2024年新高考第二次模擬考試 數(shù)學(xué)（江蘇卷）（全解全析）

2024年高考高三第二次模擬考試

數(shù)學(xué)（江蘇卷）?全解全析

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)

考證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測試范圍：高考全部內(nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的）

1.某校高一年級15個(gè)班參加朗誦比賽的得分如下：

858788898990919192939393949698

則這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為（）

A.90B.91C.90.5D.92

【答案】C

【解析】由題意，15x0.4=6,故這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為從小到大第6,7位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

即若衛(wèi)=90.5.故選：C

2.已知雙曲線口/一:二電〉。）的離心率《<虛,貝!的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（1.72）C.（1,+<?）D.（V2,+oo）

【答案】A

【解析】由已知可得雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，。=1,c2=i+b2,

所以e=￡=1+廿<2,由>>0,解得0<6<1.故選：A.

a1

3.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為若%+〃8+%+%O+4I=2O,貝!|，7=（）

A.150B.120C.75D.68

【答案】D

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知%+“8+。9+陽+41=5%=20,

所以%=4,舟=17」廣）=1%=68,故選：D.

已知角。滿足tan1a~~^=^9則sin2a=(

4.)

44-74

A.B.—C.——D.-

7599

【答案】A

【解析】因?yàn)閠an[-￡]=J,化簡得詈4二1=:，所以tana=2,

I4J31+tancr3

.2sinacosa2tana.2x24品立

又sin2i=\^--------1=--——所以sm2a=丁二=:，故選：A.

sin6Z+cosatana+14+15

5.已知在ABC中，點(diǎn)。在邊8c上，S.BD=5DC,則AD=（）

iuum<uun1441

A.-AB+-ACB.-AC+-ABC.-AB+-ACD.-AB+-AC

66665555

【答案】A

【解析】在ABC中，BC=AC-ABf又點(diǎn)。在邊3C上，且

貝!)AD=A5+3O=AB+93C=A3+9(AC-A3)」AB+mAC,故選：A.

66''66

6.已知加，〃是兩條不同的直線，?夕是兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（）

A.若〃2〃〃，且"ua,則機(jī)//eB.若根_1_”,且〃ua,則

C.若加〃a,旦m11B,則tz//6D.若加_La,且〃?！■￡,則tz〃6

【答案】D

【解析】如圖所示正方體，

對于A,若對應(yīng)直線AB,8與平面A3CD,顯然符合條件，但〃zua,故A錯(cuò)誤;

對于B,若"〃。對應(yīng)直線AB,CB與平面ABC。，顯然符合條件，但mua,故B錯(cuò)誤；

對于C,若根,氏夕對應(yīng)直線與平面HGCQ,平面HGFE,顯然符合條件，但0ca=HG,故C錯(cuò)誤;

對于D,若m_L(z,且機(jī)，￡，又a,夕是兩個(gè)不同的平面，則&///，故D正確.

故選：D

7.2023年9月8日，杭州第19屆亞運(yùn)會火炬?zhèn)鬟f啟動(dòng)儀式在西湖涌金公園廣場舉行.秉持杭州亞運(yùn)會“綠

色、智能、節(jié)儉、文明”的辦賽理念，本次亞運(yùn)會火炬?zhèn)鬟f線路的籌劃聚焦簡約、規(guī)模適度.在杭州某路

段傳遞活動(dòng)由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成.若第一棒火炬手只能從甲、乙、丙中產(chǎn)生，最

后一棒火炬手只能從甲、乙中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案種數(shù)為()

A.18B.24C.36D.48

【答案】B

【解析】當(dāng)?shù)谝话魹楸麜r(shí)，排列方案有《團(tuán)=12種；

當(dāng)?shù)谝话魹榧谆蛞視r(shí)，排列方案有A；A；=12種；

故不同的傳遞方案有12+12=24種，故選B

20221

8.已知。=屋痂，6=1112024—ln2023,c=sin^^,貝!)()

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<a

【答案】D

【解析】令〃x)=e-—l,尤<0,

則廣(x)=e*-1<。在(-令0)上恒成立，故在(-雙0)上單調(diào)遞減,

故〃耳>/(0)=1-0-1=0,故/，煞)20222022]

20232023J-l>0,

2022QAQQ1

即e一幅>1—即〃〉

202320232023

令g(x)=x—sinx,貝！|/(%)=l—cos%20,故g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,

故g(二一]=」——sin」一>g(0)=0-0=0,即a>c；

<2023j20232023v7

令/z(x)=sin尤一ln(x+l),0<x<l,

、c?2X11cI

則川(x)=cosx-----1--=l-2sin----------->l-2x

x+l2l+xl+x

x(2+x)(l—x)

>0在(0,1)上恒成立,

2l+x2(l+x)

故可力在（0,1）上單調(diào)遞增，

又/，（0）=sin0-lnl=0,故八擊）>/7（0）=

0,

11（2024、口口7

故sin---->ln-----,gpc>Z?,

2023（2023）

故有a>ob.

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有J因錯(cuò)的得0分）

9￡8尸區(qū)則（）

9.已知復(fù)數(shù)Z]=l-3i,z2=（2-i）-,z3=

1+1

A.Zj+z2=4+7iB.z”Z2，Z3的實(shí)部依次成等比數(shù)列

C.Vio|Z1|=2|z2|D.Z1,Z2，Z3的虛部依次成等差數(shù)列

【答案】ABC

【解析】因?yàn)閆2=（2-獷=3-況，Z3=*）i（8+10i）（l-i）

-=n-Wi-<=9+1>所以4+Z2=4-7i，所以

Zj+z2=4+7i,故A正確；

因?yàn)榈膶?shí)部分別為所1

Z[,z2,Z31,3,9,人馬,z2,Z3的實(shí)部依次成等比數(shù)列，故B正確；

因?yàn)閆],Z[,Z3的虛部分別為—3,-4>1,所以4，z2,Z3的虛部依次不成等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤；

V10zJ=^x^+9=2z2=2x5=10,故C正確.

故選：ABC.

10.如圖，點(diǎn)A,B,C是函數(shù)f（x）=sin（tyx+。（。>0）的圖象與直線>相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且

怛cHMj"]-3=。，則（）

y卜

ANS

A

前7VV

A.co-4

/9吟1

b-dvj-

c.函數(shù)/（X）在仁仁

上單調(diào)遞減

D.若將函數(shù)/（x）的圖象沿x軸平移，個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則冏的最小值為4

【答案】ACD

/o'兀27c

【解析】令/(x)=sin(Gx+0)=得，+(p=—+2kncox+(p=+2kn,keZ,

_兀兀2,71

由圖可知：coxA+(p=—+2hi,coxc+(p=—+Iku+hi,a>xB+(p=-+2kn,

所以忸a=%-/=,一尹2兀,河』fU奉

G)

所以^=忸。1一g卻=1卜g+2無］,所以

co=4,故A選項(xiàng)正確,

3CO\

71

所以/(x)=sin(4x+0),由/=0得sin[-]+0)=(),

12

兀

所以一§■+0=兀+2而，kE7J9

4元

所以夕=+2kli,kE7J9

所以/(x)=sin14x+當(dāng)+2kli=sin4x+竺=-sin(4x+yj,

I3

9兀9K71

sin一+—故B錯(cuò)誤.

823

7171,171/5兀2n兀+、

當(dāng)時(shí)，4x+—GIr3,

i52

因?yàn)閥=-siin在兀為減函數(shù)，故在［：,71

上單調(diào)遞減，故C正確;

將函數(shù)“X）的圖象沿x軸平移。個(gè)單位得g（x）=-sin4x+4＜9+y,（夕＜。時(shí)向右平移，。＞0時(shí)向左平

移）,

g("為偶函數(shù)得40+；=]+E,keZ,

所以，=《+,，keZ,則冏的最小值為盤，故D正確.

故選：ACD.

11.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)〃x),滿足/(x+y)=/(x)/(y)—函(2—x)/(2—y),且"0)=0,/(—2)=0,

則（）

A./(2)=1B.〃x）是偶函數(shù)

2023

C.[/(x)]2+[/(2+.r)]2=lD.￡/?)=T

i=\

【答案】BCD

【解析】對于A項(xiàng)，由/(x+y)=/(x)〃y)—/(2-x)/(2—y),

令x=y=l,則7(2)="⑴],一"⑴]2=0,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于B項(xiàng)，令x=y=。，則于0)="(0)r-"(2)]2="(0)]2,

因〃0)H0,故〃。)=1,

令＞=2,則/(x+2)=/(x)〃2)-/(2-x)〃0)=-/(2-x)①,

知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(2,0)成中心對稱，

令x=y=2,則/(4)=[/(2)]2-[/(0)]2=-1,

令尸4,貝！|〃x+4)=/(x)〃4)-42-山(-2)=-/(x)②，

由①可得：/(x+4)=-7(-%)(§),由①③可知：/(-尤)=/(x),

且函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,則函數(shù)Ax)是偶函數(shù)，故B項(xiàng)正確；

對于C項(xiàng),令》=一》，則〃2-x)〃2+x),

因/(0)=1,f(-x)=f(x),〃x+2)=_/(2—x),

故得："(力了+"(2+同了=1,故C項(xiàng)正確；

對于D項(xiàng)，由上可知：f(x+4)=-/(%),貝1)/(x+8)=-/(x+4)=/(x),

故函數(shù)/(尤)的一個(gè)周期為8.

令L,則/⑶"⑵/⑴T(o)/(i)=T⑴,即有53)+/⑴=0,

因函數(shù)/(X)是偶函數(shù)，故有/(—3)+7(—1)=0,

由函數(shù)f@)的一個(gè)周期為8,則/(5)+”7)=/(-3)+/(-1)=0,

由上知：/(2)=0,/(4)=-1,/(6)=/(-2)=0,/(8)=/(0)=1,

于是：/(I)+1(2)+/(3)+/(4)+/(5)+f(6)+f(7)+/(8)=0+0+(-1)+0+0+1=0,

2023

則(0=253XO-/(2O24)=-/(8)=-1,故D項(xiàng)正確.

Z=1

故選：BCD.

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.[+尤)4的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】25

【解析】(1-2x)4中常數(shù)項(xiàng)為1,/項(xiàng)為C：(-2x)2=24/,

因此所求常數(shù)項(xiàng)為1+24=25.

13.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為三,側(cè)面積分別為“和S乙，體積分別為%

和％若12,則卜________.

J乙y乙

【答案】述吟君

55

【解析】設(shè)母線長為/,甲圓錐底面半徑為小乙圓錐底面圓半徑為2,

則^^=胃='=2,所以｛=2々，

3乙兀丫21r2

又手+手=與，則寧=土，所以八w

所以甲圓錐的高％=j/2-1/2=g/,

乙圓錐的高九=j〃-工廠=網(wǎng),

V164

少xR_8小

所以/=>■

隈姮

乙§兀5外L

164

14.在三棱錐P-ABC中，AP,AB,AC兩兩互相垂直，AB=AC,AB+AP=9,當(dāng)三棱錐P-ABC的體

積取得最大值時(shí)，該三棱錐的內(nèi)切球半徑為.

3

【答案】y/0.75

4

【解析】設(shè)AP=x(0<x<9),貝！JAB=AC=9—x,

由題意知AP,AB,AC兩兩互相垂直，

可得三棱錐尸-ABC的體積為V=；x；ABACAP=g(9-x)/=：(r3+9x2),

令/(x)=-d+9%2,0<%<9,貝！)/'(%)=—3f+18X=-3X(X-6),

當(dāng)0Vx<6時(shí)，當(dāng)6cx<9時(shí)，尸(“<0,

故在(0,6)上單調(diào)遞增，在(6,9)上單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=6時(shí)，取到最大值，此時(shí)三棱錐P-ABC的體積取得最大值，

設(shè)此時(shí)三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的半徑為r,

貝！lAP=6,/1B=AC=3,3C=3e,P3=PC=j62+32=3石，

則sPBC=；BC.JPB2-*)2=；X3亞"45—等『=募’

乙V乙乙V乙乙

則^P-ABC=A。,AP=—(^SPAB+SPAC+S.c+SPBC),r

3

BP3x3x6=(2x3x6+3x3+27)-r,解得r=1,

4

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)已知函數(shù)/(%)=xlnx—ox2

(1)若函數(shù)/⑺在x=l處的切線與直線2x-y+l=0垂直，求實(shí)數(shù)〃的值.

(2)若函數(shù)/(幻存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【解】(1)f(JC)=lnx+l-lax,

3

則(l-2a)x2=-l,解得。=；

4

(2)f(x)=InA:+1-2ax,

由題設(shè)可知/'(x)=0有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且f(x)在零點(diǎn)的附近/(x)的符號發(fā)生變化.

g(x)=lnx+l-2ax,貝！］gr(x)=--2a,

x

若“VO,貝！|g'Q)>。，則gQ)為(。,+“)上為增函數(shù)，

g(x)在(0,+。)上至多有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)。>0時(shí)，若0<x<1,貝！Jg'(x)>0,故g(x)在I。,；］上為增函數(shù)，

若x>二，則g'(x)<0,故g(x)在1;,+s］上為減函數(shù),

2a12a)

故g(尤)max=g(2)=ln=>0,故0<a<1.

\2a)la2

又L；且g(3=-—<0,故g(x)在(o,；〕上存在一個(gè)零點(diǎn)；

e2aee\

下證當(dāng)02時(shí)，總有21n/<"

令=21n/—/，貝!!〃(，)=—1=-----9

79—t

當(dāng)1〉2時(shí)，”(。=7-1=丁<。，故〃?)為(2,+。)上的減函數(shù),

故%)</z(2)=21n2—2<0,故21n/U成立.

令t=C,x>4,貝!|lnx<6,

故當(dāng)x>4時(shí)，有g(shù)(%)<?+l-2ax,

(1+J1+8”『

取M=max<4,則當(dāng)x>M時(shí),

16a2

有6+1一2辦=一2]?」+^^設(shè)」^]<0,

I4a乂4aJ

故g(x)<0,故在+8)上，存在實(shí)數(shù)x,使得g(x)<0,

由零點(diǎn)存在定理及g(%)的單調(diào)性可知可得g(M在上存在一個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，實(shí)數(shù)”的取值范圍是[og].

16.(本小題滿分15分)為落實(shí)中央“堅(jiān)持五育并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，強(qiáng)化體育鍛煉”的精神，某高中

學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生自發(fā)組織各項(xiàng)體育比賽活動(dòng)，甲、乙兩名同學(xué)利用課余時(shí)間進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定：每一局

比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局，首先獲得5分者獲勝，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲獲勝

的概率都是:

(1)求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率；

(2)若甲以3：1的比分領(lǐng)先時(shí)，記X表示到結(jié)束比賽時(shí)還需要比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列及期望.

【解】⑴比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局，甲獲勝的概率為《=仁義?4'(注3=現(xiàn)，

恰好打了6局，乙獲勝的概率為鳥=C；x⑶+x2=*，

5⑸⑸53125

所以比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率為尸=6+5=卷+篇=染.

JJL乙DJx乙JJX乙J

(2)X的可能取值為2,3,4,5,

9

p(X=2)=—,

25

P(X=3)=C'x-x-x-=—

''2555125

、

z,322

P(X=4)=Gx—xx+

5llI625

32Y3296

p(x=5)=C：XgX—X—X—=------

5J55625

所以X的分布列如下:

X2345

93612496

p

25125625625

c9c36/124「961966

￡(X)=2x----F3x------F4x------F5x------=-------

v)25125625625625

17.（本小題滿分15分）如圖，多面體PS-ABCD由正四棱錐尸-ABCD和正四面體S-尸3c組合而成.

D

A

⑴證明：尸S//平面A3CD；

⑵求AS與平面PAD所成角的正弦值.

【解】（1）分別取A2BCPS的中點(diǎn)及尸,G,連接PE,PF,GF,SF,EF,

由題意可知多面體PS-ABCD的棱長全相等，且四邊形ABCD為正方形,

所以EF1BC,PF±BC,SF±BC,

因?yàn)镋FcP尸=尸,E尸,PFu平面PEF,

所以3C1平面PE尸，同理3cl平面PFS.

又平面平面尸邠=小，所以P,瓦尸,S四點(diǎn)共面.

又因?yàn)樯?AB=PS,PE=PF=SF,所以四邊形PEFS為平行四邊形,

所以PS//EF,又EFu平面ABCD,尸Sa平面ABCD,

所以尸S//平面ABCD.

（2）以尸為原點(diǎn)，以EE,F8,FG所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=1,

AMQA=NM4Q,從而MA=MQ=^PQ,:.AP1.AQ

y=kx+m

由］尤22（5）t2+1）%2+Wkmx+5（zn2-1）=0,

---Fy=1

15

設(shè)p（占,%）、

10km5（m2-l）

：.X+X=-----z——,XX=-^—z-------

}1?25^+1}1?25k2+1

則AP'AQ=（^xl,yl-l）（x2,y2-l）=x1x2+（何+m-l）（Ax2+m-l）

5（下+1乂加―1）10%2皿〃?_］）

5k2+15公+1-0

6m2-2m-42（m-l）（3m+2）

-----------=---------------=u

5k2+15k2+1

2

解得：機(jī)=-耳或根=1（舍去），

所以直線/過定點(diǎn)（o,-1].

19.（本小題滿分17分）已知數(shù)表4"J””知

中的項(xiàng)%?=1,2"=1,2,?,”）互不相同，且滿

a2n

足下列條件：

①陽e{1,2,,2〃}；

②（-1嚴(yán)（4「%,"）＜0（冽=1,2,,〃）.

則稱這樣的數(shù)表4“具有性質(zhì)P.

⑴若數(shù)表具有性質(zhì)P,且%=4,寫出所有滿足條件的數(shù)表42,并求出4+%的值;

⑵對于具有性質(zhì)尸的數(shù)表4",當(dāng)