江蘇省南師附中2024屆數(shù)學高一下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

江蘇省南師附中2024屆數(shù)學高一下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．從某健康體檢中心抽取了8名成人的身高數(shù)據(jù)（單位：厘米），數(shù)據(jù)分別為172，170，172，166，168，168，172，175，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．171172 B．170172 C．168172 D．1701752．已知為定義在上的函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，當時，有，且當時，，若方程（）恰有5個不同的實數(shù)解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．函數(shù)，的值域是（）A． B． C． D．4．如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任意一點，垂足為E，點F是PB上一點，則下列判斷中不正確的是（）﹒A．平面PAC B． C． D．平面平面PBC5．已知為第Ⅱ象限角，則的值為（）A． B． C． D．6．要得到函數(shù)的圖像，只需要將函數(shù)的圖像（）A．向右平移個長度單位 B．向左平移個長度單位C．向右平移個長度單位 D．向左平移個長度單位7．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，，，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．與的大小不確定8．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是（）A．B．C．D．9．數(shù)列中，對于任意，恒有，若，則等于()A． B． C． D．10．在區(qū)間上任取兩個實數(shù)，則滿足的概率為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．據(jù)監(jiān)測，在海濱某城市附近的海面有一臺風，臺風中心位于城市的南偏東30°方向，距離城市的海面處，并以的速度向北偏西60°方向移動（如圖示）.如果臺風侵襲范圍為圓形區(qū)域，半徑，臺風移動的方向與速度不變，那么該城市受臺風侵襲的時長為_______小時.12．程序：的最后輸出值為___________________.13．已知在中，，則____________.14．等差數(shù)列的前項和為，，，等比數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前15項和.15．等差數(shù)列中，，，設(shè)為數(shù)列的前項和，則_________.16．長時間的低頭,對人的身體如頸椎、眼睛等會造成定的損害，為了了解某群體中“低頭族”的比例，現(xiàn)從該群體包含老、中、青三個年齡段的人中采用分層抽樣的方法抽取人進行調(diào)查，已知這人里老、中、青三個年齡段的分配比例如圖所示，則這個群體里青年人人數(shù)為_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列前項和為，，且滿足（）．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若，設(shè)數(shù)列前項和為，求證：．18．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）求的單調(diào)增區(qū)間并求出取得最小值時所對應(yīng)的x取值集合．19．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由.20．已知關(guān)于的函數(shù).（Ⅰ）當時，求不等式的解集；（Ⅱ）若對任意的恒成立，求實數(shù)的最大值.21．如果數(shù)列對任意的滿足：，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）已知數(shù)列是“數(shù)列”，設(shè)，求證：數(shù)列是遞增數(shù)列，并指出與的大小關(guān)系（不需要證明）；（2）已知數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，是其前項的和，若數(shù)列是“數(shù)列”，求的取值范圍；（3）已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的“數(shù)列”，對于取相同的正整數(shù)時，比較和的大小，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

由中位數(shù)和眾數(shù)的定義，即可得到本題答案.【詳解】把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為166，168，168，170，172，172，172，175，則中位數(shù)為，眾數(shù)為172.故選：A【點睛】本題主要考查中位數(shù)和眾數(shù)的求法.2、C【解析】當時，有，所以，所以函數(shù)在上是周期為的函數(shù)，從而當時，，有，又，即，有易知為定義在上的偶函數(shù)，所以可作出函數(shù)的圖象與直線有個不同的交點，所以，解得，故選C.點睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性，函數(shù)與方程等知識的綜合應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想研究直線與函數(shù)圖象的交點問題，解答時現(xiàn)討論得到分段函數(shù)的解析式，然后做出函數(shù)的圖象，將方程恰有5個不同的實數(shù)解轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象由5個不同的交點，由數(shù)形結(jié)合法列出不等式組是解答的關(guān)鍵.3、A【解析】

由的范圍求出的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域.【詳解】∵，∴，∴當，即時，函數(shù)取最大值1，當即時，函數(shù)取最小值，即函數(shù)的值域為，故選A.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)求函數(shù)的值域問題，通過自變量的范圍求出整體的范圍是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及判定，可判斷ABC選項，由面面垂直的判定可判斷D.【詳解】對于A，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，而底面圓面，則，又由圓的性質(zhì)可知，且，則平面PAC.所以A正確；對于B，由A可知，由題意可知，且，所以平面，而平面，所以，所以B正確；對于C，由B可知平面，因而與平面不垂直，所以不成立，所以C錯誤.對于D，由A、B可知，平面PAC，平面，由面面垂直的性質(zhì)可得平面平面PBC.所以D正確；綜上可知，C為錯誤選項.故選：C.【點睛】本題考查了線面垂直的性質(zhì)及判定，面面垂直的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

首先由，解出，求出，再利用二倍角公式以及所在位置，即可求出．【詳解】因為，所以或，又為第Ⅱ象限角，故，．因為為第Ⅱ象限角即，所以，，即為第Ⅰ，Ⅲ象限角．由于，解得，故選B．【點睛】本題主要考查二倍角公式的應(yīng)用以及象限角的集合應(yīng)用．6、D【解析】

根據(jù)的圖像變換規(guī)律求解即可【詳解】設(shè)平移量為，則由，滿足：，故由向左平移個長度單位可得到故選：D【點睛】本題考查函數(shù)的圖像變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題7、A【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為，結(jié)合題中條件得出且，將、、、用與表示，利用因式分解思想以及基本不等式可得出與的不等關(guān)系，并結(jié)合等差數(shù)列下標和性質(zhì)可得出與的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由于等差數(shù)列是公差不為零，則，從而，且，得，，，即，另一方面，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，因此，，故選：A.【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于將等比中的項利用首項和公比表示，并進行因式分解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.8、A【解析】根據(jù)已知的三視圖想象出空間幾何體，然后由幾何體的組成和有關(guān)幾何體體積公式進行計算．由幾何體的三視圖可知幾何體為一個組合體，即一個正方體中間去掉一個圓錐體，所以它的體積是.9、D【解析】因為,所以

,

.選D.10、B【解析】試題分析：因為，在區(qū)間上任取兩個實數(shù)，所以區(qū)域的面積為4，其中滿足的平面區(qū)域面積為，故滿足的概率為，選B．考點：本題主要考查幾何概型概率計算．點評：簡單題，幾何概型概率的計算，關(guān)鍵是認清兩個“幾何度量”．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

設(shè)臺風移動M處的時間為th，則|PM|＝20t，利用余弦定理求得AM，而該城市受臺風侵襲等價于AM≤60，解此不等式可得．【詳解】如圖：設(shè)臺風移動M處的時間為th，則|PM|＝20t，依題意可得，在三角形APM中，由余弦定理可得：依題意該城市受臺風侵襲等價于AM≤60，即AM2≤602，化簡得：，所以該城市受臺風侵襲的時間為6﹣1＝1小時．故答案為：1．【點睛】本題考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了數(shù)學運算能力.12、4；【解析】

根據(jù)賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量，然后語句的順序可求出的值．【詳解】解：執(zhí)行程序語句：

＝1后，＝1；

＝＋1后，＝2；

＝＋2后，＝4；

后，輸出值為4；

故答案為：4【點睛】本題主要考查了賦值語句的作用，解題的關(guān)鍵對賦值語句的理解，屬于基礎(chǔ)題．13、【解析】

根據(jù)可得，根據(jù)商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系可解得結(jié)果.【詳解】因為，所以且，又，所以，所以，因為，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的符號法則，考查了同角公式中的商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.14、（1），；（2）125.【解析】

（1）直接利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的公式得到答案.（2），前5項為正，后面為負，再計算數(shù)列的前15項和.【詳解】解：（1）聯(lián)立，解得，，故，，聯(lián)立，解得，故.（2）.【點睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，絕對值和，判斷數(shù)列的正負分界處是解題的關(guān)鍵.15、【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得出的值，然后利用等差數(shù)列的求和公式可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的基本性質(zhì)可得，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等差數(shù)列求和，同時也考查了等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)餅狀圖得到青年人的分配比例；利用總數(shù)乘以比例即可得到青年人的人數(shù).【詳解】由餅狀圖可知青年人的分配比例為：這個群體里青年人的人數(shù)為：人本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查分層抽樣知識的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】【試題分析】（1）借助遞推關(guān)系式，運用等比數(shù)列的定義分析求解；（2）依據(jù)題設(shè)條件運用列項相消求和法進行求解：（Ⅰ），由（），得（），兩式相減得．由，得,又，所以是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，故．（Ⅱ），，．18、（1）（2）單調(diào)增區(qū)間為,()；x取值集合,()【解析】

（1）先由函數(shù)的最大值求出的值，再由圖中對稱軸與相鄰對稱中心之間的距離得出最小正周期，于此得出，再將點代入函數(shù)的解析式結(jié)合的范圍得出的值，于此可得出函數(shù)的解析式；（2）解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，由可求出函數(shù)取最小值時的取值集合．【詳解】（1）由圖象可知，.因為，所以.所以.解得.又因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，解得.又因為，所以，所以.（2），，解得,，的單調(diào)增區(qū)間為,()，的最小值為-2，取得最小值時x取值集合,().【點睛】本題考查由三角函數(shù)圖象求解析式，以及三角函數(shù)的基本性質(zhì)問題，在利用圖象求三角函數(shù)的解析式時，其基本步驟如下：（1）求、：，；（2）求：；（3）求：將頂點或?qū)ΨQ中心點代入函數(shù)解析式求，但是在代對稱中心點時需要結(jié)合函數(shù)在所找對稱中心點附近的單調(diào)性來考查．19、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.【解析】

(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(Ⅱ)由幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征首先證得線面垂直，然后利用面面垂直的判斷定理可得面面垂直；(Ⅲ)由題意，利用平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理即可找到滿足題意的點.【詳解】（Ⅰ）證明：因為平面,所以；因為底面是菱形，所以;因為,平面,所以平面.（Ⅱ）證明：因為底面是菱形且，所以為正三角形，所以,因為,所以；因為平面，平面,所以；因為所以平面，平面,所以平面平面.（Ⅲ）存在點為中點時，滿足平面；理由如下:分別取的中點，連接,在三角形中，且；在菱形中，為中點，所以且，所以且，即四邊形為平行四邊形，所以;又平面，平面，所以平面.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問題等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由時，根據(jù)，利用一元二次不等式的解法，即可求解；（Ⅱ）由對任意的恒成立，得到，利用基本不等式求得最小值，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意，當時，函數(shù)，由，即，解得或，所以不等式的解集為.（Ⅱ）因為對任意的恒成立，即，又由，當且僅當時，即時，取得最小值，所以，即實數(shù)的最大值為.【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的求解，以及基本不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記一元二次不等式的解法，以及合理利用基本不等式求得最小值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）（3），證明見解析.【解析】

（1）由新定義，結(jié)合單調(diào)性的定義可得數(shù)列是遞增數(shù)列；再根據(jù)，，可得；（2）運用新定義和等差數(shù)列的求和公式，解絕對值不等式即可得到所求范圍；（3）對一切，