第1章三角形的證明 期末復(fù)習(xí)綜合練習(xí)題 2023-2024學(xué)年北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

2023-2024學(xué)年北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《第1章三角形的證明》期末復(fù)習(xí)綜合練習(xí)題（附答案）一、單選題1．等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4cm，另一邊長(zhǎng)為2cm，則它的周長(zhǎng)為（

A．6cm B．8cm C．10cm D．2．在△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，那么△ABC的面積為（）A．12 B．6 C．152 D．3．如圖，AP平分∠BAC，PD⊥AC于點(diǎn)D，若PD=6，則P到AB的距離是（

）A．4 B．5 C．6 D．74．如圖，直線m∥n，以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧交直線m于另一點(diǎn)C，若∠1=50°，則∠2的度數(shù)為（A．50° B．55° C．60° D．65°5．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A=48°，∠ECF=28°，則∠ADB的度數(shù)為（

）A．152° B．132° C．124° D．104°6．如圖，在△ABC中，AD垂直平分BC，在△ACF中，CE垂直平分AF，若CF=5，CD=4，則△ABC的周長(zhǎng)為（

）A．24 B．20 C．18 D．167．如圖，點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，AC⊥BC，∠BAC=∠PAQ=60°，AC=2，連接CQ．當(dāng)AQ=AP時(shí)，線段CQ的最小值為（

）A．12 B．1 C．328．如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P為CD上的動(dòng)點(diǎn)，則PA?PB的最大值為（

）

A．4 B．5 C．6 D．8二、填空題9．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ACD=110°，則∠B=．10．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，那么這個(gè)等腰三角形的頂角為度．11．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB=3，AD=4，BC=12，CD=13，∠A=90°，則四邊形ABCD面積是．

12．如圖，在△ABC中，∠A=90°，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于12BC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)；作直線MN交AB于點(diǎn)E．若AB=16，AC=8，則BE長(zhǎng)為13．如圖，四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=3，BD=5，連接BD，BD⊥CD，垂足為D，∠ADB=∠C，P是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DP的最小值是．14．如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為7，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是邊AC的中點(diǎn)．當(dāng)△ECF的周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，∠EFC的度數(shù)為．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作DE⊥AB交AC邊于點(diǎn)D，將∠A沿直線DE翻折，點(diǎn)A落在線段AB上的F處，連接FC，當(dāng)△BCF

16．如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線PQ與△ABC的外角平分線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E．若BC=8，AC=4．則CE的長(zhǎng)度是．三、解答題17．如圖，已知△ABC．(1)用直尺和圓規(guī)作圖，在BC邊上作出一點(diǎn)P，使PA=PB；(2)連接AP，若AP=AC，∠B=25°，求18．如圖，點(diǎn)E在△ABC邊AC上，AE=BC，BC∥AD，∠BAC=∠ADE．(1)求證：△ABC≌△DEA；(2)若∠CAD=30°，求∠BCD的度數(shù)．19．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，DF⊥AB，垂足為點(diǎn)F．(1)求證：BE=DE；(2)若DE=2，DF=3，求BD20．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，DM，EN分別垂直平分AB，AC，交線段BC于M，N，DM，(1)求∠MAN的度數(shù)；(2)證明：OF⊥BC；(3)連接OA，若△AMN的周長(zhǎng)為12，求OA的最小值．21．綜合與實(shí)踐：【問(wèn)題情景】綜合與實(shí)踐課上，王老師讓同學(xué)們以“共頂點(diǎn)的等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．【實(shí)踐操作】王老師讓同學(xué)們先畫出兩個(gè)等邊△ABC和△ADE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到某一位置，要求同學(xué)們觀察圖形，提出問(wèn)題并加以解決．（1）如圖①，“慎思組”的同學(xué)們連接BE、CD，BE與CD的數(shù)量關(guān)系是；∠ADC與∠AEB的數(shù)量關(guān)系是；∠EFD的度數(shù)是度．（2）如圖②，得知“慎思組”的結(jié)論后，“博學(xué)組”的同學(xué)們又連接BD，他們認(rèn)為，如果CD⊥AE，且AE=3,CD=4，就可以求出BD的長(zhǎng)，請(qǐng)寫出求解過(guò)程．【類比探究】（3）如圖③，“智慧組”的同學(xué)們畫出了兩個(gè)等腰直角△ABC和△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE；且點(diǎn)C恰好落在DE上，那么CD、CE和BC之間一定存在某種數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你探究后直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系．參考答案1．解：當(dāng)邊長(zhǎng)為2cm的邊為腰時(shí)，則等腰三角形的三邊分別為2cm，2cm∵2+2=4，∴此時(shí)不能組成三角形，不符合題意；當(dāng)邊長(zhǎng)為2cm的邊為底時(shí)，則等腰三角形的三邊分別為2cm，4cm，∵2+4>4，∴此時(shí)能組成三角形，∴該等腰三角形的周長(zhǎng)為2+4+4=10cm故選：C．2．解：在△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，∵32∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面積=1故選：B．3．解：∵AP平分∠BAC，PD⊥AC于點(diǎn)D，∴P到AB的距離即為PD，∵PD=6，∴P到AB的距離為6，故選：C．4．解：由作圖可知：AB=CB，∴∠BAC=∠BCA=1∵m∥∴∠2=∠BAC故選D．5．解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵EF是BC的垂直平分線，∴FB=FC，∠ECF=∠DBC，∴∠ABD=∠DBC=∠ECF，∵∠ECF=28°，∴∠ABD=∠DBC=28°，∵∠A=48°，∴∠A+∠ABD+∠ADB=180°，∴48°+28°+∠ADB=180°，∴∠ADB=104°．故選：D．6．解：∵CE垂直平分AF，CF=5∴AC=CF=5∵AD垂直平分BC，∴AB=AC=5，CD=BD=4∴△ABC的周長(zhǎng)為AC+AB+CD+BD=5+5+4+4=18．故選：C．7．解：如圖：在AB上取一點(diǎn)E，使AE=AC=2，連接PE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，∵∠BAC=∠PAQ=60°，AQ=AP，∴∠B=30°，∴∠EAC=60°，∴∠PAQ=∠EAC，∴∠EAP=∠CAQ，又∵AE=AC，AQ=AP，∴△CAQ≌△EAP，∴CQ=EP，要使CQ最小，則有PE最小，而點(diǎn)E是定點(diǎn)，點(diǎn)P是BC上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)EF⊥BC（點(diǎn)P和點(diǎn)F重合）時(shí)，PE最小，即點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，CQ最小，最小值為EF的長(zhǎng)度，在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=2∴AB=4，∵AE=AC=2，∴BE=AB?AE=2，在Rt△BFE中，∠B=30°∴EF=12BE=1故選：B．8．解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，連接CE、PE；

由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可知：PB=PE，BC=CE，∠PCE=∠BCD=15°∴PA?PB即：當(dāng)P、E、A三點(diǎn)共線時(shí)，PA?PB∵△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4∴∠ACB=90°，CE=BC=AC=4∴∠ACE=∠ACB?(∠BCD+∠PCE)=60°∴△ACE是等邊三角形∴AE=AC=4即：PA?PB的最大值為4故選：A．9．解：∵∠ACD=110°∴∠ACB=180°?110°=70°∵AB=AC∴∠B=∠ACB=70°．故答案為：70°．10．解：根據(jù)題意得：AB=AC，BD⊥AC，如圖（1），∠ABD=40°，則∠A=50°，如圖（2），∠ABD=40°，∴∠BAD=50°，∴∠BAC=180°?50°=130°．故這個(gè)等腰三角形的頂角是：50°或130°．故答案為：50或13011．解：如圖，連接BD，

由勾股定理得，BD=A∵52∴BD∴△BCD是直角三角形，∠CBD=90°，∴S四邊形故答案為：36．12．解：連接CE，根據(jù)作圖痕跡得MN垂直平分BC，∴BE=CE，∵AB=16，AC=8，∴在Rt△ACE中，AE=16?BE則由勾股定理得AE2+A解得BE=10，故答案為：10．13．解：∵∠A=90°，AB=3，BD=5，∴AD=B∵BD⊥CD，∠ADB=∠C，∴∠C+∠DBC=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠CBD，∵P是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)DP⊥BC時(shí)，DP最小，∵∠ABD=∠CBD，DP⊥BC，∠A=90°，∴DP=AD=4；故答案為：4．14．解：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，∴∠CAD=1∵E是邊AC的中點(diǎn)，∴AE=CE，在AB上取點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接CE'交AD于點(diǎn)F則EF=FE由對(duì)稱性知，AE∴CE∴CF+EF=CF+FE'=C∵∠ACE∴∠AFC=180°?∠CAD?∠ACE∴∠CFE=1故答案為：60°．15．解：由翻折變換的性質(zhì)得：AE=EF，∵∠ACB=90°，∴AB=4設(shè)AE=EF=x，則BF=5?2x．分三種情況討論：①當(dāng)BF=BC時(shí)，5?2x=3，解得：x=1，∴AE=1；②當(dāng)BF=CF時(shí)，F(xiàn)在BC的垂直平分線上，∴F為AB的中點(diǎn)，∴AF=BF，∴x+x=5?2x，解得：x=5∴AE=5③當(dāng)CF=BC時(shí)，作CG⊥AB于G，如圖：

則BG=FG=1∵∴CG=12在Rt△BGC中，B∴5?2x解得：x=∴AE=7綜上所述，當(dāng)△BCF為等腰三角形時(shí)，AE的長(zhǎng)為1或54或7故答案為：1或54或716．解：連接AP,BP，∵CP平分∠DCE，PD⊥BC，PE⊥AC，∴PD=PE，在Rt△CPD和RtCP=CPPD=PE∴Rt△CPD≌∴CD=CE，∵PQ是AB的垂直平分線，∴AP=BP，在Rt△APE和RtAP=BPPD=PE∴Rt△APE≌∴AE=BD，∴CE=AE?AC=BD?AC=BC?CD整理得：2CE=BC?AC=8?4=4，∴CE=2，故答案為：2．17．（1）解：如圖：點(diǎn)P即為所求；（2）解：∵AP=AC，∴∠C=∠APC，∴∠C=∠APC=∠B+∠BAP=50°，∴∠PAC=180°?∠C?∠APC=80°，∴∠BAC=∠CAP+∠BAP=80°+25°=105°．18．（1）證明：∵BC∥∴∠ACB=∠DAE．在△ABC和△DEA中，∵∠ACB=∠DAE∠BAC=∠ADE∴△ABC≌△DEAAAS（2）解：由（1）知△ABC≌△DEAAAS∴AC=AD，∠ACB=∠CAD=30°，∴∠ACD=∠ADC=180°?∠CAD∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=30°+75°=105°．∴∠BCD=105°．19．（1）證明：BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵DE∥AB，∴∠EDB=∠ABD，∴∠CBD=∠EDB，∴DE=EB；（2）∵∠C=90°，∴DC⊥BC，又∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DF⊥AB，∴CD=DF=3在Rt△CDE中，CE=∵DE=BE=2，∴BC=CE+EB=3，在Rt△CDB中，BD=20．（1）解：∵DM,EN分別垂直平分AB,AC，∴AM=BM，AN=CN，∴∠B=∠BAM，∠C=∠CAN，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠B+∠C=180°?∠BAC=180°?120°=60°．∴∠BAM+∠CAN=60°．又∵∠BAM+∠CAN+∠MAN=∠BAC，∴∠MAN=∠BAC?60°=120°?60°=60°．（2）連接AF,BF,CF．∵DM,EN分別垂直平分AB,AC，∴AF=BF，AF=CF．∴BF=CF．∴F在線段BC的垂直平分線上．又∵點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∴OF⊥BC．（3）∵△AMN的周長(zhǎng)為12，∴AM+AN+MN=12．由（1）知，AM=BM，AN=CN．∴BM+MN+CN=12．即BC=12．在四邊形ADFE中，∠ADF+∠DAE+∠AEF+∠DFE=360°，∵∠ADF=∠AEF=90°，∠DAE=120°，∴∠DFE=360°?90°?90°?120°=60°．即∠AFD+∠AFE=60°．∵AF=BF，F(xiàn)D⊥AB，∴∠BFD=∠AFD．同理，∠CFE=∠AFE．則∠BFC=∠BFD+∠AFD+∠AFE+∠CFE=2(∠AFD+∠AFE)=120°，∵O是BC中點(diǎn)，且OF⊥BC，∴∠OFB=∠OFC=60°．∴∠OBF=90°?∠OFB=30°，∴BF=2OF．∵OB∴6解得OF=23則AF=BF=2OF=43∵OA≥AF?OF=23且當(dāng)A在FO延長(zhǎng)線上時(shí)，上式等號(hào)成立．∴OA的最小值為2321．解：（1）如圖1，∵△ABC與△ADE均為等邊三角形∴∠BAC=∠EAD=60°，BA=CA,DA=EA，又∠BAE=∠BAC+∠CAE∠CAD=∠EAD+∠CAE，∴∠BAE=∠CAD，在△BAE與△CAD中，BA=CA∠BAE=∠CAD∴△BAE≌△CADSAS，∴BE=CD，∠ADC=∠AEB，又∵∠FME=∠AMD，∴∠EFD=∠DA