七年級(jí)數(shù)學(xué)下-2.2第3課時(shí)整式的加減（解析版 ）

七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第二章整式》2.2整式的加減第3課時(shí)整式的加減知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)整式的加減◆1、整式的加減：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng).◆2、整式的加減步驟及注意問(wèn)題（1）整式的加減的實(shí)質(zhì)就是去括號(hào)、合并同類項(xiàng)．一般步驟是：先去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)．（2）去括號(hào)時(shí)，要注意兩個(gè)方面：一是括號(hào)外的數(shù)字因數(shù)要乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)；二是當(dāng)括號(hào)外是“﹣”時(shí)，去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都要改變符號(hào)．題型一題型一利用整式的加減計(jì)算【例題1】（2022秋?昆明期末）已知多項(xiàng)式M與a2+2ab的和是2a2﹣ab+3b2，其中，多項(xiàng)式M中的a＝﹣1，b＝1，則多項(xiàng)式M及多項(xiàng)式M的值分別為（）A．a(chǎn)2+2ab，﹣1 B．2a2﹣ab+3b2，6 C．3a2+ab+3b2，﹣1 D．a(chǎn)2﹣3ab+3b2，7【分析】根據(jù)題意列出關(guān)系式，去括號(hào)合并確定出M，把a(bǔ)與b的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：根據(jù)題意得：M＝（2a2﹣ab+3b2）﹣（a2+2ab）＝2a2﹣ab+3b2﹣a2﹣2ab＝a2﹣3ab+3b2，當(dāng)a＝﹣1，b＝1時(shí)，原式＝1+3+3＝7．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的加減，以及代數(shù)式求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉用A、B表示的多項(xiàng)式分別是一個(gè)整體，先化簡(jiǎn)再代入求值時(shí)要把A、B加上括號(hào)后，然后去括號(hào)再進(jìn)行化簡(jiǎn).【變式1-1】（2022秋?未央?yún)^(qū)期中）已知（4x2﹣7x﹣3）﹣A＝3x2﹣2x+1，則A為（）A．x2﹣9x+2 B．x2﹣9x﹣4 C．x2﹣5x﹣2 D．x2﹣5x﹣4【分析】根據(jù)已知等式，移項(xiàng)合并求出A即可．【解答】解：由（4x2﹣7x﹣3）﹣A＝3x2﹣2x+1，得到A＝4x2﹣7x﹣3﹣3x2+2x﹣1＝x2﹣5x﹣4，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022秋?五蓮縣期末）已知一個(gè)多項(xiàng)式的2倍與3x2+9x的和等于﹣x2+5x﹣2，則這個(gè)多項(xiàng)式是（）A．﹣4x2﹣4x﹣2 B．﹣2x2﹣2x﹣1 C．2x2+14x﹣2 D．x2+7x﹣1【分析】根據(jù)題意得出等式，進(jìn)而移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得出答案．【解答】解：設(shè)這個(gè)多項(xiàng)式為：M，由題意可得：2M+3x2+9x＝﹣x2+5x﹣2，故2M＝﹣x2+5x﹣2﹣（3x2+9x）＝﹣4x2﹣4x﹣2，則M＝﹣2x2﹣2x﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的加減，正確合并同類項(xiàng)是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2022秋?廬江縣期末）一個(gè)多項(xiàng)式減去﹣x2y﹣3xy2得2x2y﹣xy2，則這個(gè)多項(xiàng)式是（）A．3x2y﹣4xy2 B．x2y﹣4xy2 C．﹣3x2y+2xy2 D．﹣x2y+2xy2【分析】直接利用整式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：∵一個(gè)多項(xiàng)式減去﹣x2y﹣3xy2得2x2y﹣xy2，∴這個(gè)多項(xiàng)式是：﹣x2y﹣3xy2+2x2y﹣xy2＝x2y﹣4xy2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的加減，正確合并同類項(xiàng)是解題關(guān)鍵．【變式1-4】（2022秋?清水縣校級(jí)期末）計(jì)算：（1）﹣2y3﹣xy2﹣2（xy2﹣y3）；（2）5x2﹣[3x2﹣2（﹣x2+4x）]．【分析】（1）根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則即可求出答案．（2）根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣2y3+2y3﹣xy2﹣2xy2＝﹣3xy2．（2）原式＝5x2﹣（3x2+2x2﹣8x）＝5x2﹣（5x2﹣8x）＝5x2﹣5x2+8x＝8x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的加減運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式1-5】（2023春?青岡縣期末）已知A＝2a2﹣a，B＝﹣5a+1．（1）化簡(jiǎn)：3A﹣2B+2；（2）當(dāng)a=?12時(shí)，求3A﹣2【分析】（1）把A、B的值代入，去括號(hào)、合并同類項(xiàng)即可；（2）把a(bǔ)的值代入，即可求出答案．【解答】解：（1）∵A＝2a2﹣a，B＝﹣5a+1，∴3A﹣2B+2＝3（2a2﹣a）﹣2（﹣5a+1）+2＝6a2+7a；（2）當(dāng)a=?12時(shí)，3A﹣2B+2＝6×（?12）2+7×（【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減和求值，能正確根據(jù)整式的加減法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．題型二題型二整式的化簡(jiǎn)求值---直接代入求值【例題2】（2022秋?渠縣校級(jí)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：（3x2y﹣xy2）﹣2（﹣2xy2+x2y），其中x＝2，y＝﹣1．【分析】先去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)得出最簡(jiǎn)整式，繼而代入x和y的值即可．【解答】解：原式＝（3x2y﹣xy2）﹣2（﹣2xy2+x2y）＝3x2y﹣xy2+4xy2﹣2x2y＝x2y+3xy2；當(dāng)x＝2，y＝﹣1時(shí)，原式＝22×（﹣1）+3×2×（﹣1）2＝﹣4+6＝2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，化簡(jiǎn)求值是課程標(biāo)準(zhǔn)中所規(guī)定的一個(gè)基本內(nèi)容，它涉及對(duì)運(yùn)算的理解以及運(yùn)算技能的掌握兩個(gè)方面，也是一個(gè)?？嫉念}材，難度一般．解題技巧提煉進(jìn)行整式的加減時(shí)先去括號(hào)然后合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)后，直接代入字母的值進(jìn)行計(jì)算即可.（2022秋?灌云縣期中）已知多項(xiàng)式M＝4x﹣1，N＝﹣2x﹣5，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，代數(shù)式4M﹣（2M+3N）的值為．【分析】先化簡(jiǎn)4M﹣（2M+3N）可得結(jié)果為2M﹣3N，再代入計(jì)算可得化簡(jiǎn)結(jié)果為2x+13，再把x＝﹣1代入計(jì)算即可．【解答】解：∵M(jìn)＝4x﹣1，N＝﹣2x﹣5，∴4M﹣（2M+3N）＝4M﹣2M﹣3N＝2M﹣3N＝2（4x﹣1）﹣3（﹣2x﹣5）＝8x﹣2+6x+15＝14x+13，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原式＝14×（﹣1）+13＝﹣14+13＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是整式的加減運(yùn)算中的化簡(jiǎn)求值，掌握“化簡(jiǎn)的先后順序”是解本題的關(guān)鍵．值：2（2a2+3ab）﹣（4a2+4ab﹣9），其中a=1b＝﹣3．【分析】先去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)，最后將a=12，【解答】解：原式＝2（2a2+3ab）﹣（4a2+4ab﹣9）＝4a2+6ab﹣4a2﹣4ab+9＝（4a2﹣4a2）+（6ab﹣4ab）+9＝2ab+9；當(dāng)a=12，原式＝2×1＝﹣3+9＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減與化簡(jiǎn)求值，掌握去括號(hào)法則與合并同類項(xiàng)法則是解題的關(guān)鍵．（2022秋?宣城期末）先化簡(jiǎn)，再求值：12其中x＝﹣2，y＝3．【分析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，最后把xy的值代入求出即可．【解答】解：1=12x﹣2x+23y2?＝﹣3x+y2當(dāng)x＝﹣2，y＝3時(shí)，原式＝﹣3×（﹣2）+32＝15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減﹣化簡(jiǎn)求值，主要考查學(xué)生的計(jì)算和化簡(jiǎn)能力．【變式2-4】（2022秋?南召縣期末）先化簡(jiǎn)，再求值：2(32x2?3xy+y2)?3(x2?【分析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，最后代入求值．【解答】解：原式＝3x2﹣6xy+2y2﹣3x2+xy﹣6y2+4y2＝﹣5xy，∵（x+1）2+|y﹣2|＝0，又∵（x+1）2≥0，|y﹣2|≥0，∴x+1＝0，y﹣2＝0，∴x＝﹣1，y＝2．當(dāng)x＝﹣1，y＝2時(shí)，原式＝﹣5×（﹣1）×2＝10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，掌握去括號(hào)法則、合并同類項(xiàng)法則是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-5】（2022秋?茂南區(qū)期末）已知：A＝2a2+3ab﹣1，B＝a2+ab+1．（1）求A﹣2B的值；（2）若（a﹣1）2000+|b+2|＝0，求（1）中A﹣2B的值．【分析】（1）根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求出答案．（2）將a與b的值代入原式即可求出答案．【解答】解：（1）A﹣2B＝（2a2+3ab﹣1）﹣2（a2+ab+1）＝2a2+3ab﹣1﹣2a2﹣2ab﹣2＝ab﹣3．（2）由題意可知：a﹣1＝0，b+2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，原式＝1×（﹣2）﹣3＝﹣2﹣3＝﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的加減運(yùn)算、解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的加減運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．題型三題型三整式的化簡(jiǎn)求值---整體代入求值【例題3】求值：（1）已知5x﹣2y＝3，求15x﹣6y﹣8的值．（2）已知a﹣b＝5，﹣ab＝3，求(7a+4b+ab)?6(5【分析】（1）把15x﹣6y﹣8化為3（5x﹣2y）﹣8后，再把5x﹣2y＝3代入即可求出結(jié)果；（2）把整式去括號(hào)、合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)后，把a(bǔ)﹣b＝5，﹣ab＝3代入計(jì)算即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）15x﹣6y﹣8＝3（5x﹣2y）﹣8，當(dāng)5x﹣2y＝3時(shí)，原式＝3×3﹣8＝9﹣8＝1；（2）(7a+4b+ab)?6(＝7a+4b+ab﹣5b﹣6a+6ab＝a﹣b+7ab，∵﹣ab＝3，∴ab＝﹣3，當(dāng)a﹣b＝5，ab＝﹣3時(shí)，原式＝5+7×（﹣3）＝5﹣21＝﹣16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減—化簡(jiǎn)求值，去括號(hào)、合并同類項(xiàng)把整式正確的化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉先對(duì)原式進(jìn)行去括號(hào)、合并同類項(xiàng)的化簡(jiǎn)，再把數(shù)值整體代入到化簡(jiǎn)后的式子求值即可．【變式3-1】已知代數(shù)式4a﹣5b的值為﹣3，則代數(shù)式2（2a+b）+4（a﹣4b+1）+4b的值為．【分析】根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則，先化簡(jiǎn)，再求值．【解答】解：2（2a+b）+4（a﹣4b+1）+4b＝4a+2b+4a﹣16b+4+4b＝8a﹣10b+4＝2（4a﹣5b）+4．當(dāng)4a﹣5b＝﹣3，原式＝2×（﹣3）+4＝﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式的加減運(yùn)算以及化簡(jiǎn)求值，熟練掌握整式的加減法則是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022秋?石獅市期末）已知a﹣2b=13，2b﹣c=?53，c﹣d=73，則代數(shù)式（a﹣c）+（2b+d）﹣（2b+2【分析】去括號(hào)、合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)后，再將條件化為a﹣c=?43，c﹣d【解答】解：原式＝a﹣c+2b+d﹣2b﹣2c+d＝a﹣3c+2d，由a﹣2b=13，2b﹣c=?53，c﹣d=73可得，a﹣c=?所以原式＝a﹣3c+2d＝a﹣c﹣2（c﹣d）=?43?＝﹣6．故答案為：﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的加減，掌握去括號(hào)、合并同類項(xiàng)法則是正確解答的前提．【變式3-3】（2022秋?市中區(qū)校級(jí)期末）“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中一種重要的思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)與求值中應(yīng)用極為廣泛．如：已知m+n＝﹣2，mn＝﹣4，則2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值為．【分析】原式去括號(hào)合并后，將已知等式代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵m+n＝﹣2，mn＝﹣4，∴原式＝2mn﹣6m﹣6n+3mn＝5mn﹣6（m+n）＝﹣20+12＝﹣8．故答案為：﹣8．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的加減﹣化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2023春?平谷區(qū)期末）已知x2﹣5x﹣4＝0，求2x【分析】將已知等式化成x2﹣5x＝4，將所求整式去括號(hào)合并同類項(xiàng)，最后整體代入即可．【解答】解：∵x2﹣5x﹣4＝0，∴x2﹣5x＝4，∴2＝2x2﹣3x2+6﹣3x﹣2x+2x2﹣1＝x2﹣5x+5＝4+5＝9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的化簡(jiǎn)，去括號(hào)和合并同類項(xiàng)是本題考查的重點(diǎn)，在化簡(jiǎn)過(guò)程中注意正負(fù)號(hào)的變化．【變式3-5】我們知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x．類似地，我們把（a+b）看成一個(gè)整體，則4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的一種重要的思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)與求值中應(yīng)用極為廣泛．（1）若把（a﹣b）2看成一個(gè)整體，則合并3（a﹣b）2﹣8（a﹣b）2+6（a﹣b）2的結(jié)果是．（2）已知x2﹣2y＝3，求﹣8y+4x2﹣2的值．【分析】（1）根據(jù)整體思想進(jìn)行同類項(xiàng)合并即可求出答案．（2）將原式化為4（x2﹣2y）﹣2，然后將x2﹣2y＝3代入原式即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝（3﹣8+6）（a﹣b）2＝（a﹣b）2．故答案為：（a﹣b）2．（2）∵x2﹣2y＝3，∴﹣8y+4x2﹣2＝4（x2﹣2y）﹣2＝12﹣2＝10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，運(yùn)用整體思想，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式3-6】（2023春?南寧期末）閱讀材料：我們知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，類似地，我們把（a+b）看成一個(gè)整體，則4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b），“整體思想”是中學(xué)教學(xué)課題中的一種重要的思想方法，它在方程、多項(xiàng)式的求值中應(yīng)用極為廣泛．（1）嘗試應(yīng)用：把（a﹣b）2看成一個(gè)整體，合并3（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2的結(jié)果是．（2）已知x﹣2y＝1，求3x﹣6y﹣5的值．（3）拓展探索：已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．【分析】（1）把（a﹣b）2看成一個(gè)整體，合并同類項(xiàng)即可；（2）把3x﹣6y﹣5的前兩項(xiàng)提取公因式3，然后整體代入求值；（3）把式子（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）先去括號(hào)，再利用加法的交換結(jié)合律變形為（a﹣2b）、（2b﹣d）、（2b﹣c）和的形式，最后整體代入求值．【解答】解：（1）3（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2＝（3﹣5）（a﹣b）2＝﹣2（a﹣b）2；故答案為：﹣2（a﹣b）2；（2）∵x2﹣2y＝1，∴原式＝3（x2﹣2y）﹣5＝3×1﹣5＝﹣2；（3）∵a﹣2b＝﹣1，2b﹣c＝5，c﹣d＝﹣10，∴原式＝a﹣c+2b﹣d﹣2b+c＝（a﹣2b）+（2b﹣c）+（c﹣d）＝﹣1+5+（﹣10）＝﹣1+5﹣10＝﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減—化簡(jiǎn)求值，掌握整體的思想是解決本題的關(guān)鍵．題型四整式加減中的錯(cuò)看問(wèn)題題型四整式加減中的錯(cuò)看問(wèn)題【例題4】（2022秋?渠縣校級(jí)期末）有一道題目是一個(gè)多項(xiàng)式A減去多項(xiàng)式2x2+5x﹣3，小胡同學(xué)將2x2+5x﹣3抄成了2x2+5x+3，計(jì)算結(jié)果是﹣x2+3x﹣7，這道題目的正確結(jié)果是（）A．x2+8x﹣4 B．﹣x2+3x﹣1 C．﹣3x2﹣x﹣7 D．x2+3x﹣7【分析】直接利用整式的加減運(yùn)算法則得出A，進(jìn)而利用整式的加減運(yùn)算法則得出這道題目的正確結(jié)果．【解答】解：由題意可得：A﹣（2x2+5x+3）＝﹣x2+3x﹣7，則A＝﹣x2+3x﹣7+2x2+5x+3＝x2+8x﹣4，故這道題目的正確結(jié)果是：x2+8x﹣4﹣（2x2+5x﹣3）＝x2+8x﹣4﹣2x2﹣5x+3＝﹣x2+3x﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的加減，正確合并同類項(xiàng)是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉看錯(cuò)符號(hào)問(wèn)題，先根據(jù)錯(cuò)誤的運(yùn)算方法求出原來(lái)的某個(gè)多項(xiàng)式，然后再按照正確的運(yùn)算方法計(jì)算結(jié)果即可.【變式4-1】（2022秋?內(nèi)江期末）黑板上有一道題，是一個(gè)多項(xiàng)式減去3x2﹣5x+1，某同學(xué)由于大意，將減號(hào)抄成加號(hào)，得出結(jié)果是5x2+3x﹣7，這道題的正確結(jié)果是（）A．8x2﹣2x﹣6 B．14x2﹣12x﹣5 C．2x2+8x﹣8 D．﹣x2+13x﹣9【分析】根據(jù)整式的加減運(yùn)算先求出這個(gè)多項(xiàng)式，然后再根據(jù)題意列出算式即可求出答案．【解答】解：該多項(xiàng)式為：（5x2+3x﹣7）﹣（3x2﹣5x+1）＝5x2+3x﹣7﹣3x2+5x﹣1＝2x2+8x﹣8，∴正確結(jié)果為：（2x2+8x﹣8）﹣（3x2﹣5x+1）＝2x2+8x﹣8﹣3x2+5x﹣1＝﹣x2+13x﹣9，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的加減運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式4-2】（2022秋?離石區(qū)期末）小文在做多項(xiàng)式減法運(yùn)算時(shí)，將減去2a2+3a﹣5誤認(rèn)為是加上2a2+3a﹣5，求得的答案是a2+a﹣4（其他運(yùn)算無(wú)誤），那么正確的結(jié)果是（）A．﹣a2﹣2a+1 B．﹣3a2+a﹣4 C．a(chǎn)2+a﹣4 D．﹣3a2﹣5a+6【分析】直接利用整式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：設(shè)原多項(xiàng)式為A，則A+2a2+3a﹣5＝a2+a﹣4，故A＝a2+a﹣4﹣（2a2+3a﹣5）＝a2+a﹣4﹣2a2﹣3a+5＝﹣a2﹣2a+1，則﹣a2﹣2a+1﹣（2a2+3a﹣5）＝﹣a2﹣2a+1﹣2a2﹣3a+5＝﹣3a2﹣5a+6．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的加減，正確合并同類項(xiàng)是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（2022秋?渠縣校級(jí)期末）有一道題目是一個(gè)多項(xiàng)式A減去多項(xiàng)式2x2+5x﹣3，小胡同學(xué)將2x2+5x﹣3抄成了2x2+5x+3，計(jì)算結(jié)果是﹣x2+3x﹣7，這道題目的正確結(jié)果是（）A．x2+8x﹣4 B．﹣x2+3x﹣1 C．﹣3x2﹣x﹣7 D．x2+3x﹣7【分析】直接利用整式的加減運(yùn)算法則得出A，進(jìn)而利用整式的加減運(yùn)算法則得出這道題目的正確結(jié)果．【解答】解：由題意可得：A﹣（2x2+5x+3）＝﹣x2+3x﹣7，則A＝﹣x2+3x﹣7+2x2+5x+3＝x2+8x﹣4，故這道題目的正確結(jié)果是：x2+8x﹣4﹣（2x2+5x﹣3）＝x2+8x﹣4﹣2x2﹣5x+3＝﹣x2+3x﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的加減，正確合并同類項(xiàng)是解題關(guān)鍵．【變式4-4】馬小虎做一道題：“已知兩個(gè)多項(xiàng)式A、B，計(jì)算2A+B”．他誤將“2A+B”看成“A+2B，求得的結(jié)果為9x2+x﹣7．如果知道B＝x2﹣2x+6．（1）請(qǐng)根據(jù)現(xiàn)有條件求多項(xiàng)式A；（2）計(jì)算2A+B的正確答案．【分析】（1）根據(jù)題意，可知A＝（9x2+x﹣7）﹣2B，從而可以計(jì)算出多項(xiàng)式A；（2）根據(jù)（1）中求得的A和題目中的B，可以計(jì)算出2A+B的正確答案．【解答】解：（1）由題意可得，A＝（9x2+x﹣7）﹣2（x2﹣2x+6）＝9x2+x﹣7﹣2x2+4x﹣12＝7x2+5x﹣19，即多項(xiàng)式A為7x2+5x﹣19；（2）由（1）知A＝7x2+5x﹣19，∵B＝x2﹣2x+6，∴2A+B＝2（7x2+5x﹣19）+（x2﹣2x+6）＝14x2+10x﹣38+x2﹣2x+6＝15x2+8x﹣32，即2A+B的正確答案是15x2+8x﹣32．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的加減，解答本題的關(guān)鍵是明確整式加減的計(jì)算方法．【變式4-5】（2023?任丘市校級(jí)模擬）復(fù)習(xí)整式的運(yùn)算時(shí)，李老師在黑板上出了一道題：“已知A＝﹣x2+4x，B＝2x2+5x﹣4，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，求A+B的值．”（1）嘉嘉準(zhǔn)確的計(jì)算出了正確答案﹣18，淇淇由于看錯(cuò)了B式中的一次項(xiàng)系數(shù)，比正確答案的值多了16，問(wèn)淇淇把B式中的一次項(xiàng)系數(shù)看成了什么數(shù)？（2）小明把“x＝﹣2”看成了“x＝2”，在此時(shí)小明只是把x的值看錯(cuò)了，其余計(jì)算正確，那么小明的計(jì)算結(jié)果與嘉嘉的計(jì)算結(jié)果有什么關(guān)系？【分析】（1）設(shè)淇淇把B式中的一次項(xiàng)系數(shù)看成了m，根據(jù)題意得出A+B＝﹣2，然后把x＝﹣2代入即可求出m的值；（2）先計(jì)算A+B，然后把x＝2代入求值，從而作出判斷．【解答】解：（1）設(shè)淇淇把B式中的一次項(xiàng)系數(shù)看成了m，根據(jù)題意得：A+B＝﹣18+16＝﹣2，∴﹣x2+4x+2x2+mx﹣4＝﹣2，∴x2+（4+m）x﹣2＝0，把x＝﹣2代入得，4﹣8﹣2m﹣2＝0，解得m＝﹣3，∴淇淇把B式中的一次項(xiàng)系數(shù)看成了﹣3；（2）∵A＝﹣x2+4x，B＝2x2+5x﹣4，∴A+B＝﹣x2+4x+2x2+5x﹣4＝x2+9x﹣4當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝22+9×2﹣4＝18，∵18與﹣18互為相反數(shù)，∴小明的計(jì)算結(jié)果與嘉嘉的計(jì)算結(jié)果互為相反數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．題型五整式加減中與某個(gè)字母無(wú)關(guān)問(wèn)題題型五整式加減中與某個(gè)字母無(wú)關(guān)問(wèn)題【例題5】（2022秋?硚口區(qū)期末）已知M＝2a2﹣ab+b﹣1，M﹣3N＝a2+3ab+2b+1．若計(jì)算M﹣[2N﹣（M﹣N）]的結(jié)果與字母b無(wú)關(guān)，則a的值是．【分析】利用去括號(hào)的法則去掉括號(hào)后，合并同類項(xiàng)，將M，M﹣3N的值代入，再利用去括號(hào)的法則去掉括號(hào)后，合并同類項(xiàng)，令b的系數(shù)為0，得到關(guān)于a的方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】解：原式＝M﹣（2N﹣M+N）＝M﹣2N+M﹣N＝2M﹣3N，∵M(jìn)＝2a2﹣ab+b﹣1，M﹣3N＝a2+3ab+2b+1，∴原式＝M+M﹣3N＝2a2﹣ab+b﹣1+a2+3ab+2b+1＝3a2+2ab+3b，＝3a2+（2a+3）b，∵計(jì)算M﹣[2N﹣（M﹣N）]的結(jié)果與字母b無(wú)關(guān)，∴2a+3＝0，∴a=?3故答案為：?3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的加減與化簡(jiǎn)求值，利用去括號(hào)的法則去掉括號(hào)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉整式中“不含”與“無(wú)關(guān)”類問(wèn)題的求解方法：在整式的加減運(yùn)算的過(guò)程中，若涉及“不含某項(xiàng)”或“與某項(xiàng)無(wú)關(guān)”，其實(shí)質(zhì)是指合并同類項(xiàng)后“不含項(xiàng)”或“無(wú)關(guān)項(xiàng)”的系數(shù)為0.【變式5-1】（2022秋?長(zhǎng)沙期末）已知關(guān)于x，y的多項(xiàng)式mx2+2xy﹣x與3x2﹣2nxy+3y的差不含二次項(xiàng)，求nm的值（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【分析】先求出兩個(gè)多項(xiàng)式的差，再根據(jù)差不含二次項(xiàng)，二次項(xiàng)系數(shù)為0得出方程，即可得出答案．【解答】解：（mx2+2xy﹣x）﹣（3x2﹣2nxy+3y）＝mx2+2xy﹣x﹣3x2+2nxy﹣3y＝（m﹣3）x2+（2+2n）xy﹣x﹣3y，∵關(guān)于x，y的多項(xiàng)式mx2+2xy﹣x與3x2﹣2nxy+3y差不含二次項(xiàng)，∴m﹣3＝0，2+2n＝0，∴m＝3，n＝﹣1，∴nm＝（﹣1）3＝﹣1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的加減運(yùn)算，掌握合并同類項(xiàng)是關(guān)鍵．【變式5-2】（2022秋?平城區(qū)校級(jí)期末）若多項(xiàng)式2（x2﹣xy﹣3y）﹣（3x2﹣axy+y2）中不含xy項(xiàng)，則a的值為（）A．2 B．﹣2 C．0 D．1【分析】直接去括號(hào)進(jìn)而合并同類項(xiàng)，再利用xy項(xiàng)的系數(shù)為零得出答案．【解答】解：∵2（x2﹣xy﹣3y2）﹣（3x2﹣axy+y2）中不含xy項(xiàng)，∴2x2﹣2xy﹣6y2﹣3x2+axy﹣y2＝﹣x2﹣7y2+（a﹣2）xy，∴a﹣2＝0，解得：a＝2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的加減，正確合并同類項(xiàng)是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2022秋?漢壽縣期末）已知：關(guān)于x、y的多項(xiàng)式x2+ax﹣y+b與多項(xiàng)式bx2﹣3x+6y﹣3的和的值與字母x的取值無(wú)關(guān)，求代數(shù)式3（a2﹣2ab+b2）﹣[4a2﹣2（12a2+ab?32【分析】根據(jù)整式的運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：由題意可知：x2+ax﹣y+b+bx2﹣3x+6y﹣3＝（b+1）x2+（a﹣3）x+5y+b﹣3該多項(xiàng)式的值與x無(wú)關(guān)，所以b+1＝0，a﹣3＝0所以b＝﹣1，a＝3原式＝3a2﹣6ab+3b2﹣（3a2﹣2ab+3b2）＝3a2﹣6ab+3b2﹣3a2+2ab﹣3b2＝﹣4ab＝12【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式5-4】（2022秋?雁塔區(qū)校級(jí)期末）已知：A＝3x2+2xy+10y﹣1，B＝x2﹣xy．（1）計(jì)算：A﹣3B；（2）若A﹣3B的值與y的取值無(wú)關(guān)，求x的值．【分析】（1）列式，去括號(hào)，合并同類項(xiàng)即可；（2）與y無(wú)關(guān)的條件是y的系數(shù)為0即含有y的項(xiàng)為0即可．【解答】解：（1）A﹣3B＝（3x2+2xy+10y﹣1）﹣3（x2﹣xy）＝3x2+2xy+10y﹣1﹣3x2+3xy＝5xy+10y﹣1；（2）因?yàn)锳﹣3B＝5xy+10y﹣1＝（5x+10）y﹣1，∵A﹣3B的值與y的取值無(wú)關(guān)，∴5x+10＝0，∴x＝﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，整式的加減中的無(wú)關(guān)型計(jì)算，熟練掌握去括號(hào)的法則，明確整式的加減中的無(wú)關(guān)型計(jì)算的核心條件是解題的關(guān)鍵．【變式5-5】（2022秋?邗江區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x的代數(shù)式2x2?12bx2﹣y+6和ax+17x﹣5y﹣1的值都與字母（1）求a，b的值．（2）若A＝4a2﹣ab+4b2，B＝3a2﹣ab+3b2，求4A+[（2A﹣B）﹣3（A+B）]的值．【分析】（1）先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后根據(jù)代數(shù)式2x2?12bx2﹣y+6和ax+17x﹣5y﹣1的值都與字母x的取值無(wú)關(guān)得出關(guān)于a和（2）先將4A+[（2A﹣B）﹣3（A+B）]去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，再將A＝4a2﹣ab+4b2，B＝3a2﹣ab+3b2代入化簡(jiǎn)，然后將a與b的值代入計(jì)算即可．【解答】解：（1）2x2?12bx2﹣y+6＝（2?12b）x2﹣y+6，ax+17x﹣5y﹣1＝（a+17）∵關(guān)于x的代數(shù)式2x2?12bx2﹣y+6和ax+17x﹣5y﹣1的值都與字母∴2?12b＝0，∴a＝﹣17，b＝4．（2）4A+[（2A﹣B）﹣3（A+B）]＝4A+2A﹣B﹣3A﹣3B＝3A﹣4B，∵A＝4a2﹣ab+4b2，B＝3a2﹣ab+3b2，∴3A﹣4B＝3（4a2﹣ab+4b2）﹣4（3a2﹣ab+3b2）＝12a2﹣3ab+12b2﹣12a2+4ab﹣12b2＝ab，由（1）知a＝﹣17，b＝4，∴原式＝（﹣17）×4＝﹣68．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減﹣化簡(jiǎn)求值，熟練掌握整式的加減的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．題型六題型六整式加減與數(shù)軸、絕對(duì)值的結(jié)合【例題6】有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)|a|﹣|a﹣b|+|b﹣a|的結(jié)果是（）A．﹣3a+2b B．2b﹣a C．a(chǎn)﹣2b D．﹣a【分析】根據(jù)數(shù)軸可以判斷a，b，a﹣b，b﹣a的正負(fù)情況，從而可以把絕對(duì)值符號(hào)去掉，然后化簡(jiǎn)即可解答本題．【解答】解：根據(jù)題目中的數(shù)軸可得，a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，b﹣a＞0．∴|a|﹣|a﹣b|+|b﹣a|＝﹣a﹣（b﹣a）+（b﹣a）＝﹣a．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值、數(shù)軸和整式的加減，解題的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，判斷絕對(duì)值內(nèi)式子的值的正負(fù)．解題技巧提煉先由數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出絕對(duì)值里邊式子的正負(fù)，原式利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果．【變式6-1】已知a，b，c是三個(gè)有理數(shù)，他們?cè)跀?shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a﹣b|+|c﹣a|﹣|b+c|得（）A．2c﹣2b B．﹣2a C．2a D．﹣2b【分析】利用數(shù)軸結(jié)合a，b，c的位置，進(jìn)而去絕對(duì)值，再合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：如圖所示：a﹣b＞0，c﹣a＜0，b+c＜0，則|a﹣b|+|c﹣a|﹣|b+c|＝a﹣b﹣c+a+b+c＝2a．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)以及合并同類項(xiàng)法則，正確絕對(duì)值是解題關(guān)鍵．【變式6-2】有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖，則|c﹣a|﹣|a+b|+|b﹣c|的值為（）A．0 B．2a﹣2c+2b C．﹣2c D．2a【分析】由數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出絕對(duì)值里邊式子的正負(fù)，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：b＜c＜0＜a，且|a|＜|b|，則c﹣a＜0，a+b＜0，b﹣c＜0，則|c﹣a|﹣|a+b|+|b﹣c|＝a﹣c+a+b+c﹣b＝2a．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的加減，數(shù)軸，以及絕對(duì)值，涉及的知識(shí)有：去括號(hào)法則，以及合并同類項(xiàng)法則，熟練掌握法則是解本題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022秋?黔南州期中）如圖，數(shù)軸上的三點(diǎn)A、B、C分別表示有理數(shù)a、b、c，則（1）b﹣a0，a﹣c0，b+c0（用“＞”“＜”或“＝”填空）．（2）化簡(jiǎn)：|b﹣a|﹣|a﹣c|+|b+c|【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)即可判斷a、b、c的大小關(guān)系，根據(jù)有理數(shù)的加法法則判斷符號(hào)；（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)即可去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：（1）根據(jù)數(shù)軸可得b＜a，a＞c，c＜b＜0．則b﹣a＜0，a﹣c＞0，b+c＜0．故答案為：＜，＞，＜；（2）原式＝a﹣b﹣（a﹣c）﹣（b+c）＝a﹣b﹣a+c﹣b﹣c＝﹣2b．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用數(shù)軸比較數(shù)的大小，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)，以及絕對(duì)值的性質(zhì)，正確根據(jù)性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)是關(guān)鍵．【變式6-4】（2022秋?大安市期中）數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示且|a|＝|c|；化簡(jiǎn)：|a+c|+|2b|﹣|b﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|．【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出絕對(duì)值里邊式子的正負(fù)，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸得：c＜b＜0＜a，且|a|＝|c|＞|b|，所以a+c＝0，b﹣a＜0，c﹣b＜0，a+b＞0，則原式＝0﹣2b+b﹣a+c﹣b+a+b＝﹣b+c．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的加減，數(shù)軸，以及絕對(duì)值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式6-5】數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示且|a|＝|c|；（1）求：a+c與ca（2）化簡(jiǎn)：|a﹣c|﹣|b﹣a|+|a+c|．【分析】（1）由題意得到a與c互為相反數(shù)，利用相反數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）由數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出絕對(duì)值里邊式子的正負(fù)，原式利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）由數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：a與c互為相反數(shù)，則a+c＝0，ca（2）由數(shù)軸得：c＜b＜0＜a，∴a﹣c＞0，b﹣a＜0，a+c＝0，則原式＝a﹣c+b﹣a＝b﹣c．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．題型七利用整式加減解決數(shù)學(xué)問(wèn)題題型七利用整式加減解決數(shù)學(xué)問(wèn)題【例題7】一個(gè)三位數(shù)M，百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為c．（1）用含a、b、c的式子表示這個(gè)數(shù)M為．（2）現(xiàn)在交換百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，得到一個(gè)新的三位數(shù)N，請(qǐng)用含a、b、c的式子表示這個(gè)數(shù)N為．（3）請(qǐng)用含a、b、c的式子表示N﹣M，并回答N﹣M能被11整除嗎？【分析】（1）根據(jù)百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字是c表示出M即可；（2）同（1）可表示出N；（3）列出整式相加減的式子，再合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：（1）M為：100a+10b+c；故答案為：100a+10b+c；（2）N為：100c+10b+a；故答案為：100c+10b+a；（3）∵N﹣M＝（100c+10b+a）﹣（100a+10b+c）＝99c﹣99a＝99（c﹣a）．∴N﹣M能被11整除．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是整式的加減，熟知整式的加減實(shí)質(zhì)上就是合并同類項(xiàng)是解答此題的關(guān)鍵．解題技巧提煉根據(jù)方框在日歷中的不同位置尋找規(guī)律，并利用規(guī)律求值；解決本題的難點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)日歷中左右相鄰的數(shù)相隔1，上下相鄰的數(shù)相隔7．【變式7-1】（2023?豐潤(rùn)區(qū)二模）一個(gè)三位數(shù)，若它的十位數(shù)字等于個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字的和，那么稱這個(gè)三位數(shù)為“和諧數(shù)”．（1）最小的三位“和諧數(shù)”是，最大的三位“和諧數(shù)”是；（2）若一個(gè)“和諧數(shù)”的個(gè)位數(shù)字為a（a≥0），十位數(shù)字為b（b≥1，b＞a且a、b都是自然數(shù)），請(qǐng)用含a，b的代數(shù)式表示該“和諧數(shù)”；（3）判斷任意一個(gè)三位“和諧數(shù)”能否被11整除，若能，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不能，請(qǐng)舉出反例．【分析】（1）設(shè)個(gè)位數(shù)字為x（x≥0），百位數(shù)字為y（y＞0），則十位數(shù)字為x+y，則“和諧數(shù)”為：100y+10（x+y）+x＝110y+11x，由此可得結(jié)論；（2）按題意列代數(shù)式即可；（3）由110y+11x＝11（10y+x）可得結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)個(gè)位數(shù)字為x（x≥0），百位數(shù)字為y（y＞0），則十位數(shù)字為x+y，∴“和諧數(shù)”為：100y+10（x+y）+x＝110y+11x，當(dāng)x＝0，y＝1時(shí)，有最小的三位“和諧數(shù)”是110，當(dāng)x＝0，y＝9時(shí)，有最大的三位“和諧數(shù)”是990，故答案為：110，990；（2）100（b﹣a）+10b+a＝100b﹣100a+10b+a＝110b﹣99a，∴該“和諧數(shù)”為：110b﹣99a；（3）能，理由：由（1）得“和諧數(shù)”為：100y+10（x+y）+x＝110y+11x，∵110y+11x＝11（10y+x），∴任意一個(gè)三位“和諧數(shù)”能被11整除．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新定義問(wèn)題，涉及到列代數(shù)式、整式加減等問(wèn)題，正確理解新定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022秋?雄縣期中）如圖1，圖2是某月的日歷．（1）如圖1，小明用帶陰影的長(zhǎng)方形圍住9個(gè)數(shù)字．①若設(shè)長(zhǎng)方形圍住的左上角的第一個(gè)數(shù)為x，則長(zhǎng)方形圍住的右下角的第9個(gè)數(shù)為（用含x的式子表示）；此時(shí)這9個(gè)數(shù)的和為（用含x的式子表示）；②若設(shè)長(zhǎng)方形圍住的正中間的數(shù)為a，請(qǐng)你試猜想圍住的9個(gè)數(shù)之和與其正中間的數(shù)有什么關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若圍住的數(shù)字由長(zhǎng)方形中9個(gè)數(shù)字變成如圖2所示的帶陰影的數(shù)字，試判斷是否還滿足②中的結(jié)論，并說(shuō)明理由．【分析】（1）①根據(jù)右邊的數(shù)字總比左邊的數(shù)字大1，下面的數(shù)字比上面的數(shù)字大7進(jìn)行表示即可，將9個(gè)數(shù)字相加合并同類項(xiàng)即可解答；②根據(jù)正中間的數(shù)為a，分別表示出其余8個(gè)數(shù)，再求和，即可求解；（2）設(shè)中間一行的中間數(shù)為m，分別表示出其余數(shù)字，進(jìn)行求和即可解答．【解答】解：（1）①設(shè)長(zhǎng)方形圍住的左上角的第一個(gè)數(shù)為x，則第一行的三個(gè)數(shù)字分別表示為：x，x+1，x+2，第二行的三個(gè)數(shù)字分別表示為：x+7，x+8，x+9，第三行的三個(gè)數(shù)字分別表示為：x+14，x+15，x+16，九個(gè)數(shù)的和為：x+x+1+x+2+x+7+x+8+x+9+x+14+x+15+x+16＝9x+72，故答案為：x+16；9x+72；②圍住的9個(gè)數(shù)之和是其正中間的數(shù)的9倍；理由：因?yàn)殚L(zhǎng)方形圍住的正中間的數(shù)為a，則上面一行數(shù)為a﹣8，a﹣7，a﹣6，中間一行數(shù)為a﹣1，a，a+1，下面一行數(shù)為a+6，a+7，a+8，圍住的9個(gè)數(shù)之和為（a﹣8）+（a﹣7）+（a﹣6）+（a﹣1）+a+（a+1）+（a+6）+（a+7）+（a+8）＝9a，所以圍住的9個(gè)數(shù)之和是其正中間的數(shù)的9倍；（2）滿足；理由：設(shè)中間一行的中間數(shù)為m，則上面一行數(shù)為m﹣7，m﹣6，m﹣5，中間一行數(shù)為m﹣1m，m+1，下面一行數(shù)為m+5，m+6，m+7，則陰影的9個(gè)數(shù)之和是（m﹣7）+（m﹣6）+（m﹣5）+（m﹣1）+m+（m+1）+（m+5）+（m+6）+（m+7）＝9m．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了列代數(shù)式，難度不大，弄清日歷橫行相鄰數(shù)相差1，豎列相鄰兩數(shù)相差7，發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022秋?東城區(qū)校級(jí)期中）如圖1是2022年2月的日歷表：（1）在圖1中用優(yōu)美的“”U形框框住五個(gè)數(shù)，其中最小的數(shù)為1，則U形框中的五個(gè)數(shù)字之和為；（2）在圖1中將U形框上下左右移動(dòng)，框住日歷表中的5個(gè)數(shù)字，設(shè)最小的數(shù)字為x，用代數(shù)式表示U形框框住的五個(gè)數(shù)字之和為；（3）在圖1中移動(dòng)U形框的位置，若U形框框住的五個(gè)數(shù)字之和為53，則這五個(gè)數(shù)字從小到大依次為；（4）在圖1日歷表的基礎(chǔ)上，繼續(xù)將連續(xù)的自然數(shù)排列成如圖2的數(shù)表，在圖2中U形框框住的5個(gè)數(shù)字之和能等于2023嗎？若能，分別寫(xiě)出U形框框住的5個(gè)數(shù)字；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）將五個(gè)數(shù)字直接相加即可；（2）由圖可知，在U形框中，最小的數(shù)在左上角，上下相鄰的數(shù)：上面的數(shù)比下面的數(shù)少7，左右相鄰的數(shù)：右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大2，最下方的數(shù)為最小的數(shù)加上15，根據(jù)此規(guī)律即可列出代數(shù)式；（3）根據(jù)（2）中得出的代數(shù)式，U形框框住的五個(gè)數(shù)字之和為53，算出x即可解答；（4）根據(jù)（2）中得出的代數(shù)式，U形框框住的五個(gè)數(shù)字之和等于2023，算出x，再根據(jù)圖中的規(guī)律寫(xiě)出這五個(gè)數(shù)字即可．【解答】解：（1）1+8+3+10+16＝38，故答案為：38；（2）由圖可知，在U形框中，最小的數(shù)在左上角，上下相鄰的數(shù)：上面的數(shù)比下面的數(shù)少7，左右相鄰的數(shù)：右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大2，最下方的數(shù)為最小的數(shù)加上15，則U形框框住的五個(gè)數(shù)字之和為：x+x+2+x+7+x+9+x+15＝5x+33，故答案為：5x+33；（3）∵U形框框住的五個(gè)數(shù)字之和為53，∴5x+33＝53，解得：x＝4，∴這五個(gè)數(shù)字從小到大依次為4，6，11，13，19，故答案為：4，6，11，13，19；（4）U形框框住的五個(gè)數(shù)字之和等于2023，則5x+33＝2023，解得：x＝398，由圖可推出398在第七列，∴不能框?。军c(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程的應(yīng)用和列代數(shù)式，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于找出題目中數(shù)字排列的規(guī)律，根據(jù)這個(gè)規(guī)律寫(xiě)出式子解決問(wèn)題．【變式7-4】（2022秋?大豐區(qū)校級(jí)月考）生活與數(shù)學(xué)．（1）吉姆同學(xué)在某月的日歷上圈出2×2個(gè)數(shù)，正方形的方框內(nèi)四個(gè)數(shù)的和是32，則第一個(gè)數(shù)是；（2）瑪麗也在上面的日歷上圈出2×2個(gè)數(shù)，斜框內(nèi)的四個(gè)數(shù)的和是42，則它們分別是；（3）莉莉也在日歷上圈出5個(gè)數(shù)，呈十字框形，它們的和是50，則中間的數(shù)是；（4）某月有5個(gè)星期日的和是75，則這個(gè)月中最后一個(gè)星期日是號(hào)；（5）若干個(gè)偶數(shù)按每行8個(gè)數(shù)排成圖4：①圖中方框內(nèi)的9個(gè)數(shù)的和與中間的數(shù)有什么關(guān)系；②湯姆所畫(huà)的斜框內(nèi)9個(gè)數(shù)的和為360，則斜框的中間一個(gè)數(shù)是．【分析】（1）先根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律，設(shè)第一個(gè)數(shù)是x，其他的數(shù)為x+1，x+7，x+8，用一元一次方程求解即可；（2）根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律，設(shè)第一個(gè)數(shù)是x，其他的數(shù)為x+1，x+6，x+7，用一元一次方程求解即可；（3）根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律，設(shè)中間的數(shù)是x，根據(jù)5個(gè)數(shù)的和是50列方程即可；（4）根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律，設(shè)最后一個(gè)星期日是x，則其他的星期日為x﹣7，x﹣14，x﹣21，x﹣28，用一元一次方程求解即可；（5）①通過(guò)計(jì)算可以得出結(jié)論；②根據(jù)①的規(guī)律，設(shè)中間的數(shù)是x，列方程求解即可．【解答】解：（1）設(shè)第一個(gè)數(shù)是x，其他的數(shù)為x+1，x+7，x+8，則x+x+1+x+7+x+8＝32，解得x＝4，故答案為：4；（2）設(shè)第一個(gè)數(shù)是x，其他的數(shù)為x+1，x+6，x+7，則x+x+1+x+6+x+7＝42，解得x＝7，則x+1＝8，x+6＝13，x+7＝14，故答案為：7，8，13，14；（3）設(shè)中間的數(shù)是x，則5x＝50，解得x＝10，故答案為：10；（4）設(shè)最后一個(gè)星期日是x，則其他的星期日為x﹣7，x﹣14，x﹣21，x﹣28，則x+x﹣7+x﹣14+x﹣21+x﹣28＝75，解得x＝29，故答案為：29；（5）①2+4+6+18+20+22+34+36+38＝180＝9×20，故答案為：9個(gè)數(shù)的和是中間的數(shù)的9倍；②根據(jù)規(guī)律可知，和是中間的數(shù)的9倍，設(shè)中間的數(shù)是x，則9x＝360，解得x＝40，故答案為：40．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了元一次方程的應(yīng)用和數(shù)字變化的規(guī)律，關(guān)鍵是找出規(guī)律，列方程．題型八利用整式加減進(jìn)行新定義運(yùn)算題型八利用整式加減進(jìn)行新定義運(yùn)算【例題8】閱讀材料：對(duì)于任何數(shù)，我們規(guī)定符號(hào)abcd的意義是ab例如：12（1）按照這個(gè)規(guī)定，請(qǐng)你計(jì)算1?2（2）按照這個(gè)規(guī)定，請(qǐng)你化簡(jiǎn)?3x【分析】（1）根據(jù)定義即可求出答案．（2）根據(jù)定義以及整式的運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：（1）13＝﹣1+6＝5．（2）?3x＝2（﹣3x2+y）﹣3（x2+y）＝﹣6x2+2y﹣3x2﹣3y＝﹣9x2﹣y．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．解題技巧提煉將多項(xiàng)式作為整體代入新定義的運(yùn)算中，切記將多項(xiàng)式要用括號(hào)括起來(lái)，再去括號(hào)．【變式8-1】（1）先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)x=?12，y＝﹣3時(shí)，求代數(shù)式3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（xy+（2）我們定義一種新運(yùn)算：a*b＝a2﹣b+ab．①求2*（﹣3）的值；②求（﹣2）*[2*（﹣3）]的值．【分析】（1）先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)得到最簡(jiǎn)結(jié)果，將x，y的值代入求解即可．（2）①根據(jù)新運(yùn)算可知，2*（﹣3）＝22﹣（﹣3）+2×（﹣3），即可得出答案．②由①可得2*（﹣3）的值，再根據(jù)新運(yùn)算求（﹣2）*[2*（﹣3）]即可．【解答】解：（1）原式＝3x2﹣6xy﹣3x2+2y﹣2xy﹣2y＝﹣8xy．當(dāng)x=?12，y＝﹣3時(shí)，原式＝﹣8×（（2）①2*（﹣3）＝22﹣（﹣3）+2×（﹣3）＝4+3﹣6＝1．②由①可得2*（﹣3）＝1，∴（﹣2）*1＝（﹣2）2﹣1+（﹣2）×1＝4﹣1﹣2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的加減﹣化簡(jiǎn)求值、有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解題目定義的新運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022秋?東臺(tái)市期中）閱讀材料：對(duì)于任何數(shù)，我們規(guī)定符號(hào)abcd的意義為abcd（1）按此規(guī)定，計(jì)算2?5（2）按此規(guī)定，當(dāng)|x﹣y﹣3|+|xy+1|＝0時(shí)，計(jì)算x1?2x【分析】（1）根據(jù)abcd=（2）根據(jù)|x﹣y﹣3|+|xy+1|＝0，可以得到x﹣y﹣3＝0，xy+1＝0，從而可以得到x﹣y＝3，xy＝﹣1，然后將所求式子化簡(jiǎn)，再將x﹣y和xy的值代入計(jì)算即可．【解答】解：（1）2＝2×4﹣（﹣5）×3＝8+15＝23；（2）∵|x﹣y﹣3|+|xy+1|＝0，∴x﹣y﹣3＝0，xy+1＝0，∴x﹣y＝3，xy＝﹣1，∴x＝x（y+1）﹣（1﹣2x）y＝xy+x﹣y+2xy＝3xy+（x﹣y）＝3×（﹣1）+3＝﹣3+3＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會(huì)用新定義解答問(wèn)題．【變式8-3】（2022秋?防城區(qū)期中）閱讀材料：對(duì)于任何數(shù)，我們規(guī)定符號(hào)ab是abcd例如：12（1）按照這個(gè)規(guī)定，請(qǐng)你計(jì)算65（2）按照這個(gè)規(guī)定，請(qǐng)你計(jì)算當(dāng)|x+y﹣2|+（xy+1）2＝0時(shí)，12xy+3y【分析】（1）利用題中的新定義計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x+y與xy的值，原式利用題中新定義變形，把x+y與xy的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：65＝18﹣10＝8；（2）∵|x+y﹣2|+（xy+1）2＝0，∴x+y＝2，xy＝﹣1，則原式＝1×（3x﹣1）﹣（﹣1）×（2xy+3y）＝3x﹣1+2xy+3y＝3（x+y）+2xy﹣1＝3×2+2×（﹣1）﹣1＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減﹣化簡(jiǎn)求值，掌握運(yùn)算法則是關(guān)鍵．【變式8-4】（2022秋?錦江區(qū)校級(jí)期中）閱讀材料：對(duì)于任何數(shù)，我們規(guī)定符號(hào)的意義是＝ad﹣bc，例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2．（1）按照這個(gè)規(guī)定，試計(jì)算的值．（2）按照這個(gè)規(guī)定，請(qǐng)你計(jì)算當(dāng)|x+y+5|+（xy﹣2）2＝0時(shí)，求的值．【分析】（1）原式利用題中的新定義化簡(jiǎn)即可求出值；（2）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x+y與xy的值，原式化簡(jiǎn)后代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：﹣5×8﹣（﹣2）×6＝﹣40+12＝﹣28；（2）∵|x+y+5|+（xy﹣2）2＝0，∴x+y＝﹣5，xy＝2，則原式＝（6x+1）﹣（﹣3）（8xy+2y）＝6x+1+24xy+6y＝6（x+y）+24xy+1＝﹣30+48+1＝19．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的加減﹣化簡(jiǎn)求值，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式8-5】（2022秋?北京期末）我們規(guī)定：使得a﹣b＝2ab成立的一對(duì)數(shù)a，b為“有趣數(shù)對(duì)”，記為（a，b）．例如，因?yàn)?﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以數(shù)對(duì)（2，0.4），（﹣1，1）都是“有趣數(shù)對(duì)”．（1）數(shù)對(duì)（1，13），（1.5，3），（?12（2）若（k，﹣3）是“有趣數(shù)對(duì)”，求k的值；（3）若（m，n）是“有趣數(shù)對(duì)”，求代數(shù)式8[3mn?12m﹣2（mn﹣1）]﹣4（3m2﹣n）+12m【分析】（1）利用“有趣數(shù)對(duì)”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）利用“有趣數(shù)對(duì)”的定義列出方程，解方程即可得出結(jié)論；（3）先將代數(shù)式化簡(jiǎn)，再利用“有趣數(shù)對(duì)”的定義得出m，n的關(guān)系式，最后利用整體代入的方法化簡(jiǎn)運(yùn)算即可．【解答】解：（1）∵1?13=∴1?13=∴數(shù)對(duì)（1，13∵1.5﹣3＝﹣1.5，2×1.5×3＝9，∴1.5﹣3≠2×1.5×3，∴數(shù)對(duì)（1.5，3）不是“有趣數(shù)對(duì)”；∵?12?（﹣1）=∴?12?∴數(shù)對(duì)（?1綜上，是“有趣數(shù)對(duì)”的是（1，13故答案為：（1，13（2）∵（k，﹣3）是“有趣數(shù)對(duì)”，∴k﹣（﹣3）＝2×k×（﹣3），∴k+3＝﹣6k，∴7k＝﹣3，∴k=?3（3）8[3mn?12m﹣2（mn﹣1）]﹣4（3m2﹣n）+12＝8（3mn?12m﹣2mn+2）﹣12m2+4n+12＝24mn﹣4m﹣16mn+16﹣12m2+4n+12m2＝8mn﹣4m+4n+16，∵（m，n）是“有趣數(shù)對(duì)”，∴m﹣n＝2mn．∴原式＝8mn﹣4（m﹣n）+16＝8mn﹣4×2mn+16＝8mn﹣8mn+16＝16．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，整式的加減與化簡(jiǎn)求值，本題是閱讀型題目，理解新定義并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．題型九運(yùn)用整式的加減解決實(shí)際問(wèn)題題型九運(yùn)用整式的加減解決實(shí)際問(wèn)題【例題9】長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)等于3a+2b，另一邊比它大a﹣b，那么這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是（）A．14a+6b B．7a+3b C．10a+10b D．12a+8b【分析】首先求出長(zhǎng)方形的另一邊長(zhǎng)，然后根據(jù)周長(zhǎng)公式得出結(jié)果．【解答】解：由題意知，長(zhǎng)方形的另一邊長(zhǎng)等于（3a+2b）+（a﹣b）＝3a+2b+a﹣b＝4a+b，所以這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是2（3a+2b+4a+b）＝2（7a+3b）＝14a+6b．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是長(zhǎng)與寬的和的2倍．注意整式的加減運(yùn)算實(shí)際上就是去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，這是各地中考的常考點(diǎn)．解題技巧提煉有關(guān)整式加減的實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)先根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，正確列出關(guān)系式，再按照整式加減的運(yùn)算法則計(jì)算出最后的結(jié)果.【變式9-1】（2023?泰山區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）老師在黑板上書(shū)寫(xiě)了一個(gè)正確的演算過(guò)程，隨后用手掌捂住了一個(gè)多項(xiàng)式，形式如﹣（2x2﹣2x+1）＝﹣x2﹣4x﹣3：則所捂住的多項(xiàng)式是．【分析】根據(jù)整式的加減法則