福建省福州市六校2023-2024學(xué)年高二年級上冊期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 附答案

2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高二年段期末六校聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷

（滿分：150分，完卷時間：120分鐘）

命題校：馬尾第一中學(xué)

班級__________座號姓名準(zhǔn)考證號.

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題的四個選項中，只有一項符合題目

要求.）

1.在等比數(shù)列｛%｝中，若d=16%，則4=（）

A.32B.16C.8D.4

2.已知函數(shù)/（X）在我上可導(dǎo)，且滿足!吧[⑵—/（2+&）=1,則函數(shù)y=/（x）在點（2,1）處的切線的方

Ax->0

程為（）

A.y=%—1B,y=-x-lC.y=x+3D,y=-x+3

3.已知在四面體A5CD中，分別是的中點，設(shè)AB=dAC=b,AD=c,則〃N=（）

-Z?+d）D.--d--

4.過點P（0,l）的直線/與圓E:（x—1-+儼=4相交于兩點，則弦長的最小值是（）

A.2B.2V2C.273D.4

5.已知A（2,-3）、3（2,l）,若直線/經(jīng)過點P（0,-1）,且與線段A5有交點，貝U/的斜率的取值范圍為

（）

A.（—8,—2]D[2,+OO）B.[-2,2]C.（-oo,-l]o[l,+oo）D.[-l,l]

22

6.己知橢圓c：二+以=l（a〉?！?）的左、右焦點分別為耳，鳥,A為。上位于第一象限的一點，AK與y軸

ab

交于點.若則的離心率為（）

B^FXAF2=ZAF2B=60C

A.立B.正C.宜1D正

3254

--3-1--2

7.如圖，ABCD—EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足AP=—AB+—AD+—AE,則

423

尸點到直線A3的距離為（）

8.如圖，過拋物線V=2px（0〉O）的焦點下的直線與拋物線交于兩點，與其準(zhǔn)線/交于點。（點6位

于AC之間）且B=于點。且|AZ）|=4,則Q同等于（）

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題

目要求.全部選對5分，部分選對得2分，有選錯得0分.）

9.已知正方體ABC?！?片。12,棱長為1,瓦廠分別為棱A3,CG的中點，則（）

A.直線A。1與直線所共面

B.\E1AF

C.直線AXE與直線BF的所成角為60

D.三棱錐q-ADF的體積為g

10.已知遞減的等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S〃,S6=S8,貝U（）

A.%〉0B.S13<0

C.515<0D.S?最大

11.已知兩點A（—2,0）,3（2,0）,若直線上存在點P，使得儼曰―仍用=2,則稱該直線為“點定差直線”，下

列直線中，是“點定差直線”的有（）

A.y=x+1B.y=3x+l

C.y=2x+4D.y=V2x+3

22

12.設(shè)雙曲線c：5-二=l（a〉0力〉0）的左、右焦點分別為耳，鳥，點P在C的右支上，且不與C的頂點

ab

重合，則下列命題中正確的是（）

3

A.若a=3,b=2,則。的兩條漸近線的方程是y=±/%

B.若點尸的坐標(biāo)為（2,4J2）,則C的離心率大于3

c.若P耳，PB，則.耳2工的面積等于/

D.若C為等軸雙曲線，且伊耳|=2歸引，貝Ucos/耳時=—w

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知圓C:（x—2）2+（y—2）2=8—m.若圓C與圓。：（x+l）2+（y+2）2=l外切，則加的值為

14.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為S1.己知四=1,a.=35“+1,"eN*,數(shù)列｛4｝的通項公式.

15.已知。為單位向量.6=（1,0,0）若卜—揚(yáng)|=1,則a在6上的投影向量為.

16.數(shù)列｛4?｝：1,1,2,3,5,8,13,21,34,.-，稱為斐波那契數(shù)列（Fibonaccisequence）,該數(shù)列是由十三世紀(jì)意

大利數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.在數(shù)學(xué)

上，斐波那契數(shù)列可表述為6=4=1，4=&T+%-2（九.3,"eN*）.設(shè)該數(shù)列的前〃項和為S?,記

。2023=根，則‘2021=?（用機(jī)表示）

四、解答題（本題共6小題，第17題10分，第18-22題各12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說

明、證明過程或演算步驟.）

17.（10分）已知數(shù)列｛?！埃凉M足色=1,加z0+i=2（〃+1）?！埃O(shè)=—.

n

（1）求1\也力3；

(2)判斷數(shù)列抄/是否為等比數(shù)列，并說明理由；

(3)求｛%｝的通項公式.

18.(12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面A3CD,四邊形A5CD是菱形,

AC=2,BD=2y/3,￡是PB的中點.

(1)求證：AC±DE-,

(2)已知二面角A—必一。的余弦值為"，求EC與平面所成角的正弦值.

5

19.(12分)已知.ABC為銳角三角形，且cosA+sinB=g(sinA+cosR)

7T

(1)若C=_,求A

3

(2)已知點。在邊AC上，且AD=8D=2，求CD的取值范圍.

20.(12分)如圖，已知A、&C是拋物線I；:爐=y上的三個點，且直線。4、。3分別與拋物線「2：/=4%

相切，尸為拋物線口的焦點.

(1)若點C的橫坐標(biāo)為反，用/表示線段CR的長；

(2)若C4LCB,求點C的坐標(biāo)；

21.(12分)已知等差數(shù)列｛%｝滿足：。2+4,%，。6成等差數(shù)列，%，%，%成等比數(shù)列.

(1)求｛4｝的通項公式：

(2)在數(shù)列｛4｝的每相鄰兩項為與心間插入2,個3?=1,2,3,),使它們和原數(shù)列｛4｝的項構(gòu)成一個新

數(shù)列也｝,數(shù)列也｝的前〃項和記為S“，求4及%33.

22.（12分）已知橢圓C:二■+/=1（?！?〉0）過點（0,1）,離心率為孝.

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線y=Mx+l）（左W0）與橢圓交于兩點，過A8作直線/：X=—2的垂線，垂足分別為MN,

點G為線段肱V的中點，廠為橢圓C的左焦點.求證：四邊形AGNF為梯形.

參考答案

1.【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得，6=g-。4=16。2,從而可求.

【解答】解：等比數(shù)列｛4｝中，由等比數(shù)列的性質(zhì)得，狀=g-。4=16。2,則。4=16.

故選：B.

2【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可得到答案.

【詳解】由題意，

r(2)=-i

故選D.

3.【答案】D

【分析】結(jié)合圖像，利用空間向量的線性運(yùn)算即可得到結(jié)果.

【詳解】連接AM，如圖，

因為A6=a,AC=dA。=c,M,N分別是8CA￡>的中點，

所以

MN=MA+AN=-AM+-AD=--(AB+AC]+-AD

22、'2

=AB——AC+—AD=——a——b+—c=—(-a—b+c).

2222222、>

故選：D.

4【答案】B

5.【答案】D

【解析】

【分析】作出圖形，數(shù)形結(jié)合可得出直線/的斜率的取值范圍.

【詳解】過點尸作PC,A3,垂足為點C,如圖所示：

y：

設(shè)直線/交線段AB于點“，設(shè)直線/的斜率為左，

□1__1+3__1+1

且kpA———I，kpR——］，

PA0-2PB2-0

當(dāng)點M在從點A運(yùn)動到點C（不包括點C）時，直線/的傾斜角逐漸增大,

此時一1=k“＜上＜0；

當(dāng)點M在從點C運(yùn)動到點3時，直線/的傾斜角逐漸增大，此時0〈左〈即B=L

綜上所述，直線/的斜率的取值范圍是［-1』］.

故選：D.

6.A【解析】解析：如圖，由/44工=44月8=60。，得.A工3為等邊三角形，結(jié)合對稱性及橢圓的定

義，得|40=忸閭=忸耳|=|4用=毛，則B為期的中點，從而為一耳AB的中位線，OB//AF,,

所以A7NE為，所以閨閶=J§|A閶，即2c=2旦，則e=￡=Y3,故選：A.

3a3

7.【答案】C

【解析】

【分析】以A為坐標(biāo)原點，A8,A0,AE所在直線分別為羽y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，計算出和AP

的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量法求點到直線的距離公式即可求解.

【詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點，所在直線分別為羽y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

X

則AB=(l,O,O),AD=(O,l,O),AE=(O,O,l),

3.1-2

因為AP=—AB+—AD+—AE,所以AP=

-4231^1)

312

a=AP-,u=

423

3123

a2M2=—xl+—xO+—xO=—

4234

所以點P到AB的距離d=Jd2-(o-M)2=J—--=-

、V144166

故選：C.

8.【答案】A

【解析】

Q

【分析】由題可得體。|=3|4。|,然后結(jié)合條件可得p=g,即求.

【詳解】設(shè)于點E，準(zhǔn)線/交x軸于點G,

則網(wǎng)=|所,又CB=3BF，

:.\BC\=3\BE\,\CF\=3\GF\,又于點D且|AZ)|=4,

:.BE//AD，

|AC|=\AD\+\CF\=|A￡>|+3|GF|=3\AD\,即3°=2|AD|=2x4,

」。司等于;

故選：A

9.【答案】BD

【解析】

【分析】如圖，以D為原點,以。A所在直線分別為羽"Z建立空間直角坐標(biāo)系，對于A，利用

面面平行性質(zhì)結(jié)合平行公理分析判斷，對于B，通過計算4E-AF進(jìn)行判斷，對于C,利用向量的夾角公

=

式求解，對于D，禾ll用^Ct-ADF%-CQF求解.

【詳解】如圖，以。為原點，以D4,所在直線分別為羽＞,z建立空間直角坐標(biāo)系，則

O(O,O,O),A(LO,O),5(I,I,O),C(O,I,O)Q(O,O/)，A(LO』)，4(U』)，G(0,1,1),

叫,°L，

對于A，假設(shè)直線A2與直線跖共面，因為平面〃平面。平面AEfRc平面

A54A=AE，平面DCGQC平面ABB^=D1F,

所以AE〃

因為AE〃GQ，所以G2〃0Z，矛盾，所以直線AQ與直線所不共面，所以A錯誤;

對于B，因為4E=1o,g,—1：AE=1—

11

所以4￡?A尸=0+]—/=0,所以所以尸，所以B正確，

對于C,設(shè)直線AE與直線3廠的所成角為6,因為4石=[0,3，-1),5/=[一1,0,3；

1

21

所以cos9=cos(A,E,BF)2——w一,

\A,E\\BF\52'

所以9w60，所以C錯誤,

對于D，因為AO,平面。CGQ，

所以匕『4DF=K-CQF=§S.CQF,4￡)=§*5*5*1><1=歷，所以D正確，

故選：BD.

10.【答案】ACD

【解析】

【分析】由"=$8可得/+%=0，由等差數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列，所以。8<0<%，所以當(dāng)時

4〉0,〃28時可<0,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)，逐項分析判斷即可.

【詳解】由56=58可得58-56=4+%=0，

由等差數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列，

所以。8<0<%，故A正確；

又、3=號空*13=13%>0,故B錯誤；

S15=%X15=15a8<0，故C正確；

由等差數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列，所且。8<。<%，

所以當(dāng)1<〃<7時4〉0,

”上8時％<0,所以S7最大，故。正確

故選：ACD

11.【答案】AD

【解析】

2

【分析】先求出P點的軌跡方程為/-乙=1的右支，結(jié)合雙曲線的漸近線斜率與選項中直線斜率進(jìn)行比

3

較，得到有無交點，進(jìn)而求出答案.

【詳解】因為|己4|—歸a=2<|4用，故P點的軌跡方程為雙曲線的右支，其中a=l,c=2,則

〃2=。2—。2=4—1=3,所以雙曲線為12一4_=1（》〉0）,漸近線方程為>=±抬羽>=》+1的斜率為

i<6

2

故與必一三~=1（》〉0）有交點，A正確；

y=3x+l的斜率3〉也，且與丁軸交點為（0,1）,故與必一三_=1（%〉0）無交點，B錯誤;

y=2x+4的斜率2〉G，且與丁軸交點為（。，4）,故與必—g=l（x〉0）無交點，C錯誤;

>=缶+3的斜率應(yīng)（石，故與V—三_=1（%〉0）有交點，。正確.

故選：AD

12.BC【解析】當(dāng)。=3,b=2時，雙曲線的漸近錢的斜率左=±2=±g,A錯誤，因為點。（2,4拒）在C

上，則。―m=1'得：=9+8>8'所以e=Jl+t>3,8正確：因為伊片|—歸閶=2匹若

則『+|閭閨閭公22即

PFXLPF2,|PEp2=2=2,ip（|p^|_|p77|）+2|pf；|.|p77|=4c,

22

4a+2|P^|-|P^|=4c,得盧國歸局=21—02）=2/,所以s々%=曰心卜忸閭=/,0正確z

若C為等軸雙曲線,則a*從而閨等|=2c=2缶.若|尸司=2|尸閭,則|尸閭=2a,|尸制=4/在

耳P工中，由余弦定理，得cos/耳。鳥」「娟；歸,Tf局=16片+4片—81=2,。錯誤，故選

12

2|Pf；|-PF2\2x4ax2a4

BC.

13.【答案】-8

【解析】

【分析】利用兩圓相外切列方程即可求解.

【詳解】圓。：?！?）2+（）；—2）2=8—m的圓心為（2,2）,半徑八=，8—fn,圓。：（x+lp+（y+21=1的

圓心為（―L—2）,半徑2=1.

因為圓C與圓。外切，所以|。。|=4+弓,

所以J(2+1y+(2+2)2=j8—m+1，解得：m=-8.

故答案為：-8

14.【詳解】⑴因〃eN*,a,+i=3S,+l,則當(dāng)〃22時,4=35“聞+1,

兩式相減得：??+1-=3??,即?！?1=4%，而％=Lg=3S］+1=4,g=4q,

則數(shù)列｛4｝是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，

所以數(shù)列｛??｝的通項公式是4=4"TeN*）.

15.【答案】［4,0,0；

【解析】

a-b

【分析】根據(jù)模與向量的關(guān)系求出的值，再根據(jù)a在b上的投影向量的模的公式［｝求出答案即可.

【詳解】由題可知：1—缶|=J（a—折）2=｛（a.—2怎必+（瘍1=J1+2—2而0=1

-a-bA/2

即a2=注，則a在上的投影向量的模為何=丁

2碼2

故答案為：

16.W-1【解析】由q=%+*，得。〃+2=%+%，即a”=a”+2—4+i（〃eN）所以

5=%+。2+%++。2021=（%-。2）+（。4-%）+（%—4）++（。2023一。2022）=%023-g=加一1?

17.【答案】⑴偽=1也=2也=4；⑵也｝是首項為I,公比為2的等比數(shù)列.理由見解析；⑶

a“=〃2T.

【分析】（1）由條件可得4+1=25+1）4

n

將〃=1代入得，％=4〃i，而4=1,所以，%=4.

將〃=2代入得，。3=3。2，所以，。3=12.

從而4=1也=2也=4;

（2）｛2｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

由條件可得也=即d+1=22，又偽=1,

n+1n

所以｛2｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列；

（3）由（2）可得組=々=1X2"T=2”T,

n

所以4=〃2T.

18.【答案】（1）證明見解析；

（2）逮1.

5

【解析】

【分析】（1）由菱形及線面垂直的性質(zhì)可得PDLACBOLAC,再根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)

論.

（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，沒PD=t,結(jié)合已知確定相關(guān)點坐標(biāo)，進(jìn)而求面P8Q、面Q鉆的法向量，結(jié)

合已知二面角的余弦值求出參數(shù)f,再根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)表示求EC與平面B鉆所成角的正弦值.

【小問1詳解】

由PD_L平面ABCD,ACu平面ABCD,則P￡）J_AC,

又ABC。是菱形，則BDLAC,又BDcPD=D，

所以AC，平面PBD,。石u平面PBD

所以ACLOE.

【小問2詳解】

分別以。4。3,0E為羽y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)PD=t,則A（L0,0）,5（0,6,O）,C（-1,O,O）,E[O,O,￡|,P（O,-6,。，

由（1）知：平面PBD的法向量為q=（1,0,0）,

/、n?.AB=-x+6y=0

令面PAS的法向量為%=（x,y,z）,則〈,令y=l,可得

n2-AP=-x—\J3y-\-tz=0

可得r=2折則P（0,-后2碼,

設(shè)EC與平面P鉆所成的角為6,又￡。=（一1,0,—6）,叼=（6,1,1卜

2A/3_V15

所以sin6=cos（EC,〃2）

2近一5

19.【解析】（1）由（：054+51118=/（5104+（：053）,得工cosA—且sinA=^cos5—^siaB,

'72222

所以cos〔Y1=cov+i?

Lf、tC4兀CG兀LL…兀4兀571兀c兀2兀

因為0<A<一,0<3<一，所以一<A+一<一,—<B+—<一，

22336663

TTTTTT

所以A+—=3+—,即3=A+—,

366

JTTTTT7T

又A+B+C=7i,C=—,所以A+A+—+—=兀，解得A=—.

3634

TTTT

（2）因為40=60=2,所以N7）A4=/A，由（1）知/A3C=A+—,可得/CBD=一,

66

CDBD

在,5CD中，由正弦定理得---------=

sin/CBDsinC

所以CD=sin/C3。BD二工,

sinCsinC

在/ABC中，sinC=sin（A+3）=sin[2A+1）,

又0<4<1,5=4+1￡0,],0=?！?—5=：—24￡0,1，所以/<A<巴，

2663

所以烏<2A+4〈型，所以:<sin（2A+m[<l,

2662I6）

故CD的取值范圍為（1,2）.

（2）C（-l,l）

【分析】（1）求出拋物線匕的準(zhǔn)線方程，利用拋物線定義將CR的長度轉(zhuǎn)化成點C到準(zhǔn)線的距離即可;

（2）設(shè)與直線C4:y—%）,根據(jù)直線直線C4、CB分別與拋物線「2：/=4%相切,

2

可將直線與拋物線方程聯(lián)立得到判別式為0,進(jìn)而得出kCA,kCBx0k-%左+1=0的兩根，結(jié)合韋達(dá)定理與

C4,CB可得左GAB=一=T即可求解；

%

【詳解】（1）設(shè)。（七,%），且在拋物線上，故滿足％=后

,廠為拋物線的焦點，拋物線的準(zhǔn)線為/:y=—

???線段CF的長等于點C到準(zhǔn)線I的距離，即|CF|=%+；=x；+：.

（2）設(shè)C（5,%）,顯然直線CA,CB的斜率存在且不為0,設(shè)直線C4:y—%=左（1-%），..6分

2

聯(lián)立It',='"一%）,化簡得：ky-4y+4yo-4kxo=O,

IX=4%

直線C4與拋物線口：/=4x相切，，A=42—4左（4%—4G）=0,即//一為左+1=。①

又直線C4、Cfi均與拋物線心：V=?相切，

,,1

kCA,kCB為方程①的兩根，且有kCAkCB=一,

xo

CA±CB,kCAkCB=-=-1,解得x0=-l,

xo

將x°=T代入y=/得：%=1，故C的坐標(biāo)為（-U）.

21.【答案】（1）%=2〃+1；

（2）偽=3,邑033=6189.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的前〃項和公式進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

因為%+4,%,%成等差數(shù)列，

所以有2i?5=%+W+4=>2（4+4d）=/+5d+q+d+4=><7=2,

因為。4,%,%2成等比數(shù)列，

所以由2=%%2n(%+6x2)=(%+3x2)(%+llx2)n%=3,

所以a”=3+