河南省濟(jì)源、洛陽、平頂山、許昌四市聯(lián)考2024屆高三年級下冊3月第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

河南省濟(jì)源、洛陽、平頂山、許昌四市聯(lián)考2024屆高三下學(xué)

期3月第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1

1.已知集合4=卜|國<2},B=|x|log2{x-4x+5)<lJ,則Au3=()

A.{x[l<x<2}B.[x\2<x<3]C.{x]-2<x<l}D.[x\-2<x<3]

2.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的離心率為石，則其漸近線方程為

()

A.y=+\[2xB.y=±^-xC.y-±2xD.y=+—x

22

3.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{q}的前w項(xiàng)和為S“，若的5=2%，且％與4的等差中項(xiàng)為3,

則$5=()

A.29B.31C.33D.36

4.有5名志愿者去定點(diǎn)幫扶3位困難老人，若要求每名志愿者都要幫扶且只幫扶一位

老人，每位老人至多安排2名志愿者幫扶，則不同的安排方法共有()

A.180種B.150種C.90種D.60種

5.函數(shù)/(x)=Asin(0x+0)G4>O,0>O,|9]<])的部分圖象如圖所示，圖象與x軸的交

點(diǎn)為"(|,0),與y車軸的交點(diǎn)為N,最高點(diǎn)尸(1,A),且滿足AMLNP.則下列說法正

確的是()

A./(K)>/(5)

B.函數(shù)/(x)在(4,7)上單調(diào)遞減

C.若/⑷"(％)=粵(尤產(chǎn)％)，則?fl的最小值是1

D.把y=Asin<yx的圖象向左平移1個單位長度，得到y(tǒng)=/(x)的圖象

6.過拋物線丁=4尤的焦點(diǎn)尸作斜率為左的直線與拋物線交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)

為(—1,1),若MA.A/8=0，則左=()

A.1B.2C.3D.4

abab

7.我們稱,為“二階行列式”，規(guī)定其運(yùn)算為jad—bc.已知函數(shù)"zxx的定

caca

義域?yàn)?-8，。)匚(。，一)，且"X)HO,若對定義域內(nèi)的任意蒼〉都有“("1=0,則

y/(尤)

()

A."1)=1B./(X)是偶函數(shù)C.7?(》)是周期函數(shù)D./(x)沒有極值

點(diǎn)

8.直線4：mx-y-5w+l=0與4:x+陽一57〃-1=0交于點(diǎn)尸，圓C：(%+2丫+(y+2)2=4

上有兩動點(diǎn)A,B,且|AB|=20,貝修如+2例的最小值為()

A.2A/2B.4A/2C.672D.10A/2

二、多選題

9.下列結(jié)論正確的是()

A.數(shù)據(jù)36,28,22,24,22,78,32,26,20,22的第80百分位數(shù)為34

B.用簡單隨機(jī)抽樣的方法從51個個體中抽取2個個體，則每個個體被抽到的概率

都是：

C.已知隨機(jī)變量若〃=2J+1,則￡>(〃)=3

D.隨機(jī)變量XN(2,/)，若尸">1)=0.68,則P(24x<3)=0.18

2

10.已知函數(shù)/(%)=lnx-l——則下列結(jié)論正確的是()

x-1

A./(%)在定義域上是增函數(shù)

B.〃x)的值域?yàn)镽

C.f(log20232024)+/(log20242023)=1

e〃+1

D.若于(a)=r------b,ae(0,D,6e(0,+oo),貝

11.已知正方體ABC。一4462的棱長為2,AM=4A。，D1N=JUD'C,A,，e(o,l).

試卷第2頁，共4頁

點(diǎn)尸是棱42上的一個動點(diǎn)，則()

A.當(dāng)且僅當(dāng)〃=；時，BDJ平面。MN

12

B.當(dāng)2=§時，加//平面ACGA

C.當(dāng)〃=g時，|PM|+|PN|的最小值為1+行

D.當(dāng)%=〃=!■時，過8,M,N三點(diǎn)的截面是五邊形

三、填空題

12.已知(l+i)z=2i(i為虛數(shù)單位)，z為實(shí)系數(shù)方程x2+px+?=0的一個根，則

p-q=.

13.若/(x)=支±cos一d+e%一,則不等式/(sin%)+/(cosx)>0的解集

22

是.

14.已知四棱錐尸-ABCD的高為2,底面ABCD為菱形，AB=AC=^，E,歹分別為

PA,PC的中點(diǎn)，則四面體￡7如的體積為；三棱錐尸-ABC的外接球的表面積

的最小值為.

四、解答題

15.在銳角AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知=”一+.一L，且

cb

a于c.

⑴求證：B=2C；

(2)若/ABC的平分線交AC于。，且。=12,求線段3。的長度的取值范圍.

16.某學(xué)校安排甲、乙、丙三個班級同時到學(xué)校禮堂參加聯(lián)歡晚會，已知甲班藝術(shù)生占

比8%,乙班藝術(shù)生占比6%,丙班藝術(shù)生占比5%.學(xué)生自由選擇座位，先到者先選.甲、

乙、丙三個班人數(shù)分別占總?cè)藬?shù)的;，；，(.若主持人隨機(jī)從場下學(xué)生中選一人參

與互動.

(1)求選到的學(xué)生是藝術(shù)生的概率；

(2)如果選到的學(xué)生是藝術(shù)生，判斷其來自哪個班的可能性最大.

17.在三棱錐P—ABC中，PB=PC=3,BC=2,AB=AC=s/3,AD=AAC，^e(O.l).

(1)如圖1,G為APBC的重心，若DG〃平面求4的值；

(2汝口圖2,當(dāng)幾=:，且二面角尸-3C-A的余弦值為-!時，求直線尸。與平面P2C所

24

成角的正弦值.

r2v2

18.已知/(%,%)是橢圓C：—+匕=1上的動點(diǎn)，過原點(diǎn)。向圓M；

43

(x-x0)2+(y-%)?=/引兩條切線，分別與橢圓C交于P,。兩點(diǎn)(如圖所示)，記直

⑵求證：|0尸「+|。0『為定值；

(3)求四邊形OPMQ的面積的最大值.

19.已知函數(shù)/■(尤)=lnx-x+2,e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若此函數(shù)的圖象與直線交于點(diǎn)P,求該曲線在點(diǎn)P處的切線方程;

e

⑵判斷不等式＞0的整數(shù)解的個數(shù)；

⑶當(dāng)Ive?時，(1+依-求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

X

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.D

【分析】

分別求解絕對值不等式|x|<2和對數(shù)型不等式log式尤②-4x+5)<1得到集合A,B,再求并集即

得.

【詳解】由岡<2得：—2<x<2,即4=&|—2〈尤<2｝；

一一4x+5>0

由log2，—4%+5)<1可得：\,解得：1cx<3,即5=｛%|1<%<3｝；

x-4x+5<2

則A?區(qū){x\-2<x<3}.

故選：D.

2.A

h

【分析】根據(jù)離心率求出2的值，再根據(jù)漸近線方程求解即可.

a

b

【詳解】因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在X軸上，所以漸近線方程為：y=±-x,

a

又因?yàn)殡p曲線離心率為且1+匕2=。2,

所以注=產(chǎn)=5

解得一=0,即漸近線方程為：y=±y/2x.

a

故選：A.

3.B

【分析】

設(shè)公比為4,將兩個條件中的量分別用4,4表示,解方程組即得4，4的值,代入等比數(shù)列｛%｝

的前"項(xiàng)和公式計(jì)算即得.

【詳解】不妨設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,由%%=2%可得：a；qS=2ad,因?！?gt;0應(yīng)>。，

則q/=2①

又由明與。6的等差中項(xiàng)為:可得：?4+?6=(-即q/(1+42)=：②

將①代入②，可得：q=-,回代入①，解得：4=16,于是1=4曰?=—產(chǎn)_=31.

21—4_L

2

答案第1頁，共18頁

故選：B.

4.C

【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合排列組合的知識，先分組再分配，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意得，先將5名志愿者分成3組，只有2,2,1一種情況，

即&C；=土種分組方法,

再將3組志愿者分配給3為位老人，則共有15A；=90種安排方法.

故選：C

5.C

【分析】

根據(jù)給定條件，結(jié)合圖象求出/(x)的解析式，再借助正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)逐項(xiàng)判斷得解.

52兀

【詳解】函數(shù)/(X)的周期7=4(1-1)=6,即3=6,解得0=9

2co3

由/(1)=A,得；+夕=彳+2航,AeZ,而則k=0,9=:，/(x)=Asin(；x+:)，

322636

ii2519

則點(diǎn)N(0/A),由7VM_L7VP,得NP°+MN2=MP°,1+-A2+—+-A2=-+A2,

24444

解得A=A/IU,因此/"(x)=A/T5sin(；x+：),

36

對于A,由/(4)=-W，得函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于x=4對稱，則/(5)=/(2),

由圖象知,函數(shù)Ax)在工4］上單調(diào)遞減,則/(2)>/(兀)，因此/㈤</(5),A錯誤；

對于B,由于函數(shù)Ax)的圖象關(guān)于x=4對稱，且在口,4］上單調(diào)遞減，則Ax)在(4,7)上單調(diào)

遞增，B錯誤；

對于C,由f(x)=,得sin(qx+殳)=,則彳%+;=；+2尢兀,尢eZ,

2362363

TV

—XH——=----F2左2兀左2-Z,兩式相減得一(%2-%)=—+2(左2-匕)兀溫，左2wZ,

326333

即迎-占=1+6(勺),勺,&eZ,所以1%-占京=1，C正確；

對于D,把>=瓜in^x圖象向左平移1個單位長度，得

y=^/10siny(x+1)=V10sin(j%+豐f(x),D錯誤.

故選：C

答案第2頁，共18頁

6.B

【分析】

設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和拋物線方程消元后利用韋達(dá)定理得到坐標(biāo)之間的關(guān)系式，結(jié)合條

件MA.M2=0，解出即可.

【詳解】由題知拋物線丁=4丈的焦點(diǎn)廠(1,0),

則直線方程為y=z(x-l),

y=4x

聯(lián)立1J7［、，消去X得什2-4,-44=0,

設(shè)4（石,乂）,8（*2，%），則%+%=g，%%=-4,

k

ly,+y.2k2+4.

則17nXy+%2=9F2=-,XyX2-—-—=19

又因?yàn)镸4?M5=0，

所以（再+15%T）?（X2+L%T）

=\X2+玉+赴+1+%%-(%+%)+]=0，

匚匚i、i,2左~+4.4

所以1+——7—+1-4——+1=0,

k2k

解得％=2,

故選：B.

7.D

【分析】

經(jīng)行列式運(yùn)算后，得到關(guān)系式好'(》)-才(y)=0,將>替換為1代入，進(jìn)而得到函數(shù)“X)的

解析式，逐項(xiàng)判斷即可.

abxf(y)

【詳解】由于=ad-bc,則[：=。，

cdy/(x)

即為：V(x)-#(y)=0(*),

將y替換為1代入(*)式，得力'(同一/⑴=。，且xe(-0),0)50.+8),

得：4)=幽，

X

答案第3頁，共18頁

對于A,取〃x）=T，顯然滿足（*）式，此時=故A錯誤；

對于B,“X）定義域?yàn)椋?8,0）」（0,+8）,

則/（T）=出一改=-小）成立，

-XX

所以“X）是奇函數(shù)，故B錯誤；

對于C,假設(shè)非零常數(shù)T為函數(shù)的周期，即〃x+T）=/（x）,

貝lJ/（x+T）=*=&=/（無），其中“1）/0,

x+Tx

即得x+T=x,T=0,這與假設(shè)T為非零常數(shù)矛盾，

所以/'（X）不是周期函數(shù)，故C錯誤；

對于D,由于〃x）=一,則（卜）=-爛，顯然-（力=。沒有實(shí)數(shù)解，

所以沒有極值點(diǎn)，故D正確；

故選：D.

8.B

【分析】根據(jù)條件可知點(diǎn)尸的軌跡是以MN為直徑的圓，其方程為（尤-3y+（y-3）2=8,作

CD，AB,則。為48的中點(diǎn)，求得|尸耳最小值即可.

［詳解］因?yàn)橹本€4：mx-y-5m+l=0,l2：x+my-5m-l=0,

則/」2,

又4的方程可化為加（X—5）-y+l=0,所以過定點(diǎn)M（5,l）,

4的方程可化為"（y—5）+x—1=。，所以過定點(diǎn)N（l,5）,

所以點(diǎn)尸的軌跡是以MV為直徑的圓，

其方程為（x_3）2+（y_3）2=8,

其圓心E（3,3）,半徑r=2點(diǎn),

作8,45,則。為48的中點(diǎn)，

根據(jù)勾股定理易求得|。|=忘,

答案第4頁，共18頁

如圖所示，當(dāng)CE,尸在同一條直線上時pH最小,

X|PA+PB|=2|PZ)|,

|PD|=\CE\-\CD\-r=5>j2-y[2-2-/2=2y/2,

故+=的最小值為4拒，

故選：B.

9.AD

【分析】

由百分?jǐn)?shù)的計(jì)算公式即可判斷A,由古典概型的概率計(jì)算公式即可判斷B,由二項(xiàng)分布的方

差計(jì)算公式以及方差的性質(zhì)即可判斷C,由正態(tài)曲線的性質(zhì)即可判斷D

【詳解】對于A,將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為20,22,22,22,24,26,28,32,36,78,

且10x80%=8,所以第80百分位數(shù)為必產(chǎn)=34,故A正確；

對于B,用簡單隨機(jī)抽樣的方法從51個個體中抽取2個個體，則每個個體被抽到的概率都

2

是玄，故B錯誤；

對于C,因?yàn)殡S機(jī)變量貝I]O信)=8x|x(l)=|,

又〃=24+1,貝皿〃)=4￡＞團(tuán)=4x1=6,故C錯誤；

對于D,因?yàn)殡S機(jī)變量XN(2,吟,所以正態(tài)曲線的對稱軸為X=2,

又尸(x>1)=0,68,則P(X>3)=尸(Xv1)=1-0.68=0.32,

所以P(24x<3)=0.5-0.32=0.18,故D正確；

故選：AD

10.BD

【分析】

答案第5頁，共18頁

求/(X)定義域，求尸(X)正負(fù)，可判斷單調(diào)性，判斷A選項(xiàng)；由A選項(xiàng)單調(diào)性可求/(X)的

值域，判斷B選項(xiàng)；計(jì)算/(-)+/(x)的結(jié)果，可計(jì)算C選項(xiàng)；變形/(a)=產(chǎn)-b=

由/(x)單調(diào)性可知a=e-J可判斷D選項(xiàng).

12

【詳解】由題意得“X)定義域?yàn)?0,1)。,內(nèi))，且((對=]+記了>。，

所以了(十)在(0,1)和(1，也)上單調(diào)遞增，但不能說在定義域上單調(diào)遞增，故A錯誤；

當(dāng)xe(O,l)時/(x)<0,且x->0時/(x)-?-oo；當(dāng)時〃x)>0,且xf+℃時

/⑺―，所以的值域?yàn)镽,故B正確；

f(1)=In—1—-----=-Inx-1H-------1、ft\c2x—2

xx1,x-1，/(-)+/?=-2+——-=0,

----1xx-1

X

所以/(logzM2024)+/(log20242023)=0,故C錯誤；

f(a)=4il-&=l+^Ine^lne^-l——=

eb-leb-le-A-l')

因?yàn)?(x)在(。，1)和(1，+°°)上單調(diào)遞增，且“e(O,l),Z?e(0,+co),所以〃=/，所以ae〃=l,

故D正確.

故選：BD

11.ABC

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)法可判斷AB；轉(zhuǎn)化為平面中距離最短問題判斷C；

利用平面性質(zhì)作出截面判斷D.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D4,DC,DR所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(2,0,0),5(2,2,0),C(0,2,0),￡)(0,0,0),A(2,0,2),B,(2,2,2),Q(0,2,2),R(0,0,2),

答案第6頁，共18頁

因?yàn)?D、N=〃D\C,X,Mw(O,l),所以Af(2—24,0,2—24),N(0,2〃,2—2〃),

對于A,DM=(2-22,0,2-22),DN=(0,2〃,2-2〃)，BDl=(-2,-2,2),

若BDt_L平面DMN,則BD11DM,BD[_LDN,

所以。M叫=(2-2/L)x(-2)+0x(-2)+(2-22)x2=0恒成立,

DN?BD、=0x(—2)+2〃x(—2)+(2—2〃)x2=0,解得〃=；,

故當(dāng)且僅當(dāng)〃=；時，平面。MN,正確；

對于B,當(dāng)八；，〃=|時,陪聞,心言,血十找

因?yàn)锳4j_L平面ABCD，BDu平面ABCD,所以-LBD,

又B￡)_LAC,MAC=A,ACu平面ACGA，7Vliu平面ACGA，

所以。5,平面AC￡A,所以=(2,2,0)為平面ACGA的一個法向量,

卜撲2+扣+卜|>0=0,

因?yàn)镸N-O5=所以MN_L￡>2,

又MVU平面ACGA,所以MAU平面ACGA,正確;

對于C,將平面A。，A和平面BCA4展開成一個平面，連接AN,如圖,

由三點(diǎn)共線時距離之和最小，即|〃0|+|/科21MM，顯然當(dāng)MN，A。時，

快則最小為的高/?,對于‘4ON,利用面積相等得;。Mx|，a|=；|￡)4|x〃

,即;x(2+&)x2=；x2?x/z,解得〃=1+五，所以|PM+|PN,|MV|?/Z=1+0,正

確；

對于D,當(dāng)九=〃=；時，M,N分別為A。，2c的中點(diǎn)，連接AC,如下圖所示，

過點(diǎn)B作AC的平行線交延長線于點(diǎn)E,交DC于點(diǎn)、F,連接ME并延長,交4片于點(diǎn)G,

交D］于T,連接NF并延長，交CG于點(diǎn)”，根據(jù)對稱性T在直線NP上，連接8G,B”,

答案第7頁，共18頁

因?yàn)镸為4。中點(diǎn)，N為QC中點(diǎn)，所以MN//AC,又因?yàn)锳C//EF,所以EF//MN,

所以及尸共面，止匕時，F(xiàn)HC~FTD,EAG~EDT,—=—=~,

DTDT2

四邊形TG3H為截面，所以截面為四邊形，錯誤.

故選：ABC

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線

法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延

長交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個點(diǎn)在幾何體的同一平面上.

12.-4

【分析】

由復(fù)數(shù)的除法求出z,利用韋達(dá)定理求出。應(yīng)的值即可.

【詳解】已知l+i)z=2i,則z=-='J=l+i,z=i-i,

\71+1

Z為實(shí)系數(shù)方程/+/+9=0的一個根，則p=-(z+z)=-2,q=z-z=2,

所以PR=—4.

故答案為：—4

I兀3兀]

13.《x12kli—<%<2kliH--，左wZ卜

I44J

【分析】

根據(jù)奇偶性的定義和導(dǎo)數(shù)分析可知/⑺在卜1』內(nèi)單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，進(jìn)而可得

sinx>-cosx,利用輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)運(yùn)算求解.

【詳解】取/a)的定義域?yàn)閇-M],關(guān)于原點(diǎn)對稱，

且/(-%)=---^―cos(-x)+--sin(-x)=---—cosx-~~~~sinx=-f(x),

所以/(x)為定義在[-1』上的奇函數(shù)，

答案第8頁，共18頁

因?yàn)榘藊)=y￡_cosx-=Lsinx+*lsinx+T^cosx=(eX+ef)cosx,

若XE[-U],則e">0,e-x>0,cosx>0,

可得f\x)=(eA+e-x)cosx>0,可知f(x)在[-1,1]內(nèi)單調(diào)遞增，

對于不等式/(sin%)+/(cosx)>0,則/(sinx)>-/(cosx)=/(-cosx),

且sin%￡[-l,l],-cosx￡[-l,l],可得sin龍〉一cos龍,

整理得sinx+cos%=0sinx+—>0,

JI兀3兀

令2防i<x+—<2防i+兀，女￡Z,解得2防i—<x<2防iH----,keZ,

'444

f兀371

所以不等式/8口%）+/（85%）>。的解集是9|2也-1<工<2左兀+丁次￡2

故答案為：［xI2fai—；<x<2%兀+^■，左￡Z,.

14.好過

44

【分析】

第一空，利用切割法，結(jié)合棱體的體積公式即可得解；第二空，先分析出三棱錐尸-ABC的

外接球的表面積取得最小值時的情況，再求得此時的半徑，從而得解.

【詳解】如圖，設(shè)ACcBD=G,連接尸G,KG,

?*,VEFBD=VB—EFG+%—EFG，

易知E,F,G分別為PA,PC,AC中點(diǎn)，，S=JS

所以VB-EFG

ABCD'

444

四邊形ABC。是菱形，AB=AC=A/3?

.?.一ABC一AC。為全等的正三角形,

答案第9頁，共18頁

=2x-Aj5BCsin60o=V3x^x^-=^-,

ABCD222

v_113A/3Q_y/3

■■VEFBD=~X-X-^X2=^'

因?yàn)锳BC是邊長為白的正三角形，記其中心為。I，

則ABC的外接圓的半徑為r=1x若x2=l,

23

設(shè)三棱錐尸-A5C的外接球的半徑為R,球心為0,則。Q，底面ABC

過P作PH，底面ABC交于H，則。。"/PH,

結(jié)合圖象可知尸。+。。12尸內(nèi)，其中R=PO,OO^=R2-r2=R2-l,

因?yàn)槭狡矫鍭BC的距離為2,即叨=2,所以4+，店一122,

易知關(guān)于R的函數(shù)y=R+"Z在［L+⑹上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)且僅當(dāng)R+VFZ=2時，R取得最小值，

此時，P,O,Q三點(diǎn)共線，由衣+灰二1=2,解得氏=；,

所以棱錐尸-ABC的外接球的表面積的最小值為4兀W=」:.

4

故答案為：B；孚.

44

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：

①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方

體或長方體中去求解；

②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；

③定義法：到各個頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，

找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；

④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建

立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.

答案第10頁，共18頁

15.(1)證明見解析

(2)(4點(diǎn)6回

【分析】

(1)根據(jù)正余弦定理邊角互化可得sin8=sin2C,即可利用三函數(shù)的性質(zhì)求解,

(2)根據(jù)正弦定理以及角的范圍即可利用三角函數(shù)的范圍求解.

【詳解】(1)

、丁rm》人才…E-r，曰。2tz/?cosC2?cosC

證明：由余弦定理可得一=—r一=---，

cbb

故6=2ccosC,由正弦定理得sin3=2sinCeosC=sin2c.

所以在ABC中，5=2?；?+2C=兀.

若3+2。=兀，又3+A+C=7i,故A=C,因?yàn)椤Ｋ訟】C,故3+2。=兀不滿足題

意，舍去，

所以5=2C.

(2)

在△BCD中,

aBD即以峨

由正弦定理可得

sinZBDCsinC

12sinC12sinC6

所以3。二

sinZBDCsin2CcosC

因?yàn)锳BC是銳角三角形，且8=2C,

o<Y

<cosC<

所＜O<2C<9得*/，TT

71

0<兀一3C<—

2

所以46<80<6夜.

所以線段8。長度的取值范圍是(4返,6近).

D

答案第11頁，共18頁

73

16.(1)——

1200

(2)來自丙班的可能性最大

【分析】

(1)依據(jù)題意根據(jù)全概率公式計(jì)算即可；

(2)根據(jù)條件概率公式分別計(jì)算，即可判斷.

【詳解】(1)設(shè)3="任選一名學(xué)生恰好是藝術(shù)生”，

4="所選學(xué)生來自甲班”，4="所選學(xué)生來自乙班”,

A="所選學(xué)生來自丙班”.由題可知:

尸(A)=；，尸(4)=：，尸(4)=1，

尸(困A)=W,尸(84)=媒，P(@A)*

p(3)=尸(A)尸(HA)+尸(4)尸(冽4)+尸(4)尸(H4)

12135173

二—X--------F—x--------1-------x——=

42535012201200

12

p(4B)P(A)P(Bl4)—x——24

(2)P(4lB)=425

P(B)P(B)7373

1200

13

P(42)P(4)P(例4)尸土24

P(AIB)=

P(B)P(B)7373

1200

)一X——

P(A3B)_P(A)P(B|4122025

尸3)=

P(B)~P⑻7373

1200

所以其來自丙班的可能性最高.

17.(1)A=1

力呵

VZ7------------

52

【分析】

(1)連接CG并延長與PB交于點(diǎn)E,連接AE,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知DG//AE,

答案第12頁，共18頁

繼而利于重心的性質(zhì)即可求解；

(2)根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，利于線面角的坐標(biāo)表示進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)連接CG并延長與尸8交于點(diǎn)E,連接AE,

所以平面C4E平面=

因?yàn)閆9G〃平面DGu平面ACE,

所以DG//AE.

又因?yàn)?為4PBC的重心，

22

所以CG=GCE.所以C￡>=]CA.

所以Ar)=』AC,即彳=」.

33

(2)設(shè)。為BC的中點(diǎn)，連接A0.

因?yàn)镻B=PC,AB^AC,

所以3C_LAO,BCLPO；又AOPO=O,

AQPOu平面PAO,

所以BC/平面B4O,又BCu平面ABC,

所以平面PAOJL平面ABC,

過點(diǎn)O在平面PAO內(nèi)作AO的垂線OZ,

如圖所示，分別以O(shè)A，OC，OZ為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

答案第13頁，共18頁

所以A("0,0),C(O,1,O),3(0,-1,0),

]r/yi

因?yàn)獒?[,所以。手，于o.

2I22J

因?yàn)?PQ4是二面角尸-3C-A的平面角，

二面角P-3C—A的余弦值為OP=2A/2,

所以+字。岑]

所以PD=j夜粵],

I22J

OP=-乎,0,,0c=(0,1,0).

不妨設(shè)平面尸8c的法向量〃=(x,y,z),

n-OP=0

所以

n-OC=0

一旦+其=o

所以22

y=0

可取〃=(岳,0,1)

設(shè)直線PD與平面P8C所成的角為0,

國一叵

2V130

所以sin8=--------.——

52

4x------

2

18.(l)r=^[

7

(2)證明見解析

⑶屈

【分析】

(1)設(shè)出。P,。。的方程，由圓心到切線的距離等于半徑得到一元二次方程，由韋達(dá)定理

答案第14頁，共18頁

3

和尢?右=-：解方程求得半徑；

（2）由直線0尸的方程與橢圓方程聯(lián)立求得點(diǎn)尸坐標(biāo)，即得1。n,同理得IOQI,計(jì)算

IOPF+IOQI2的表達(dá)式，消去融化簡即得;

（3）將四邊形OPMQ的面積拆解成兩三角形面積之和，得到5”的=；（|?？?|。。|）中,

利用（2）的結(jié)論和基本不等式即得面積最大值.

【詳解】（1）

|^x0-Jolh士一%

如圖，由題意，切線。尸,。。的方程分別為y=幻，y=。，則有1°''=丫，7；,

J將+1J抬+1

故左，區(qū)是方程即方程卜2-其快2+2飛％上+/一北=。的兩根.

正+1

若/-x；=0,則圓〃與y軸相切，直線。。的斜率不存在，矛盾;

解得產(chǎn)

(2)

設(shè)P（4M），Q（x2,y2）,依題意，%=上向，代入1+,=1可得9+警=1,解得

2_12

x1-",

146+3'

于是|。尸12=X；+y；=（1+6卜；=;同理|。。12=:蹙）

所即…七+*1

答案第15頁，共18頁

(99

12。+用12J+喏J_12(1+⑹J+需_]2(1+將)166+9

-

4r+3+-9,-需+3J_+1%+3+4奸+3

<需

即為定值7.

（3）

SOPMQ=SAMOP+S^OQ=^\OP\+\OQ\）-r

=/（|。耳+|。。］）上浮.也口尸|2+|O0|2）=A/6