高考數(shù)學(xué) 特色題型匯編：計(jì)數(shù)原理原理與概率統(tǒng)計(jì)解答題-獨(dú)立性檢驗(yàn)（原卷及答案）（新高考地區(qū)專用）

計(jì)數(shù)原理原理與概率統(tǒng)計(jì)解答題——獨(dú)立性檢驗(yàn)

I.為了調(diào)查高一年級(jí)選科意愿，某學(xué)校隨機(jī)抽取該校100名高一學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，擬選

報(bào)物理和歷史的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：

物理(人)歷史(人)

男505

女2520

(1)能否有99%的把提認(rèn)為選科與性別有關(guān)？

(2)若用樣本頻率作為概率的估計(jì)值，在該校高一學(xué)生中任選3人，記J為三人中選物理

的人數(shù)，求自的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k'}0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2.某水果經(jīng)營戶對(duì)出售的蘋果按大小和色澤兩項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行分類，最大橫切面直徑不小

于70毫米則大小達(dá)標(biāo)，著色度不低于90%則色澤達(dá)標(biāo)，大小和色澤均達(dá)標(biāo)的蘋果為一

級(jí)果；大小和色澤有一項(xiàng)達(dá)標(biāo)另一項(xiàng)不達(dá)標(biāo)的蘋果為二級(jí)果；兩項(xiàng)均不達(dá)標(biāo)的蘋果為三

級(jí)果.已知該經(jīng)營戶購進(jìn)一批蘋果，從中隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn),得到如下統(tǒng)計(jì)表格：

直徑小于70毫米直徑不小于70毫米合計(jì)

著色度低于90%101525

著色度不低于90%156075

合計(jì)2575100

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認(rèn)為該經(jīng)營戶購進(jìn)的這批蘋果的大小達(dá)標(biāo)和

色澤達(dá)標(biāo)有關(guān)；

(2)該經(jīng)營戶對(duì)三個(gè)等級(jí)的蘋果按照分層抽樣從樣本中抽取10個(gè)蘋果，再從中隨機(jī)抽取

3個(gè)，求抽到二級(jí)果個(gè)數(shù)X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：

0.0500.0250.010

3.8415.0246.635

n^ad-bcy

2其中"=a+b+c+d.

K(a+b)(c+d)(4+c)(Z>+d)'

3.國家對(duì)待疫情的態(tài)度和采取的舉措令人敬佩，展示了負(fù)責(zé)任大國的擔(dān)當(dāng)，其中疫情

防控的措施之一為：要求與新冠肺炎確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學(xué)觀察14天，在醫(yī)

學(xué)觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中60歲以上的老年人感染病毒的比例較大.對(duì)某市200

個(gè)不同年齡段的結(jié)束醫(yī)學(xué)觀察的密切接觸者樣本進(jìn)行感染病毒情況統(tǒng)計(jì)，得到下面的列

聯(lián)表：

年齡/人數(shù)感染病毒未感染病毒

60歲以上3060

60歲及60歲以下2090

(1)是否有95%的把握認(rèn)為密切接觸者感染病毒與年齡有關(guān)；

(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學(xué)現(xiàn)察的密切接觸者感染病毒的頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從某市所有結(jié)束醫(yī)

學(xué)觀察的密切接觸者中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行感染病毒人數(shù)統(tǒng)計(jì)，求其中至少有3人感染病

毒的概率；

(3)某市現(xiàn)有一個(gè)中風(fēng)險(xiǎn)小區(qū)，政府決定對(duì)小區(qū)內(nèi)所有住戶進(jìn)行排查，在排查期間，發(fā)現(xiàn)

一戶4口之家與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一進(jìn)行

“核酸”檢測，每名成員進(jìn)行檢測后即告知結(jié)果，若檢測結(jié)果呈陽性，則該家庭被確定為

“感染高危家庭”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測呈陽性的概率均為，(0<〃<1)且相互獨(dú)立，該

家庭至少檢測了3名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為，(〃)，當(dāng)。=勿時(shí),

/(P)最大，求機(jī)的值.

n^ad-bcY

附：Z2

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

p(9次)0.10.050.010

2.7063.8416.635

4.2021年8月國務(wù)院印發(fā)《全民健身計(jì)戈U2021-2025》，《計(jì)劃》中提出了各方面的

主要任務(wù)，包括加大全民健身場地設(shè)施供給、廣泛開展全民健身賽事活動(dòng)、提升科學(xué)健

身指導(dǎo)服務(wù)水平、激發(fā)體育社會(huì)組織活動(dòng)、促進(jìn)重點(diǎn)人群健身活動(dòng)開展和營造全民健身

社會(huì)氛圍等.在各種健身的方式中，瑜伽逐漸成為一種新型的熱門健身運(yùn)動(dòng).某瑜伽館

在9月份隨機(jī)采訪了100名市民，對(duì)于是否愿意把瑜伽作為主要的健身方式作了調(diào)查.

愿意不愿意合計(jì)

男性252550

女性401050

合計(jì)6535100

(1)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“愿意把瑜伽作為主要健身方式''與性

別有關(guān)？

n(ad-bc)2

(a+b)(c++c)(b+d)

2

P(k>x0)0.1000.0500.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

(2)為了推廣全民健身，某市文化館計(jì)劃聯(lián)合該瑜伽館舉辦“瑜你一起”的公益活動(dòng)，在全

市范圍內(nèi)開設(shè)一期公益瑜伽課，先從上述參與調(diào)查的100人中選擇“愿意”的人按分層抽

樣抽出13人，再從13人中隨機(jī)抽取2人免費(fèi)參加.市文化館撥給瑜伽館一定的經(jīng)費(fèi)補(bǔ)貼,

補(bǔ)貼方案為：男性每人1000元，女性每人500元.求補(bǔ)貼金額的分布列及數(shù)學(xué)期望(四

舍五入精確到元)

5.佩戴頭盔是一項(xiàng)對(duì)家庭與社會(huì)負(fù)責(zé)的表現(xiàn)，某市對(duì)此不斷進(jìn)行安全教育.下表是該市

某主干路口連續(xù)4年監(jiān)控設(shè)備抓拍到的駕駛員不戴頭盔的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):

年度2018201920202021

年度序號(hào)X1234

不戴頭盔人數(shù))125010501000900

(1)請利用所給數(shù)據(jù)求不戴頭盔人數(shù)與年度序號(hào)x之間的回歸直線方程y=bx+a,并

估算該路口2022年不戴頭盔的人數(shù)；

(2)交警統(tǒng)計(jì)2018~2021年通過該路口的開電瓶車出事故的50人，分析不戴頭盔行為與

事故是否傷亡的關(guān)系，得到下表，能否有95%的把握認(rèn)為不戴頭盔行為與事故傷亡有

關(guān)？

不戴頭盔就頭盔

傷亡73

不傷亡1327

參考公式：7-------=-------,a=y-bx

fx：-而2￡（七-寸

/=1/=1

P（K2..k）0.100.050.025（）.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

n(ad-bc)2

K2其中n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(6+")

6.已知某區(qū)A、B兩所初級(jí)中學(xué)的初一年級(jí)在校學(xué)生人數(shù)之比為9:11,該區(qū)教育局為

了解雙減政策的落實(shí)情況，用分層抽樣的方法在A、8兩校初?一年級(jí)在校學(xué)生中共抽取

了100名學(xué)生，調(diào)查了他們課下做作業(yè)的時(shí)間，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下頻率分布直

做作業(yè)時(shí)間/小時(shí)

(1)在抽取的100名學(xué)生中，A、8兩所學(xué)校各抽取的人數(shù)是多少？

(2)該區(qū)教育局想了解學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的平均時(shí)長(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值

作代表)和做作業(yè)時(shí)長超過3小時(shí)的學(xué)生比例，請根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這兩個(gè)數(shù)

值；

(3)另據(jù)調(diào)查，這100人中做作業(yè)時(shí)間超過3小時(shí)的人中的20人來自A中學(xué)，根據(jù)已知條

件填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為“做作業(yè)時(shí)間超過3小時(shí)”

與“學(xué)?！庇嘘P(guān)?

做作業(yè)時(shí)間超過3小時(shí)做作業(yè)時(shí)間不超過3小時(shí)合計(jì)

A校

8校

合計(jì)

附表:

P(K2>k)0.100.050.0250.010().001

k2.7063.8415.0246.63510.828

〃(ad-be)'

附：K2=

(a+0)(c+d)(a+c)(b+d)

7.某校舉行青年教師視導(dǎo)活動(dòng)，對(duì)48位青年教師的備課本進(jìn)行了檢查，相關(guān)數(shù)據(jù)如下

表:

等第

性別合計(jì)

良好優(yōu)秀

男教師a1018

女教師1020

合計(jì)3048

"(ad-beY

附：Z2(其中n=a+b+c+d).

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表:

尸(/工)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

(1)是否有90%的把握認(rèn)為備課本是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？

(2)從48本備課本中不放回的抽取兩次，每次抽取一本，求第一次取到女教師備課本的

條件下，第二次取到優(yōu)秀備課本的概率.

8.盲盒，是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子，具有隨機(jī)性.因其獨(dú)有

的新鮮性，刺激性及社交屬性而深受各個(gè)年齡段人們的喜愛.已知M系列盲盒共有12

個(gè)款式，為調(diào)查”系列盲盒更受哪個(gè)年齡段的喜愛，向00前、00后人群各隨機(jī)發(fā)放了

50份問卷，并全部收回.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，有45%的人未購買該系列育盒，在這些未購買者當(dāng)

中，00后占§.

⑴請根據(jù)以上信息填表，并分析是否有99%的把握認(rèn)為購買該系列盲盒與年齡有關(guān)?

00前00后總計(jì)

購買

未購買

總計(jì)100

n^ad-bcy

(〃+b)(c+d)(4+c)(b+d)'

2

P(K>k0)0.100.050.0100.001

2.7063.8416.63510.828

(2)一批盲盒中，每個(gè)盲盒隨機(jī)裝有一個(gè)款式，甲同學(xué)己經(jīng)買到3個(gè)不同款，乙、丙同學(xué)

分別已經(jīng)買到小個(gè)不同款，已知三個(gè)同學(xué)各自新購買一個(gè)盲盒，且相互之間無影響，他

們同時(shí)買到各自的不同款的概率為

①求m；

②設(shè)X表示三個(gè)同學(xué)中各買到自己不同款的總?cè)藬?shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

9.某實(shí)驗(yàn)室為考察某種藥物A對(duì)預(yù)防疾病B的效果，進(jìn)行了動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，根據(jù)100個(gè)有放

回簡單隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：

疾病5

藥物A合計(jì)

未患病患病

未服用251540

服用501060

合計(jì)7525100

(1)依據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析藥物A對(duì)預(yù)防疾病B的有效性；

(2)現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃進(jìn)行臨床試驗(yàn)，對(duì)4名志愿者進(jìn)行用藥且每位志愿者的用藥互不影響.

根據(jù)服用藥物A的動(dòng)物實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用頻率來估算概率，記X為用藥后成功預(yù)防疾病8的人

數(shù)，求X的分布列及期望.

附：八______"3—兒丫_______

(4+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.005

Xa2.7066.6357.879

10.2022年3月23日“天宮課堂”第二課在中國空間站開講，神舟十三號(hào)乘組航天員翟

志剛、王亞平、葉光富相互配合進(jìn)行授課，中央廣播總臺(tái)面向全球進(jìn)行現(xiàn)場直播.此次

授課活動(dòng)采取天地對(duì)話方式進(jìn)行，由航天員在軌演示太空“冰雪”實(shí)驗(yàn)、液橋演示實(shí)驗(yàn)、

水油分離實(shí)驗(yàn)、太空拋物實(shí)驗(yàn),介紹與展示空間科學(xué)實(shí)施，皆在傳播普及空間科學(xué)知識(shí)，

激發(fā)廣大青年不斷追尋"科學(xué)夢''實(shí)現(xiàn)"航天夢''的熱情.某校組織在校中學(xué)生觀看學(xué)習(xí)

“天宮課堂”，并對(duì)其中500名學(xué)生進(jìn)行了一次“飛天宇航夢”的調(diào)查，得到如下的兩個(gè)等

高條形圖，其中被調(diào)查的男女學(xué)生比例為3：2.

匚

有飛天

宇航夢

D

無飛天

宇航夢

宇航夢宇航夢

（1）求，小〃的值（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）;

（2）完成以下表格，并根據(jù)表格數(shù)據(jù)判斷能否有97.5%的把握認(rèn)為學(xué)生性別和有飛天宇航

夢有關(guān)？

有飛天宇航夢無飛天宇航夢合計(jì)

男

女

合計(jì)

（3）在抽取的樣本女生中，按有無飛天宇航夢用分層抽樣的方法抽取5人.若從這5人中

隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步調(diào)查，求抽到有飛天宇航夢的女生人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附表：

尸（公之玲）0.1500.1000.0500.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

n^ad—hey

K2=n=a+b+c+d.

(a+/?)(c+J)(a+c)(i>+J)'

11.2021年9月，教育部印發(fā)《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校衛(wèi)生與健康教育工作

的意見》中指出：中小學(xué)生各項(xiàng)身體素質(zhì)有所改善，大學(xué)生整體下降.某高校為提高學(xué)

生身體素質(zhì)，號(hào)召全校學(xué)生參加體育鍛煉運(yùn)，結(jié)合“微信運(yùn)動(dòng)”APP每日統(tǒng)計(jì)運(yùn)動(dòng)情況,

對(duì)每日平均運(yùn)動(dòng)10000步或以上的學(xué)生授予“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)，低于10000步稱為“參與

者”，統(tǒng)計(jì)了200名學(xué)生在某月的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)，結(jié)果如下：

(1)完善2x2列聯(lián)表并說明：能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.1的前提下認(rèn)為獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”

稱號(hào)與性別有關(guān)？

(2)從全校運(yùn)動(dòng)“參與者”中按性別分層抽取8人，再從8人中選取3人參加特訓(xùn)，將男生

人數(shù)記為X,求X的分布列與期望EX.

12.社會(huì)生活日新月異，看紙質(zhì)書的人越來越少，更多的年輕人（35歲以下）喜歡閱

讀電子書籍，他們認(rèn)為電子書不僅攜帶方便，而且可以隨時(shí)隨地閱讀，而年長者（35

歲以上）更喜歡閱讀紙質(zhì)書.現(xiàn)在某書店隨機(jī)抽取40名顧客進(jìn)行調(diào)查，得到了如下列聯(lián)

表：

年長者年輕人總計(jì)

喜歡閱讀電子書1620

喜歡閱讀紙質(zhì)書8

總計(jì)40

（1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為喜歡閱讀電子書與年齡

有關(guān)；

（2）若在年輕人中按照分層抽樣的方法抽取了7人，為進(jìn)一步了解情況，再從抽取的7

人中隨機(jī)抽取4人，求抽到喜歡閱讀電子書的年輕人人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：K2=-——'其中”=a+h+c+d.

^a+b）（c+d）［a+c）（b+d）

產(chǎn)國寶）0.100.050.0100.005

k(>2.7063.8416.6357.879

13.一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良

好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），

同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，8表示事件“選

與緇叫的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程

到的人患有該疾病”

1P(月IA)

度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.

P(A8)P[A|B)

(i)證明:R=

P(A\B)P(A\B)

(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出尸(A|B),P(A|由的估計(jì)值，并利用(i)的結(jié)果給出R

的估計(jì)值.

附"(以一@

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>/C)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

14.2022年春季，新一輪新冠疫情在全國范圍內(nèi)蔓延開來，嚴(yán)重影響了國家的經(jīng)濟(jì)發(fā)

展和人民的正常生活.某城市為打贏這場疫情防控阻擊戰(zhàn)，政府投入大量人力物力，黨

員干部沖鋒在前堅(jiān)守崗位，普通群眾配合政策居家隔離.在全市人民的共同努力下，該

城市以最快的速度實(shí)現(xiàn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，人民生活回到了正常軌道.疫情的出現(xiàn)讓人們認(rèn)識(shí)到

身體健康的重要性，健身達(dá)人劉映宏帶動(dòng)了一股年輕人的健身熱潮，人們紛紛爭做“劉

班宏男孩“、“劉阱宏女孩”.但是對(duì)于中老年人來說，步行是最簡單有效的運(yùn)動(dòng)方式.某研

究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)1000位居民的日行步數(shù)，得到如下表格；

日行步數(shù)(單位：千)[0,2]。，4](4用(6用(8,10](10,12](12,14]

人數(shù)206017020030020050

(1)為研究日行步數(shù)與居民年齡的關(guān)系，以日行步數(shù)是否超過8千為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣,

從上述1000位居民中抽取200人，得到如下2x2列聯(lián)表，請將下表補(bǔ)充完整，并根據(jù)

下表判斷是否有95%的把握認(rèn)為日行步數(shù)與居民年齡有關(guān)：

日行步數(shù)48千日行步數(shù)＞8千總計(jì)

40歲以上100

40歲以下（含40歲）50

總計(jì)200

（2）以這1000位居民日行步數(shù)超過8千的頻率，來代替該地區(qū)每位居民日行步數(shù)超過8

千的概率，且每位居民日行步數(shù)是否超過8千相互獨(dú)立，若該團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查20位居民，

設(shè)其中恰有x位居民日行步數(shù)超過8千的概率是P,求當(dāng)x取多少時(shí)最大？（不必求

此時(shí)的P值）

附:

P(K2>k^0.050.0250.010

k。3.8415.0246.635

其中〃=a+b+c+d.

(a+匕)(c+d)(“+c)(b+")'

15.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年2月4日在北京開幕.吉祥物“冰墩墩”以其

可愛的外形迅速火爆出圈，其周邊產(chǎn)品更是銷售火熱，甚至達(dá)到“一墩難求”的現(xiàn)象.某購

物網(wǎng)站為了解人們購買“冰墩墩”的意愿，隨機(jī)對(duì)90個(gè)用戶（其中男30人，女60人）

進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表和條形圖：

沒有購買意愿有購買意愿

有購買沒有購

合計(jì)

意愿買意愿

男

女

合計(jì)

如果從這90人中任意抽取1人，抽到“有購買意愿”的概率為1.

(1)完成上述2x2列聯(lián)表，并回答是否有95%的把握認(rèn)為“購買意愿''與“性別”有關(guān)？

(2)若以這90個(gè)用戶的樣本的概率估計(jì)總體的概率，現(xiàn)再從該購物網(wǎng)站所有用戶中，采

用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1名用戶，抽取4次，記被抽取的4名用戶對(duì)“冰墩墩”有購

買意愿的人數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，寫出X的分布列，并求期望和方

差.

n(ad-be)2

參考公式：K2=其中〃=a+Z>+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

臨界值表:

p-k。)0.100.050.0100.0050.001

即2.7063.8416.6357.87910.828

16.新能源汽車是指除汽油、柴油發(fā)動(dòng)機(jī)之外的所有其他能源汽車，被認(rèn)為能減少空氣

污染和緩解能源短缺的壓力.在當(dāng)今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車越來越受到消

費(fèi)者的青睞，新能源汽車產(chǎn)業(yè)也必將成為未來汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導(dǎo)向與目標(biāo).某車企隨機(jī)

調(diào)查了今年3月份購買本車企生產(chǎn)的汽車的100位車主，經(jīng)統(tǒng)計(jì)其購車種類與性別情況

如下表：

單位：人

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在犯錯(cuò)誤的概率不超過2.5%的前提下，是否可以認(rèn)為購車種類與性

別有關(guān)；

(2)用樣本估計(jì)總體，用本車企售出汽車樣本的頻率代替售出汽車的概率，從該車企今年

3月份售出的汽車中，隨機(jī)抽取3輛汽車，設(shè)被抽取的3輛汽車中屬于傳統(tǒng)燃油汽車的

輛數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

17.致敬百年，讀書筑夢，某學(xué)校組織全校學(xué)生參加“學(xué)黨史頌黨恩，黨史網(wǎng)絡(luò)知識(shí)競

賽”活動(dòng).并對(duì)某年級(jí)的100位學(xué)生競賽成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下人數(shù)分布表.規(guī)定：

成績在［80,100］內(nèi)，為成績優(yōu)秀.

成績[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)510152520205

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2x2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為此次競賽成績與性別有

關(guān)；

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)

男10

女35

合計(jì)

(2)某班級(jí)實(shí)行學(xué)分制，為鼓勵(lì)學(xué)生多讀書，推出“讀書抽獎(jiǎng)?lì)~外賺學(xué)分”趣味活動(dòng)方案:

規(guī)定成績達(dá)到優(yōu)秀的同學(xué)，可抽獎(jiǎng)2次，每次中獎(jiǎng)概率為。(每次抽獎(jiǎng)互不影響，且。

的值等于成績分布表中不低于80分的人數(shù)頻率)，中獎(jiǎng)1次學(xué)分加5分，中獎(jiǎng)2次學(xué)分

加10分.若學(xué)生甲成績在［80,100］內(nèi)，請列出其本次讀書活動(dòng)額外獲得學(xué)分?jǐn)?shù)X的分

布列并求其數(shù)學(xué)期望.

n^ad-bcy

參考公式：K~=---------------------，n=a+h+c+d?

(a+b)(c+d)(a+c)(/?+d)

附表:

2

P(K>kn)0.1500.1000.0500.0100.005

k。2.0722.7063.8416.6357.879

18.某初中為了了解學(xué)生對(duì)消防安全知識(shí)的掌握情況，開展了網(wǎng)上消防安全知識(shí)考試.

對(duì)參加考試的男生、女生各隨機(jī)抽查40人，根據(jù)考試成績，得到如下列聯(lián)表:

方4:女生合計(jì)

考試成績合格302050

考試成績不合格102030

合計(jì)404080

⑴根據(jù)上面的列聯(lián)表，判斷能否有95%的把握認(rèn)為考試成績是否合格與性別有關(guān);

(2)在考試成績不合格的30人中按性別利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人，再從這6人

中隨機(jī)抽取3人，記這3人中男生的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-be)2

附-其中〃=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+4)

P(X22k)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

19.某種疾病可分為A,B兩種類型，為了解該疾病的類型與患者性別是否相關(guān)，在某

地區(qū)隨機(jī)抽取了若干名該疾病的患者進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)女性患者人數(shù)是男性患者的2倍,

男性患A型疾病的人數(shù)占男性患者的。，女性患A型疾病的人數(shù)占女性患者的!.

63

(1)若本次調(diào)查得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為，所患疾病的類型，與，性

別’有關(guān)”的結(jié)論，求被調(diào)查的男性患者至少有多少人？

(2)某團(tuán)隊(duì)進(jìn)行預(yù)防A型疾病的疫苗的研發(fā)試驗(yàn)，試驗(yàn)期間至多安排2個(gè)周期接種疫苗,

每人每個(gè)周期接種3次，每次接種費(fèi)用為加(加＞0)元.該團(tuán)隊(duì)研發(fā)的疫苗每次接種后產(chǎn)

生抗體的概率為如果一個(gè)周期內(nèi)至少2次出現(xiàn)抗體，則該周期結(jié)束后終

2

止試驗(yàn)，否則進(jìn)入第二個(gè)周期.若p=§,試驗(yàn)人數(shù)為1000人，試估計(jì)該試驗(yàn)用于接種

疫苗的總費(fèi)用.

n^ad-bc)~

K2=

(a+〃)(c+d)(4+c)(Z?+d)

0.100.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

20.為研究某種疫苗A的效果，現(xiàn)對(duì)100名志愿者進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，得到如下數(shù)據(jù):

未感染病毒B感染病毒B合計(jì)

接種疫苗A401050

未接種疫苗A203050

合計(jì)6040100

(1)根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析疫苗A是否有效？

(2)現(xiàn)從接種疫苗A的50名志愿者中按分層隨機(jī)抽樣方法(各層按比例分配)取出10

人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人，求這3人中感染病毒8的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期

望.

參考公式：/J""；/"、"—M>其中〃=a+6+c+d.

[a+b)(c+d)[a+c)[b+d)

參考數(shù)據(jù)：P(/2>10.828)=0.001

21.在統(tǒng)計(jì)調(diào)查中，問卷的設(shè)計(jì)是一門很大的學(xué)問，特別是對(duì)一些敏感性問題.例如學(xué)

生在考試中有無作弊現(xiàn)象，社會(huì)上的偷稅漏稅等，更要精心設(shè)計(jì)問卷，設(shè)法消除被調(diào)查

者的顧慮，使他們能夠如實(shí)回答問題，否則被調(diào)查者往往會(huì)拒絕回答，或不提供真實(shí)情

況.某調(diào)查中心為了調(diào)查中學(xué)生在考試中有無作弊現(xiàn)象，隨機(jī)選取150名男學(xué)生和150

名女學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查.問卷調(diào)查中設(shè)置了兩個(gè)問題：①你是否為男生？②你是否在考

試中有作弊現(xiàn)象.調(diào)查分兩個(gè)環(huán)節(jié)，第一個(gè)環(huán)節(jié)：確定回答的問題，讓被調(diào)查者從裝有3

個(gè)紅球，3個(gè)黑球(除顏色外完全相同)的袋子中隨機(jī)摸取兩個(gè)球，摸到同色兩球的學(xué)

生如實(shí)回答第一個(gè)問題，摸到異色兩球的學(xué)生如實(shí)回答第二個(gè)問題.第二個(gè)環(huán)節(jié)：填寫

問卷(問卷中不含問題，只有“是”與“否”).己知統(tǒng)計(jì)問卷中有70張答案為“是”.

(1)根據(jù)以上的調(diào)查結(jié)果，利用你所學(xué)的知識(shí)，估計(jì)中學(xué)生在考試中有作弊現(xiàn)象的概率;

(2)據(jù)核實(shí)，以上的300名學(xué)生中有20名學(xué)生在考試中有作弊現(xiàn)象，其中男生15人，女

生5人，試判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為中學(xué)生在考試中有無作弊現(xiàn)象與性別有關(guān).

_n(ad-be)2

參考公式和數(shù)據(jù)如下:2

(〃+b)(c+d)(a+<?)(/?+d)

2

P(K>ka)0.150.100.050.0250.005

k°2.0722.7063.8415.0247.879

22.2021年某公司為了提升一項(xiàng)產(chǎn)品的競爭力和市場占有率，對(duì)該項(xiàng)產(chǎn)品進(jìn)行了科技

創(chuàng)新和市場開發(fā)，經(jīng)過一段時(shí)間的運(yùn)營后，統(tǒng)計(jì)得到x,y之間的五組數(shù)據(jù)如下表：

X12345

y911142620

其中，x（單位：百萬元）是科技創(chuàng)新和市場開發(fā)的總投入，y（單位：百萬元）是科技

創(chuàng)新和市場開發(fā)后的收益.

（1）求相關(guān)系數(shù)廠的大?。ň_到0.01）,并判斷科技創(chuàng)新和市場開發(fā)后的收益y與科技

創(chuàng)新和市場開發(fā)的總投入x的線性相關(guān)程度；

（2）該公司對(duì)該產(chǎn)品的滿意程度進(jìn)行了調(diào)研，在調(diào)研100名男女消費(fèi)者中，得到的數(shù)據(jù)如

下表：

滿意不滿意總計(jì)

男451055

女252045

總計(jì)7030100

是否有99%的把握認(rèn)為消費(fèi)者滿意程度與性別有關(guān)？

（3）對(duì)（2）中調(diào)研的45名女消費(fèi)者，按照其滿意程度進(jìn)行分層抽樣，從中抽出9名女消

費(fèi)者到公司進(jìn)行現(xiàn)場考察，再從這9名女消費(fèi)者中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行深度調(diào)研，設(shè)這4

人中選擇“滿意”的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考公式：①，y”二;

V/=11=1

n(ad-bc)~

②K?=其中n=a+h+c+d.

(a+O)(c+d)(〃+c)(，+d)

臨界值表:

咐次)0.1000.0500.0250.0100.001

k。2.7063.8415.0246.63510.828

參考數(shù)據(jù)：7485^22.

23.新能源汽車是指除汽油、柴油發(fā)動(dòng)機(jī)之外的所有其他能源汽車，被認(rèn)為能減少空氣

污染和緩解能源短缺的壓力.在當(dāng)今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車越來越受到消

費(fèi)者的青睞，新能源汽車產(chǎn)業(yè)也必將成為未來汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導(dǎo)向與目標(biāo).某車企調(diào)查

了近期購車的200位車主的性別與購車種類的情況，得到如下數(shù)據(jù)：

購置新能源汽車購置傳統(tǒng)燃油汽車總計(jì)

男性8020100

女性6535100

總計(jì)14555200

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷能否有95%的把握認(rèn)為是否購置新能源汽車與性別有關(guān)；

(2)已知該車企有5種款式不同的汽車,每種款式的汽車均有新能源和傳統(tǒng)燃油兩種類型

各1輛.假設(shè)某單位從這10輛汽車中隨機(jī)購買4輛汽車，設(shè)其中款式相同的汽車的對(duì)數(shù)

為€，求g的分布列與數(shù)學(xué)期望.

n/I9n(ad-hcY,

附：K~=-----------------------------，〃=Q+/?+c+d.

(Q+/?)(c+d)(Q+c)優(yōu)+d)

P(KWk。)0.100.050.0250.010

2.7063.8415.0246.635

24.某學(xué)校共有1500名學(xué)生，為調(diào)查該校學(xué)生每周使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間的情況，采用分層

抽樣的方法，收集100名學(xué)生每周上網(wǎng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時(shí)).根據(jù)這100個(gè)樣本

數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周上網(wǎng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)

間為：[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].

(1)估計(jì)該校學(xué)生每周平均使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間(每組數(shù)據(jù)以組中值為代表)；

(2)估計(jì)該校學(xué)生每周使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間超過4個(gè)小時(shí)的概率；

(3)將每周使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間在(4,12]內(nèi)的定義為“長時(shí)間使用手機(jī)上網(wǎng)”；每周使用手機(jī)

上網(wǎng)時(shí)間在(0,4]內(nèi)的定義為“不長時(shí)間使用手機(jī)上網(wǎng)”?在樣本數(shù)據(jù)中，有25名學(xué)生不近

視.請完成每周使用手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)間與近視程度的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把

握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間與近視程度有關(guān)

近視不近視合計(jì)

長時(shí)間使用手機(jī)

不長時(shí)間使用手機(jī)15

合計(jì)25

_n(ad-bc)2

(a+b)(c+1)e+c)(/?+d)

().10.050.0100.005

k<>2.7063.8416.6357.879

0.150

0.125

0.100

0.075

0.025

25.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”平臺(tái)自上線以來，引發(fā)社會(huì)各界廣泛關(guān)注，在黨員干部中更是掀起了一

股學(xué)習(xí)熱潮.該平臺(tái)以全方位、多維度、深層次的形式，展現(xiàn)了權(quán)威、準(zhǔn)確、生動(dòng)、有

力的“視聽盛宴”，為廣大黨員干部提供了便捷的學(xué)習(xí)平臺(tái)、自我提升的“指南針”、干事

創(chuàng)業(yè)的“加油站某單位為調(diào)查工作人員學(xué)習(xí)強(qiáng)國的情況，隨機(jī)選取了400人(男性、

女性各200人)，記錄了他們2021年年底的積分情況，并將數(shù)據(jù)整理如下：

積

分2000-30003001-40004001~50005001~6000>6000

性（分）（分）（分）（分）（分）

別

男

8060302010

性

女

2060100200

性

(1)己知某人積分超過5000分被評(píng)定為“優(yōu)秀員工”，否則為“非優(yōu)秀員工”，補(bǔ)全下面的

2x2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有90%以上的把握認(rèn)為“評(píng)定類型”與“性別”有關(guān)；

優(yōu)秀員工非優(yōu)秀員工總計(jì)

男性

女性

總計(jì)

(2)以樣本估計(jì)總體，以頻率估計(jì)概率，從已選取的400人中隨機(jī)抽取3人，記抽取的3

人中屬于“非優(yōu)秀員工”的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

n^ad-bc\

附：K2=

P(Kbk°)0.100.050.0250.010

2.7063.8415.0246.635

26.某市場研究機(jī)構(gòu)為了解用戶在選購相機(jī)時(shí)品牌因素的影響，用A,8兩個(gè)品牌的相

機(jī)各拍攝了一張照片，然后隨機(jī)調(diào)查了200個(gè)人，讓他們從中選出自己認(rèn)為更好的一張

照片.這200個(gè)人被分成兩組，其中一組不知道兩張照片分別是哪個(gè)品牌的相機(jī)拍攝的.

稱為“盲測組”；另一組則被告知相關(guān)信息，稱為“對(duì)照組”.調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

選擇4品牌相機(jī)拍攝的照片選擇8品牌相機(jī)拍攝的照片

盲測組6634

對(duì)照組4456

(1)分別求盲測組和對(duì)照組認(rèn)為A品牌相機(jī)拍攝的照片更好的概率;

(2)判斷是否有99%的把握認(rèn)為相機(jī)的品牌對(duì)用戶有影響.

n(ad-be)2

附：K2，其中九=a+6+c+4.

(a+b)(c++c)(b+d)

P(KL%)0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

27.武漢熱干面既是中國四大名面之一，也是湖北武漢最出名的小吃之一.某熱干面店

鋪連續(xù)10天的銷售情況如下(單位：份)：

天數(shù)12345678910

套餐一12010014014012070150120110130

套餐二809090605090708090100

(1)分別求套餐一、套餐二的均值、方差，并判斷兩種套餐銷售的穩(wěn)定情況；

(2)假定在連續(xù)10天中每位顧客只購買了一份，根據(jù)圖表內(nèi)容填寫下列2x2列聯(lián)表，并

據(jù)此判斷能否有95%的把握認(rèn)定顧客性別與套餐選擇有關(guān)？

顧客套餐套餐一套餐二合計(jì)

男顧客400

女顧客500

合計(jì)

w(ad-bcj

(a+b)(a+c)(Z?+d)(c+d)

P(K2>k.)0.100.050.0250.010

2.7063.8415.0246.635

28.為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，茂名某中學(xué)的體育部計(jì)劃開展乒乓球比賽，為了解學(xué)生對(duì)乒乓

球運(yùn)動(dòng)的興趣，從該校一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，男女人數(shù)相同，其中

女生對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)有興趣的占80%,而男生有15人表示對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)沒有興趣.

(1)完成2x2列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認(rèn)為“對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)是否有興趣與性別有

關(guān)”？

有興趣沒興趣合計(jì)

男

女

合計(jì)

(2)為了提高同學(xué)們對(duì)比賽的參與度，比賽分兩個(gè)階段進(jìn)行.第一階段的比賽賽制采取單

循環(huán)方式，每場比賽采取三局二勝制，然后由積分的多少選出進(jìn)入第二階段比賽的同學(xué),

每場積分規(guī)則如下：比賽中以2:0取勝的同學(xué)積3分，負(fù)的同學(xué)積0分：以2:1取勝的

同學(xué)積2分，負(fù)的同學(xué)積1分.其中，小強(qiáng)同學(xué)和小明同學(xué)的比賽倍受關(guān)注，設(shè)每局小

2

強(qiáng)同學(xué)取勝的概率為P=q,記小強(qiáng)同學(xué)所得積分為X,求X的分布列和期望.

附表:

2

P(K>k0)0.500.400.250.1500.1000.050

ko0.4550.7801.3232.0722.7063.841

參考公式：K2=---------"叱一"。----------Qi=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

29.近日，中華人民共和國應(yīng)急管理部公布了《高層民用建筑消防安全規(guī)定》.其中提

到：在公共門廳等地停放電動(dòng)車或充電，拒不改正的個(gè)人，最高可處以1000元罰款.為

了研究知曉規(guī)定是否與年齡有關(guān),某市隨機(jī)抽取125名市民進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到如下2x2

列聯(lián)表：

知曉不知曉總計(jì)

年齡460163450

年齡＞6096675

總計(jì)25100125

(1)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，是否有99%的把握認(rèn)為知曉規(guī)定與年齡有關(guān)？

(2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)在從本地所有市民中，采用隨機(jī)抽樣的方法抽取

4位市民，記被抽取的4位市民中知曉規(guī)定的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望

n(ad-be)2

參考公式：尸=其中n=a+h+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

p#>kJ0.1()0.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

30.某機(jī)構(gòu)為了解市民對(duì)交通的滿意度，隨機(jī)抽取了100位市民進(jìn)行調(diào)查結(jié)果如下：回

答“滿意”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的一半，在回答“滿意”的人中，“上班族”的人數(shù)是“非上班族”

人數(shù)的，3；在回答“不滿意'’的人中，"非上班族'’占I;

(1)請根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下面2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分

析能否認(rèn)為市民對(duì)于交通的滿意度與是否為上班族存關(guān)聯(lián)？

滿意不滿意合計(jì)

上班族

非上班族

合計(jì)

(2)為了改善市民對(duì)交通狀況的滿意度，機(jī)構(gòu)欲隨機(jī)抽取部分市民做進(jìn)一步調(diào)查.規(guī)定：

抽樣的次數(shù)不超過〃(〃eNj,若隨機(jī)抽取的市民屬于不滿意群體，則抽樣結(jié)束；若隨

機(jī)抽取的市民屬于滿意群體，則繼續(xù)抽樣，直到抽到不滿意市民或抽樣次數(shù)達(dá)到"時(shí),

抽樣結(jié)束.

(i)若〃=5,寫出X$的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(ii)請寫出的數(shù)學(xué)期望的表達(dá)式(不需證明)，根據(jù)你的理解說明X”的數(shù)學(xué)期望的

實(shí)際意義.

附:

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

n(ad-be)2

參考公式：/=其中"=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

31.某市為積極響應(yīng)上級(jí)部門的號(hào)召，通過沿街電子屏、微信公眾號(hào)等各種渠道對(duì)抗疫

進(jìn)行了深入的宣傳，幫助全體市民深入了解新型冠狀病毒，增強(qiáng)戰(zhàn)勝疫情的信心.為了

檢驗(yàn)大家對(duì)新型冠狀病毒及防控知識(shí)的了解程度，該市推出了相關(guān)的問卷調(diào)查，隨機(jī)抽

取了年齡在18?99歲之間的200人進(jìn)行調(diào)查，把年齡在［18,65］和［66,99］內(nèi)的人分別稱

為“青年人”和“中老年人”.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，“青年人'’和“中老年人”的人數(shù)之比為2：3,其中“青

年人''中有50%的人對(duì)防控的相關(guān)知識(shí)了解全面，“中老年人”中對(duì)防控的相關(guān)知識(shí)了解

全面和了解不全面的人數(shù)之比是2：1.

(1)根據(jù)已知條件，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果判斷是否有95%的把握認(rèn)為

“中老年人”比“青年人”更加了解防控的相關(guān)知識(shí).

(2)用頻率估計(jì)概率從該市18?99歲市民中隨機(jī)抽取3位市民，記抽出的市民對(duì)防控相

關(guān)知識(shí)了解全面的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附表及公式:K=(,+次+次+0i，其中〃=

P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

32.某土特產(chǎn)超市為預(yù)估2022年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況，對(duì)2021年元旦期間

的90位游客購買情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下人數(shù)分布表：

購買金額[750,

[0,150)[150,300)[300,450)[450,600)[600,750)

（元）900]

人數(shù)101520152010

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為購買金額是否少于600

元與性別有關(guān).

不少于600元少于600元合計(jì)

男40

女18

合計(jì)

（2）為吸引游客，該超市推出一種優(yōu)惠方案：購買金額不少于600元可抽獎(jiǎng)3次，每次中

獎(jiǎng)概率為P（每次抽獎(jiǎng)互不影響，且P的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于600元的

頻率），中獎(jiǎng)1次減50元，中獎(jiǎng)2次減100元，中獎(jiǎng)3次減150元.若游客甲計(jì)劃購買

800元的土特產(chǎn)，請列出實(shí)際付款數(shù)X（元）的分布列并求其數(shù)學(xué)期望.

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附：參考公式和數(shù)據(jù)：Y=,n=a+h+c+d.