī)變量J影響，設(shè)隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（600Q2）,且滿足產(chǎn)傳〉800）=0.3.在（2）的條件

下，求該公司年凈利潤的最大值大于1000（百萬元）的概率.（年凈利潤=毛利潤x年銷售量-年廣告費(fèi)-年研

發(fā)經(jīng)費(fèi)-隨機(jī)變量）.

回歸直線^=a+bx中公式分別為務(wù)=-------------,a=y-bx；

x）

Z=1

②參考數(shù)據(jù)：V40.3xl.612=8.06,7403-20.1,1115Ml.6,ln6?1.8.

17.（15分）

如圖，已知四棱臺ABCD-AXBXCXDX中，AS=3AXBX,AB//CD,AD1AB,AB=6,CD=9,AD=6,

且Z4=Bq=4,。為線段Cq中點(diǎn)，

（1）求證：50〃平面4024；

（2）若四棱錐。的體積為岑求平面4844與平面夾角的余弦值.

18.（17分）

已知橢圓C：9X2+8/=81,直線/：x=-1交橢圓于M,N兩點(diǎn)，T為橢圓的右頂點(diǎn)，△0IW的內(nèi)切

圓為圓Q.

（1）求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求圓。的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)尸（1,3）,過P作圓0的兩條切線分別交橢圓。于點(diǎn)/,B,求△尸48的周長.

19.(17分)

設(shè)/,8是兩個非空集合，如果對于集合/中的任意一個元素x,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系了,在集合8中

都有唯一確定的元素y和它對應(yīng)，并且不同的x對應(yīng)不同的以同時2中的每一個元素外都有一個/中的

元素x與它對應(yīng)，則稱/：Z-5為從集合/到集合8的一一對應(yīng)，并稱集合/與8等勢，記作7=萬.

若集合N與8之間不存在一一對應(yīng)關(guān)系，則稱N與8不等勢，記作7/萬.

例如：對于集合/=N*,3={247eN*},存在一一對應(yīng)關(guān)系y=2x(xe4ye8),因此，=瓦

(221__

C1)已知集合。={(1,#卜2+/=1},(x,y)\+1_=l卜試判斷e=萬是否成立?請說明理由；

(2)證明：①(0,1)=(—00,+00)；

②N*w{X|XNN*}.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

題號12345678

答案DBDADCBB

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

題號91011

答案BCDBCDAC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

11、

12.2013.y14,r[l,+oo）

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（本小題滿分13分）

解（1）=—,a=2,a—一1,二一，

232

故數(shù)列｛%｝的周期為3,%024=

a2=2.

一百sin(G+0)+；=g,

（2）由4=5，。2=2，得至小—y/3sin(2G+0)+5=2,

八c兀n

0<@<3,---<(p<—,

[22

解得。==，=

33

備注：以下解法不扣分

2/r

因?yàn)椋?｝的周期為3,所以G二

T

-V3sinf—

-+叩廠5，

1I3

又由％=—,得到V'D

27in

----<（p<—

L22

jr

解得0=_.

3

16.（本小題滿分15分）

解：（1）設(shè)模型①和②的相關(guān)系數(shù)分別為"，4.

19.5

X0.97

20A

E(Vi-v)(vi-v)

i=\8.068.06

V40.3xl.612i06

所以hl<hl，由相關(guān)系數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可得，模型②的擬合程度更好.

8.06

(2)-------------------

1.612

Z=1

-15_15__

又由v=—工匕=0.96,歹=—Zy=8.8,得加二歹一5V=8.8—0.96x5=4,

5i=i5/=1

所以y=5v+4,即回歸方程為y=51nx+4.

當(dāng)x=6時，y=51n6+4?13,

因此當(dāng)年廣告費(fèi)為6（百萬元）時，產(chǎn)品的銷售量大概是13（百萬輛）.

（3）凈利潤為200x（51nx+4）—200x—J,（x>0）,

令g（%）=200x（5Inx+4）-200x-J,

所以g'（x）=3L200.

X

可得y=g（x）在（0,5）上為增函數(shù)，在（5,+oo）上為減函數(shù).

所以g（x）max=g（5）=200x（51n5+4-5）-^?1400-^,

由題意有：1400—4>1000,即4<400,

尸（J<400）=尸（J〉800）=0.3,

即該公司年凈利潤大于1000（百萬元）的概率為03

17.（本小題滿分15分）

解：（1）分別延長線段24，BBrCCX,DA交于點(diǎn)、P,將四棱臺補(bǔ)成四棱錐尸-48CD.

,：.PC,=|PC,二CQ=QG=C[P,

取的中點(diǎn)￡,連接?！?AE,

2

?：QE1L-CD幺AB,：.四邊形ABQE為平行四邊形?

BQ//AE,又/￡<=平面AD24，50.平面2。24，

〃平面ADDXAX；

（不補(bǔ)成棱錐，直接取的中點(diǎn)，利用梯形中位線也不扣分）

2

（2）由于%ABBA=~VC/BRA'所以《ABBA=16m，

/l|3C—At>￡>]Zl|C-ADDjAj

又梯形488/]面積為8百，

設(shè)C到平面48四4距離為/z,則憶期/=1S梯刈班=得力=6.

11JZl|3

而CD〃48,48u平面4844，。。.平面4844，

所以CD〃平面

所以點(diǎn)C到平面ABBXAX的距離與點(diǎn)D到平而的距離相等,

而。=6=AD，所以ADJ_平面ABB[A].

以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線48為x軸，以直線40為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

易得△PZ8為等邊三角形，所以/（0,0,0）,5（6,0,0）,C（9,6,0）,￡>（0,6,0）,43,0,3百）

m-DP(

=(x,y,z)-3,—6,36)=3x—6.y+3AAz二0,

設(shè)平面CDDG的法向量為m=(x,y,z),則＜

m-DC=(x,y,z)?(9,0,0)=9x=0,

得x=0,y=會,不妨取而=（0,G,2}

又平面ABB/1的一個法向量為?=（0,1,0）.

(0,百,2).(0/,0)后

則8s〈詞=g1=

7

平面ABB4與平面CDD￡夾角的余弦值為當(dāng)一.

（傳統(tǒng)方法相應(yīng)給分）

18.（本小題滿分17分）

22

解：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+2=1,

981

m—9=2,所以稱點(diǎn)坐標(biāo)為0,土

88

（2）將x=—1代入橢圓方程9/+8/=81得y=±3,由對稱性不妨設(shè)M（—1,3）,N（—1,—3）

3

直線的方程為^=-----（x-3）,即3x+4y—9=0

—1—3

設(shè)圓。方程為=/,

由于內(nèi)切圓。在△7W的內(nèi)部，所以/〉—1,

|3r+4x0-9|

則。到直線MV和直線MT的距離相等，即：t+l=

A/32+42

13

解得，二—，4=—

22

所以圓Q方程為—g

4

（用周長與面積求半徑的方法相應(yīng)給分）

（3）顯然直線R4和直線必的斜率均存在,

設(shè)過P作圓0的切線方程為y=1）+3,其中左有兩個不同的取值左和k2分別為直線PA和PB的斜

率.

Mil卜3

3

由圓0與直線相切得:2,化簡得：8產(chǎn)+12左一27=0,

“2+12

,73

占+左2

則《

27

左左2=__~'

<y=左(x—l)+3,

得(9+8肝)/+16左(3—左)x+8M—48左一9=0,

由<9x2+8v2=81,

8左2—48勺一9

可得貓=xx=

pA8奸+9

所以為=6-1)+3.產(chǎn)-羋-Xi/%-產(chǎn)+27

，?J，1862+9)8k+9

—3(27—12左)一1購+2718(左一3)3

~27—12片+9—12(3-^)~~2'

同理X”密-羋-93

力=~~

88月+9

3

所以直線45的方程為了=—：

所以48與圓。相切，

將y=—|代入9/+8y2=81得x=±b，

所以|48|=2近，