2024屆山東省萊山一中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆山東省萊山一中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在等差數(shù)列中，若，，則（）A． B．1 C． D．2．若，則函數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．3．如圖，在正方體中，，分別是，中點，則異面直線與所成的角是（）A． B． C． D．4．已知，則下列不等式成立的是()A． B． C． D．5．已知兩個單位向量的夾角為，則下列結(jié)論不正確的是（）A．方向上的投影為 B．C． D．6．單位圓中，的圓心角所對的弧長為()A． B． C． D．7．函數(shù)，，若對任意，存在，使得成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知，，則的值域為（）A． B．C． D．9．在ΔABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A=π3，B=π4，A．23 B．2 C．3 D．10．設(shè)為實數(shù)，且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線平分圓的周長，則實數(shù)________．12．如圖，曲線上的點與軸的正半軸上的點及原點構(gòu)成一系列正三角形，，，設(shè)正三角形的邊長為（記為），.數(shù)列的通項公式=______.13．已知函數(shù)，有以下結(jié)論：①若，則；②在區(qū)間上是增函數(shù)；③的圖象與圖象關(guān)于軸對稱；④設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，．其中正確的結(jié)論為__________．14．已知等比數(shù)列中，若，，則_____．15．函數(shù)的初相是__________．16．在數(shù)列中，是其前項和，若，，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，.（1）求的最小值；（2）求的最小值.18．某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到下表數(shù)據(jù)：單價（元）銷量（件）且，，（1）已知與具有線性相關(guān)關(guān)系，求出關(guān)于回歸直線方程；（2）解釋回歸直線方程中的含義并預(yù)測當(dāng)單價為元時其銷量為多少？19．已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，且.（1）求角；（2）若，，求邊上的高.20．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，與交于點，，分別為，的中點.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求證：∥平面；（Ⅲ）求證：平面.21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

運用等差數(shù)列的性質(zhì)求得公差d，再運用通項公式解得首項即可．【詳解】由題意知，所以.故選C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式的運用，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

直接用均值不等式求最小值.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng),即時，取等號.故選：B【點睛】本題考查利用均值不等式求函數(shù)最小值,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

如圖，平移直線到，則直線與直線所成角，由于點都是中點，所以，則，而，所以，即，應(yīng)選答案D．4、D【解析】

依次判斷每個選項得出答案.【詳解】A.，取，不滿足，排除B.，取，不滿足，排除C.，當(dāng)時，不滿足，排除D.，不等式兩邊同時除以不為0的正數(shù)，成立故答案選D【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，意在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識.5、B【解析】試題分析：A．方向上的投影為，即，所以A正確；B．，所以B錯誤；C．，所以，所以C正確；D．，所以．D正確．考點：向量的數(shù)量積；向量的投影；向量的夾角．點評：熟練掌握數(shù)量積的有關(guān)性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，尤其要注意“向量的平方就等于其模的平方”這條性質(zhì)．6、B【解析】

將轉(zhuǎn)化為弧度，即可得出答案.【詳解】，因此，單位圓中，的圓心角所對的弧長為.故選B.【點睛】本題考查角度與弧度的轉(zhuǎn)化，同時也考查了弧長的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】，當(dāng)時，對于∵對任意，存在，使得成立，，解得實數(shù)的取值范圍是．

故選D．【點睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換，其中解題時問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域并利用集合關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，8、C【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性可求得最小正周期，從而可知代入即可求得所有函數(shù)值.【詳解】由題意得，最小正周期：；；；；；且值域為：本題正確選項：【點睛】本題考查正弦型函數(shù)值域問題的求解，關(guān)鍵是能夠確定函數(shù)的最小正周期，從而計算出一個周期內(nèi)的函數(shù)值.9、A【解析】

利用正弦定理asinA=【詳解】在ΔABC中，由正弦定理得asinA=故選：A.【點睛】本題考查利用正弦定理求邊，要記得正弦定理所適用的基本類型，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。10、C【解析】

本題首先可根據(jù)判斷出項錯誤，然后令可判斷出項和項錯誤，即可得出結(jié)果?！驹斀狻恳驗?，所以，故錯；當(dāng)時，，故錯；當(dāng)時，，故錯，故選C?！军c睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)，主要考查通過不等式性質(zhì)與比較法來比較實數(shù)的大小，可借助取特殊值的方法來進行判斷，是簡單題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

由題得圓心在直線上，解方程即得解.【詳解】由題得圓心（1，a）在直線上，所以.故答案為1【點睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

先得出直線的方程為，與曲線的方程聯(lián)立得出的坐標(biāo)，可得出，并設(shè)，根據(jù)題中條件找出數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合遞推關(guān)系式選擇作差法求出數(shù)列的通項公式，即利用求出數(shù)列的通項公式?！驹斀狻吭O(shè)數(shù)列的前項和為，則點的坐標(biāo)為，易知直線的方程為，與曲線的方程聯(lián)立，解得，；當(dāng)時，點、，所以，點，直線的斜率為，則，即，等式兩邊平方并整理得，可得，以上兩式相減得，即，易知，所以，即，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項為，公差也為，因此，.故答案為：?！军c睛】本題考查數(shù)列通項的求解，根據(jù)已知條件找出數(shù)列的遞推關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在求通項公式時需結(jié)合遞推公式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法求解數(shù)列的通項公式，考查分析問題的能力，屬于難題。13、②③④【解析】

首先化簡函數(shù)解析式，逐一分析選項，得到答案.【詳解】①當(dāng)時，函數(shù)的周期為，，或，所以①不正確；②時，，所以是增函數(shù)，②正確；③函數(shù)還可以化簡為，所以與關(guān)于軸對稱，正確；④，當(dāng)時，，，④正確故選②③④【點睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題型.14、4【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的等積求解即可.【詳解】因為,故.又,故.故答案為：4【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列等積性的運用,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)函數(shù)的解析式即可求出函數(shù)的初相.【詳解】，初相為.故答案為：【點睛】本題主要考查的物理意義，屬于簡單題.16、【解析】

令，可求出的值，令，由可求出的表達式，再檢驗是否符合時的表達式，由此可得出數(shù)列的通項公式.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，.不適合上式，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查利用求數(shù)列的通項公式，一般利用，求解時還應(yīng)對是否滿足的表達式進行驗證，考查運算求解能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)64,(2)x+y的最小值為18.【解析】試題分析：（1）利用基本不等式構(gòu)建不等式即可得出；

（2）由，變形得，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．試題解析：(1)由，得,又，，故,故，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，∴(2)由2,得,則.當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.∴【點睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，熟練掌握“乘1法”和變形利用基本不等式是解題的關(guān)鍵．18、(1)；(2)銷量為件.【解析】

（1）利用最小二乘法的公式求得與的值，即可求出線性回歸方程；（2）的含義是單價每增加1元，該產(chǎn)品的銷量將減少7件；在（1）中求得的回歸方程中，取求得值，即可得到單價為12元時的銷量．【詳解】（1）由題意得：，，，，關(guān)于回歸直線方程為；（2）的含義是單價每增加元，該產(chǎn)品的銷量將減少件；當(dāng)時，，即當(dāng)單價為元時預(yù)測其銷量為件.【點睛】本題主要考查線性回歸方程的求法—最小二乘法，以及利用線性回歸方程進行預(yù)測估計。19、(1)；(2)【解析】

（1）利用正弦定理化簡已知條件，利用三角形內(nèi)角和定理以及兩角和的正弦公式化簡，由此求得，進而求得的大小.（2）利用正弦定理求得，進而求得的大小，由此求得的值，根據(jù)求得邊上的高.【詳解】解：（1）∵∴∴∴∴即：，∴（2）由正弦定理：，∴∵∴∴∴設(shè)邊上的高為，則有【點睛】本小題主要考查利用正弦定理進行邊角互化，考查利用正弦定理解三角形，考查三角恒等變換，考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于中檔題.20、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析【解析】

（I）通過證明平面來證得平面平面.（II）取中點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得∥平面.（III）通過證明平面證得，通過計算證明證得，由此證得平面.【詳解】證明：（Ⅰ）因為平面，所以.因為，，所以平面.因為平面，所以平面平面.（Ⅱ）取中點，連結(jié)，因為為的中點所以，且.因為為的中點，底面為正方形，所以，且.所以，且.所以四邊形為平行四邊形.所以.因為平面且平面，所以平面.（Ⅲ）在正方形中，，因為平面，所以.因為，所以平面.所以.在△中，設(shè)交于.因為，且分別為的中點，所以.所以.設(shè)，由已知，所以.所以.所以.所以，且為公共角，所以△∽△.所以.所以.因為，所以平面.【點睛】本小題主要考